相似三角形中的动点问题
相似三角形中的辅助线及动点问题（经典题型）
第2讲 相似三角形中的辅助线及动点在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、作平行线一、作平行线例1. 如图，D A B C 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：BF CF BDCE=例2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ， 证明：AB ·DF=AC ·EF 。
二、作垂线二、作垂线例3. 已知：如图两个等积ABC D 、DBC D ，若AC 、BD 交于E ，EF ∥AB ，EG ∥CD ，分别交BC 于F 、G ，求证：CF=BG 。
如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：例 4. 如图从2AB=AEACADAF×。
+×三、作延长线三、作延长线例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的的面积。
面积为21，求△HBC的面积。
例6. 如图，Rt D ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG^AB于G，求证：FG2=CF·BF 四、作中线四、作中线D中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
例7 如图，ABC动点题型1、如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？为顶点的三角形相似？2、如图，正方形ABCD的边长为2，AE AE＝＝EB EB，，MN MN＝＝1，线段MN的两端在CB CB、、CD上滑动，当CM为何值时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？为顶点的三角形相似？H EDCBAP3、如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F . (1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？请说明理由. (2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长。
相似三角形动点问题题型归纳
相似中动点问题题型一位似图形例 1 如图 , O 是坐标原点， B、 C 两点的坐标分别为 (3， -1)、 (2,1)．(1)以 0 点为位似中心在y 轴的左侧将△ OBC 放大到两倍 (即新图与原图的相似比为2)，画出图形；(2)分别写出 B 、 C 两点的对应点 B′、C′的坐标；(3)如果△ OBC 内部一点 M 的坐标为 (x， y),写出 M 的对应点 M′的坐标．例 2 如图，图中的小方格都是边长为 1 的正方形，△ABC 与△ A′ B ′是C关′于点 0 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1〕画出位似中心点 0；（2〕求出△ ABC 与△ A′B′的C′位似比；〔3〕以点 0 为位似中心，再画一个△ A 1B 1C1，使它与△ ABC 的位似比等于．题型二 动点存在问题1 如图，在△ ABC 中， AB=8 ， BC=7 ，AC=6 ，有一动点 P 从为 2 单位 /秒，有一动点 Q 从 C 沿 CA 移动到 A ，移动速度为多少时间时，△ PQA 与△ BCA 相似。
A 沿 AB 移动到 B ，移动速度1 单位 /秒，问两动点同时移动2、如图，在平面直角坐标系内，点 A 〔 0，6〕、点 B 〔 8，0〕，动点 P 从点 A 开始在线段AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动 , 设点 P 、Q 移动的时间为 t 秒． (1) 求直线 AB 的解析式； (2) 当 t 为何值时，△ APQ 与△ AOB 相似？ (3) 当 t 为何值时，△ APQ 的面积为24个平5方单位？yAPQOxB3、如下图，在矩形ABCD中， AB=12cm， BC=6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以2厘米/秒的速度移动；点Q沿 DA边从点D开始向点 A以1厘米/秒的速度移动。
相似三角形中的动点问题
1.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，在下列条件下： ①∠AED=∠B；②∠ADE=∠C；③AD：AC=AE：AB；④DE：BC=AD：AC. 能判定△ADE与△ACB相似的有 ①、②、③ .
(第1题)
(第2题)
2.如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12.在AB上取点
沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为6cm/s.P、
Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为t
s.当t＝
s时，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似．
【变式训练2】如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从B开始
沿BA边运动，速度为2cm/s；动点Q从点C开始沿CB边运动，速度为4cm/s.P、
【归纳总结】
1、动点形成相似三角形关键看通过什么判定定理判定？ 2、具体解题步骤： （1）用t表示动态线段； （2）根据相似的判定定理，写出相似符号语言； （3）根据对应边成比例，列出含有t的方程； （4）解方程； （5）检验作答.
【变式训练1】 如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始
Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为t
s.当t＝
s时，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似．
【当堂检测】
如图所示，梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3， 点P以1cm/s的速度从点A出发向点B运动，经过几秒，△PA来自与△PBC相似？谢谢指导！
●E
【例题讲解】
例题 如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿AB边运
相似三角形动点问题
相似三角形中的动点问题（1）例1：如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动,动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动,如果点P、Q同时出发,要使△CPQ与△CBA相似,所需的时间是多少秒？练习1：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm, BC=15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动，动点Q 从点C出发,沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s，它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动,设运动时间为t.求:(1)当t=3s时，P,Q两点之间的距离是多少？(2)若△CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.(3)当t为多少时,以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？练习2：课后作业：（选做题）如图,已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发,分别沿AB 、BC 匀速运动,其中点P 运动的速度是1cm/s,点Q 运动的速度是2cm/s.当点Q 到达点C 时,P 、Q 两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:(1)当t=2时，判断△BPQ 的形状,并说明理由; (2)设△BPQ 的面积S(cm2),求S 与t 之间的函数关系式; (3)作QR ∥BA 交AC 于点R, 连接PR,当t 为何值时,△APR ∽△PRQ.1、2、相似三角形中的动点问题（2）例2：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3, DC=5, AB=42,∠B=45°,动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,设运动时间为t秒.(1)求BC的长;(2)当MN∥AB时, 求t的值;(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.练习：课后作业：1、平面直角坐标系中,已知点A(0，6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动,同时Q点从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q移动的时间为t秒;(1)求直线AB的解析式;(2)当t为何值时, 以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似？(3)当t=2秒时,四边形OPQB的面积是多少个平方单位.（选做题）（3）在AB上是否存在点M,使得△EFM为等腰直角三角形？若存在，请求出EF的长；若不存在，请简要说明理由.2、。
相似三角形汇总5相似中的动点问题
相似三角形提高一、相似三角形动点问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB 1∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF ⊥AC 交射线BB1于F ，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度；（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB=6m ，BC=8m ，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q 以1m/s 的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s 时，求△CPQ 的面积；②求△CPQ 的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；（2）在P ，Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，求出t 的值．3.如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分∠CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD ，垂足为M ，EN ⊥CD ，垂足为N ．（1）当AD ＝CD 时，求证：DE ∥AC ；（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？4.如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P 点到达B 点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x ．（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）△APQ 与△CQB 能否相似？若能，求出AP 的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0＜t ＜6）。
相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)
动点题型
1、如图正方形 ABCD 的边长为 2，AE=EB，线段 MN 的两端点分别在 CB、CD 上滑动，且 MN=1，当 CM 为何值时△AED 与以 M、N、C 为顶点的三角形相似？
一、作平行线
例 1. 如图， ABC 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 AD＝AE，DE 延长线与 BC 延长线相交于 F， 求证：
BF BD CF CE
例 2. 如图，△ABC 中，AB<AC，在 AB、AC 上分别截取 BD=CE，DE，BC 的延长线相交于点 F， 证明：AB·DF=AC·EF。
1
三、作延长线 例 5. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，若∠BCD 的平分线 CH⊥AB 于点 H，BH=3AH，且四边形 AHCD 的 面积为 21，求△HBC 的面积。
例 6. 如图，Rt ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F，FG AB 于 G，求证：FG =CF BF
A P H E D
B
C
1.如图，已知一个三角形纸片 ABC ， BC 边的长为 8， BC 边上的高为 6 ， B 和 C 都为锐角， M 为 AB 一 动点（点 M 与点 A、B 不重合） ，过点 M 作 MN ∥ BC ，交 AC 于点 N ，在 △ AMN 中，设 MN 的长为 x ， MN 上的高为 h ． （1）请你用含 x 的代数式表示 h ． 使 △ AMN 落在四边形 BCNM 所在平面， 设点 A 落在平面的点为 A1 ， △ A1 MN （2） 将 △ AMN 沿 MN 折叠， 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y ，当 x 为何值时， y 最大，最大值 为多少？
相似三角形动点问题题型
x A O Q P B y动点问题 题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点 1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
图（3）ABC OEF AB CO D图（1）ABOE FC 图（2） 2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论xy M CD P QOAB 3、如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
相似三角形之动点问题-含参考答案
中考数学复习之相似之动点问题（学案）知识与方法梳理1．研究基本图形，标注基本图形是动点运动的背景，需要研究边和角，寻找模型或结构，或者转化坐标和表达式．2．分析运动过程，分段，定范围关注起点、终点和状态转折点．状态转折点是图形状态发生变化的点，常见的状态转折点有拐点、相遇点等．3．根据不变特征建等式依分段画图形，表达相关线段长，根据不变特征建等式，结合范围验证结果．表达的常用手段有s=vt、相似、勾股定理等；根据不变特征建等式需要把不变特征跟基本图形信息结合起来考虑，常见不变特征有相似、直角、等腰等．例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻使△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．（1）1025713t=或；（2）525321t=或．解：(1)若A、P、Q与ABC相似时，∆APQ为直角三角形；1.若∠APQ=90°时，易知∆APQ~∆ACB，AP AQAC AB=即有5245t t-=得t=2513Q2.若∠AQP=90°时，∆APQ~∆ABC ，AP AQ AB AC =即有5254t t -=得t=107(2)1.当PA=PQ 时，作PD ⟂AQ 于点D ，AQ=2t ，则AD=t ，AP=5-t ，∆APD~∆ABC ，AP AD AB AC =，即有554t t -=，t=209>2，故舍去.2.当AP=AQ 时，即有5-t=2t ，即t=53；3.当QA=AP 时，作QF ⟂AP 于点F ，易知∆AQF~∆ABC ，AF AQ AC AB =，即有52245tt-=，t=2521练习题1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC:BC=4:3．点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿折线B→C→A 向点A运动，速度为2cm/s，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为x（s）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当Q在BC上运动时，是否存在以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）当Q在CA上运动，且PQ⊥AB时，以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC是否相似？请说明理由．CA BCA BCA B2．如图，直角梯形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA∥CB，A(4，0)，B(3，3)．点M从点O出发以每秒2个单位长的速度向点A运动，同时点N从点B出发，以每秒1个单位长的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点N作Array NP⊥x轴于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t（秒）．（1）使线段AQ，QM，MA能围成三角形的t的取值范围是_____________．（2）求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式．（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=B=45°．动点M从点B出发，沿线段BC以每秒1个单位长的速度向终点C运动，动点N同时从点C出发，沿折线C→D→A以同样速度向终点A运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）求在运动过程中形成的△MCN的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（2）当N在CD上运动时，△MCN能否成为等腰三角形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．A DB CA DB CA DB C4．如图，直角梯形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA∥CB，A(15，0)，B(10，12)．动点P，Q分别从O，B两点同时出发，点P以每秒2个单位长的速度沿OA方向向终点A运动，点Q以每秒1个单位长的速度沿BC方向向终点C运动，当一个点到达Array终点时，另一个点也随之停止运动．线段OB，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q的运动时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形P ABQ是平行四边形？（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？5． 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点O 与坐标原点重合，点A ，B 坐标分别为(8，6)，(16，0)．点P 从点O 出发沿OA 方向向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 从点B 出发沿BO 方向向终点O 运动，速度为每秒2个单位．如果P ，Q 同时出发，用t （秒）表示运动时间，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．（1）设△OPQ 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式． （2）△OPQ 与△OAB 能否相似？若能，求出相应的t 值； 若不能，请说明理由．6．如图，直线y=-4x-4与x轴交于点A，与y轴交于点C，直线y=43x-b过点C，与x轴交于点B．动点D从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时动点E从点B出发，沿线段BC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为t （秒），当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．（1）连接ED，设△BDE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）在运动过程中，当△BDE为等腰三角形时，求t的值．【参考答案】1.（1）2248035351423755x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤．（2）存在，3013x =．（3）不相似 2.（1）0≤t <2（2）23332442S t t t =-++<（0）≤（3）存在，M (2,0)或M (2619，0)3.（1）22405522058t tt S t t ⎧-+⎪=⎨⎪-+⎩＜＜≤≤（2）能成为等腰三角形，50511t =或 4. （1）t =5（2）174（3）t =13或56或43或1935.（1）232455y t t =-+(08)t <<（2）能相似，12840219t t ==或 6.（1）22855S t t =-+（2）202421111t =或或。
有关相似三角形的动点问题探究
解法探究２０２４年３月下半月㊀㊀㊀有关相似三角形的动点问题探究◉甘肃省白银市教育科学研究所㊀何丽君㊀㊀摘要:点是构成图形最基本的元素,其多样的运动状态与图形结合构成了一道道灵活且精彩的综合题．本文中从点的运动出发,研究点运动时形成的相似三角形,尝试通过例题分析探讨这类问题的解决方法．通过这样的研究,一方面与更多教师形成教法上的交流,另一方面间接促进学生综合素养的提升．关键词:点;相似三角形;分类讨论思想;运动;策略㊀㊀在教学过程中,时常会遇到点的运动类问题．由于动点处于不断的运动中,教师讲解时倍感压力,而这类问题在练习与检测中又经常出现．因此,研究点的运动问题非常有必要．本文中以点的运动形成相似三角形为切入点,探究图形中点的运动问题的解决方法．１素养体现动点问题一方面综合了诸多知识点,另一方面对解决技巧有较高的要求．由此观之,动点问题通常体现以下素养:(１)画图能力,体现数形结合思想．由于点是运动的,因此分析其运动情况就离不开画图．换言之,将运动情况用图形表现出来,既是解决这类问题的首要环节,也是数形结合的重要体现[１]．(２)问题分析能力,体现分类讨论思想．点的运动形成相似三角形后,往往存在多个符合题意的三角形,这就需要对每种情况进行分类讨论．(３)符号化语言,体现转化思想．根据点的运动情况画好图后,需将相关的线段用代数式表示出来,有利于分析和解决问题,同时也是将文字语言转化成符号语言的过程．下面结合一道题加以说明:图１例题㊀如图１,四边形A B C D是一个长为８c m ㊁宽为６c m 的矩形．在B C ,D C 上分别有动点P ,Q ,点P 的速度是２c m /s ,Q 的速度是１c m /s ．现规定:点P 从点B 出发向点C 运动,点Q 从点C 出发向点D 运动,当一个点到达终点时,另一个点也立即停止运动．几秒时,以C ,P ,Q 为顶点的三角形与әA B C 相似本题出现了两个动点,运动的速度㊁方向等为分析动点状态提供了重要条件．那么,本题是如何体现上文中提到的素养的呢(１)通过动点的运动情况画图,体现了数形结合思想．由于P ,Q 两点的运动,线段P Q 与B C 或D C 形成的夹角大小不同．考虑到әA B C 是直角三角形,点P ,Q 在运动的过程中并不能改变øP C Q 为直角这个事实,所以只需线段P Q 与B C 或D C 形成的夹角中有一个与øB A C 相等即可．于是,可画出图２中的简图:图２(２)根据画出的图形,利用分类讨论思想解决问题,体现了分类讨论思想．从图２可以看出,øP Q C 和øB A C 相等㊁øQ P C 和øB A C 相等是动点运动时存在的两种情况．(３)根据点的运动情况,将相关线段用代数式表示出来,并根据需要列方程解决问题,体现了转化思想．在确定两种情况后,接下来需进行分析,而分析中的第一步就是根据两点的运动状况用代数式表示出相关线段．如下:设t s 时,以C ,P ,Q 为顶点的三角形与әA B C 相似．情况一:如图２(１),有әA B C ʐәQ １C P １,此时可知B P １＝２t ,C P １＝８－２t ,C Q １＝t ,D Q １＝６－t ．情况二:如图２(２),有әA B C ʐәP ２C Q ２,此时可知B P ２＝２t ,C P ２＝８－２t ,C Q ２＝t ,D Q ２＝６－t ．接下来,由相似三角形的性质列出方程并解出t ．最后,解决本题[２]．２解法说明既然点的运动产生的相似三角形问题蕴含着如６７２０２４年３月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀此丰富的素养,那么这类问题具体应如何解决呢?下面进行说明:首先,根据动点的运动情况画出符合题意的图形．由于øA B C ＝øP C Q ＝９０ʎ,根据相似三角形的判定,若әA B C 和әP C Q 相似,应有以下两种情况:情况一:øP Q C ＝øB A C ,如图２(１)．情况二:øQ P C ＝øB A C ,如图２(２)．其次,分类讨论并计算．根据以上两种情况,分别利用相似三角形的性质列方程．本题的解决过程如下:解:设t s 时,以C ,P ,Q 为顶点的三角形与әA B C 相似．根据题意,有以下两种情况．情况一:øP Q C ＝øB A C ,如图２(１)．此时易证得әA B C ʐәQ １C P １．因为B P １＝２t ,C P １＝８－２t ,C Q １＝t ,D Q １＝６－t ,所以A B C Q １＝B C C P １,即６t ＝８８－２t ,解得t ＝１２５．情况二:øQ P C ＝øB A C ,如图２(２)．此时易证得әA B C ʐәP ２C Q ２．因为B P ２＝２t ,C P ２＝８－２t ,C Q ２＝t ,D Q ２＝６－t ,所以A B P ２C ＝B C C Q ２,即６８－２t ＝８t ,解得t ＝３２１１．综上所述,１２５s 或３２１１s 时,以C ,P ,Q 为顶点的三角形与әA B C 相似．３反思与启示本题是在已经确定一组对应角相等的情况下寻求另一组对应相等的角．为了简化问题,将øB A C 设为参考对象,只需寻找øP Q C 或øQ P C 与之相等即可．最后,分析出了两种不同的情况．这种 先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角 的方法,对解决 因动点产生的相似三角形问题 有重要作用．如下面这道中考真题:(２０２２ 湖州)已知在平面直角坐标系x O y 中,O 是坐标原点,以P (１,１)为圆心的☉P 与x 轴㊁y 轴分别相切于点M 和N ,点F 从点M 出发,沿x 轴正方向以１个单位长度/s 的速度运动,连接P F ,过点P 作P E ʅP F 交y 轴于点E ,设点F 运动的时间是t s (t ＞０)．(１)若点E 在y 轴的负半轴上(如图３所示),求证:P E ＝P F ;(２)在点F 运动过程中,设O E ＝a ,O F ＝b ,试用含a 的代数式表示b;图３(３)作点F 关于点M 的对称点F ᶄ,经过M ,E 和F ᶄ三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q ,连接Q E ．在点F 运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q ,O ,E 为顶点的三角形与以点P ,M ,F 为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出t 的值;若不存在,请说明理由．不难发现,本题第(３)小题与例题类似,故 先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角 的方法的启示在解决此小题时可发挥作用．因此,本题第(３)小题的解决思路简要分析如下:首先,根据题意确定１＜t ＜２或t ＞２两种情况．然后,在每种情况中根据点的运动情况,同时结合 先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角 的方法,得到１＜t ＜２时әO E Q ʐәM P F 或әO E Q ʐәM F P 两种情况,如图４;t ＞２时әO E Q ʐәM P F或әO E Q ʐәM F P 两种情况,如图５．最后,进行分类讨论和计算．图４㊀图５４结语综上所述,图形中的动点虽然常令人眼花缭乱,但掌握其分析方法,就可以化繁为简．本文中 先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角 的方法,适用于因动点产生的相似三角形㊁全等三角形等问题中,是解决这类问题一种行之有效的方法．作为教师,应在讲解中多渗透该种方法,直至学生能掌握并灵活应用于问题解决中[３]．参考文献:[１]朱炜炜．关于相似三角形动态问题的研讨[J ]．中学生数学,２０２０(１８):１１Ｇ１４．[２]陈国玉,郑利年．相似三角形中的分类讨论[J ]．数理化学习(初中版),２０２０(１０):２８Ｇ３０．[３]李松．例谈相似三角形分类讨论问题[J ]．中学数学教学参考,２０２１(１５):６３Ｇ６４．Z ７７。
2016中考专题复习：相似三角形(动点问题)
中考专题复习：相似三角形中的动点问题例题例1.在⊿ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟后⊿PBQ 与⊿ABC相似？2.如图，在梯形ABCD中，AD BC∥，3AD=，5DC=，10BC=，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当MN AB∥时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，MNC△为直角三角形．（3）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．CMB变式练习1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。
（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当31=∆∆ABC BCQS S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由。
变式练习2：如图，已知直线l 的函数表达式为483y x =-+，且l 与x 轴，y 轴分别交于A B ，两点，动点Q 从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q P ，移动的时间为t 秒．（1）求出点A B ，的坐标；（2）当t 为何值时，APQ △与AOB △相似？（3）求出（2）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ 所在直线的函数表达式．变式3.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？变式4.阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：(1)如图1，∠A＝∠B＝∠DEC＝55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；(2)如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，且A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：(3)如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．变式5.如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．CCB B B C①②③(第27题)。
初三数学相似三角形的动点问题
初三数学---相似三角形的动点问题模型：图務中，如果存在一个或者两个动点，求两个动点与某一个定点所构成的三角邢与原三角形相似 如图：RtAABC 中，AB=8, AO10*点卩以每秒1个单位由A 点向B 点够动，点Q 以每秒2个单位由匚点向A 点移动，当其中一点到达时，两个运动的点同时停止运动，问：如杲设运动吋间为匚当t 为 多少时’ AAPQ 与△ABC 相似？分祈：(1)动点：在本筷型中，卩、Q 为两个动点，线段AP 、BP. CQ. AQ 长随时莊找生改变.但是， AP 段代表P 点移动的距离，可以用 ________________ 来表示，那么BP 线段可以用 ____ 来表示一同理,CQ 线段代表Q 点移动的距离，可以用 ______ 表示，AQ 则囲 _______ 養示.(2)相似：两种情况：①△APQ S AABC;②厶APQ S AACB证明：〒先 AP 二 __ , BP= ___________ , CQ=_______, AQ= __________①当△APQ S AABC 时②当△APQ CO AACB 时AP _ <)AE - <AP L?AC _：t ( \ t _ f ? a~ r \d'lQ _ ( 3:X =.-.t =当亡=或上=时’ AAPQ 与△ABC 相似.总结：在劫点型间題中，我们要注意两项：1，把国形中所有变化的議段的长度全部用字母表示出来; 2. 在求证三角瑙相似时，要记住有两种情况！例1在RtAABC中，ZC=90D , AO20cm. BC=15cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点（：出发’沿线段OJ也向点B方向运动.如果点卩的速度是4切/秒「点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点吋，就停止运动.设运动的时间为t秒，（1）用含t的代数式表示RtACPQ的血积Sj <2）当说秋时*人Q两点之间的距离是务少？（3）当t为多少秒时，以点C.Q为顶点的三箱形与比相似?例2如图*在矩形ABCD中，AB-12CJT, BC-ficm，点卩沿妞边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动：点◎沿DA边从点D开始问点A以lcm/s的速度’如果化Q同时出发，用t （s）袤示移动的时虬共屮0<t<6（那么：（1）当t为何值时，△QA卩是等腰直角三角形？住）求四边形QAPC的谄枳，提出一牛与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A. P为顶点的三角形与△ABC相似？A P U例3如圈所示，在A ABC BA=BC=20cm J AC=30cm,点卩从A 点出发，沿着屈以每秒4伽的速度向11 点运动；同时点Q 从匚点出发，沿CA 以每秋3cm 的速度向A 点运动’设运动时间为x, ｛门当x 为何值时,能，请说明理由.例巾如图，在平面直角坐标系内，己知点A (0,6X 点H (8+0),动点卩从点A 幵始在线段AO 上以每秒I 个单位长度的速度向点0移动*同时动点Q 从点R 开始在线段BA 上以每秒2个单位抵度的速度向点A 移动’设点巴Q 移动的时间为t 秒.(D 求直线AB K 解析式；(2)当t 为何值时+ MPQ 与MOR 相伽课堂练习PQ//BC?的值* (3) AAPQ 能否与ACQB 相似？若能，求出2的长；若不<3)当t 为何值时’ 24MPQ 的血积为g 个平方单位?*砒Q1*如图*直角梯形ABCD中，AD/7BC. AB丄BC,若AD=2, BC=3, AB^7,动点P在AB上，则使△PAD与△PBC相似的PA的值？(求出所有可能的情形)2.如图’在长方形ABCD中，AB-2T BC=4, Q是DC边的中点，P为一动点，若点P从B点出发：以1个单位/秒的速度沿着BC方向运动.设从点B出发运动了1秒，(1)写出AAQP的面积y关于x的函数关系式.并求出自变量從的取值范围.(2)问当x取何值时，AAQP是等腰三角形？3,如图，AABC中，ZC=90° , AC=3cm, BC=4cm,动点P从点B岀发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q 从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，耍使ACPQ与ACBA相似「所需要的时间是多少秒？P4. i □图，正方形ABCD 的边长为4, E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 点作PF 丄AE 丁 F. 1 ）求证：A PFA^A ABE ：<2)当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x,是否存在实数也使以P 、F 、E 为顶点的三角形也与A ABE相似？若存在，请求出x 的值：若不存在，说明理由*5. 如图，已^flAABC 是边长是6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中，点P 运动的速度是Icm/s,点Q 送动的速度是2cm/s.当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点 都停止运动，设运动时间为t, (I)当"2时，判断ZXBPQ 的形状，并说明理由；(2)设ABPQ 的面积为 S,求S 与I 的函数关系式：(3)作QR//BA 交AC 于点R,连接PR*当t 为何值时，AAPR^APRQ?BRC。
相似三角形的动点问题题型(整理)word版本
相似三角形的动点问题一、动点型例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．迁移应用1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．1）求证：△ACD∽△BAC；2）求：DC的长；3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=33，点M 是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．二、动点加动线例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=2时，AP= ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．迁移应用1、如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值．2、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ．（1）求证：△PFA ∽△ABE ；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x ，是否存在实数x ，使以P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．3、如图，已知A （8，0），B （0，6），两个动点P 、Q 同时在△OAB 的边上按逆时针方向（→O →A →B →O →）运动，开始时点P 在点B 位置，点Q 在点O 位置，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位．（1）在前3秒内，求△OPQ 的面积S 与时间t 之间的关系式；并求出△OPQ 的最大面积； （2）在前10秒内，秋P 、Q 两点之间的最小距离，并求此时点P 、Q 的坐标；（3）在前15秒内，探究PQ 平行于△OAB 一边的情况，并求平行时点P 、Q 的坐标．4、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ，点A 、C 的坐标分别为A(-3,0)，C(1,0)，43AC BC , （1）求过点A 、B 的直线的函数表达式；（2）在X 轴上找一点D,连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点Dyx O AB的坐标；（3）在（2）的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．5、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在Y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折叠CE=55，且43DAEA（1）判断OCD与△ADE是否相似？请说明理由；x（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线L，使直线L、直线CE与x轴所围成的三角形和△CDE相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存Array在，请说明理由．6、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P从点B开始沿BC边以每秒1的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P，Q分别从B，C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、p停止运动，设它们运动的时间为x．1）当x= 秒时，射线DE经过点C；2）当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为y，求y与x的函数关系式；3）当点Q运动时，是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=20cm，AD=40cm，∠D=120°，点P、Q同时从C点出发，分别以2cm/s和1cm/s的速度沿着线段CB和线段CD运动，当Q到达点D，点P也随之停止运动．设运动时间为t（s）（1）当t为何值时，△CPQ与△ABP相似；（2）设△APQ与梯形ABCD重合的面积为S，求S与t的函数关系式，写出自变量的取值范围．8、如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD 的交点为E ，与折线A-C-B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）． （1）当t=0.5时，求线段QM 的长；（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值； （3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究RQCQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．9、如图1，直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90°，AD=AB=6cm ，BC=8cm ，点E 从点A 出发沿AD 方向以1cm/s 的速度向中点D 运动；点F 从点C 出发沿CA 方向以2cm/s 的速度向终点A运动，当点E、点F中有一点运动到终点，另一点也随之停止．设运动时间为ts．（1）当t为何值时，△AEF和△ACD相似？（2）如图2，连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值及四边形ABFE的面积；若不能，请说明理由；（3）当t为何值时，△AFE的面积最大？最大值是多少？10、如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C-B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为，直线l的解析式为。
相似三角形与动点问题
相似三角形与动点问题1、将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝23，P是AC上的一个动点．（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上求出此时□DPBQ的面积．DA CB2、（2011浙江省舟山）已知直线3+=kx y （k ＜0）分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 运动，速度为每秒1个单位长度，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，设运动时间为t秒．（1）当1-=k 时，线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动，它与点P 以相同速度同时出发，当点P 到达点A 时两点同时停止运动（如图1）． ① 直接写出t ＝1秒时C 、Q 两点的坐标；② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似，求t 的值．BAO PCxy11D（第24题图1）v1.0 可编辑可修改3、（2011江苏扬州，）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AB<AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动。
同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP。
设运动时间为t秒（t>0）（1）△PBM与△QNM相似吗以图1为例说明理由；（2）若∠ABC=60º，AB=43厘米。
①求动点Q的运动速度；②设Rt△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。
4、（2011四川重庆）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP ＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速动动，到达A点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速动动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设动动的时间为t秒(t≥0)．(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；(2)在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．5、（2011福建泉州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA = 3，AB = 5．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）求直线AB的解析式；（2）在点P从O向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t之间的函数关系式（不必写出t的取值范围）；①四边形QBED能否成为直角梯形若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；②当DE经过点O时，请你直接写出t的值．（第26题）v1.0 可编辑可修改6、（2010 浙江省温州市）(本题l4分)如图，在RtAABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BBl ∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒．(1)当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度； (2)当△DEG 与△AC B 相似时，求t 的值；(3)以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′． ①当t>53时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式； ②当线段A ′C ′与射线BB ，有公共点时，求t 的取值范围(写出答案即可)．7、（2010 浙江台州市）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P 从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形H（第24题）v1.0 可编辑可修改8、（2010湖南长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA cm OC cm==，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm 82,8的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，求t的值9、（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．（1）求证：AH AD ＝EFBC；（2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．v1.0 可编辑可修改(第2110、（2010江苏淮安）如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．(1)点C坐标是( ， )，当点D运动秒时所在位置的坐标是( ， )；(2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值时，S最大；(3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如题28(b)图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以v1.0 可编辑可修改11 点A．O为对应顶点的情况)：题28(a)图题28(b)图。
(word完整版)相似三角形动点问题题型
动点问题 题型方法归纳动态几何特点—---问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨. 一、三角形边上动点1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示:第（2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；图（3）B图（1）B图（2）2、如图,AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径;(2）若D 是AB 延长线上一点,连结CD,当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形． 注意：第（3）问按直角位置分类讨论OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；t s．问当t （2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形?等腰梯形？，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位（3)若OC OB的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．Array注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。