第27章相似总复习课件

2 2
已知1, 2, 3三个数，请你再添上一个 数，写出一个比例式。
6
6或2/3或1.5
2.比例中项：
当两个比例内项相等时， 即
a b (或 a：b=b：c)， = ， b c
那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项.
即： b = ac
4 .线段2cm与8cm的 数2与8的比例中项是____
2
B
C A D
D B
E C
B
C
相似三角形的性质： 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例
2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高、
对应角平分线，对应中线的比都等于相似比
3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
相似多边形的判定：对应角相等、对应边的比相等
定义：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形 叫做相似多边形. 相似多边形的性质：
必做题：
1. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，1）、B（3，0）、 C（-1，0）D（-2，0），连结AB、AC、AD. (1) AD的长为___________； (2) 找出图中相似的一对三角形，并说明 相似的理由； (3) ∠ABD+∠ADB=_________度. 选做题： 2. 如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴 y轴分别A（3，0）B（0， 3）两点，点 C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x 轴于点D. (1)求直线AB的解析式； (2)在第一象限内求作一点P,使得以P，O，B 为顶点的三角形与⊿OBA相似,并求出所 有符合条件的点P.
1. 成比例的数（线段）：
a c = 若 或a : b = c : d , 那么 a ,b, c , d 叫做四个数成比例。 b d
b （或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做成比例的线段，简称比例线段.
若 a、b、c、d 为四条线段 ，如果
a
=d
c
a∶b=c∶d
其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项， a、d 叫做比例外项， b、c 叫做比例内项，
P
H
D
C
E 提示：体会这个图形的“模型” 作用，将会助你快速解题！
P
C
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7.如图，已知抛物线与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C点. （1）求此抛物线的解析式； （2）抛物线上有一点P，满足 ∠PBC=90°，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，问在y轴 上是否存在点E，使得以A、O、E 为顶点的三角形与⊿PBC相似？若 存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由.
y B O
C D A x
B
E
C
∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离 之比等于位似比. 位似图形的对应点和位似中心在 同一条直线上, 3.位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中，如果 位似变换是以原点为位似中 心，相似比为k，那么位似 图形对应点的坐标的比等于 k或－k.
例1、如图,DE∥BC,EF∥AB,且 S△ADE=25,S△CEF=36. 求△ABC的面积. 解：∵DE∥BC，EF∥AB
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5、如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, ∠A=900,AB=2, AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),ＰＥ⊥ＢＰ，Ｐ
Ｅ交ＤＣ于点Ｅ．
（１）△ABP与△DPE是否相似？请说明理由； （２）设ＡＰ＝x ＤＥ=y，求y与x之间的
函数关系式,并指出自变量x的取值范围；
A xP 2 B
=
6 5
a
，
求
b，
a-b
b
1/5,-4/5
3 1 x y z x- y+z y = _____, = ______. 5 1 = = , 则 3 5 x+ y+z 2 3 4 2 x + y - 3z
11 x - 2 xy + 3 y 2已知， x + y : 4 = y : 3, 则 = _______ . 5 2 2 x +y
x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
解：∵△ABD∽△DCE
AB BD = ∴ CD CE
即
∴ ∴
A 1 B
y
E
2-x
1- y
C
1 x = 2 - x 1- y
x
2
D
1- y = x

2-x

y = x2 - 2 x + 1
0 x 2
2 1 y= x- 2 +2
∴∠A=∠CEF，∠AED=∠C
A
D
25
E
∴△ADE∽△EFC
S ∴ S
ADE
∵DE∥BC
S ∴ S
36
B
F
C
=
EFC
AE2 EC2
=
25 36
∴△ADE∽△ABC
ADE EFC
∴
AE 5 = CE 6
25 = = 2 121 AC
AE2
AE 5 = ∴ AC 11
∵ S△ADE=25 ∴S
△ABC=121
●
D′ B′ C′
A′ G′ B F′ C D
A G F E
●
P
P
G′
F′ A′
C′
B′
D′
E′
4.如何作位似图形(缩小).
5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.
O
P
1.如果两个相似图形的每组对应点所在的直线 都交于一点,对应边互相平行，那么这样的两 个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似 比. 2.位似图形有以下性质：
A D E E A D
B
C
B
C
∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC
相似三角形判定定理1：三边对应成比例的两 个三角形相似. A D C E F
B
AB AC BC △ABC∽△DEF = = DE DF EF
相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等
的两个三角形相似. A D C E F
B
AB AC = DE DF A=D
（1）平行于三角形一边的直线截其 它两边(或两边的延长线)相交；（2） 两角对应相等；（3）两边对应成比 例且夹角相等；（4）三边对应成比 例； （5）一条斜边和一条直角边对 应成比例。
相似三角形基本图形的回顾：
A D B D E B C E
E A B
D C
A
C
△ADE绕点A 旋转
E
A
D
点
重 移 合 到 A 与 点 ∠ACB=Rt∠ CD⊥AB
△ABC∽△DEF
相似三角形判定定理3：两个角对应相等的两个三角 形相似 A D
Hale Waihona Puke Baidu
B
C
E
F
A=D B=E
△ABC∽△DEF
相似三角形判定定理4：在直角三角形中，一条斜边 和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 A D
B
C
E
F
A=D B=E
△ABC∽△DEF
相似三角形的判定：
相似多边形的对应角相等，对应边的比相等. 相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比 等于相似比的平方.
1、 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的 连线相交于一点，这样的相似叫做位似,点O 叫做位似中心．
2、利用位似的方法，可以把一个多边形放大或
缩小
3.如何作位似图形(放大).
E′ A B C D G F E
m n m 已知 ,求 的值. 3、 = n 6 5
解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得：
4、已知 (1) x：(x+2)=(2—x)：3，求x。 1或-4 x 1 (2)若 2x - 3y ， 求 。 y 7/3 = 2 x+ y
(3) 若
a+b b
m 6 n = 5 m n 方法(2)因为 ,所以5m=6n = 6 5 m 6 所以 n = 5
比例的性质：
= b d
a
c ad bc; =
练习:
1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d= 2、下列各组线段的长度成比例的是（ D） A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 D. 1 , ,2.5 ,6.5 , 4.5 2 , 2 , 4
6
C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4
1. 如图, 边长为4的正方形ABCD中, P是边BC上的一点, QP⊥AP 交 DC于Q, 设 BP= x, △ADQ的面积为y. (1) 求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围; (2) 问P点在何位置时,△ADQ的面积最小?最小面积是多少?
A D
Q B P C
拓展提高
4、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D 是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E， 使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长
A
1
y
E
C
B
x
D
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一
个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE
A 1 D ）2
证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° ∴∠ADE=∠B
5
5-x
D y E
（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED 能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能， 请说明理由； （4）请你探索在点P运动的过程中，△BPE能否成为等腰三 角形？如果能，求出AP的长，如果不能，请说明理由。
C
拓展提高
A
D
6.如图，梯形ABCD中 AD∥BC ， ∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=10， E 在线段BC上任取一P，作射线 PE⊥PD，与线段AB交于点E. B A （1）试确定CP=5时点E的位置； （2）若设CP=x，BE=y，试写出y关 于自变量x的函数关系式，并求出 自变量x的取值范围.
4cm 比例中项是____ .
定义：
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似比：
相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。
ABC ∽ A’B’C’,如果BC=3,B’C’=1.5,那么 A’B’C’与
1 ABC的相似比为_________. 2
三角形相似的判定方法有哪几种? 预备定理
2 时 当 x= 2
y最小值
1 = 2
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长
分类讨论 AD=AE AE=DE DE=AD
B 1
A
y
E
2-x
1- y
C
x
D
X=4
y
C O
3
2
A
P
6
B
Qx
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8、某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10m， 20m的梯形空地上种植花木（如下图） （1）他们在△AMD和△BMC地带种植太阳花，单价为8元/m2。当在 △AMD地带 （图中阴影部分）中种满花后，共用去了160元。请计算种满 △BMC地带所需的费用 是多少元。 （2）若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择，单价分别 为12元/m2、10元/m2，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？ （3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛 图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌ △DPC，且△APD的面积与 △BPC的面积相等，并说明你的理由。