大一高数总复习资料

第一章 第一节 (),U a δ(),U a δo
第二节 【证明示例】ε1．由n x a -∴N g =⎡⎣2．即对>∀ε有不等式∴{}x n x ∞
→lim 第三节 ○0x x →【证明示例】ε1．由()f x -∴(εδg =2．即对>∀ε∴(f x x →0
lim ○∞→x 【证明示例】ε1．由()f x -∴(g X =2．即对>∀ε不等式(f ∴(x f x ∞
→lim 第四节 函数(x f 函数(x f
()x g 为无穷小，若()x f 为若()x f 为无
（或∞→x ） 0x =的任一去心D x ∈上有界；） 0x 时的无穷小； ∞时的无穷小；）
n
m
a
()()0000,00f x f x ≠=
式
3
x→=
其中x
解：
x→
∵∀x
x→lim f )1
第九节
【题型示例】介于a 与b 【证明示例】
1．闭区间[,a 2．∵()a ϕϕ⋅3．得()=ξϕ4第二章 第一节 【题型示例】处可导，求a ，【求解示例】
1．∵()()00f f -+'⎧=⎪⎨'=⎪⎩2∴1,a b =【题型示例】求（或：过f y =方程） 【求解示例】
1．()x f y '='2第二节 1特别地，当23第三节
【求解示例】第六节 第七节 (x f dy '=第三章 第一节 【题型示例】使得()f
ξ【证明示例】
1．()0,π2．又∵(0ϕ(ϕπ即ϕ3()0,ξπ∃∈【证明示例】
1．显然函数()1,x 2(1x e e -=又∵e ξ
>化简得x e >【证明示例】
1． ，
0sin 02
x
=
x →= 0
00
ln lim L x x '→→=对
x =-=对
1．()()2
36326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320
610
y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩
3．（四行表）
x (,0)-∞ 0 (0,1)
1 (1,2)
2 (2,)+∞
y ' - 0 + + 0 - y '' + + - - y 1 (1,3) 5
4．⑴函数23
13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)
单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；
⑵函数23
13y x x =+-的极小值在0x =时取到，
为()01f =，
极大值在2x =时取到，为()25f =；
⑶函数2
3
13y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，
在区间(1,2),(2,)+∞上凸；
⑷函数2
3
13y x x =+-的拐点坐标为()1,3
第五节 函数的极值和最大、最小值
○函数的极值与最值的关系（★★★）
⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈o
，都适合不等式()()M f x f x <，
我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；
令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈
则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：
()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；
⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域
()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈o
，都适合不等
式
()()m f x f x >，
我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值
()m f x ；
令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈
则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：
()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；
【题型示例】求函数()3
3f x x x =-在[]1,3-上的最值
【求解示例】
1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+
2．令()()()3110f x x x '=--+=， 解得：121,1x x =-= 3．（三行表）
x
1- ()1,1-
1 (]1,3
()f x ' 0
+
- ()f x
极小值
Z
极大值
]
4．又∵()()()12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节 函数图形的描绘（不作要求） 第七节 曲率（不作要求）
第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：
假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或
()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一
个原函数
⑵原函数存在定理：（★★）
如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）
在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项
C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，
即表示为：()()f x dx F x C =+⎰
（
⎰
称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称
为积分表达式，x 则称为积分变量）
○基本积分表（★★★）
○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）
()()()()1
2
1
2
k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡
⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 第二节 换元积分法
○第一类换元法（凑微分）（★★★） （()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）
()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡
⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰
= =
则其
中方
C ()x e ()x的
2
1x dx x +=⎰⎰
x
b 称为积分上限，
()2b
a k g x dx +⎰
()0f x >，[],a b 上满()b
a
g x dx ⎰；
()f x 在区间
)
()()x x ψψ'⎡⎤⎣⎦
00
1
212x L x x x →'→→=====⋅[12=⎰
129==⎰ ()0
2a
f x dx ⎰
0=
C 的证明。

很
我给出这样()tan t dt dt dt '⋅=⎰ x
C a
+也就很。