2017-2018年江西省南昌二中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
江西省南昌市第二中学2018届高三上学期第七次月考(期末)数学(理)试卷及答案
南昌二中2017～2018学年度上学期第七次考试高三数学（理）试卷一、选择题（每小题5分，共60分。
每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1．已知集合2{|4},{|1}A x y x B x a x a ==-=≤≤+，若A B A ⋃=，则实数的取值 范围为（ ）A. ][(),32,-∞-⋃+∞ B.C. D.2．已知实数,m n 满足()()4235m ni i i +-=+，则m n +=（ ） A.95B.115C.94D.1143．给出下列命题:①已知,a b R ∈,“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件;②已知平面向量,a b ,"1,1"a b >>是“1a b +>”的必要不充分条件; ③已知,a b R ∈,“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件; ④命题:P “0x R ∃∈,使00e1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x R ∀∈,都有e 1x x <+且ln 1x x >-”.其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 34．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，f(x)=x,则函数y=f(x)- 3log x 的零点个数是（ ）A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个5．若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A.4πB.8πC.38πD.58π6．如图，在△ABC 中， 21,,33AD AC BP BD ==u u u v u u u v u u u v u u u v 若AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v ,则λμ的值为( )A. －3B. 3C. 2D. －27．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A. 94- B.94C.274D. 274-8．执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝4，那么判断框内应填入的条件是（ ）A. k ≤ 14?B. k ≤ 15?C. k ≤ 16?D. k ≤ 17?9．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小 的面的面积为（ ） A. 8B. 4C. 43D. 4210．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60D ．10011．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =u u u u r u u u u r,则该双曲线的离心率为（ ）D. 212．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时， ()()0f x f x x+'>，若()1a f =，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1a f =， 则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A. a c b <<B. b c a <<C. a b c <<D. c a b <<二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）13．设n= 26sinx π⎰dx ，则二项式22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为 ________．14．已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+-≥113337y x y x x y 则23412x y z -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为__________．15．已知椭圆22194x y +=与x 轴交于,A B 两点，过椭圆上一点()00,P x y （P 不与,A B 重合）的切线l 的方程为00194x x y y +=，过点,A B 且垂直于x 轴垂线分别与l 交于,C D 两点，设CB AD 、交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为__________． 16．有下列命题：①等比数列{}n a 中，前n 项和为n s ，公比为q ，则n n n n n s s s s s 232,,--仍然是等比数列,其公比为n q ；②一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的体积是π34cm 3；③若数列{}n a 是正项数列，且221n a a a n =+++Λn 3+()*∈N n ，则n n n a a a n 62132221+=++++Λ； ④在ABC ∆中，1,2,1200===∠AC AB BAC ,D 是边BC 上的一点（包括端点），则的取值范围是[]2,5-.其中正确命题的序号是_____（填序号）三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题12分）已知数列{}n a 为等差数列，公差为d ，其前n 项和为n S ， 且1357915a a a a a ++++=， 24681025a a a a a ++++=. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足14b a =， ()*13n n n b b n N +=+∈，求满足6n n b S n ≤+的所有n 的值.18．（本小题12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位： cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[)170,180（单位： cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[)180,175（单位： cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．（本小题12分）如图，在等腰梯形ABCD 中， 060ABC ∠=，上底2CD =，下底4AB =，点E 为下底AB 的中点，现将该梯形中的三角形BEC 沿线段EC 折起，形成四棱锥B AECD -.（1）在四棱锥B AECD -中，求证： AD BD ⊥；（2）若平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角为0120，求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值.20．（本小题12分）设抛物线()240y mx m =>的准线与x 轴交于1F ,抛物线的焦点为2F ，以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆与抛物线的一个交点为226,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；自1F 引直线交抛物线于P Q 、两个不同的点，设11F P FQ λ=u u u v u u u v.（1）求抛物线的方程和椭圆的方程； （2）若1,12λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求PQ 的取值范围.21．（本小题12分）已知函数()2ln f x ax x x x =+-， ()2xg x e x =-（e 为自然对数的底数）．（1）当[)0,x ∈+∞时，求()g x 的最小值； （2）若函数()f x 恰有两个不同极值点12,x x ．①求a 的取值范围；②求证： 212x x e ≥．四、请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 过()2,0M ，倾斜角为()0αα≠．以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且2MA MB =，求直线l 的斜率k ．23．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x m =++--， (1)当m ＝5时，求f(x)>0的解集；(2)若关于的不等式f(x)≥2的解集是R ，求m 的取值范围．南昌二中2017～2018学年度上学期第七次考试高三数学（理）试卷参考答案一、 选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CACBBBCBDCAD二、填空题（每小题5分，共20分）13.60 14．164． 15. ()22139x y x +=≠± 16. ②③④ 一、单选题1．已知集合2{|4},{|1}A x y x B x a x a ==-=≤≤+，若A B A ⋃=，则实数的取值范围为（ ）A. ][(),32,-∞-⋃+∞ B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：集合2{|4}{|22}A x y x x x ==-=-≤≤，若A B A ⋃=，则B A ⊆，所以有2{12a a ≥-+≤，所以21a -≤≤，故选C. 考点：集合间的关系.2．已知实数,m n 满足()()4235m ni i i +-=+，则m n +=（ ） A.95 B. 115 C. 94 D. 114【答案】A【解析】∵()()()424m 2n 4235m ni i n m i i +-=++-=+，∴425{ 423m n n m +=-=，解得： 710{ 1110m n ==，∴m n +=95故选：A3．给出下列命题:①已知,a b R ∈,“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件; ②已知平面向量,a b ,"1,1"a b >>是“1a b +>”的必要不充分条件; ③已知,a b R ∈,“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件; ④命题:P “0x R ∃∈,使00e1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x R ∀∈,都有e 1x x <+且ln 1x x >-”.其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C【解析】①已知,a b ∈R ,“1a >且1b >”能够推出“1ab >”,“1ab >”不能推出“1ab >”,本选项正确;②已知平面向量,a b , “1,1>>a b ”不能推出“1+>a b ”,本选项不正确; ③已知,a b ∈R ,“221a b +≥”是“1+≥a b ”的充分不必要条件,正确; ④命题:P “0x ∃∈R ,使00e1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x ∀∈R ,都有e 1x x <+或ln 1x x >-”本选项不正确.正确的个数为2. 故选：C4．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，f(x)=x,则函数y=f(x)-3log x 的零点个数是（ ）A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个 【答案】B【解析】因为偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时， ()f x x =，所以当[]1,0x ∈-时， ()f x x =-，函数()3log y f x x =-的零点等价于函数()y f x =与3log y x =的交点个数，在同一坐标系中，画出()y f x =的图象与3log y x =的图象，如上图所示，显然()y f x =的图象与3log y x =的图象有4个交点。
江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期第三次月考数学(理)试题
南昌二中2017—2018学年度上学期第三次月考高二数学（理）试卷命题人：周启新 审题人：谭 佳一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．） 1. 已知命题:p 0x ∀≤，1xe ≤，则p ⌝为（ ） A. 000,1x x e∃≤≤ B. 000,1x x e ∃≤>C. 000,1x x e∃>≤ D. 000,1x x e ∃>>2. sin 2x 的导函数为（ ） A. cos2x B. 2cos2xC. sin 4xD. cos4x3.函数21()ln 2f x x x =-的单调递增区间为（ ） A. (0,)+∞ B. [1,0)[1,)-+∞ C. [1,)+∞ D. [1,0)-和[1,)+∞4. 在极坐标系中，极点关于直线cos sin 10ρθρθ-+=对称的点的极坐标为（ ）A. 3)4πB. 3)4π-C. )4πD. )4π-5. 设P 为曲线2:2C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为30[44πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦，，），则点P 横坐标的取值范围为（ ） A. 1[,0]2-B. [1,0]-C. [0,1]D. 1[,1]26. 设命题p ：a R ∃∈，直线210x y +-=与直线10x ay ++=垂直，命题q ：若0()0f x ，则0x 是函数()f x 的极值点.则下列命题为真命题的是（ ） A. q p ∧ B. ()p q ⌝∨C. )(q p ⌝∧D. )()(q p ⌝∧⌝7. 若关于x 的方程21x bx 有两个不同的实数解，则实数b 的取值范围是（ ）A. (2,2) B. (1,1)C.D.8. 对任意正实数x ，不等式ln 1x x a 恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 1aB. 2aC. 1aD. 3a9. 设,,A B C 是抛物线24y x =上的三点，若ABC ∆的重心恰好是该抛物线的焦点F ，则FA FB FC ++=（ ）A. 2B. 4C. 6D. 810.点P 是曲线xy e x =+上的点，Q 是直线21y x =-上的点，则||PQ 的最小值为（ ）D.11. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A. (1,2)B. (1,2]C. [2,)+∞D. (2,)+∞12. 若函数()(2)ln xf x a x e x x =-+-存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a 的取值范围为（ ） A. 2211(,)e e - B. 11(,)e e-C. 21(,0]e -D. 1(,0]e-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. “若220x y +=，则x ，y 全为零”的否命题是________________________； 14. 若函数()24ln b f x ax x x =-+在1x =与13x =处都取得极值，则a b +=________； 15. 若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是________； 16. 设过曲线()xf x e x =+上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()cosg x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． （本小题满分10分）给定两个命题,p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=+，直线l的参数方程为1x t y =⎧⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．(I)求圆心C 的极坐标； (II)求△P AB 面积的最大值．19．（本小题满分12分）双曲线22122:1x y C a b -=（00a b >>，）的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线22:2C y px =(0)p >的准线过1F 且与双曲线1C 的实轴垂直，若抛物线2C 上的任意一点到2F 的距离比它到y 轴的距离大3，过2F 的直线与双曲线1C 的右支相交于A 、B 两点，若弦长||AB 等于抛物线2C 的通径长的2倍，且1ABF ∆的周长为56，求双曲线1C 和抛物线2C 的方程.20．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．（I ）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（II ）当0a =时，是否存在正实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然对数底数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由；21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+= >>其左、右焦点分别为1F 、2F ，P为椭圆C 上的动点，且12||||PF PF ⋅的最大值为16．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，当P 在第一象限时，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a x=+-+∈R . (Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )xf x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.南昌二中2017—2018学年度上学期第三次月考高二数学（理）参考答案一、选择题BBCAB CDACB CD 二、填空题13. “若220x y +≠，则x ，y 不全为零”； 14.52-15.51[,)8+∞ 16. [1,0]- 三、解答题17．解：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>=⇔00a a 或40<≤⇔a ；关于x 的方程02=+-a x x 有实数根41041≤⇔≥-⇔a a ；……………………4分 因为命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则命题p 和q 一真一假。
2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版
南昌二中2018—2019学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数3()f x x =，()f x '是()f x 的导函数，若0()12f x '=，则0x =（ ）A.2B ． 2-C ．2±D ．2．命题“对任意R x ∈,都有22019x ≥”的否定是（ ）A. 对任意R x ∈，都有22019x <B. 不存在R x ∈，使得22019x <C. 存在R x ∈0，使得202019x ≥D. 存在R x ∈0，使得202019x <3．复数(1)(2)z i i =++，则其对应复平面上的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．由直线6x π=-，6x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B.1 5．已知函数2()xf x e x -=+，[1,3]x ∈，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最大值为13e +B ．函数()f x 的最小值为13e+ C ．函数()f x 的最大值为3 D ．函数()f x 的最小值为36. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．a ，b ，c 都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数7. 已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A. B. C. D.8．设函数()()2ln 1f x x m x =++有两个极值点，则实数m 的取值范围是( )A.()11,2-B.(10,2)C.(10,2]D. (]11,2-9. 已知函数2()1x f x e x x =+++与()23g x x =-，P 、Q 分别是函数()f x 、()g x 图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A B C D ．10．下列命题中，真命题是（ ）A ．设12,z z C ∈，则12z z +为实数的充要条件是21,z z 为共轭复数；B ．“直线l 与曲线C 相切”是“直线l 与曲线C 只有一个公共点”的充分不必要条件； C ．“若两直线12l l ⊥，则它们的斜率之积等于1-”的逆命题；D ．()f x 是R 上的可导函数，“若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=”的否命题．11.已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点2F 垂直于1l 的直线分别交12,l l 于,A B 两点，若||||2||OA OB AB +=，且2F 在线段AB 上，则该双曲线的离心率为（ ）A B C. 2 D 12．已知函数20()(2)xt f x t t e dt ⎡⎤=-⎣⎦⎰，则()f x 在()0,+∞的单调递增区间是( )A ．(0,)+∞B ．C ．)+∞D ．(2,)+∞二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．设函数)0(1)(>+=x x x x f ,观察：1)()(1+==x x x f x f ，12))(()(12+==x x x f f x f ， 13))(()(23+==x x x f f x f ，14))(()(34+==x xx f f x f ，，根据以上事实，由归纳推理可得：2019()f x = .14．4322x dx ππ- -+=⎰⎰．15．已知直线1:43110l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是．16．已知[1,2)a ∀∈，0(0,1]x ∃∈，使得00ln 22aax ax e m +>++，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知命题:p 函数1)(23+-=mx x x f 在[1,2]x ∈上单调递减；命题:q 曲线22126x y m m-=--为双曲线． （Ⅰ）若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.19．(本小题满分12分)已知直线l 过点()0,1P ，圆22:680C x y x +-+=，直线l 与圆C 交于,A B 不同两点． （Ⅰ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在过点()6,4Q 且垂直平分弦AB 的直线1l ？若存在，求直线1l 斜率1k 的值，若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++（0x ≥），其中0a >． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求实数a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，经过2F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且1F AB ∆的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记12AF F ∆与12BF F ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．22. (本小题满分12分)已知函数()(2)(ln ln )f x ax a x =--（其中0x >，0a >），记函数()f x 的导函数为()()g x f x '=．（Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得()0f x ≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由．南昌二中2018—2019学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. CDABD BABBC AD二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．20191xx + 14．8π 15．3 16. (,e 1)-∞-三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．【解析】（Ⅰ）若p 为真命题，2()320f x x mx '=-≤在[1,2]x ∈恒成立，即32m x ≥在[1,2]x ∈恒成立，∵32x 在[1,2]x ∈的最大值是3，∴3m ≥①若q 为真命题，则(2)(6)0m m -->，解得26m <<，②若“p 且q ”为真命题，即p ，q 均为真命题，所以326m m ≥⎧⎨<<⎩，解得36m ≤<，综上所述，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围为[3,6)；………………5分 （Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，即p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，326m m m ≥⎧⎨≤≥⎩或，解得6m ≥，当p 假q 真时，326m m <⎧⎨<<⎩，解得23m <<，综上所述，实数m 的取值范围为(2,3)[6,)+∞．………………………………………10分18．【解析】（Ⅰ）2()31f x x '=+，所以(2)13f '=………………………………………3分所以所求的切线方程为813(2)y x -=-，即13180x y --=………………………6分（Ⅱ）设切点为3000,2)x x x +-（，则200()31f x x '=+…………………………………7分所以切线方程为()()320000231()y x x x x x -+-=+- ……………………………9分 因为切线过原点，所以 ()()320000231x x x x -+-=-+，所以3022x =-，解得01x =-，…………………………………………………………11分 所以(1)4f '-=，故所求切线方程为4y x =， 又因为(1)4f -=-，切点为(1,4)-- ………12分 19． 【解析】（Ⅰ）法1：直线l 的方程为1y kx =+，则由{221680y kx x y x =++-+=得()()212690k x x x ++-+=由()()22=263610k k ∆--+>得224360k k -->，故304k -<<………………6分 法2：直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，圆心为C （3，0），圆的半径为1则圆心到直线的距离d =，因为直线与有交于A ，B1<，故304k -<<．………………6分（Ⅱ）假设存在直线1l 垂直平分于弦AB ，此时直线1l 过()()6,4,3,0Q C ， 则1404633k -==-，故AB 的斜率34k =-，由（1）可知，不满足条件． 所以，不存在直线1l 垂直于弦AB ． ………………12分20．【解析】（Ⅰ）求导函数可得22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=+=++++． ∵()f x 在1x =处取得极值，∴(1)0f '=，∴2204(1)a a -=+，解得1a =；…………4分经检验，1a =时()f x 在1x =处取得极小值，符合题意，所以1a = …………5分（Ⅱ）222()(1)(1)ax a f x ax x +-'=++， ∵0x ≥，0a >，∴10ax +>，10x +>．当2a ≥时，在区间[0,)+∞上()0f x '≥，()f x 递增，()f x 的最小值为(0)1f =．…8分当02a <<时，由()0f x '>，解得x >；由()0f x '<，解得0x ≤<．∴()f x的单调减区间为，单调增区间为)+∞．…………10分 于是，()f x在x =处取得最小值(0)1f f <=，不合． 综上可知，若f （x ）的最小值为1，则实数a 的取值范围是[2,)+∞．…………12分 21．【解析】（Ⅰ）因为1(1,0)F -为椭圆C 的焦点，所以1c =，由椭圆的定义知，1F AB ∆的周长为1212(||||)(||||)2248AF AF BF BF a a a +++=+==，解得2a =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；………………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为1x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得22(34)690m y my ++-=，则122634m y y m +=-+，…………7分 12121212216||||(||||)234m S S F F y y y y m -=-=+=+，当0m =时，120S S -=， 当0m ≠时，1226||64343||||m S S m m m -==≤=++，（当且仅当3m =±12S S -的最大值为2．…………12分 22．【解析】（Ⅰ）12()()(ln ln )(2)()ln ln g x f x a a x ax a a a x a xx'==-+--=--+， ∴22()a g x x x '=--，∵0x >，0a >，∴22()0a g x x x'=--<恒成立， ∴()g x 的单调减区间为(0,)+∞，无递增区间；………………4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以()0g x =在(0,)+∞上必存在实数根，不妨记0()0g x =，即002ln ln 0a a a x a x --+=，可得002ln ln 1x a ax =-+………（*）当0(0,)x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<， 所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减， 所以max 000()()(2)(ln ln )f x f x ax a x ==--，………………8分 把（*）式代入可得max 000024()(2)(1)4f x ax ax ax ax =--=+-， 依题意max 0004()()40f x f x ax ax ==+-≤恒成立，又由基本不等式有00440ax ax +-≥，当且仅当0042ax ax ==时等号成立，解得02ax =，所以02x a =．代入（*）式得，2lnln a a =，所以2a a=，又∵0a >，所以解得a =综上所述，存在实数a =()0f x ≤对任意正实数x 恒成立．………………12分解法二：要使(2)(ln ln )0ax a x --≤对(0,)x ∀∈+∞恒成立，①20ax -≥即2x a ≥时，ln ln a x ≤，解得x a ≥，所以2max{,}x a a ≥， ②20ax -≤即2x a ≤时，ln ln a x ≥，解得x a ≤，所以2min{,}x a a≤，依题意可知，①、②应同时成立，则2a a=，又∵0a >，所以解得a =。
江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期期末考试化学试卷及答案
南昌二中2017～2018学年度上学期期末考试高二化学试卷命题人： 审题人：可能用到的相对原子质量：H ：1 N ：14 C ：12 O ：16 S ：32 Mg ：24 Cl ：35.5 Cu ：64 Fe ：56第Ⅰ卷 选择题一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共计48分） 1．下列各式中，属于正确的电离方程式的是( )A. HCO 3- + H 2O ⇌ H 2CO 3 + OH -B.HCO 3- ＋OH - = H 2O + CO 32-C. NH 3 + H + = NH 4+D.NH 3·H 2O ⇌ NH 4+ + OH -2.下列有关电解质溶液的说法正确的是( )A ．向0.1mol 1L -⋅CH 3COOH 溶液中加入少量水，溶液中3(H )(CH COOH)c c +减小B ．将CH 3COONa 溶液从20℃升温至30℃，溶液中33(CH COO )(CH COOH)(OH )c c c --⋅增大C ．向盐酸中加入氨水至中性，溶液中4(NH )1(Cl )c c +-> D ．向AgCl 、AgBr 的饱和溶液中加入少量AgNO 3，溶液中(Cl )(Br )c c --不变3．下列事实对应的离子方程式或电极反应式书写正确的是( )A ．用石墨作电极电解CuSO 4溶液：2Cu 2＋＋2H 2O=====通电2Cu ＋O 2↑＋4H ＋B ．碳酸钠溶液显碱性：CO 2－3＋2H 2O⇌ H 2CO 3＋2OH －C ．钢铁发生吸氧腐蚀时，铁作负极被氧化：Fe －3e －===Fe 3＋D ．在强碱溶液中与NaClO 反应生成Fe(OH)3反应生成Na 2FeO 4： 3ClO －＋2Fe(OH)3===2FeO 2－4＋3Cl －＋H 2O ＋4H ＋4. 在一密闭容器中，充入一定量的反应物A ，反应达平衡后，保持温度不变，将容器体积缩到一半，当达到新的平衡时，B 的浓度是原来的1.6倍，则下列判断正确的是( )A. B. 物质A的转化率降低C. 物质B的质量增加D. 平衡向正反应方向移动了5. 烷烃C7H16所有的同分异构体中，含有三个甲基的同分异构体有A．2种B．3种C．4种D．5种6．镍氢电池(NiMH)目前已经成为混合动力汽车的一种主要电池类型。
江西省南昌二中2017-2018学年高二上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案
南昌二中2017—2018学年度上学期第一次月考高二数学（理）试卷一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．直线tan 706π+-=x y 的倾斜角是（ ）A ．π6-B ．π6C ．2π3 D ．5π62．焦点在x 轴上的椭圆221(0)3+=>x y m m的焦距为 ）A. 11B.33C. 3．直线(1)10+-+=k x ky （k R ∈）与圆22(2)(1)3++-=x y 的位置关系为（ ） A. 相交B. 相切C. 相离D. 与k 的值有关4．已知直线1:30-+=l mx y 与2l 关于直线y x =对称， 2l 与311:22=-+l y x 垂直，则=m （ ） A. 12-B.12C. -2D. 25．点(0,2)k 为圆22:8280+-+-=C x y x y 上一点，过点K 作圆切线为,l l 与'l ：420-+=x ay 平行，则'l 与l 之间的距离是（ ） A.85B.45C.285D.1256．曲线()2412≤-+=x x y 与直线()42+-=x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是 A ．⎥⎦⎤⎝⎛43125， B ．⎪⎭⎫⎝⎛43125， C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4331，D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1250，7．若圆22:(1)(2)25-++=C x y 上有四个不同的点到直线4:33=--al y x 的距离为2，则a 的取值范围是( )A. (－12，8)B. (－8，12)C. (－13，17)D. (－17，13)8．两圆222240+++-=x y px p 和2224140+--+=x y qy q 恰有三条公切线，若∈p R ， ∈q R ，且0≠pq ，则2211+p q 的最小值为( ) A. 49B.109C. 1D. 39．已知圆22:230C x y x +--=，过原点且互相垂直的两直线分别交圆C 于点A ，B ，D ，E ，则四边形ABDE面积的最大值为( )A ．4 3B ．7C ．4 2D ．410. 一束光线从点(1,1)-P 出发，经x 轴反射到圆22:x 46120C y x y +--+=上的最短路程是( )A ．4B ．5C ．1D ．1112,F F ,弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆面积为π，A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则21y y -的值为（ ）12．设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,则下列命题中是真命题的个数是 ①存在一个圆与所有直线不相交 ②存在一个圆与所有直线相切③M 中所有直线均经过一个定点 ④存在定点P 不在M 中的任一条直线上⑤M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．经过点()4,2A ，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一 般式为__________．14．椭圆22192y x +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为__________ 15．直线1:l y x a=+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=_______16．已知椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1，A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上不同于A 、B 的动点，直线x ＝4与直线PA 、PB 分别交于M 、N 两点；若D(7，0)，则过D 、M 、N 三点的圆必过x 轴上不同于点D 的定点，其坐标为________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．） 17．(本小题10分)已知∆MNQ 的三个顶点分别为()2,3M ,()1,2--N ，()3,4-Q ，求 （1）NQ 边上的中线MD 所在的直线方程的一般式；（2）求∆MNQ 的面积18. (本小题12分)已知直线l 过点(21)，且与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，0120=∠AOB .求直线AB 方程的一般式.19．(本小题12分)求与圆M ：x 2+y 2= 2x 外切,并且与直线x+3y=0相切于点Q(3,－3)的圆的方程的标准式.20．(本小题12分)已知直线l ： ()()12530k x y k k R --+-=∈恒过定点P ，圆C 经过点()4,0A 和点P ，且圆心在直线210x y -+=上.（1）求圆C 的方程的一般式；（2）已知点P 为圆C 直径的一个端点，若另一个端点为点Q ，问：在y 轴上是否存在一点()0,M m ，使得PMQ 为直角三角形，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.21．(本小题10分)已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点,A B . （1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线():4L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.22. (本小题12分)已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b ,四点1234((1,1),p (0,1)P ---- 中恰有三点在椭圆C 上（1）求椭圆C 的方程.（2）经过原点作直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ， B 两点， AD x ⊥轴于点D ，点E 在椭圆C 上，且()()0AB EB DB AD -⋅+=，求证： B ， D ， E 三点共线.南昌二中2017—2018学年度上学期第一次月考高二数学（理）试卷1—6 DCCBBA 7—12 CCBADC 13、3100+-=x y 或20-=x y 14、120015、2 16、(1，0)17、解：（1）由已知得BC 中点D 的坐标为(2,1)D -， ∴中线AD 所在直线的方程是1(2)312(2)y x ---=---，即240x y -+=（2）∵BC ==直线BC 的方程是350x y ++=，点A 到直线BC的距离是d==∴△ABC 的面积是1142S BC d =⋅=． 18、解：由2r=，0120=∠AOB ，得圆心到直线距离为1⇒32||=AB设AB 所在直线方程为(2)1y k x =-+即210kx y k --+=，10k =⇒=或43k =， 故所求直线方程：1y =或4350x y --=19、【解析】设所求圆的方程为C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆心为C(a,b),∵圆C 与直线x+3y=0相切于点Q(3,－3)∴CQ⊥直线x+3y=0, ∴K CQ =33-+a b 即b= 343-a ,r= |CQ|=22)3()3(++-b a =2|a-3|, 由于圆C 与圆M 外切,则有|CM|=22)1(b a +-=1+r=1+2|a-3|, 即|3|21)4(3)1(22-+=-+-a a a（1）当a≥3时,得a=4,b=0,r=2 .圆的方程为(x －4)2+y 2= 4 ；（2）当a<3时,可得a=0,b=－43,r=6, 圆的方程为x 2+ (y+43)2=36 ∴所求圆的方程为(x －4)2+y 2= 4或 x 2+ (y+43)2=36 .20、【解析】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由条件得1640{913021022D F D E F D E ++=++++=⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14{840D E F =-=-=.所以圆C 的方程为22148400x y x y +--+=.（2）圆C 的标准方程为()()227425x y -+-=， 413734CP k -==-， 设点()3,1P 关于圆心()7,4的对称点为()00,x y ，则有00314{18x y +=+=，解得011x =，07y =，故点Q 的坐标为()11,7.因为M 在圆外，所以点M 不能作为直角三角形的顶点， 若点P 为直角三角形的顶点，则有131034m -⋅=--， 5m =， 若点Q 是直角三角形的顶点，则有7310114m -⋅=--， 653m =， 综上， 5m =或653. 21、解析：（1）圆()22221:65034C x y x x y +-+=⇒-+=∴圆心坐标为()3,0设(),M x y ，则可知1C M AB ⊥1113C M ABy y k k x x ∴⋅=-⇒⋅=--，整理可得：223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭当动直线与圆相切时，设直线方程：y kx =则()22226501650x y x k x x y kx⎧+-+=⇒+-+=⎨=⎩ ()2243620105k k ∴∆=-+=⇒=∴切点的横坐标为2165213x k =⋅=+ 由圆的性质可得：M 横坐标的取值范围为5,33⎛⎤ ⎥⎝⎦所以轨迹方程为22393,,3245x y x ⎛⎫⎛⎤-+=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦（2）由（1）可得曲线C 为圆22395,,3243x y x ⎛⎫⎛⎤-+=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦的一部分圆弧EF （不包括,E F ），其中55,,,3333E F ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭直线():4L y k x =-过定点()4,0① 当直线与圆相切时：3324C l d k -==⇒=±② 当直线与圆不相切时，可得03543DEk -==-，05743DF k ⎛- ⎝⎭==-数形结合可得：当77k ⎡∈-⎢⎣⎦时，直线与圆有一个交点综上所述：33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦ 时，直线L 与曲线C 只有一个交点 22、解析：（1）椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）证明：设()11,Ax y ， ()22,E x y ，则()11,B x y --， ()1,0D x .因为点A ， E 都在椭圆C 上，所以2211222222,22,x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 所以()()1212x x x x -++ ()()121220y y y y -+=， 即()121212122y y x xx x y y -+=--+.又()()AB EB DB AD -⋅+0AE AB =⋅= ，所以1AB AE k k ⋅=-，即1121121y y y x x x -⋅=--，所以()11211212y x x x y y +⋅=+所以()1211122y y y x x x +=+ 又1211212BE BD y y y k k x x x +-=-=+ 121212120y y y yx x x x ++-=++，所以BE BD k k =，所以B ， D ， E 三点共线.。
江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学(理)试题(考试卷)
南昌二中2017—2018学年度上学期第一次月考高二数学（理）试卷一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 直线tan706x y π+-=的倾斜角是（ ） A. π6- B.π6 C. 2π3 D. 5π62. 焦点在x 轴上的椭圆221(0)3x y m m+=>的焦距为 ）A. 11B. 33C.D. 3. 直线(1)10k x ky +-+=（k ∈R ）与圆22(2)(1)3x y ++-=的位置关系为（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 与k 的值有关 4. 已知直线1:30l mx y -+=与2l 关于直线y x =对称， 2l 与311:22l y x =-+垂直，则m =（ ） A. 12- B. 12 C. -2D. 2 5. 点(0,2)k 为圆22:8280C x y x y +-+-=上一点，过点K 作圆切线为,l l 与'l ：420x ay -+=平行，则'l 与l 之间的距离是（ ） A. 85 B. 45 C. 285 D. 1256. 曲线1(2)y x =≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点时，实数k 的取值范围是（ ） A. 53(,]124 B. 53(,)124 C. 13(,)34 D. 5(0,)127. 若圆22:(1)(2)25C x y -++=上有四个不同的点到直线4:33a l y x =--的距离为2，则a 的取值范围是( )A. (－12，8)B. (－8，12)C. (－13，17)D. (－17，13) 8. 两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则2211a b +最小值为( )A. 49B. 109C. 1D. 39. 已知圆22:230C x y x +--=，过原点且互相垂直的两直线分别交圆C 于点A ，B ，D ，E ，则四边形ABDE 面积的最大值为( )A. 4B. 7C. 4D. 410. 一束光线从点()1,1A -出发，经x 轴反射到圆()()22:231C x y -+-=上的最短路程是 A. 321 B. 26 C. 4 D. 511. 椭圆221259x y +=的左、右焦点分别为12,F F ,弦AB 过1F ，若2ABF 的内切圆面积为π，A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则21y y -的值为（ ）A. 5B. 103C. 203D. 5212. 设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,则下列命题中是真命题的个数是①存在一个圆与所有直线不相交②存在一个圆与所有直线相切③M 中所有直线均经过一个定点④存在定点P 不在M 中的任一条直线上⑤M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等A. 1B. 2C. 3D. 4填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 经过点()4,2A ，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一般式为__________．14. 22192x y +=焦点为F 1、F 2，点Р在椭圆上，若|PF 1|=4，则∠F 1PF 2的大小为_________. 15. 直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += .16. 已知椭圆C 的方程为＋＝1，A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上不同于A 、B 的动点，直线x ＝4与直线PA 、PB 分别交于M 、N 两点；若D(7，0)，则过D 、M 、N 三点的圆必过x 轴上不同于点D 的定点，其坐标为________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．）17. 已知MNQ ∆的三个顶点分别为()2,3M ,()1,2N --，()3,4-Q ，求（1）NQ 边上的中线MD 所在的直线方程的一般式；（2）求MNQ ∆的面积18. 已知直线l 过点(21)，且与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，0120AOB ∠=.求直线AB 方程的一般式.19. 求与圆A:2220x y x +-=外切且与直线l:30x y +=相切于点(3,3M -的圆B 的方程．20. 已知直线:(1)2530()l k x y k k R --+-=∈恒过定点P ，圆C 经过点(4,0)A 和点P ，且圆心直线-2 10x y +=上.（1）求定点P 的坐标与圆C 的方程；（2）已知点P 为圆C 直径的一个端点，若另一个端点为点Q ，问：在y 轴上是否存在一点(0, )M m ，使得PMQ ∆为直角三角形，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.21. 已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．22. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,四点1234((1,1),(0,1)P P p p ---- 中恰有三点在椭圆C 上 （1）求椭圆C 方程. （2）经过原点作直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ， B 两点， AD x ⊥轴于点D ，点E 在椭圆C 上，且()*()0AB EB DB AD -+= 求证：B ， D E ， 三点共线.。
江西省南昌二中高二上期末数学试卷理科
2016-2017学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题：“∃x0＞0，使2（x0﹣a）＞1”，这个命题的否定是（）A．∀x＞0，使2x（x﹣a）＞1 B．∀x＞0，使2x（x﹣a）≤1C．∀x≤0，使2x（x﹣a）≤1 D．∀x≤0，使2x（x﹣a）＞12．“cosα=0”是“sinα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知直线（t为参数）上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|等于（）A．|t1+t2|B．|t1﹣t2|C． |t1﹣t2|D．4．用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A．（k+1）2+2k2B．（k+1）2+k2C．（k+1）2D．5．直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．4B．4 C．2D．26．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点且∠AOB=120°则r=（）A．1 B．2 C．D．7．过原点作曲线y=lnx的切线，则切线斜率为（）A．e2B．C．e D．8．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]9．函数在R上不是单调增函数则b范围为（）A．（﹣1，2） B．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）10．设函数则使f（2x）＞f（x﹣1）成立的x范围为（）A．B．C．D．11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e=2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，则k1•k2的值为（）A．2 B．3 C．D．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为．14．定积分|sinx﹣cosx|dx的值是．15．设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|1+2|=||，则=．16．数列{a n}的前n项和为S n．若数列{a n}的各项按如下规则排列：，，，，，，，，，…，，……若存在正整数k，使S k＜10，S k＞10，则a k=．﹣1三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．18．已知，试用反证法证明：a，b，c中至少有一个不小于1．19．给定直线l：y=2x﹣16，抛物线G：y2=ax（a＞0）（1）当抛物线G的焦点在直线l上时，求a的值；（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线G上，且点A的纵坐标y A=8，△ABC的重心恰是抛物线G的焦点F，求直线BC的方程．20．已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意不相等的x1，x2∈（0，+∞），恒有|f（x1）﹣f（x2）≥4|x1﹣x2|成立，求非负实数a的取值范围．21．已知椭圆+=1（a＞b＞0），其右顶点为A（2，0），上、下顶点分别为B1，B2．直线A B2的斜率为，过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于M，N两点（M，N均在y轴右侧）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设四边形M N B1 B2面积为S，求S的取值范围．22．设函数f（x）=ax+（a，b∈R），若f（x）在点（1，f（x））处的切线斜率为1．（Ⅰ）用a表示b；（Ⅱ）设g（x）=lnx﹣f（x），若g（x）≤﹣1对定义域内的x恒成立，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）对任意的θ∈[0，），证明：g（1﹣sinθ）≤g（1+sinθ）．2016-2017学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题：“∃x0＞0，使2（x0﹣a）＞1”，这个命题的否定是（）A．∀x＞0，使2x（x﹣a）＞1 B．∀x＞0，使2x（x﹣a）≤1C．∀x≤0，使2x（x﹣a）≤1 D．∀x≤0，使2x（x﹣a）＞1【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题的否定为∀x＞0，使2x（x ﹣a）≤1，故选：B．2．“cosα=0”是“sinα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由cosα=0可得α=kπ+（k∈Z），即可判断出结论．【解答】解：cosα=0可得α=kπ+（k∈Z），∴sinα=±1，反之成立，∴“cosα=0”是“sinα=1”的必要不充分条件．故选：B．3．已知直线（t为参数）上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|等于（）A．|t1+t2|B．|t1﹣t2|C． |t1﹣t2|D．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】设A（x0+at1，y0+bt1），B（x0+at2，y0+bt2），利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：设A（x0+at1，y0+bt1），B（x0+at2，y0+bt2），则|AB|==•|t1﹣t2|．故选：C．4．用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A．（k+1）2+2k2B．（k+1）2+k2C．（k+1）2D．【考点】数学归纳法．【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案．【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12n=k+1时，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2故选B．5．直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．4B．4 C．2D．2【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由题意首先求出第一象限的交点，然后利用定积分表示围成的图形的面积，然后计算即可．【解答】解：先根据题意画出图形，两个图形在第一象限的交点为（2，8），所以曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫02（4x﹣x3）dx，而∫02（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|02=8﹣4=4∴曲封闭图形的面积是4，故选B．6．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点且∠AOB=120°则r=（）A．1 B．2 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，即=r，解得r=2，故选B．7．过原点作曲线y=lnx的切线，则切线斜率为（）A．e2B．C．e D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点坐标为（a，lna），求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入（0，0），求切点坐标，切线的斜率．【解答】解：解：设切点坐标为（a，lna），∵y=lnx，∴y′=，切线的斜率是，切线的方程为y﹣lna=（x﹣a），将（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，∴切线的斜率是=；故选：D．8．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]【考点】函数单调性的性质．【分析】由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+（2a﹣1）x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案．【解答】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，故2≤解得a≤﹣故选B．9．函数在R上不是单调增函数则b范围为（）A．（﹣1，2） B．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】三次函数y=x3+bx2+（b+2）x+3的单调性，通过其导数进行研究，故先求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题．【解答】解：∵y=x3+bx2+（b+2）x+3，∴y′=x2+2bx+b+2，∵f（x）是R上的单调增函数，∴x2+2bx+b+2≥0恒成立，∴△≤0，即b2﹣b﹣2≤0，则b的取值是﹣1≤b≤2．∴y=x3+bx2+（b+2）x+3在R上不是单调增函数，实数b取值范围是b＜﹣1或b＞2，故选：D．10．设函数则使f（2x）＞f（x﹣1）成立的x范围为（）A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的表达式可知函数f（x）为偶函数，判断函数在x大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，可得|2x|＞|x ﹣1|，解绝对值不等式即可．【解答】解：函数，定义域为R，∵f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）为偶函数，当x＞0时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得f（2x）＞f（x﹣1）成立，∴|2x|＞|x﹣1|，∴4x2＞（x﹣1）2，∴（3x﹣1）（x+1）＞0∴x的范围为，故选：A．11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e=2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，则k1•k2的值为（）A．2 B．3 C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；双曲线的简单性质．【分析】设出M、A、B，表示出k1•k2，M、A、B代入双曲线方程并化简，代入双曲线的离心率乘积，求出k1•k2的值．【解答】解：因为过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，所以A、B关于原点对称，设M（p，q），A（﹣p，﹣q），B（s，t），则有k1•k2==，，，两式相等得：，即，=，k1•k2====22﹣1=3．故选B．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）【考点】导数的运算．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g （a），可得2﹣a≥a，由此解得a的范围．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2 +f（﹣x）﹣x2 =0，令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为x2+y2=0或x﹣1=0．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】由极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0可得ρ=0或ρcosθ﹣1=0，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出．【解答】解：由极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0可得ρ=0或ρcosθ﹣1=0，ρ=0表示原点O（0，0）．由ρcosθ﹣1=0，化为x﹣1=0．综上可知：所求直角坐标方程为x2+y2=0或x﹣1=0．14．定积分|sinx﹣cosx|dx的值是2．【考点】定积分．【分析】由题意可得|sinx﹣cosx|dx=（cosx﹣sinx）dx+（sinx﹣cosx）dx，再根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解： |sinx﹣cosx|dx=（cosx﹣sinx）dx+（sinx﹣cosx）dx，=（sinx+cosx）|+（﹣cosx﹣sinx）|，=[（sin+cos）﹣（sin0+cos0）]﹣[（sinπ+cosπ﹣（sin+cos）]，=（﹣1）﹣（﹣1﹣），=2，故答案为：2．15．设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|1+2|=||，则=．【考点】椭圆的标准方程．【分析】设出椭圆的长半轴，双曲线的实半轴，它们的半焦距，利用椭圆的和双曲线的定义可得焦半径，写出两个曲线的离心率，即可得到结果．【解答】解：设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距都是c．并设|PF1|=m，|PF2|=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a1，m﹣n=2a2，解得m=a1+a2，n=a1﹣a2．∵设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c．并设|PF1|=m，|PF2|=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a1，m﹣n=2a2，解得m=a1+a2，n=a1﹣a2，∵|1+2|=||，即2|PO|=2|OF2|，故△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥PF2，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2 ，可得（a1+a2）2+（a1﹣a2）2=（2c）2，化简可得a12+a22=2c2，∴+=2，∴===，故答案为：．16．数列{a n}的前n项和为S n．若数列{a n}的各项按如下规则排列：，，，，，，，，，…，，……若存在正整数k，使S k＜10，S k＞10，则a k=．﹣1【考点】归纳推理．【分析】把原数列划分，发现他们的个数是1，2，3，4，5…构建新数列b n，很显然是个等差数列，利用等差数列的和知道T5=，T6=，所以a k定在，，…，中，＜10，S k≥10求出具体结果．在根据S k﹣1【解答】解：把原数列分组，分母相同的为一组，发现他们的个数是1，2，3，4，5…构建新数列{b n}，表示数列中每一组的和，则b n=是个等差数列，记{b n}的前n项和为T n，利用等差数列的和知道T5=，T6=，所以a k定在，，…，中，＜10，S k≥10，而T5+++…+=9+＜10，T5+++…++=10+＞10，又因为S k﹣1故第k项为a k=．故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m+1＜3﹣m，解得：﹣1＜m＜1，∴若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（﹣1，1）；若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，则判别式△=4m2﹣4（2m+3）＜0，即m2﹣2m﹣3＜0，得﹣1＜m＜3．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，若p真q假，则，此时无解，柔p假q真，则，得1≤m＜3．综上，实数m的取值范围是[1，3）．18．已知，试用反证法证明：a，b，c中至少有一个不小于1．【考点】反证法与放缩法．【分析】假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1则有a+b+c＜3，再结合配方法，引出矛盾，即可得出结论．【解答】证明：假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1则有a+b+c＜3，而矛盾，所以原命题成立．19．给定直线l：y=2x﹣16，抛物线G：y2=ax（a＞0）（1）当抛物线G的焦点在直线l上时，求a的值；（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线G上，且点A的纵坐标y A=8，△ABC的重心恰是抛物线G的焦点F，求直线BC的方程．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）由抛物线G：y2=ax（a＞0）的焦点在x轴上，且其坐标为，对方程y=2x﹣16，令y=0得x=8，可得，解得a．（2）由（1）知：抛物线G的方程是y2=32x，F（8，0）．点A在抛物线G上，且y A=8，可得A（2，8）．延长AF交BC于点D，则由点F是△ABC的重心得：点D为线段BC的中点．设点D（x，y），由，可得：D．设B（x1，y1），C（x2，y2），由点B，C在抛物线y2=32x上得：代入抛物线方程相减得：，进而得出．【解答】解：（1）∵抛物线G：y2=ax（a＞0）的焦点在x轴上，且其坐标为，∴对方程y=2x﹣16，令y=0得x=8，从而由已知得，a=32．（2）由（1）知：抛物线G的方程是y2=32x，F（8，0）．又∵点A在抛物线G上，且y A=8，∴A（2，8）．延长AF交BC于点D，则由点F是△ABC的重心得：点D为线段BC的中点．设点D（x，y），则由得（8﹣2，0﹣8）=2（x﹣8，y﹣0），解之得：．∴D（11，﹣4）设B（x1，y1），C（x2，y2），则由点B，C在抛物线y2=32x上得：，两式相减得：，又由点D为线段BC的中点得y1+y2=﹣8，k BC=﹣4．∴直线BC方程为y﹣（﹣4）=﹣4（x﹣11），即4x+y﹣40=0．20．已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意不相等的x1，x2∈（0，+∞），恒有|f（x1）﹣f（x2）≥4|x1﹣x2|成立，求非负实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求函数的定义域，再求导，分类讨论，根据导数和函数的单调性即可求函数的单调区间；（Ⅱ）不妨设x1＞x2，转化为（x1）﹣4x1≥f（x2）﹣4x2恒成立，构造函数，利用导数和函数的最值的关系即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域为（0，+∞）∴，当a+1≥0时，f′（x）＞0恒成立，∴当a≥﹣1时，y=f（x）在区间（0，+∞）单调递增，当a+1＜0时，若x＞，f′（x）＞0，若0＜x＜，f′（x）＜0，∴当a＜﹣1时，函数y=f（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增，（Ⅱ）不妨设x1＞x2，又∵a≥0，∴y=f（x）在区间（0，+∞）上单调递增|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|恒成立，等价于f（x1）﹣f（x2）≥4x1﹣4x2恒成立，即就是f（x1）﹣4x1≥f（x2）﹣4x2恒成立令g（x）=f（x）﹣4x，x∈（0，+∞），则y=g（x）为单调递增函数即就是g'（x）≥0恒成立，∵令h（x）=2x2﹣4x+a+1，x∈（0，+∞），∵h（x）min=h（1）=a﹣1，∴a≥1，故a的取值范围为[1，+∞）21．已知椭圆+=1（a＞b＞0），其右顶点为A（2，0），上、下顶点分别为B1，B2．直线A B2的斜率为，过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于M，N两点（M，N均在y轴右侧）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设四边形M N B1 B2面积为S，求S的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）因为a=2，，所以b=1，可求得椭圆方程（Ⅱ）设M（x1，y1）N（x2，y2），直线MN方程为x=my+，将直线x=my+代入椭圆方程得（m2+4）y2+2my﹣1=0，求得面积，利用均值不等式求得取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为a=2，，所以b=1，所以椭圆方程为；（Ⅱ）设M（x1，y1）N（x2，y2），直线MN方程为x=my+，将直线x=my+代入椭圆方程得（m2+4）y2+2my﹣1=0，则y1+y2=，|y1﹣y2|=∵x1＞0，x2＞0，∴；面积S======；令t=，则==，即S．所以四边形MNB1B2面积S的取值范围为S．22．设函数f（x）=ax+（a，b∈R），若f（x）在点（1，f（x））处的切线斜率为1．（Ⅰ）用a表示b；（Ⅱ）设g（x）=lnx﹣f（x），若g（x）≤﹣1对定义域内的x恒成立，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）对任意的θ∈[0，），证明：g（1﹣sinθ）≤g（1+sinθ）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由f′（1）=1可得结果；（Ⅱ）（ⅰ）g（x）≤﹣1恒成立，等价于g（x）max≤﹣1．由g（1）+1≤0可得a的范围，利用导数可求得函数的最大值，可验证此时满足要求，从而得到a的范围．（ii）由（ⅰ）知，g（x）≤﹣1恒成立，实数a的取值范围为a≥1，令sinθ=t∈[0，1），构造函数p（t）=g（1+t）﹣g（1﹣t），只需证明p（t）≥0恒成立，利用导数进而转化为求函数p（t）的最小值问题，利用导数可求得；【解答】解：（Ⅰ）函数的导数为f′（x）=a﹣，因为f（x）在点（1，f（x））处的切线斜率为1，所以f′（1）=a﹣b=1，解得b=a﹣1；（Ⅱ）因为g（x）=lnx﹣f（x），所以g（x）=lnx﹣f（x）=lnx﹣（ax+），要使g（x）≤﹣1≤﹣1恒成立．则（ⅰ）g（x）≤﹣1恒成立，等价于g（x）max≤﹣1．g（x）≤﹣1恒成立，则g（1）+1=﹣a﹣a+1+1≤0⇒a≥1．当a≥1时，==0⇒x=1，x=﹣1+，﹣1+≤0，x2g′（x）≥0，则x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞），g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）max=g（1）=1﹣2a≤﹣1，符合题意，即g（x）≤﹣1恒成立．所以，实数a的取值范围为a≥1．（ⅱ）由（ⅰ）知，g（x）≤﹣1恒成立，实数a的取值范围为a≥1．令sinθ=t∈[0，1），考虑函数p（t）=g（1+t）﹣g（1﹣t）=ln（1+t）﹣a（1+t）﹣=ln（1+t）﹣ln（1﹣t）﹣2at﹣（a﹣1）[]，+=﹣2a+（a﹣1）[]，下证明p′（t）≥0，即证：﹣2a+（a﹣1）[]≥0，即证明，由，即证1﹣a+（a﹣1）[]≥0，又a﹣1≥0，只需证﹣1+≥0，即证1+t2≥（1+t）2（1﹣t）2⇐t4﹣3t2≤0⇐t2（t2﹣3）≤0，显然成立．故p（t）在t∈[0，1）上单调递增，p（t）min=p（0）=0，则p（t）≥0，得g（1+t）≥g（1﹣t）成立，则对任意的θ∈[0，），g（1﹣sinθ）≤g（1+sinθ）成立．2017年3月11日。
数学---江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期期末考试(理)
江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期期末考试（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．） 1．证明不等式“2367-<-”最适合的方法是（ ） A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．数学归纳法2．命题“x R a R ∀∈∃∈，，使得|1||2|n x x >---”的否定形式是（ ） A ．x R a R ∃∈∃∈，，使得|1||2|n x x ≤--- B ．x R a R ∀∈∀∈，，使得|1||2|n x x ≤--- C ．x R a R ∀∈∃∈，，使得|1||2|n x x ≤--- D ．x R a R ∃∈∀∈，，使得|1||2|n x x ≤--- 3．在复平面内，复数201812z i i=++对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．经过点(2,4)-且与双曲线2212y x -=有同渐近线的双曲线方程是（ ） A ．22184y x -= B ．22184x y -= C ．22148x y -= D ．22148y x -= 5．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()ln (1)f x x x f '=+，则(1)f '=（ ）A ．e -B ．eC ． 1-D ． 16．设x ，y ，z 都是正数，则三个数1x y+，1y z +，1z x +（ ）A ． 至少有一个不小于2B ．至少有一个大于2C ．都大于2D ．至少有一个不大于27．若关于x 的不等式|2|||4x x a -++>的解集为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,6)(2,)-∞-+∞ B ．(6,2)- C ．(,6)(2,)-∞--+∞ D ． (6,2)-- 8．在下列结论中，正确的结论为（ ） ①“p 且q”为真是“p 或q”为真的充分不必要条件②“p 且q”为假是“p 或q”为真的充分不必要条件 ③“p 或q”为真是“p Ø”为假的必要不充分条件 ④“p Ø”为真是“p 且q”为假的必要不充分条件 A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④9．若不等式|23||25|4x x -+-<的解集为(,)a b ，则曲线1y x=与直线3y x =-及直线x a =，x b =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．89B ． ln 3C ．8ln 39+D ．ln 32+10．已知函数()33f x x x =-，若过点()3,M t 可作曲线()y f x =的三条切线， 则实数t 的取值范围是( ) A ．()9,18-B ．()18,18-C ．()18,6-D ．()6,6-11．若关于x 的不等式|||2|0k x x -->恰好有4个整数解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．32(,)53B ．32(,]53C ．3(,1)5D ．3(,1]512．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数， ()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时,()()2'01f x xf x x +>-,若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-,则 ()1f =（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，若21a i bi +=-，则复数z a bi =+的模||z = ；14．已知函数2()sin 1f x x x =+-，则11()f x dx -=⎰；15．在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点A ，B 分别是离心率为e 的圆锥曲线221x y m n+= 的焦点，顶点C 在该曲线上．一同学已正确地推得：当0m n >>时，有(sin sin )sin e A B C +=．类似地，当0m >，0n <时，有____________；16．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则1212e e +的最大值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为42{(4x cosa a y sina=+=为参数），以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值.18．（本小题满分12分）已知函数()f x x a a =-+.(Ⅰ)若不等式()2f x ≤的解集为{|12}x x ≤≤，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分12分）已知函数321()3f x x ax b =-+在2x =-处有极值. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()f x 在区间[3,3]-上有且仅有一个零点,求实数b 的取值范围.20．（本小题满分12分）已知数列的前n 项和满足：，且. (I)求；(Ⅱ)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．21．（本小题满分12分）{}n a n S 112n n na S a =+-0,n a n N *>∈123,,a a a {}n a设顶点在原点，焦点在x 轴上的拋物线过点()1,2P ，过P 作抛物线的动弦PA ，PB ，并设它们的斜率分别为PA k ，PB k . (Ⅰ)求拋物线的方程；(Ⅱ)若0PA PB k k +=，求证：直线AB 的斜率为定值，并求出其值； （III ）若1PA PB k k =，求证：直线AB 恒过定点，并求出其坐标.22．（本小题满分12分）已知函数2()ln 2a f x x x x x a =--+（a R ∈）在其定义域内有两个不同的极值点. (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)记两个极值点分别为1x ，2x （12x x <），求证：2111a x x <<.参考答案一、选择题1-12、BDCAC AABDA BC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．5 14．2π15．|sin sin |sin e A B C -= 16．10 三、解答题17．解：（Ⅰ）将方程42{4x cosa y sina=+=消去参数a 得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，将222x cos x y ρρθ+==，代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 120ρρθ--=．………5分（Ⅱ）设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由24cos 16{ 6ρρθπθ-==消去θ得223120ρρ--=， 根据题意可得12,ρρ是方程223120ρρ--=的两根， ∴121223,12ρρρρ+==-， ∴()21212122215AB ρρρρρρ=-=+-=． ………10分18．解：（Ⅰ） 2x a a -+≤，222a x -≤≤，即得221a -=，得32a =.………5分（Ⅱ）∵()()f n m f n ≤--，∴()()m f n f n ≥+- 33322n n =-+++. ∵min 33(322n n -++=），且存在实数n 使()()f n m f n ≤--， ∴6m ≥.………………12分19．解: (Ⅰ)2()2f x x ax '=- ，由题意知: (2)440f a '-=+=,得a =1-, …… 2分∴2()2f x x x '=+, 令()0f x '>,得2x <-或0x >, 令()0f x '<,得20x -<<,∴()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-和(0,)+∞, 单调递减区间是(2,0)-……… 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,321()3f x x x b =++, 4(2)3f b -=+为函数()f x 的极大值,(0)f b =为极小值 ………………… 8分 又∵f (-3)=f (0)=b要使得函数()f x 在区间[3,3]-上有且仅有一个零点则(2)0(3)0f f -<⎧⎨≥⎩, 即180403b b +≥⎧⎪⎨+<⎪⎩ , ∴4183b -≤<-,即b 的取值范围是4[18,)3-- …………………… 12分 20．解： (Ⅰ)，所以. 又因为，所以22122112a S a a a =+=+-，所以 331233112a S a a a a =++=+-，所以 …………………… 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)猜想，n N +∈.…………………… 6分 下面用数学归纳法加以证明：①当时，由（1）知成立．②假设(k N +∈)时，2121k a k k =+--成立． 当时，111111(1)(1)22k k k k k k ka a a S S a a ++++=-=+--+- 所以,解得：，所以 即当时猜想也成立．111111,2a a s a ==+-113a =-±0n a >131a =-253a =-375a =-2121n a n n =+--1n =131a =-n k =1n k =+11111212111212222121k k k k a a k k k a a k k +++++--=+--=+-++--21122120k k ak a ++++-=12321k a k k +=+-+12(1)12(1)1k a k k +=++-+-1n k =+综上可知，猜想对一切n N +∈都成立．…………………… 12分 21．解：(Ⅰ)依题意，可设所求拋物线的方程为()220y px p =>,因拋物线过点()1,2P ，故222,2p p ==，拋物线的方程为24y x =. …………… 2分 (Ⅱ)设()()1122,,,A x y B x y ，则1121112241214PA y y k y x y --===-+-， 同理21244,,2PB AB k k y y y ==++ 12440,022PA PB k k y y +=∴+=++ ,∴1222y y +=--，124y y +=-. 1241AB k y y ∴==-+，即直线AB 的斜率恒为定值，且值为1-. …………… 7分（III ）1PA PB k k = ，∴1244122y y ⋅=++，∴()12122120y y y y ++-=. 直线AB 的方程为2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()12124y y y y y x +-=.将()1212212y y y y -=+-代入上式得()()()12243y y y x ++=+即为直线AB 的方程， 所以直线AB 恒过定点()3,2--，命题得证. …………… 12分22．解：（Ⅰ）依题，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根，即，方程在有两个不同根.转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点，可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须. 令切点，所以，又，所以，解得，，于是，所以.………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1x ，2x 分别是方程的两个根，即.()f x (0,)+∞'()0f x =(0,)+∞ln 0x ax -=(0,)+∞ln y x =y ax =(0,)+∞ln y x =k 0a k <<00(,ln )A x x 0'1x x k yx ===00ln x k x =000ln 1x x x =0x e =1k e=10a e <<ln 0x ax -=1122ln ,ln x ax x ax ==作差得，2211ln ()xa x x x =-，即2121lnx x a x x =-.所以不等式2111a x x <<，等价于212211ln11x x x x x x <<-，………………8分 下面先证21221ln1x x x x x <-，即证2211122ln 1x x x xx x x ->=-，令21x t x =，∵120x x <<，∴1t >，即证1ln 1t t >-（1t >），令1()ln 1g t t t =+-（1t >），则22111()0t g t t t t -'=-=>， ∴1()ln 1g t t t=+-在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0g t g >=，即1ln 1t t >-得证，从而21221ln1x x x x x <-得证；………………10分 再证21211ln1x x x x x <-，即证2212111ln 1x x x xx x x -<=-，即证ln 1t t <-（1t >）， 令()ln 1h t t t =-+（1t >），则11()10th t t t-'=-=<， ∴()ln 1h t t t =-+在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0h t h <=，即ln 1t t <-得证，从而21211ln1x x x x x <-得证，综上所述，212211ln11x x x x x x <<-成立，即2111a x x <<.………………12分。
2017-2018年高二上期末数学试卷(理科)含答案解析 (4)
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．74．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+17．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．238．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．311．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2acosA=ccosB +bcosC ． （1）cosA 的值；（2）若b 2+c 2=4，求△ABC 的面积．20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}【解答】解：由B中方程变形得：x（x﹣3）=0，解得：x=0或x=3，即B={0，3}，∵A={0，1，3}，∴A∩B={0，3}，故选：C．2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．7【解答】解：函数，其定义域为{x|3≤x≤4}，显然存在最大值是大于0的，则，当=0时，y取得最大值为1．故选：B．4．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，∴设双曲线方程为，a＞0，∵是双曲线的一条渐近线，∴=，解得a2=4，∴双曲线方程为．故选D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，=﹣2，不可能使l∥α；在B中，=1+0+5=6，不可能使l∥α；在C中，=﹣1，不可能使l∥α；在D中，=0﹣3+3=0，有可能使l∥α．故选：D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+1【解答】解：把A（，1）代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1．∴抛物线的焦点为F（0，）．∴抛物线的准线方程为y=﹣．∴A到准线的距离为1+=．∴AF=．故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．23【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=0，S=0，满足条件S≤a，S=2×0+3=3，k=0+1=1满足条件S≤a，S=2×3+3=9，k=1+1=2满足条件S≤a，S=2×9+3=21，k=2+1=3由题意，此时，应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20．故选：A．8．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），且函数y=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x；为得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位长度．故选：D．9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：若，，则cosα+sinα=2（cos2α﹣sin2α），即1=4（cosα﹣sinα），平方可得1=16（1﹣sin2α），∴sin2α=，故选：A．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得A（1，2），则k OA==2，即的最大值为2．故选：C．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++=9π．故选B．12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；故m=7；若g（f（x））=0，则f（x）==﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5无解；f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；故n=3；故m+n=10；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是4．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，则=（a+b）=2+≥2+2=4，当且仅当a=b=时取等号．∴的最小值是4．故答案为：4．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为12．【解答】解：+=（﹣2，y﹣1，5），∵⊥（+），∴•（+）=﹣4﹣（y﹣1）+15=0，则y=12．故答案为：12．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是2a．【解答】解：设P（x0，y0），⇒化为b2x02=a2（b2﹣y02）直线B1P的方程为：y=x+b，可得M（，0）；直线B2P的方程为：y=x﹣b，可得N（，0）．则|OM|•|ON|==（定值）则|OM|+|ON|≥2=2a．故答案为：2a．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对于p：设f（x）=x2﹣2x+a．该二次函数图象开向上，对称轴为直线x=1，所以，所以0＜a＜1；对于q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，所以（2a﹣3）2﹣4＞0，即4a2﹣12a+5＞0，解得或．因为“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，所以p，q一真一假．①当p真q假时，有，所以；②当p假q真时，有，所以或a≤0．所以实数a的取值范围是．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．=a n知=•，【解答】解（1）证明：由a n+1∴{}是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知{}是首项为，公比为的等比数列，∴=（）n，∴a n=，∴S n=++…+，①则S n=++…+，②①﹣②得S n=+++…+﹣=1﹣，∴S n=2﹣．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）cosA的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，又∵0＜A＜π⇒sinA≠0，∴．…（6分）（2）由，由于顶点在单位圆上的△ABC 中，2R=2，利用正弦定理可得：．由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ⇒bc=b 2+c 2﹣a 2=4﹣3=1．…（10分） ∴．…（12分）20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100；第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18；第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9；第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9；第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为p=．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆E的方程是．（2）当k变化时，m2为定值．证明如下：由得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，（*）因为直线OP，直线OQ的斜率分别为k1，k2，且4k=k1+k2，所以，得2kx1x2=m（x1+x2），将（*）代入解得，经检验知成立．故当k变化时，m2为定值．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【解答】证明：（1）设BD的中点为O，分别连接AO，EO．又因为AB=AD，所以AO⊥BD．因为E为BC的中点，O为BD的中点，所以EO∥CD．又因为CD⊥BD，所以EO⊥BD．又因为OA∩OE=O，OA，OE⊂平面AOE，所以BD⊥平面AOE．又因为AE⊂平面AOE，所以BD⊥AE，即AE⊥BD．解：（2）由（1）求解知AO⊥BD，EO⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD．又因为EO⊂平面BCD，所以AO⊥EO．所以OE，OD，OA两两相互垂直．因为CD⊥BD，BC=4，CD=2，所以．因为O为BD的中点，AO⊥BD，AD=2，所以，．以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，0，1），，，，所以，，．设平面ABC的一个法向量为，则，．所以，取，解得．所以是平面ABC的一个法向量．同理可求平面ADC的一个法向量．设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则．因为0＜θ＜π，所以，所以二面角B﹣AC﹣D的正弦值为．。
江西省南昌市第二中学2017-2018学年高三上学期第二次考试数学(理)试题 Word版含答案
南昌二中2017-2018学年度上学期第二次考试高三数学（理）试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合{|lg(2)0}M x x =-≤，{|13}N x x =-≤≤，M N =（ ）A ．{|3}x x ≤B ．{|23}x x <<C ．ND ．R2．若0sin 2cos t xdx π=-⎰，其中()0,t π∈，则t =（ ）A.3πB.2πC.23πD.π3．已知132()3a =，122()3b =，123()5c =，则下列关系中正确的是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b4．已知定义域为R 的函数()f x 不是偶函数，则下列一定为真的是（ ） A ．x R ∀∈，()()f x f x -≠B ．x R ∀∈，()()f x f x -≠-C ．0x R ∃∈，00()()f x f x -≠D ．0x R ∃∈，00()()f x f x -≠-5．已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5,当()5,0∈x 时，()25f x x x =-，则()=2016f （ ） A.-12B. -16C. -20D. 06．设322()log (1)f x x x x =+++，则对任意实数a ，b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分而非必要条件C ．必要而非充分条件D ．既非充分也非必要条件7．函数sin (cos 3sin )(0)2y x x x x π=-≤≤的值域为（ ）A ．3[3,1]2+B ．33[,1]22-- C ．[0,1]D ．3[3,1]2--8．在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知a ＝32，c ＝22，bcB A 2tan tan 1=+，则C ＝（ ） A. 30°B. 45°C. 45°或135°D. 60°9. 已知()f x 是定义在(0,)+∞的函数，且()0f x >. 满足2()()0f x xf x '+>，则下列不等式正确的是（ ）A. )2015(2015)2016(2016f f >B. )2015(2015)2016(2016f f <C. )2016(2016)2015(201533f f <D. )2016(2016)2015(201533f f >10．如图所示，函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线231122y x x =-++上，则()f x ＝（ ）A.1()sin()63f x x π=+ B.1()sin()23f x x π=+ C.()sin()23f x x ππ=+ D.()sin()26f x x ππ=+11．已知函数()|1|x f x e =-，0a b >>，()()f a f b =，则(2)a b e -的最大值为（ ） A ．1eB ．1C ．2D ．e12．设函数)cos (sin )(x x e x f x -= (02016)x π≤≤,则函数)(x f 的各极小值之和为（ ）A ．220162(1)1e e e πππ---B ．21008(1)1e e e πππ--- C ．210082(1)1e e e πππ---D ．220142(1)1e e e πππ---二、填空题（每小题5分，共20分） 13．220(4)x x dx -+⎰的值等于 .14．已知，且，则l g (8s i n 6c o s )l g (4s i n c o s )αααα+--= ．15. 若函数()2,02lg ,0xkx x f x x x x ⎧+≤⎪=-⎨⎪>⎩有且只有2个不同零点，则实数k 的取值范围是 .16．函数()|cos |(0)f x x x =≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则2(1)sin 2θθθ+= ．三、解答题（本大题共6小题，请写出必要的解题步骤和文字说明） 17.（本小题满分10分）设函数22()log (2)log 16xf x x =⋅. （1）解方程()60f x +=； （2）设不等式23224x xx +-≤的解集为，求函数()f x （x M ∈）的值域.(0,)2πα∈3)4tan(=+παM18.（本小题满分12分）已知函数1)22cos()62cos()62cos()(++--++=πππx x x x f .（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）若将函数)(x f 的图象向左平移)0(>m m 个单位后，得到的函数)(x g 的图象关于直线4π=x 对称，求实数m 的最小值.19.（本小题满分12分）（1）已知()2tan 5αβ+=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos sin cos sin αααα+-的值； （2）已知α，β均为锐角，且()5cos 5αβ+=，()10sin 10αβ-=，求β．20.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．（1）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）当0a =时，是否存在正实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然对数底数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由；21.（本小题满分12分）如图,在△ABC 中,3π=B ,BC=2,点D 在边AB 上,AD=DC,DE⊥AC,E 为垂足.（1）若△BCD 的面积为33,求CD 的长; （2）若ED=26,求角A 的大小.22.（本小题满分12分）设函数x a bx x x f ln )(2-+=（1）若x=2是函数f(x)的极值点，1和0x 是函数)(x f 的两个不同零点，且N n n n x ∈+∈),1,(0，求n 。
南昌市高二上学期期末数学试卷(理科)(II)卷
南昌市高二上学期期末数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分） (2018高二下·辽宁期末) 已知集合， ,则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二上·唐山期末) “a=﹣1”是“直线ax+3y+2=0与直线x+（a﹣2）y+1=0平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）复数的共轭复数的虚部为（）A . -iB . -1C . 1D . i4. （2分） (2016高二上·遵义期中) 下列程序执行后输出的结果是（）A . ﹣1B . 0C . 1D . 25. （2分）从2013名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2013人中剔除13人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2013人中，每人入选的机会（）A . 不全相等B . 均不相等C . 都相等，且为D . 都相等，且为6. （2分）已知各项均为正数的等比数列中，则的值是（）A . 2B . 4C . 8D . 167. （2分） (2016高一上·绍兴期中) 下列函数中既是偶函数又在（﹣∞，0）上是增函数的是（）A . y=xB . y=C . y=x﹣2D . y=x8. （2分）已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF丄y轴，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）已知函数f（x）=（x+3）（x+2）（x+1）x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3），则f′（1）的值为（）A . 24B . 48C . ﹣48D . 010. （2分）某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B分别为a2、b2千克．甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元．月初一次性购进本月用原料A、B各c1、c2千克．要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z=d1x+d2y最大的数学模型中，约束条件为（）A .B .C .D .11. （2分）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及圆心，那么这个几何体为（）A . 棱锥B . 棱柱C . 圆锥D . 圆柱12. （2分） (2015高三上·东莞期末) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，| |=5，20a+15b +12c = ， =2 ，则的值为（）A .B . ﹣C . ﹣D . ﹣813. （2分）函数恰有两个不同的零点，则a可以是（）A . 3B . 4C . 6D . 714. （2分）已知偶函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（﹣3），f（﹣1），f（2）的大小关系是（）A . f（2）＞f（﹣3）＞f（﹣1）B . f（﹣1）＞f（2）＞f（﹣3）C . f（﹣3）＞f（﹣1）＞f（2）D . f（﹣3）＞f（2）＞f（﹣1）二、填空题 (共5题；共5分)15. （1分）若tanα+ = ，α∈（，），则sin（2α+ ）+2cos cos2α的值为________．16. （1分） (2016高二上·临川期中) 抛物线的焦点坐标是________17. （1分）若，则实数m的值为________18. （1分） (2016高二上·翔安期中) 已知正数x，y满足x+8y=xy，则x+2y的最小值为________．19. （1分） (2019高三上·宁德月考) 在边长为2的菱形中，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且点在面内的正投影为的重心 ,则的外接球的球心到点的距离为________.三、解答题 (共7题；共65分)20. （10分）高三某班男同学有45名，女同学有15名，老师按照性别进行分层抽样组建了一个4人的课外兴趣小组．（1）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（2）试验结束后，第一次做试验的同学A得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学B 得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．21. （5分） (2019高一下·上海月考) 已知都是锐角，，求的值.22. （10分）(2017·包头模拟) 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= PD．（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（2）求二面角Q﹣BP﹣C的正弦值．23. （15分）如图，△PAB的顶点A、B为定点，P为动点，其内切圆O1与AB、PA、PB分别相切于点C、E、F，且，||AC|﹣|BC||=2．（1）求||PA|﹣|PB||的值；（2）建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹W的方程；（3）设l是既不与AB平行也不与AB垂直的直线，线段AB的中点O到直线l的距离为，直线l与曲线W相交于不同的两点G、H，点M满足，证明：．24. （10分） (2017高三上·綦江期末) 已知数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，S5=20，a1 ， a3 ， a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn+1=bn+an，且b1=1，求数列{ }的前n项和Tn．25. （5分）(2017·衡水模拟) 已知椭圆C： =1 （a＞b＞0）的短轴长为2，过上顶点E和右焦点F 的直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l过点（1，0），且与椭圆C交于点A，B，则在x轴上是否存在一点T（t，0）（t≠0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点），若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由．26. （10分） (2016高二上·船营期中) 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？参考答案一、选择题 (共14题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、填空题 (共5题；共5分)15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共7题；共65分) 20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、25-1、26-1、26-2、。
2017-2018年江西省南昌二中高二(上)期中数学试卷(理科)与参考答案
2017-2018年江西省南昌二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）点P（﹣1，1）在极坐标系中的坐标为（）A．B．C．D．2．（5分）抛物线x2=﹣4y的准线方程是（）A．x=B．x=1 C．y=1 D．y=23．（5分）直线ax+2y﹣1=0与直线2x+ay+2=0平行．则实数a的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣24．（5分）圆C1：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．内含5．（5分）以抛物线y2=8x的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（）A．x2+y2﹣4x+3=0 B．x2+y2﹣4y+3=0 C．x2+y2﹣4x﹣3=0 D．x2+y2﹣4﹣3=06．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）椭圆=1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．20 B．22 C．24 D．288．（5分）若直线y=x+b与曲线y=2﹣有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（）A．[﹣2，﹣2]B．（﹣2，﹣2]C．（﹣2，2） D．[2，2）9．（5分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线10．（5分）A、B分别是椭圆+=1的左顶点和上顶点，C是该椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为（）A．﹣ B．+C．+2 D．2+11．（5分）已知直线l：y=2x+3被椭圆截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有（）①y=2x﹣3②y=2x+1③y=﹣2x﹣3④y=﹣2x+3．A．1条 B．2条 C．3条 D．4条12．（5分）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x﹣1）2+y2=于点A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．（5分）直线（t为参数）的斜率为．14．（5分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为，离心率为．15．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．16．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，O是坐标原点，△OMF2是以M为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线C的离心率是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P（m，1）到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；（Ⅱ）双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，是双曲线右支上一点，且|MF1|﹣|MF2|=6，求双曲线C的标准方程．18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中．圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0，圆C与直线l交于A、B两点，P点的直角坐标为（1，1）．（I）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求|PA|+|PB|的值．19．（12分）已知抛物线的方程为y2=4x，过点M（2，1）作直线l交抛物线于A、B两点，且M为线段AB的中点．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的长度．20．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣y﹣1=0上，且与直线4x+3y﹣1=0相切，被直线3x+4y﹣5=0截得的弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若x，y满足圆C的方程，求x2+y2+4x+4y的取值范围．21．（12分）椭圆与直线x +y=2相交于P 、Q 两点，且OP⊥OQ ，其中O 为坐标原点． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若椭圆的离心率e 满足，求椭圆长轴长的取值范围． 22．（12分）如图，椭圆C 1：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为的F 1、F 2，离心率为；过抛物线C 2：x 2=4by 焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，当|MF |=时，M 点在x 轴上的射影为F 1．连结NO ，MO 并延长分别交C 1于A 、B 两点，连接AB ；△OMN 与△OAB 的面积分别记为S △OMN ，S △OAB ，设λ=．（Ⅰ）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程； （Ⅱ）求λ的取值范围．2017-2018年江西省南昌二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）点P（﹣1，1）在极坐标系中的坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：∵P（﹣1，1），∴=，tanθ=﹣1，且θ在第二象限，∴θ=．∴点P（﹣1，1）在极坐标系中的坐标为（，）．故选：A．2．（5分）抛物线x2=﹣4y的准线方程是（）A．x=B．x=1 C．y=1 D．y=2【解答】解：如图，由x2=﹣4y，得2p=4，则p=2，∴，则抛物线线x2=﹣4y的准线方程是y=．故选：C．3．（5分）直线ax+2y﹣1=0与直线2x+ay+2=0平行．则实数a的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2【解答】解：由a2﹣4=0，解得a=±2，经过验证：a=±2都满足条件．故选：D．4．（5分）圆C1：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．内含【解答】解：圆C1：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0化成标准形式是（x+1）2+（y﹣1）2=4，圆心为C1（﹣1，1），半径r1=2；同理可得圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心为C2（3，4），半径r2=5；∴两圆的圆心距为|C1C2|==5，∴r2﹣r1＜|C1C2|＜r2+r1，∴两圆的位置关系是相交．故选：B．5．（5分）以抛物线y2=8x的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（）A．x2+y2﹣4x+3=0 B．x2+y2﹣4y+3=0 C．x2+y2﹣4x﹣3=0 D．x2+y2﹣4﹣3=0【解答】解：根据题意，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则以抛物线y2=8x的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（x﹣2）2+y2=1，变形可得：x2+y2﹣4x+3=0，故选：A．6．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，椭圆C2：+=1的焦点坐标为（0，±3），长轴的端点坐标为（0，±5），若双曲线C1以椭圆C2的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的焦点为（0，±5），顶点为（0，±3），则双曲线中c=5，a=3，则b2=c2﹣a2=16，则双曲线的方程为：﹣=1，故选：B．7．（5分）椭圆=1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．20 B．22 C．24 D．28【解答】解：由题意得a=7，b=2，∴c=5，两个焦点F1 （﹣5，0），F2（5，0），设点P（m，n），则由题意得=﹣1，+=1，n2=，n=±，则△PF1F2的面积为×2c×|n|=×10×=24，故选：C．8．（5分）若直线y=x+b与曲线y=2﹣有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（）A．[﹣2，﹣2]B．（﹣2，﹣2]C．（﹣2，2） D．[2，2）【解答】解：曲线方程变形为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，表示圆心A为（2，2），半径为2的下半圆，根据题意画出图形，如图所示：，当直线y=x+b过B（4，2）时，将B坐标代入直线方程得：2=4+b，即b=﹣2；当直线y=x+b与半圆相切时，圆心A到直线的距离d=r，即=2，即b=2，（舍）或b=﹣2解得：b=﹣2，则直线与曲线有两个公共点时b的范围为：﹣2＜b≤﹣2．故选：B．9．（5分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选：C．10．（5分）A、B分别是椭圆+=1的左顶点和上顶点，C是该椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为（）A．﹣ B．+C．+2 D．2+【解答】解：∵A、B分别是椭圆+=1的左顶点和上顶点，∴A（﹣2，0），B（0，），|AB|==，直线AB的方程为：，即，∵C是该椭圆上的动点，∴设C（2cosθ，），则点C到直线AB的距离：d==，∴当sin（）=1时，d max=，）∴△ABC面积的最大值为（S△ABCmax===．故选：B．11．（5分）已知直线l：y=2x+3被椭圆截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有（）①y=2x﹣3②y=2x+1③y=﹣2x﹣3④y=﹣2x+3．A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：由于直线l：y=2x+3被椭圆截得的弦长为7，根据对称性可得：y=2x﹣3，y=﹣2x﹣3，y=﹣2x+3．满足条件．而直线y=2x+1被椭圆C截得的弦长大于7．综上可得：下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有①③④．故选：C．12．（5分）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x﹣1）2+y2=于点A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵y2=4x，焦点F（1，0），准线l0：x=﹣1，由圆：（x﹣1）2+y2=圆心（1，0），半径为；由抛物线的定义得：|AF|=x A+1，又∵|AF|=|AB|+，∴|AB|=x A+同理：|CD|=x D+，当AB⊥x轴时，则x D=x A=1，∴|AB|+4|CD|=．当AB的斜率存在且不为0，设AB：y=k（x﹣1）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x A x D=1，x A+x D=，∴|AB|+4|CD|=（x A+）+4（x D+）=+x A+4x D≥+2=．当且仅当x A=4x D，即x A=2，x D=时取等号，综上所述|AB|+4|CD|的最小值为，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．（5分）直线（t为参数）的斜率为﹣．【解答】解：把直线（t为参数）化为普通方程是：=，即y+1=﹣（x﹣1）；所以直线的斜率为：﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为，离心率为．【解答】解：直线x﹣2y+2=0 与x轴的交点为A（﹣2，0），与y轴的交点B（0，1），故椭圆的一个焦点为F（﹣2，0），短轴的一个顶点为F（0，1），故在椭圆中，c=2，b=1，∴a=，故这个椭圆的方程为，故答案为．15．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2．【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=，则d1+d2=+a2+1=，当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故答案为216．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，O是坐标原点，△OMF2是以M为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线C的离心率是1+．【解答】解：设F2（c，0），△OMF2是以M为顶点的等腰三角形，其面积是，可得M的横坐标为c，则△OMF2为•c•|y M|=，可得y M=±c，将M的坐标（c，±c）代入双曲线的方程可得，﹣=1，由b2=c2﹣a2，e=，可得e2﹣=4，化为e4﹣8e2+4=0，解得e2=4±2，由e＞1，可得e=1+．故答案为：1+．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P（m，1）到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；（Ⅱ）双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，是双曲线右支上一点，且|MF1|﹣|MF2|=6，求双曲线C的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且点P（m，1）在抛物线上，可设抛物线方程为x2=2py（p＞0），由抛物线的定义可知，P（m，1）到准线的距离为4，所以，解得p=6，所以抛物线的标准方程为x2=12y；（Ⅱ）由双曲线定义及|MF1|﹣|MF2|=6可知2a=6，所以a=3，又因为是双曲线上的点，所以，解得b=4，所以，双曲线C的标准方程为．18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中．圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0，圆C与直线l交于A、B两点，P点的直角坐标为（1，1）．（I）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），可得：直线l的普通方程为：x+y=2，即x+y﹣2=0由ρ2﹣6ρcosθ+5=0，得x2+y2﹣6x+5=0，即（x﹣3）2+y2=4；（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（﹣3）2+（）2=4．即t2﹣3t+1=0，由于△=（﹣3）2﹣4=14＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1+t2=3，t1•t2=1，又直线l过点P（1，1），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．19．（12分）已知抛物线的方程为y2=4x，过点M（2，1）作直线l交抛物线于A、B两点，且M为线段AB的中点．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的长度．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在抛物线上，所以有，相减得（y1﹣y2）（y1+y2）=4（x1﹣x2），所以，因为M（2，1）为线段AB的中点，所以x1+x2=4，y1+y2=2，所以k AB=2，又因为直线l过点M（2，1），所以直线l的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0；（Ⅱ）由得，4x2﹣16x+9=0，所以x1+x2=4，，所以，所以线段AB的长度为．20．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣y﹣1=0上，且与直线4x+3y﹣1=0相切，被直线3x+4y﹣5=0截得的弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若x，y满足圆C的方程，求x2+y2+4x+4y的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的圆心为（a，a﹣1），半径为R，则有：，解得，所以圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．…（6分）（Ⅱ）∵x2+y2+4x+4y=（x+2）2+（y+2）2﹣8，设（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0），则该圆与圆C有公共点，∴r∈[3，7]，则r2﹣8∈[1，41]，从而x2+y2+4x+4y的取值范围为[1，41]．…（12分）21．（12分）椭圆与直线x+y=2相交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若椭圆的离心率e满足，求椭圆长轴长的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由联立得，（a2+b2）x2﹣4a2x+a2（4﹣b2）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由OP⊥OQ，得x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（2﹣x1）（2﹣x2）=0，化简得x1x2﹣（x1+x2）+2=0，所以，化简得；（Ⅱ）根据题意，，由，得，所以，又由（Ⅰ）知，所以，因此，，解得5≤a 2≤8， 所以，∴，即椭圆的长轴长的取值范围为．22．（12分）如图，椭圆C 1：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为的F 1、F 2，离心率为；过抛物线C 2：x 2=4by 焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，当|MF |=时，M 点在x 轴上的射影为F 1．连结NO ，MO 并延长分别交C 1于A 、B 两点，连接AB ；△OMN 与△OAB 的面积分别记为S △OMN ，S △OAB ，设λ=．（Ⅰ）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程； （Ⅱ）求λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线定义可得，代入x 2=4by 有，即c 2=7b ﹣4b 2①又得到c2=3b2代入①，解得，所以C1的方程为，C2的方程为x2=4y；（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）．由，得到x2﹣4kx﹣4=0，则x1x2=﹣4，设k ON=m，k OM=m'，则，所以，②设直线ON的方程为y=mx（m＞0），由，解得x N=4m，所以，由②可知，用代替m，可得，由，可得，所以，用代替m，可得，所以，，=，（m=1时等号成立）所以λ的取值范围为[2，+∞）．。
江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期期中考数学(理)试题(解析版)
南昌二中2017—2018学年度上学期期中考试高二数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 点(1,1)P -在极坐标系中的坐标为（ ） A. 3(2,)4π B. 3(2,)4π-C. 3(2,)4π D. 3(2,)4π-【答案】A 【解析】由题意得||=2OP ρ=，又点()1,1P -在第二象限内，故极角34πθ=． 所以点()1,1P -在极坐标系中的坐标为32,4π⎛⎫⎪⎝⎭．选A ． 2. 抛物线24x y =-的准线方程为（ ） A. 116x =B. 116x =-C. 1y =D. 1y =-【答案】C 【解析】如图，由24x y =-，得24p =，则2,12p p =∴=，则抛物线24x y =-的准线方程为12py ==，故选C. 3. 直线210ax y +-=与直线220x ay ++=平行，则实数a 的值为（ ） A. 0 B. 2C. 2-D. 2或2-【答案】D 【解析】有两直线平行可得24a =，解得2a =±．选D ．4. 圆221:2220C x y x y ++--=与圆222:680C x y x y +--=的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 相切D. 内含【答案】B 【解析】 【分析】圆1C 的标准方程即为22(1)(1)4x y ++-=，圆心为（-1,1），半径为2；圆2C 的标准方程即为22(3)(4)25x y -+-=，圆心为（3,4），半径为5.因为125C C ==所以1237C C <<，因此两圆相交．选B ． 【详解】请在此输入详解！5. 以抛物线28y x =的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（ ） A. 22430x y x +-+= B. 22430x y y +-+= C. 22430x y x +--= D. 22430x y y +--=【答案】A 【解析】由题意得抛物线28y x =的焦点坐标为（2,0）．故所求圆的方程为22(2)1x y -+=，即22430x y x +-+=．选A ．6. 若双曲线1C 以椭圆222:11625x y C +=的焦点为顶点，以椭圆2C 长轴的端点为焦点，则双曲线1C 的方程为（ ）A. 221916x y -=B. 221916y x -=C. 2211625x y -=D. 2211625y x -=【答案】B 【解析】椭圆2251162x y +=的焦点在y 轴上，5,4,3a b c ==∴==，∴该椭圆的焦点为()()0,3,0,3,-∴以椭圆2251162x y +=的焦点为焦点，短半轴长为实轴长的双曲线焦点也y 轴上，且有：3,5a c ==，则4b ==，∴该双曲线的标准方程为221916y x -=，故选B. 7. 椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则12PF F ∆的面积为（ ）A. 20B. 22C. 24D. 28【答案】C 【解析】椭圆224924x y +=1的焦点坐标为()15,0F -、()25,0,7F a =．由椭圆的定义得1214PF PF +=，所以221212||2196PF PF PF PF ++=，因为12PF PF ⊥ ，所以22221212||||10100PF PF F F +===，所以1248PF PF =， 所以12121242PF F S PF PF ∆==．选C ． 点睛：(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的 计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、12||||2PF PF a +=，得到,a c 的关系．(2)对12F PF ∆的处理方法：①定义式的平方，即2212()(2)PF PF a +=；②余弦定理，即2221212(2)||2cos c PF PF PF PF θ=+-；③面积公式，即12121sin 2PF F S PF PF θ∆=． 其中12F PF θ=∠．8. 若直线y x b =+与曲线2y =b 的取值范围是( )A. 2⎡⎤--⎣⎦B. (2⎤--⎦C. (-D. 2,⎡⎣【答案】B 【解析】 【分析】由2y =()()22224x y -+-=，且22y =，即2y =()2,2为圆心，2为半径的圆位于直线2y =下方的部分，直线y x b =+表示斜率为1的直线系， 如图所示，考查满足题意的临界条件： 当直线经过点()4,2A时：24,2b b =+∴=-，当直线与圆相切时，圆心()2,2到直线0x y b -+=的距离等于半径2，即：2222b-+=，解得：22b =±，直线经过点B 时，22b =-，结合题中的临界条件可知：实数b 的取值范围是(22,2⎤--⎦. 本题选择B 选项.【详解】9. 一动圆与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线【答案】C 【解析】 【分析】设动圆圆心(,)M x y ，与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，列出几何关系式，化简，再根据圆锥曲线的定义，可得到动圆圆心轨迹.【详解】设动圆圆心(,)M x y ，半径为r ，圆x 2+y 2＝1的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆x 2+y 2﹣8x +12＝0，得22(4)4x y -+=，则圆心(4,0)C ，半径为2，根据圆与圆相切，则||1MO r =+，||2MC r =+，两式相减得||||1MC MO -=，根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支. 故选：C【点睛】本题考查了两圆的位置关系，圆锥曲线的定义，属于基础题.10. A 、B 分别是椭圆22143x y +=的左顶点和上顶点，C 是该椭圆上的动点，则ABC ∆ 面积的最大值为（ ）A.-B.C.D.【答案】B 【解析】由题意得点A 、B的坐标分别为(-， ∴||AB =AB20y -+=． 设与直线AB20y m -+=，由2220143y m x y -+=⎨+=⎪⎩消去y整理得226120x m ++-=，∵直线与椭圆相切，∴22)24(12)0m ∆=--=，解得m =-m =（舍去）．20y --=．∴该切线与直线AB间的距离d ==由题意得当点C 为切点时，ABC ∆的面积最大，且最大面积为12=B ．点睛：本题考查了数形结合的思想方法，由于||AB 是定值，故当三角形的高最大时，面积才最大，由此作为解题的突破点，并结合图形进行分析，发现当点C 为与AB 平行且与椭圆相切的直线的切点时满足题意，然后根据判别式求得切线方程，并利用两平行线间的距离求得三角形的高即可．11. 已知直线:l 23y x =+被椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>截得的弦长为2017，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为2017的有（ ）①23y x =- ②21y x =+ ③23y x =-- ④ 23y x =-+ A. 1条 B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C 【解析】 由于直线:23l y x =+被椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>截得的弦长为2017，23,23,23y x y x y x =-=--=-+与直线23y x =+，分别关于原点、x 轴、y 轴对称，根据椭圆的对称性可得：23,23,23y x y x y x =-=--=-+，:23l y x =+被椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>截得的弦长也为2017，，而直线21y x =+被椭圆C 截得弦长大于2017，综上可得被椭圆C 截得弦长一定为2017的有①③④，故选C.12. 如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆()22114x y -+=于点A,B,C,D 四点，则|AB|+4|CD|的最小值为（ ）A.172B.152C.132D.112【答案】C 【解析】由题意得()1,0F ，即为圆的圆心，准线方程为1x =-． 由抛物线的定义得||1A AF x =+，又1||||2AF AB =+，所以1||2A AB x =+． 同理1||2D CD x =+． ①当直线l 与x 轴垂直时，则有1A D x x ==， ∴331544222AB CD +=+⨯=． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为(1)y k x =-， 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩消去y 整理得2222(24)0k x k x k -++=， ∴22241,A D A D k x x x x k+⋅=+=，∴551344222A D AB CD x x +=++≥=，当且仅当4A D x x =时等号成立． 综上可得1342AB CD +≥．选C ． 点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13. 直线1413x ty t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.【答案】34- 【解析】直线l 的参数方程为14(13x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数）∴消去参数t 得()3114y x -=--，则直线l 的斜率为34-，故答案为34-. 14. 已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为__________________.【答案】22154x y +=【解析】【详解】直线x －2y ＋2＝0与坐标轴的交点为(－2，0)，(0,1)，依题意得，c ＝2，b ＝1⇒a22154x y +=15. 直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是_____________. 【答案】2 【解析】试题分析：设抛物线24y x =上的动点P 的坐标为2,4t t ⎛⎫⎪⎝⎭，它到到直线1l 和2l 的距离之和为d ，则2243614451t t t d ⨯-++=+22223636115454t t t t t t -+-+=++=++=293112055t t -+，当23t =时，min 9432112209535d =⨯-⨯+=. 考点：直线与抛物线的位置关系及二次函数的最值.16. 已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点M 在双曲线的右支上，O 是坐标原点，2OMF ∆是以M2，则双曲线C 的离心率是______________.1 【解析】2OMF 为等腰三角形，2OM OF c ∴==，又112,OF c F MF =∴∆为直角三角形，设12,FM m F M n ==，则22222112244m n amn c m n c -=⎧⎪⎪⨯=⎨⎪+=⎪⎩，可得22244c a -=，2222c e a ===，1c e a ===，1.【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据题设条件结合双曲线的定义以及勾股定理找出,a c 之间的关系，求出离心率e ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(),1P m 到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；（Ⅱ）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ， (M 是双曲线右支上一点，且126MF MF -=，求双曲线C 的标准方程.【答案】(1) 212x y =;(2) 221916x y -=.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为22(0)x py p =>，根据定义可得32p-=-，求得p 即可得到方程；（Ⅱ）由题意得126MF MF -=可知26a =，故3a =，又(M 在双曲线上，代入坐标可得4b =，从而得到曲线方程． 试题解析：（Ⅰ）因为(),1P m 在抛物线上，可设抛物线方程为22(0)x py p =>， 由抛物线的定义可知，(),1P m 到准线2py =-的距离为4， 所以32p-=-， 解得6p =，所以抛物线的标准方程为212x y =；（Ⅱ）由双曲线定义及126MF MF -=可知26a =， 所以3a =，又因为(M 是双曲线上的点，所以2236481a b -=， 解得4b =，所以双曲线C 的标准方程为221916x y -=.18. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2121x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，P 点的直角坐标为(1,1)．（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求PA PB +的值．【答案】(1) 20x y +-=,()2234x y -+=;(2) 32【解析】试题分析：（Ⅰ）将参数方程消去参数t 可得直线的普通方程为20x y +-=，把222x y ρ=+，cos x ρθ=代入圆的极坐标方程可得圆的直角坐标方程()2234x y -+=．（Ⅱ）利用参数方程中参数的几何意义求解．把参数方程代入圆的方程整理得23210t t -+=，设1t ，2t 是该方程的两根，则121232PA PB t t t t +=+=+=．试题解析：（Ⅰ）由2121x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t 得20x y +-=， 即直线l 的普通方程为20x y +-=．把222x y ρ=+，cos x ρθ=，代入26cos 50ρρθ-+=，整理得22650x y x +-+=故圆C 的直角坐标方程22650x y x +-+=，即()2234x y -+=．（Ⅱ）把112x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）代入()2234x y -+=，化简得：210t -+=，184140∆=-=>，设1t ，2t 是该方程的两根．则12121t t t t +==．所以120,0t t >>,又直线l 过()1,1P ，所以1212PA PB t t t t +=+=+=19. 已知抛物线的方程为24y x =，过点(2,1)M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且M 为线段AB 的中点. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求线段AB 的长度.【答案】(1) 230x y --=;(2)【解析】试题分析：（Ⅰ）用“点差法”可求得直线AB 的斜率，再用点斜式得到直线方程．（Ⅱ）把直线方程代入抛物线方程得241690x x -+=，从而124x x +=，1294x x =，再利用弦长公式求解． 试题解析：（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ， 因为A 、B 在抛物线上，所以有21122244y x y x ⎧=⎨=⎩①②， ①-②得()()()1212124y y y y x x -+=-， 所以1212124AB y y k x x y y -==-+， 因为()2,1M 为线段AB 的中点，所以124x x +=，122y y +=，所以2AB k =，又因直线l 过点()2,1M ，所以直线l 的方程为()122y x -=-，即230x y --=；（Ⅱ）由22304x y y x--=⎧⎨=⎩消去y 整理得241690x x -+=， 显然0∆> 又124x x +=，1294x x =，所以12AB x =-==所以线段AB 20. 已知圆C 的圆心在直线10x y --=上，且与直线4310x y +-=相切，被直线3450x y +-=截得的弦长为（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若x ，y 满足圆C 的方程，求2244x y x y +++的取值范围. 【答案】(1) 22(2)(1)4x y -+-=;(2) [1,41].【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆C 的圆心为(),1a a -，半径为R ，根据条件得到关于a R ，的方程组，求得a R ，可得圆的方程；（Ⅱ）由于()()222244228x y x y x y +++=+++-，故可将求范围的问题转化为两圆有公共点的问题处理，可得所求范围[]1,41．试题解析：（Ⅰ）设圆C 的圆心为(),1a a -，半径为R ，则有：222R R ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得22a R =⎧⎨=⎩， 所以圆C 的方程为()()22214x y -+-=.（Ⅱ） ()()222244228x y x y x y +++=+++-，故2244x y x y +++表示圆上的点与（-2，-2）距离的平方减去8．设()()22222x y d +++=，又点（-2，-2）圆C 外， 则圆心（2,1）到点（-2，-2）的距离为5，所以37d ≤≤，所以 21841d ≤-≤．所以2244x y x y +++的取值范围为[]1,41. 点睛：与圆有关的最值问题，常用代数式的几何意义求解，常见的有以下几种类型：（1）形如y b x aμ=－－形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； （2）形如t ax by ＝＋形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如22()()x a y b －＋－形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．21. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线2x y +=相交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，其中O 为坐标原点． （Ⅰ）求2211a b+的值； （Ⅱ）若椭圆的离心率e e ≤≤，求椭圆长轴长的取值范围． 【答案】(1)221112a b +=;(2) . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）将直线方程代入椭圆方程消去y 整理得()()222222440a bx a x a b +-+-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由OP OQ ⊥，得到()()12121212220x x y y x x x x +=+--=，将212224a x x a b +=+，()2212224a b x x a b -=+代入上式整理可得结论；（Ⅱ）e ≤≤，得2212133b a ≤-≤，由（Ⅰ）知22222a b a =-，代入上式整理得258a ≤≤a ≤≤ 试题解析：（Ⅰ）由222212x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 整理得()()222222440a b x a x a b +-+-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ， 则212224a x x a b +=+，()2212224a b x x a b-=+， 由OP OQ ⊥，得()()12121212220x x y y x x x x +=+--=，化简得()121220x x x x -++=，所以()22222224420a b a a b a b--+=++， 化简得221112a b +=； （Ⅱ）222221c b e a a==-，e ≤≤， 得2212133b a ≤-≤， 所以221233b a ≤≤， 又由（Ⅰ）知22222a b a =-， 所以22222b a a =-，因此2122323a ≤≤-，解得258a ≤≤，所以522a ≤≤，所以25242a ≤≤ 即椭圆的长轴长的取值范围为25,42⎡⎤⎣⎦．22. 如图，椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为32，过抛物线2C ：24x by =焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，当7||4MF =时，M 点在x 轴上的射影为1F ，连接,)NO MO 并延长分别交1C 于,A B 两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，OAB S ∆，设λ=OMN OABS S ∆∆.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）求λ的取值范围.【答案】（I ） 2214x y +=，24x y =；（II ） [)2,+∞． 【解析】试题分析：（Ⅰ ）由题意得得7,4M c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据点M 在抛物线上得2744c b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由3c a = 223c b =，可得277b b =，解得1b =，从而得32c a ==，，可得曲线方程．（Ⅱ ）设ON k m =，'OM k m =，分析可得1'4m m =-，先设出直线ON 的方程为y mx = (0)m >，由24y mx x y=⎧⎨=⎩，解得4N x m =，从而可求得4ON =,,OM OA OB ,故可将=OMN OAB ON OM S S OA OBλ∆∆⋅=⋅化为m 的代数式，用基本不等式求解可得结果．试题解析：（Ⅰ）由抛物线定义可得7,4M c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵点M抛物线24x by =上， ∴2744c b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2274c b b =- ①又由c a =，得 223c b = 将上式代入①，得277b b =解得1,b =∴c =2a ∴=，所以曲线1C 的方程为2214x y +=，曲线2C 的方程为24x y =． （Ⅱ）设直线MN 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2440x kx --=， 设11,)Mx y （，()2,2N x y . 则124x x =-，设ON k m =，'OM k m =， 则21122111'164y y mm x x x x =⋅==-， 所以1'4m m=-， ② 设直线ON 的方程为y mx = (0)m >，由24y mx x y=⎧⎨=⎩，解得4N x m =，所以4N ON ==由②可知，用14m-代替m ，可得M OM == 由2214y mx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得A x =，所以A OA == 用14m -代替m，可得B OB ==所以=OMN OAB ON OM S S OA OB λ∆∆⋅==⋅==1222m m=+≥，当且仅当1m =时等号成立． 所以λ的取值范围为[)2,+∞.点睛：解决圆锥曲线的最值与范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．。
江西省南昌市第二中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题
南昌二中2018—2019学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数3()f x x =，()f x '是()f x 的导函数，若0()12f x '=，则0x =（ ）A.2 B ． 2-C ．2±D ．2．命题“对任意R x ∈,都有22019x ≥”的否定是（ ）A. 对任意R x ∈，都有22019x <B. 不存在R x ∈，使得22019x <C. 存在R x ∈0，使得202019x ≥D. 存在R x ∈0，使得202019x <3．复数(1)(2)z i i =++，则其对应复平面上的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．由直线6x π=-，6x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )A.12B.15．已知函数2()xf x e x -=+，[1,3]x ∈，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最大值为13e +B ．函数()f x 的最小值为13e+ C ．函数()f x 的最大值为3 D ．函数()f x 的最小值为36. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．a ，b ，c 都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数7. 已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A. B. C. D.8．设函数()()2ln 1f x x m x =++有两个极值点，则实数m 的取值范围是( )A.()11,2-B.(10,2)C.(10,2]D. (]11,2-9. 已知函数2()1xf x e x x =+++与()23g x x =-，P 、Q 分别是函数()f x 、()g x 图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A ．5B C ．5D ．10．下列命题中，真命题是（ ）A ．设12,z z C ∈，则12z z +为实数的充要条件是21,z z 为共轭复数；B ．“直线l 与曲线C 相切”是“直线l 与曲线C 只有一个公共点”的充分不必要条件； C ．“若两直线12l l ⊥，则它们的斜率之积等于1-”的逆命题；D ．()f x 是R 上的可导函数，“若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=”的否命题．11.已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点2F 垂直于1l 的直线分别交12,l l 于,A B 两点，若||||2||OA OB AB +=，且2F 在线段AB 上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B C. 2 D 12．已知函数20()(2)xt f x t t e dt ⎡⎤=-⎣⎦⎰，则()f x 在()0,+∞的单调递增区间是( )A ．(0,)+∞B ．C ．)+∞D ．(2,)+∞二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．设函数)0(1)(>+=x x x x f ,观察：1)()(1+==x x x f x f ，12))(()(12+==x x x f f x f ， 13))(()(23+==x x x f f x f ，14))(()(34+==x xx f f x f ，，根据以上事实，由归纳推理可得：2019()f x = .14．4322x dx ππ- -+=⎰⎰．15．已知直线1:43110l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是．16．已知[1,2)a ∀∈，0(0,1]x ∃∈，使得00ln 22aax ax e m +>++，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知命题:p 函数1)(23+-=mx x x f 在[1,2]x ∈上单调递减；命题:q 曲线22126x y m m-=--为双曲线． （Ⅰ）若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.19．(本小题满分12分)已知直线l 过点()0,1P ，圆22:680C x y x +-+=，直线l 与圆C 交于,A B 不同两点．（Ⅰ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在过点()6,4Q 且垂直平分弦AB 的直线1l ？若存在，求直线1l 斜率1k 的值，若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++（0x ≥），其中0a >． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求实数a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，经过2F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且1F AB ∆的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记12AF F ∆与12BF F ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．22. (本小题满分12分)已知函数()(2)(ln ln )f x ax a x =--（其中0x >，0a >），记函数()f x 的导函数为()()g x f x '=．（Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得()0f x ≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由．南昌二中2018—2019学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. CDABD BABBC AD二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．20191xx + 14．8π 15．3 16. (,e 1)-∞-三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．【解析】（Ⅰ）若p 为真命题，2()320f x x mx '=-≤在[1,2]x ∈恒成立，即32m x ≥在[1,2]x ∈恒成立，∵32x 在[1,2]x ∈的最大值是3，∴3m ≥①若q 为真命题，则(2)(6)0m m -->，解得26m <<，②若“p 且q ”为真命题，即p ，q 均为真命题，所以326m m ≥⎧⎨<<⎩，解得36m ≤<，综上所述，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围为[3,6)；………………5分 （Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，即p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，326m m m ≥⎧⎨≤≥⎩或，解得6m ≥，当p 假q 真时，326m m <⎧⎨<<⎩，解得23m <<，综上所述，实数m 的取值范围为(2,3)[6,)+∞．………………………………………10分18．【解析】（Ⅰ）2()31f x x '=+，所以(2)13f '=………………………………………3分所以所求的切线方程为813(2)y x -=-，即13180x y --=………………………6分 （Ⅱ）设切点为3000,2)x x x +-（，则200()31f x x '=+…………………………………7分 所以切线方程为()()320000231()y x x x x x -+-=+- ……………………………9分 因为切线过原点，所以 ()()320000231x x x x -+-=-+，所以3022x =-，解得01x =-，…………………………………………………………11分所以(1)4f '-=，故所求切线方程为4y x =， 又因为(1)4f -=-，切点为(1,4)-- ………12分 19． 【解析】（Ⅰ）法1：直线l 的方程为1y kx =+，则由{221680y kx x y x =++-+=得()()212690k x x x ++-+=由()()22=263610k k ∆--+>得224360k k -->，故304k -<<………………6分 法2：直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，圆心为C （3，0），圆的半径为1则圆心到直线的距离d =，因为直线与有交于A ，B1<，故304k -<<．………………6分（Ⅱ）假设存在直线1l 垂直平分于弦AB ，此时直线1l 过()()6,4,3,0Q C ， 则1404633k -==-，故AB 的斜率34k =-，由（1）可知，不满足条件． 所以，不存在直线1l 垂直于弦AB ． ………………12分20．【解析】（Ⅰ）求导函数可得22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=+=++++． ∵()f x 在1x =处取得极值，∴(1)0f '=，∴2204(1)a a -=+，解得1a =；…………4分经检验，1a =时()f x 在1x =处取得极小值，符合题意，所以1a = …………5分（Ⅱ）222()(1)(1)ax a f x ax x +-'=++， ∵0x ≥，0a >，∴10ax +>，10x +>．当2a ≥时，在区间[0,)+∞上()0f x '≥，()f x 递增，()f x 的最小值为(0)1f =．…8分当02a <<时，由()0f x '>，解得x >；由()0f x '<，解得0x ≤<∴()f x的单调减区间为，单调增区间为)+∞．…………10分 于是，()f x在x =处取得最小值(0)1f f <=，不合． 综上可知，若f （x ）的最小值为1，则实数a 的取值范围是[2,)+∞．…………12分 21．【解析】（Ⅰ）因为1(1,0)F -为椭圆C 的焦点，所以1c =，由椭圆的定义知，1F AB ∆的周长为1212(||||)(||||)2248AF AF BF BF a a a +++=+==，解得2a =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；………………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为1x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得22(34)690m y my ++-=，则122634m y y m +=-+，…………7分 12121212216||||(||||)234m S S F F y y y y m -=-=+=+，当0m =时，120S S -=， 当0m ≠时，1226||64343||||m S S m m m -==≤=++，（当且仅当m =12S S -．…………12分 22．【解析】（Ⅰ）12()()(ln ln )(2)()ln ln g x f x a a x ax a a a x a x x'==-+--=--+， ∴22()a g x x x '=--，∵0x >，0a >，∴22()0a g x x x'=--<恒成立， ∴()g x 的单调减区间为(0,)+∞，无递增区间；………………4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以()0g x =在(0,)+∞上必存在实数根，不妨记0()0g x =，即002ln ln 0a a a x a x --+=，可得002ln ln 1x a ax =-+ ………（*）当0(0,)x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<， 所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减， 所以max 000()()(2)(ln ln )f x f x ax a x ==--，………………8分 把（*）式代入可得max 000024()(2)(1)4f x ax ax ax ax =--=+-， 依题意max 0004()()40f x f x ax ax ==+-≤恒成立，又由基本不等式有00440ax ax +-≥，当且仅当0042ax ax ==时等号成立，解得02ax =，所以02x a=． 代入（*）式得，2lnln a a =，所以2a a=，又∵0a >，所以解得a =综上所述，存在实数a =()0f x ≤对任意正实数x 恒成立．………………12分解法二：要使(2)(ln ln )0ax a x --≤对(0,)x ∀∈+∞恒成立，①20ax -≥即2x a ≥时，ln ln a x ≤，解得x a ≥，所以2max{,}x a a ≥， ②20ax -≤即2x a ≤时，ln ln a x ≥，解得x a ≤，所以2min{,}x a a≤，依题意可知，①、②应同时成立，则2a a=，又∵0a >，所以解得a =。
江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期第一次
南昌二中2017—2018学年度上学期第一次月考高二数学（理）试卷一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵直线的斜率为﹣tan =，由tanα=，且0≤α＜π，得．故选：D．点睛：由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率得答案。
2. 焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则长轴长是（）A. 11B. 33C.D.【答案】C【解析】由条件知，焦距为所以，长轴长是 .故选C；3. 直线（）与圆的位置关系为（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 与的值有关【答案】C【解析】∵直线l：（k+1）x﹣ky+1=0可化为：x+1+k（﹣y+1）=0，∴对于任意实数k，直线l过定点（-1，1）．∵12+（1﹣1）2=1，∴点（-1，1）在圆C内，∴直线l与圆相交.故选：A．4. 已知直线与关于直线对称，与垂直，则（）A. B. C. -2 D. 2【答案】B【解析】与垂直，故的斜率是2，设，过定点，和x轴的交点为，与关于直线对称，故和的交点也是和的交点，代入解得5. 点为圆上一点，过点K作圆切线为与：平行，则与之间的距离是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，k CM=，∴过M的圆的切线的斜率为k l= ，∴直线l的方程为4x﹣3y+6=0∵l与l′：4x﹣ay+2=0平行，∴a=3，∴l与l′之间的距离是，故答案为：．点睛：由切线与过切点的半径所在直线垂直求出切线的斜率，即可求出两直线方程，再用距离公式即可．6. 曲线与直线有两个交点时，实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，，其表示以为圆心，为半径的圆的上半部分，而表示经过点的一条直线，如下图所示，当直线与圆相切时，，∴，故选A.考点：1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．7. 若圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的取值范围是( )A. (－12，8)B. (－8，12)C. (－13，17)D. (－17，13)【答案】C【解析】圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣20=0化为（x﹣1）2+（y+2）2=25，则圆心C为（1，﹣2），半径r=5．若圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=25有四个不同的点到直线l：4x+3y+c=0的距离为2，则圆心C（1，﹣2）到直线l的距离d＜3，即解得：﹣13＜c＜17，∴c的取值范围是（﹣13，17）．故选：C．点睛:由题意画出图形，若圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=25有四个不同的点到直线l：4x+3y+c=0的距离为2，则圆心C（1，﹣2）到直线l的距离d＜3，由此列关于c的不等式得答案．8. 两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为两圆的圆心和半径分别为，所以由题设可知两圆相外切，则，故，即，所以，应选答案C。
2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末考试数学试题(理)(答案+解析)
江西省南昌市2018-2019学年第二中学高二上学期期末考试（理）一、单选题1．已知函数，是的导函数，若，则（）A．B．C．D．2．命题“对任意,都有”的否定是（）A．对任意，都有B．不存在，使得C．存在，使得D．存在，使得3．复数，则其对应复平面上的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．由直线，，与曲线所围成的封闭图形的面积为( )A．B．1 C．D．5．已知函数，，则下列说法正确的是( )A．函数的最大值为B．函数的最小值为C．函数的最大值为3 D．函数的最小值为36．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数7．已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．8．设函数有两个极值点，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．9．已知函数与，、分别是函数、图象上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．10．下列命题中，真命题是（）A．设，则为实数的充要条件是为共轭复数；B．“直线与曲线C相切”是“直线与曲线C只有一个公共点”的充分不必要条件；C．“若两直线，则它们的斜率之积等于”的逆命题；D．是R上的可导函数，“若是的极值点，则”的否命题．11．已知分别是双曲线的左、右焦点，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点，若，且在线段上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数，则在的单调递增区间是( )A．B．C．D．二、填空题13．设函数,观察：，，，…，根据以上事实，由归纳推理可得：________.14．____．15．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是____．16．已知，，使得，则实数的取值范围为____．三、解答题17．已知命题函数在上单调递减；命题曲线为双曲线．（Ⅰ）若“且”为真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围．18．已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标.19．已知直线过点，圆，直线与圆交于不同两点．（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；（Ⅱ）是否存在过点且垂直平分弦的直线？若存在，求直线斜率的值，若不存在，请说明理由．20．已知函数（），其中．（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值；（Ⅱ）若的最小值为1，求实数的取值范围．21．已知椭圆的左右焦点分别为、，经过的直线与椭圆交于、两点，且的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）记与的面积分别为和，求的最大值．22．已知函数（其中，），记函数的导函数为．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题1．已知函数，是的导函数，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求得函数的导数，然后根据列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，故，解得.故选C.【点睛】本小题主要考查基本初等函数导数的计算，考查方程的思想，属于基础题.2．命题“对任意,都有”的否定是（）A．对任意，都有B．不存在，使得C．存在，使得D．存在，使得【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，注意到要否定结论，由此判断出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否定是特称命题，是特称命题的是C,D两个选项.在C,D两个选项中，C选项没有否定结论，不符合题意.故选D.【点睛】本小题主要考查全称命题的的识别，考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.3．复数，则其对应复平面上的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】利用复数乘法运算化简题目所给复数，由此得到复数对应的点的坐标，进而求得复数对应复平面上的点位于的象限.【详解】依题意，，对应点的坐标为，位于第一象限，故选A.【点睛】本小题考查复数的乘法运算，考查复数对应点以及对应点所在的象限，属于基础题.4．由直线，，与曲线所围成的封闭图形的面积为( )A．B．1 C．D．【答案】B【解析】通过计算定积分，求得封闭图像的面积.【详解】题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B.【点睛】本小题主要考查利用定积分计算曲边图形的面积，考查定积分的计算，属于基础题.5．已知函数，，则下列说法正确的是( )A．函数的最大值为B．函数的最小值为C．函数的最大值为3 D．函数的最小值为3【答案】D【解析】根据利用导数判断函数在区间上的单调性，由此求得函数的最大值和最小值，从而判断选项是否正确.【详解】，令，解得，故函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，所以函数在处取得极小值也即是最小值为.而，故最大值为.由此可知，D选项正确，故选D.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数在给定区间上的最大值和最小值，考查利用函数导数求函数的单调区间，属于中档题.要求一个函数的最大值和最小值，可以利用导数来进行求解，首先明确函数的定义域，然后对函数进行求导，根据导函数的正负判断原函数的单调区间，结合极值点和区间端点的函数值，得到最大值和最小值.6．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数【答案】B【解析】：自然数，，中恰有一个偶数的反面是．，，中至少有两个偶数或都是奇数，因此选B。
江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期第三次
南昌二中2017—2018学年度上学期第三次月考高二数学（理）试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）1. 已知命题，，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵命题，，∴为故选：B2. 的导函数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴=2cos2x故选：B3. 函数的单调递增区间为（）A. B. C. D. 和【答案】C【解析】函数的定义域为：，当时，∴函数的单调递增区间为故选：C点睛：求单调区间的步骤：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．4. 在极坐标系中，极点关于直线对称的点的极坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线的普通方程为：由图易知：原点关于直线的对称点A的坐标为∴极坐标为故选：A5. 设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的导数为y′=2x+1，设切点P（m，n），可得切线的斜率为k=2m+1，由切线倾斜角α的取值范围为，可得切线的斜率k=tanα∈[1，1]，即为1≤2m+1≤1，解得．故选：B．点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．6. 设命题：，直线与直线垂直，命题：若，则是函数的极值点.则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线与直线垂直∴命题为真命题；，,,但=0并不是函数的极值点，∴命题为假命题，从而为假命题，为真命题根据真值表可知：为真命题.故选：C7. 若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】方程解的个数即函数y=x+b与y=的交点的个数，作函数y=x+b与y=的图象如下，由图可知，直线在y=x+与半圆相切，故实数b的取值范围为．故选：D．8. 对任意正实数，不等式恒成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】记，∴在上单调递减，在上单调递增∴的最小值为∴不等式恒成立的等价条件为∴不等式恒成立的一个充分不必要条件是故选：A9. 设是抛物线上的三点，若的重心恰好是该抛物线的焦点，则（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】由题意可得F（1，0）是抛物线的焦点，也是三角形ABC的重心，故，∴=3．再由抛物线的定义可得=x A+1+x B+1+x C+1=3+3=6，故选：C．10. 点是曲线上的点，是直线上的点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设与直线y=2x﹣1平行的直线y=2x+c与曲线y=2e x相切与点P（x0，y0），则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，∴e x0+ 1=2，解得x0=0，∴曲线的切线为y=2x+1，由平行线间的距离公式可得|PQ|的最小值为故选：B11. 已知双曲线（，）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线（，）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率，∴e≥2，故选C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 若函数存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，x＞0，∴f′（x）=a（x﹣1）e x+﹣1=（x﹣1）（ae x），由f'（x）=0得到x=1或ae x（*）由于f（x）仅有一个极值点，关于x的方程（*）必无解，①当a=0时，（*）无解，符合题意，②当a≠0时，由（*）得，a=，∴a由于这两种情况都有，当0＜x＜1时，f'（x）>0，于是f（x）为增函数，当x＞1时，f'（x）＞0，于是f（x）为减函数，∴x=1为f（x）的极值点，∵f（1）=﹣ae-1<0，∴,又a综上可得a的取值范围是．故选：D．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. “若，则，全为零”的否命题是________________________；【答案】“若，则，不全为零”【解析】根据否命题的定义，原命题的否命题是“若，则不全为0”14. 若函数在与处都取得极值，则________；【答案】【解析】函数的导函数为又函数在与处都取得极值，∴1和是的两个实根，∴，即∴15. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________；【答案】【解析】函数，又函数在区间上单调递减∴在区间上恒成立即，解得:，当时，经检验适合题意。
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2017-2018学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）1．（5分）证明不等式“”最适合的方法是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．数学归纳法2．（5分）命题“∀x∈R，∃a∈R，使得n＞|x﹣1|﹣|x﹣2|”的否定形式是（）A．∃x∈R，∃a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|B．∀x∈R，∀a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|C．∀x∈R，∃a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|D．∃x∈R，∀a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|3．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）经过点（2，﹣4）且与双曲线有同渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=lnx+x2f′（1），则f′（1）=（）A．﹣1B．e C．﹣e D．16．（5分）设x，y，z都是正数，则三个数（）A．都大于2B．至少有一个不小于2C．至少有一个大于2D．至少有一个不大于27．（5分）若关于x的不等式|x﹣2|+|x+a|＞4的解集为R，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞）B．（﹣6，2）C．（﹣∞，﹣6）∪（﹣2，+∞）D．（﹣6，﹣2）8．（5分）在下列结论中，正确的结论为（）①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件④“￢p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．A．①②B．①③C．②④D．③④9．（5分）若不等式|2x﹣3|+|2x﹣5|＜4的解集为（a，b），则曲线与直线y=x﹣3及直线x=a，x=b所围成的封闭图形的面积为（）A．B．ln3C．D．ln3+2 10．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x，若过点M（3，t）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数t的取值范围是（）A．（﹣9，﹣8）B．（﹣18，18）C．（﹣18，6）D．（﹣6，6）11．（5分）若关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，则实数k 的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，f'（x）为其导函数，当x＞0且x≠1时，，若曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为﹣1，则f（1）=（）A．B．0C．D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+2i=1﹣bi，则复数z=a+bi的模|z|=．14．（5分）已知函数，则=．15．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n＞0时，有e•（sinA+sinB）=sinC．类似地，当m＞0、n＜0时，有e•（）=sinC．16．（5分）共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（ρ∈R）．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．18．（12分）已知函数f（x）=|x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=在x=﹣2处有极值．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=+﹣1，且a n＞0，n∈N*．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．21．（12分）设顶点在原点，焦点在x轴上的拋物线过点P（1，2），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k PA，k PB．（Ⅰ）求拋物线的方程；（Ⅱ）若k PA+k PB=0，求证：直线AB的斜率为定值，并求出其值；（III）若k PA k PB=1，求证：直线AB恒过定点，并求出其坐标．22．（12分）已知函数（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2（x1＜x2），求证：．2017-2018学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）1．（5分）证明不等式“”最适合的方法是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．数学归纳法【解答】解：欲证明不等式”，只要证明+＜+，分别求出左右两式的平方，再比较出两平方式的大小．从结果来找原因，或从原因推导结果，证明不等式所用的最适合的方法是分析法．故选：A．故选：B．2．（5分）命题“∀x∈R，∃a∈R，使得n＞|x﹣1|﹣|x﹣2|”的否定形式是（）A．∃x∈R，∃a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|B．∀x∈R，∀a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|C．∀x∈R，∃a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|D．∃x∈R，∀a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|【解答】解：命题“∀x∈R，∃a∈R，使得n＞|x﹣1|﹣|x﹣2|”的否定形式是：∃x∈R，∀a∈R，使得n≤|x﹣1|﹣|x﹣2|．故选：D．3．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵==，∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（），位于第三象限角．故选：C．4．（5分）经过点（2，﹣4）且与双曲线有同渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意与双曲线有同渐近线的双曲线方程设为：，把点（2．﹣4）代入中，求得m=﹣4，∴双曲线的方程为：．故选：A．5．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=lnx+x2f′（1），则f′（1）=（）A．﹣1B．e C．﹣e D．1【解答】解：根据题意，f（x）=lnx+x2f′（1），则f′（x）=+2xf′（1），令x=1可得：f′（1）=1+2f′（1），解可得：f′（1）=﹣1，故选：A．6．（5分）设x，y，z都是正数，则三个数（）A．都大于2B．至少有一个不小于2C．至少有一个大于2D．至少有一个不大于2【解答】解：三个数中至少有一个不小于2．下面利用反证法证明：x，y，z都是正数，假设三个数都小于2．则6＞x++y++z+=x+++y++z≥2+2+2=6，当且仅当x=y=z=1时取等号．即6＞6，矛盾，因此假设不成立，∴三个数中至少有一个不小于2．故选：B．7．（5分）若关于x的不等式|x﹣2|+|x+a|＞4的解集为R，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞）B．（﹣6，2）C．（﹣∞，﹣6）∪（﹣2，+∞）D．（﹣6，﹣2）【解答】解：由于|x﹣2|+|x+a|表示数轴上的x对应点到2和﹣a的距离之和，它的最小值等于|2+a|，由题意可得|2+a|＞4，解得a＞2，或a＜﹣6，故选：A．8．（5分）在下列结论中，正确的结论为（）①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件④“￢p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．A．①②B．①③C．②④D．③④【解答】解：①“p且q”为真，则p，q同时为真，“p或q”为真，则p，q至少有一个为真，则“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件，正确．②当p，q同时为假时，满足“p且q”为假，但“p或q”为真不成立，即“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件，错误，③当p假q真时，“p或q”为真，但“￢p”为假不成立，即充分性不成立，若￢p为假，则p为真，此时，“p或q”为真，即必要性成立，则“p或q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件，正确，④“￢p”为真，则p为假，则“p且q”为假的，此时充分性成立，故④错误，故选：B．9．（5分）若不等式|2x﹣3|+|2x﹣5|＜4的解集为（a，b），则曲线与直线y=x﹣3及直线x=a，x=b所围成的封闭图形的面积为（）A．B．ln3C．D．ln3+2【解答】解：∵不等式|2x﹣3|+|2x﹣5|＜4的解集为（a，b），∴x≥时，2x﹣3+2x﹣5＜4，解得：x＜3，＜x＜时，2x﹣3+5﹣2x＜4，成立，x≤时，3﹣2x+5﹣2x＜4，解得：x＞1，故不等式的解集是（1，3），故a=1，b=3，故（﹣x+3）dx=（lnx﹣x2+3x）=ln3+2，故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x，若过点M（3，t）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数t的取值范围是（）A．（﹣9，﹣8）B．（﹣18，18）C．（﹣18，6）D．（﹣6，6）【解答】解：设切点为（a，a3﹣3a），∵f（x）=x3﹣3x，∴f'（x）=3x2﹣3，∴切线的斜率k=f′（a）=3a2﹣3，由点斜式可得切线方程为y﹣（a3﹣3a）=（3a2﹣3）（x﹣a），∵切线过点M（3，t），∴t﹣（a3﹣3a）=（3a2﹣3）（3﹣a），即2a3﹣3a2=﹣t﹣9，∵过点M（3，t）可作曲线y=f（x）的三条切线，∴关于a的方程2a3﹣3a2=﹣t﹣9有三个不同的根，令g（x）=2x3﹣3x2，∴g′（x）=6x2﹣6x=0，解得x=0或x=1，当x＜0时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x=0时，g（x）取得极大值g（0）=0，当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=﹣1，关于a的方程2a3﹣3a2=﹣t﹣9有三个不同的根，等价于y=g（x）与y=﹣t﹣9的图象有三个不同的交点，∴﹣1＜﹣t﹣9＜0，∴﹣9＜t＜﹣8，∴实数t的取值范围为（﹣9，﹣8）．故选：A．11．（5分）若关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，则实数k 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意可得，0＜k＜1，函数y=k|x|与y=﹣|x﹣2|的图象如下，由0＜k＜1，可得x A＞1，∴关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，由⇒x B=，故＜k≤；故选：B．12．（5分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，f'（x）为其导函数，当x＞0且x≠1时，，若曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为﹣1，则f（1）=（）A．B．0C．D．1【解答】解：当x＞0且x≠1时，，可得x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0；0＜x＜1时，2f（x）+xf′（x）＜0．令g（x）=x2f（x），x∈（0，+∞），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]．可得：x＞1时，g′（x）＞0；0＜x＜1时，g′（x）＜0．可得函数g（x）在x=1处取得极值，∴g′（1）=2f（1）+f′（1）=0，由f′（1）=﹣1，可得f（1）=，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+2i=1﹣bi，则复数z=a+bi的模|z|=．【解答】解：由a+2i=1﹣bi，得a=1，b=﹣2．∴复数z=a+bi的模|z|=．故答案为：．14．（5分）已知函数，则=．【解答】解：f（x）=sinx+，∴=sinxdx+dx，∵sinxdx=﹣cosx|=0，dx表示以原点为圆心，半径为1的圆的面积的二分之一，∴dx=，∴=sinxdx+dx=，故答案为：15．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n ＞0时，有e•（sinA+sinB）=sinC．类似地，当m＞0、n＜0时，有e•（|sinA ﹣sinB| ）=sinC．【解答】解：设△ABC中角A，角B，角C所对的边长分别为a，b，c．∵△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上，∴m＞0＞n时，曲线是双曲线，离心率e=，由双曲线定义|b﹣a|=2，∴e|b﹣a|=c，由正弦定理，得e|sinA﹣sinB|=sinC．故答案为：|sinA﹣sinB|．16．（5分）共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则的最大值为．【解答】解：设椭圆的短半轴是b1，双曲线的虚半轴是b2，它们的半焦距都是c；则b1=2b2，∴椭圆的长半轴是a1==，双曲线的实半轴是a2=；∴椭圆的离心率为e1=，双曲线的离心率为e2=；∴=+==；∵0＜b2＜c，∴0＜＜1，设=x，x∈（0，1），则函数y=+，x∈（0，1）；求导数y′=•+•，令y′=0，解得x=，∴x=时，函数y取得最大值为y max=，的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（ρ∈R）．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（a为参数），消去参数α得x2+y2=16，∴曲线极坐标方程为ρ2=16，即ρ=4．…（5分）（Ⅱ）∵直线l的极坐标方程为（ρ∈R），∴直线l的直角坐标方程为y=x，联立，得或，∴|AB|==8．…（10分）18．（12分）已知函数f（x）=|x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）|x﹣a|+a≤2，2a﹣2≤x≤2，即得2a﹣2=1，得．（2）∵f（n）≤m﹣f（﹣n），∴m≥f（n）+f（﹣n）=．∵，且存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n），∴m≥6．19．（12分）已知函数f（x）=在x=﹣2处有极值．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣2ax由题意知：f′（﹣2）=4+4a=0，得a=﹣1，∴f′（x）=x2+2x，令f′（x）＞0，得x＜﹣2或x＞0，令f′（x）＜0，得﹣2＜x＜0，∴f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），单调递减区间是（﹣2，0）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=，f（﹣2）=为函数f（x）极大值，f（0）=b为极小值．∵函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有一个零点，∴或或或或，即，∴，即b 的取值范围是．20．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n =+﹣1，且a n ＞0，n ∈N*．（Ⅰ）求a 1，a 2，a 3；（Ⅱ）猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 【解答】解：（Ⅰ）a 1=S 1=+﹣1，所以a 1=﹣1±；又因为a n ＞0，所以a 1=﹣1+；，所以a 2=﹣；，所以a 3=﹣；（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想a n =﹣，n ∈N +．下面用数学归纳法加以证明：①当n=1时，由（1）知a 1=﹣1+成立；②假设n=k （k ∈N +）时，成立．当n=k +1时，=+﹣﹣=+﹣所以a k +12+2a k +1﹣2=0，解得a k +1=﹣，即当n=k +1时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n ∈N +都成立．21．（12分）设顶点在原点，焦点在x 轴上的拋物线过点P （1，2），过P 作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k PA，k PB．（Ⅰ）求拋物线的方程；（Ⅱ）若k PA+k PB=0，求证：直线AB的斜率为定值，并求出其值；（III）若k PA k PB=1，求证：直线AB恒过定点，并求出其坐标．【解答】解：（Ⅰ）依题意，可设所求拋物线的方程为y2=2px（p＞0），因拋物线过点P（1，2），故22=2p，p=2，拋物线的方程为y2=4x．…（2分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，同理，∵k PA+k PB=0，∴，∴y1+2=﹣y2﹣2，y1+y2=﹣4．∴，即直线AB的斜率恒为定值，且值为﹣1．…（7分）（III）∵k PA k PB=1，∴，∴y1y2+2（y1+y2）﹣12=0．直线AB的方程为，即（y1+y2）y﹣y1y2=4x．将﹣y1y2=2（y1+y2）﹣12代入上式得（y1+y2）（y+2）=4（x+3）即为直线AB的方程，所以直线AB恒过定点（﹣3，﹣2），命题得证．…（12分）22．（12分）已知函数（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2（x1＜x2），求证：．【解答】解：（Ⅰ）依题，函数f（x）的定义域为（0，+∞），所以方程f′（0）=0在（0，+∞），有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞），有两个不同根．转化为：函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞），上有两个不同交点，可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），所以k=，又k=，所以，解得，x0=e，于是k=，所以0＜a＜．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，作差得，，即．所以不等式，等价于，…（8分）下面先证，即证，令，∵0＜x1＜x2，∴t＞1，即证（t＞1），令（t＞1），则，∴在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，即得证，从而得证；…（10分）再证，即证，即证lnt＜t﹣1（t＞1），令h（t）=lnt﹣t+1（t＞1），则，∴h（t）=lnt﹣t+1在（1，+∞）上单调递减，∴h（t）＜h（1）=0，即lnt＜t﹣1得证，从而得证，综上所述，成立，即．…（12分）。