铁路轨道不平顺模拟的一种新方法

提 要 在总结了目前应 用的几种铁路轨道 不平顺模拟方法的 基础上 ,提出了一 种新的 模拟方法 —— 频域法。这种方法不需要进行滤波 ,直接对轨道不平顺的功率谱密度函数进 行采样处理 ,对平稳的及非平稳的轨道不平顺均可应用。数值模拟试验表明这种模拟方法 简洁、 实用、有效。 关键词 轨道不平顺 频 域法 功率谱密度 中图分类号 U 213
9. 701× 10- 2k2+
10- 2 2. 666×
10-
5
rad2
/(
cy c·
m- 1 )
( 8)
文献 [ 4]的初步研究显示国内铁路轨道不平顺状况与美国的基本相同。因而一些文献在研
究轨道不平顺时采用美国的功率谱密度。
3 轨道不平顺的数值模拟
轨道不平顺是一个随机过程 ,可从实测波形选取某段采用 ,也可以根据已知功率谱密度函 数的拟合表达式进行数值模拟。 常用的轨道不平顺数值模拟方法主要有下面几种方法: 3. 1 二次滤波法 [7 ]
收稿日期: 1997-07-16 王元丰 男 1965年出生 副教授 北方交通大学土建系 邮编: 100044
第 6期
铁路轨道不平顺模拟的一种新 方法
1 1 1
线 方向 的变化 。它 是由 于轨 头侧 面磨 耗不均 、轨 道横 向弹 性或 阻力 不等、 扣件 失效 等原 因造 成。
方向不平顺会引起机车车辆的横移 -侧滚振动 ,使得轮对产生
1. 1 轨道垂直方向的不平顺 1. 1. 1 轨道的高低不平顺 轨道的高低不平顺是高低垂直方向的不平顺 ,即指轨道顶面在相 同轮载作用下沿轨道长度的高低变化。 它是由于轨面磨耗不均匀、弹性垫层、轨枕、道床、路基 的弹性变形不均匀 ,各部件之间存在间隙等原因造成的。
轨道高低不平顺是引起机车车辆竖向振动 ,使轮轨间产生巨大惯性力的主要因素。研究表 明: 波长大的不平顺对车体振动的影响较大。幅值较大及幅值相应的平均变化率也是大的不平 顺 ,会引起车体强烈振动。 波长较短或变化率较大的高低不平顺使轮轨间产生激烈的冲击 ,引 起极大的相互作用和很大的簧下加速度。 1. 1. 2 轨道水平不平顺 轨道水平不平顺是指左右轮轨接触点的高差 (不计曲线超高 ) ,它是 由于左右两轨高度不等所造成的。 轨道的水平不平顺是使机车车辆产生侧滚的主要原因。 当 水平不平顺幅值较大 ,并接连不断 ,频率与车辆侧滚的自振频率相近时 ,车辆将产生较大的左 右倾斜振动 ,使车轮一侧轮载增大 ,另一侧减小 ,形成脱轨条件 ,影响行车安全。 1. 1. 3 三角坑不平顺 三角坑不平顺是指轨道一定间隔的水平不平顺的变化量 (图 1)。即图 1中 1、 2轮及 3、 4轮所在位置左右水平的代数差 ,三角坑表示轨道在平面上的扭曲状态。存在 三角坑的地方 ,不仅车辆摇晃严重 ,而且会出现所谓三轮支撑一轮悬空 (或大大减载 )容易出轨 的危险状态。 三角坑不平顺 ,在车桥共振问题的空间模型中 ,已包含在左右轨高低不平顺的影 响之中。 1. 2 高低的横向不平顺 1. 2. 1 轨道的方向不平顺 方向不平顺是指在车轮作用下 ,钢轨侧面凹凸不平引起线路中心
第 19卷第 6期 1 9 9 7年 12月
铁 道 学 报 JO U RN A L O F T HE C HIN A R AILW AY SO CIET Y
V ol. 19 N o. 6 December 1997
铁路轨道不平顺模拟的一种新方法
王元丰
王 颖
王东军
(北方交通大学 北京 ) (清华大学 北京 ) (中 国船舶总公司 北京 )
G(k)
-∞
/ex 2
( 3) 求 Ok—— 在 ( 0～ 2π)之间均匀分布的随机变量 ;
Baidu Nhomakorabea
( 4) 决定 n 值—— n一般小于 200。
( 13) dk;
4 轨道不平顺数值模拟的方法— — 频域法
二次滤波法和三角级数法是轨道不平顺数值模拟中常用的方法 ,但这两种方法尚存在一
第 6期
铁路轨道不平顺模拟的一种新 方法
一级铁路干线 ,采用 P50钢轨、无缝轨道不平顺的实测数据 ,推荐供设计计算时用的轨道不平 顺谱密度曲线。 相应的谱密度表达式为
垂直不平顺
Gν(k) =
2.
77 5×
1 0-
3
k4+
2.
k2+ 8. 878× 10- 1 524× 10- 2k2+ 9. 61×
10-
7 mm2
/ ( cyc·
m- 1)
( 10)
u′r= L /N
( 11)
( 4) 经过两次滤波 ,可将 N ( 0, 1)转化为谱密度为式 ( 1 )或式 ( 2 )的随机函数 Y。
滤波公式如下 [10 ]
yk = (T+ U) yk- 1 - TUyk - 1+ ( 1- T) nk 式中 , T= e- ; u′rkc U= eu′rks
很大的横向水平力和侧滚力矩 (尤其是强制机车车辆轮对的蛇行
运动 ) ,从而使桥梁产生横向挠曲 -扭转振动 ,对于车辆 ,很大的横 向水平力造成脱轨系数超过允许值而导致脱轨。
1. 2. 2 轨距不平顺 轨距不平顺是指左右两轨间偏差沿轨道长
度方向的变化。 轨距不平顺值的大小对机车车辆运行的横向稳定
性及曲线磨耗影响较大。 轨距过大会引起掉道。
别 是可 以把和 式的 上、 下限 改写 为
再将 m= k - l 代入式 ( 15)中
N r - 1N r - 1
∑∑ = k= 0 l= 0
Nr- 1
k
∑∑
k= 0 l= k- Nr+ 1
|xn|2 =
∑ ∑ Nr - 1N r - 1
1 x x e 2
k
N r k= 0 m = 0
* k- m
( 3)
Gθ(k) = 1 / ( 7. 72k2 - 6. 30k3+ 15. 69k4 ) mm2 /( cyc· m- 1 ) 横向不平顺
( 4)
Gl (k) = 1 /( 100. 8k3 ) mm2 /( cyc· m- 1 )
( 5)
目前我国铁路还缺乏有关轨道不平顺方面完整的统计资料。文献 [ 6 ]根据我国质量较好的
水平不平顺
( 6)
11 2
铁 道 学 报
第 19卷
Gθ(k) =
5.
1 0×
1 0-
8
k4+
3.
k2+ 6. 346× 157× 10- 2k2+
10- 3 7. 791×
10-
6 rad2
/ ( cyc·
m-
1)
( 7)
横向不平顺
Gl (k) =
9.
4 04×
10-
3
k4+
3.
k2+ 7 68×
铁路轨道由于列车车轮的作用 ,轨面会产生不均匀磨耗 ,轨头会磨伤 ,在无缝线路时存在 焊接接头 ,在列车和环境温度荷载作用下 ,轨道的几何形态会发生恶化 [1, 2 ] ,使轨道不再处于平 顺状态。 轨道不平顺是使机车车辆产生振动的主要根源 ,直接影响机车车辆的振动、轮轨作用 及行车安全。
1 轨道随机不平顺的分类 [3]
x ( nΔk) ,Δk频率采样增量。
取式 ( 14)的绝对值平方 ,可推得二次矩特性
|xn|2 =
∑ ∑ N r - 1N r - 1
1*
x x 2
kl
N r k= 0 l= 0
e- j2π( k- l )n /Nr
( 15)
由于 {xk }是每隔 N r 次采样重复一次 ,因此可以在任意 N r 个相继采样范围内进行对 l 求和。特
复数。 离散序列的自相关函数为
Rm= xk x*k- m
( 18)
将式 ( 18)代入式 ( 17) ,则式 ( 17)和式中的量便不包括下标 k ,于是
∑ |xn|2 =
Nr- 1
1 R e 2 Nr m= 0
m - j2πmn /N r
因而可将功率谱序列 { Gn }定义为
( 19)
Gn = |xn|2
法—— 频域法。 这种方法不需要滤波器设计 ,直接对轨道不平顺功率谱密度函数进行采样处
理 ,对于平稳的和非平稳的随机过程的轨道不平顺均可应用。 下面介绍其原理和模拟过程。
4. 1 采样过程
对于重复随机噪声的 N r 个时域采样所构成的序列 {xk } ,假定该序列在这区间之外 ,每隔
Nr 次采样重复一次。 这种周期的序列便可看作是一个离散的采样信号 ,则可得到离散傅立叶
这种方法是目前轨道不平顺数值模拟的主要方法。文献 [ 4, 8 ]均采用二次滤波法。其具体 模拟步骤为:
( 1) 将里程为 L 的一段被模拟线路划分成 N 等分 ,每等分的长度 ΔL = L /N; ( 2) 产生均布于 ( 0, 1)区段的随机数列 U ,随机数列 U 是 u1 , u2 , . . . , um- 1所组成。 产生随 机数列 U 的方法有很多种 ,文献 [ 9, 10]对此有详尽的说明 ; ( 3) 用 Box -muller方法改变每两个 ( ui , ui+ 1 )随机数成为两个高斯分布随机变量
ni= e ( - 2lnui ) co s( 2πui+ 1 ) ni+ 1 = e ( - 2l nui ) si n( 2πui+ 1 ) 对于采用式 ( 1 )、式 ( 2 )谱密度的不平顺 ,上式中
( 9)
e= 2π2 Aνu′r (方向或高低不平顺 ) e= 8π2 Acu′r (水平不平顺 )
( 20)
式中 Gn 表示在增量 Δk之内总体平均功率。
Rm 和 Gn 两者都是每隔 N r 次采样重复一次 ,前者是根据式 ( 18)中的 {xk } ,原来就硬性规
定为周期性重复函数 ; 后者则是根据式 ( 19)、式 ( 20)中的 { xk } ,也是周期性重复函数推得的。为
了把 Gn 和连续量相联系 ,有
变换对 ,其形式为
∑ ∑ xn =
1 Nr
Nr- 1
xk
k= 0
e-
j2πkn /Nr xn
=
1 Nr
Nrk=
1
xk
0
ej2ckn
/Nr n
=
0, 1,… , N r -
1
( 14)
式 中 , { xn }定义 为谱 噪声 采样 序列 , 此 序列 也是 每 Nr 次采 样重 复一 次 ; xn 表 示 谱采 样
- j2πm n /N r
( 16)
对上式取总体平均 ,得
|xn|2 =
∑ ∑ N r - 1Nr - 1
1 x x e 2 N r k= 0 m= 0
k
* k- m
- j2πmn /N r
( 17)
可以看出和式里面的总体平均是序列 { xk }的自相关函数。式 ( 15)～ 式 ( 17)中 x* 代表 x 的共轭
( 12)
3. 2 三角级数法
文献 [ 11 ]将轨道不平顺视为平稳高斯随机过程 ,直接用三角级数法得到不平顺的模拟量
∑ y ( x ) = ex
2 n
n k=
1
cos(kk x
+
Ok )
具体模拟步骤如下:
∫+ ∞
( 1) 求方差—— ex2 =
G( x ) dx ;
-∞
∫+ ∞
( 2) 求 kk—— 具有概率密度函数 f (k)的随机变量 ,其中 f (k) =
式中 , Ac、 Aν与线路等级有关的不平顺参数 ; kc、ks 为截断频率 ; Ac、 Aν、kc、ks 的具体取值见文
献 [ 4 ]; k为计算频率。
英国学者将铁路轨道不平顺的功率谱密度函数表达为 [5 ]
垂直不平顺
Gν(k) = 1 /( 1. 33k2+ 7. 81k3+ 22. 94k4 ) mm2 /( cyc· m- 1 ) 水平不平顺
1 1 3
些问题。 二次滤波法需进行滤波器设计 ,而对不同功率谱密度函数的轨道不平顺 ,均需设计出
合理的滤波器 ,因而该方法缺乏通用性。 三角级数法是将轨道不平顺看作平稳高斯随机过程 ,
这显然不完全与实际情况相符 ,文献 [ 3 ]证明轨道不平顺并不都是平稳的随机过程。
针对这二种方法所存在的问题 ,在文献 [ 12]的基础上提出了轨道不平顺模拟的一种新方
图 1 三角坑不平顺
2 轨道不平顺的数学描述
获得轨道不平顺信息的主要途径是实测。 实测得到的样本是
复杂的随机波 ,是里程的函数。因而只能用一些统计特性 (均方值、方差、功率谱密度函数、自相 关函数、功率密度函数等 )从时空域、频率域、幅值域几方面对轨道不平顺的幅值特性、波长结
构、相关性以及是否包含周期性波形做全面的描述。
功率谱密度函数由于其直观性 ,以及同其它一些统计量有着变换关系 ,从而成为一个最主
要的统计特性。
美国学者将铁路轨道不平顺的功率谱密度函数表示为
水平不平顺
G(k) =
(k2+
8πAckc2 k2c ) (k2+ k2s )
( 1)
方向及高低不平顺
G(k)=
2πAνkc2 (k2+ kc2 )k2
( 2)
11 4