第一章基于消费模型和概述(资产定价,北大,史树中)

为什么是协方差而不是方差？
投资者只关心其消费的波动。
如果他能够保持稳定的消费，那么他就 不关心其个体资产或资产组合的波动。
考虑消费的方差
，偿付的小变化
引起的消费方差的变化为
这里方差的作用比协方差要小。
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收益的基本方程
由价格的基本方程可得收益的基本方程：
其中 i 表示对某种资产而言。利用
可得收益的风险校正：
资本资产定价模型（CAPM)
令
。那么
因此，
这就
是CAPM. 下一小节将得到更一般的 CAPM。
均值－方差前沿
下列不等式称为 Cauchy 不等式：
等式当且仅当 因此，
时成立。
均值与标准差之间的关系
这一不等式意味着 在两条射线之间。
作为
的函数总
有意义的经典含义
1. 资产的均值和方差（标准差）必须在图 中的楔形区域内。其边界称为均值－方 差前沿。
异质风险不影响价格
如果
，那么
。这种资产
没有风险校正。其风险称为异质风险。
一般情况下，资产偿付可分解为
由于
异质风险 的价格为零。前半部分则称为系统风险。
期望收益-beta 表达式
期望收益方程也可记为
它称为 beta 定价模型。 是某种资产 的风险量。 通常解释为风险价格。 这些名词来自 CAPM 的传统。
然而，近年来，已经积累了许多长期超 额收益是一定程度上可预测的证据，它 使资产收益经济解释的整个事业出现了 裂痕。
考虑非随机游走
基本方程也可记为
如果注意到这里的数学期望都是条件期望， 那么它就能够用来解释价格的可预测性。
现值表述
一般多时期情况下的目标函数为
假定投资者能以价格 购买“分红流” { }, 那么一阶条件可求得定价公式为
我们把基于消费基本方程劈开为
其中 称为随机折现因子或边际替代率。
为什么称“随机折现因子”？
如果偿付不是随机的，那么
这里 是总无风险利率， 现因子。
就是折
为什么称“随机折现因子”？ （续）
对于风险资产来说，有
基本方程就是这种情形的推广。因此， 就称为“随机折现因子”。
其他名称
“随机折现因子”也可称为 边际替代率， 或 测度变换 或
消费增长服从对数正态分布
如果考虑不确定因素，假定消费增长服 从对数正态分布，即
服从正态分布，那么由 可得
消费增长服从对数正态分布（续）
前两项仍然说明前面的三点，但现在多 了第三项它反映预防储蓄的影响。同时， 有风险厌恶的含义。
风险校正
利用协方差的下列恒等式： 可得
这两项分别代表资产的时间价值和风 险价值。后者就称为价格的风险校正。
递推公式和风险校正
上述公式可写成递推公式 也可分解为时间价值和风险价值两部分：
总体非耐用商品和劳务消费增长大致为1%. 这 将意味着 =50!
总体消费与市场收益有0.2左右的相关，于是 这需要=250才能解释上述Sharpe比。
这就是股权溢价之谜。
股权溢价之谜的解释
1. 投资者比我们想象的更厌恶风险。 2. 最近50年来股票收益大大高于对于风险
的均衡补偿。 3. 模型有一些深刻的错误，其中包括效用
第一部分 资产定价理论
第一章 基于消费模型和 概述
基本思想
消费与投资之间的权衡 边际效用的关键作用 利率与边际效用 消费与边际效用
消费与投资之间的权衡
一个投资者必须决定多少钱用来储蓄、多少钱 用来消费以及持有什么样的资产组合。最基本 的定价方程来自对于这种决策的一阶条件。今 天少消费一点、多购买一点资产的边际效用损 失等于未来多消费一点资产偿付的边际效用增 益。如果价格和偿付不满足这个关系，投资者 应该或多或少地购买资产。利用投资者的边际 效用来对偿付折现，由此得到资产价格应该等 于资产偿付的期望折现值。利用这一简单的观 念，我来表达金融中的许多结果。
均值－标准差前沿的斜率 和股权溢价之谜
下列比值称为 Sharpe 比：
它意味着承担“单位风险”带来的收益。 对于前沿收益来说，
对于幂效用函数的经济解释
对于满足
的幂效用函数来说，
如果消费增长服从对数正态分布，那么
说明均值－标准差前沿的斜率与风险厌恶和消 费波动成正比。
股权溢价之谜
在过去的50年中，美国的实在股市收益均值为 9%，标准差为16％左右，而国库券的实在收 益只有1％左右。因此，Sharpe比为0.5.
函数的选取和总体消费数据的运用。 4. 本书的最后一章要对此作专门讨论。
随机游走和时变期望收益
如果效用函数是风险中性的(线性函数)， ＝1，且不考虑分红，那么由
可得
它也可写成
这意味着价格是鞅过程。如果 是常数，那么价格服从随机游走。
随机游走的性质
随机游走假设成立意味着价格是不可预 测的。它与技术分析的观念相矛盾。这 一观念曾经取得很大的成功。
风险校正的经济意义
为理解风险校正的经济含义， 把效用函数代入基本方程：
考虑到边际效用为正，且递减。由此 可得风险校正取决于消费与偿付的协 方差。
风险校正的经济意义 (续)
为什么？投资者不喜欢关于消费的不确 定性。如果你购买一种偿付与消费正协 变的资产，那么当你已经感到有钱时， 你付出也多；当你已经感到缺钱时，付 出也少；这样的资产使你的消费流更为 波动。你将要求较低的价格来促使你购 买这样的资产。如果你购买一种偿付与 消费负协变的资产，它有助于平滑消费， 以至它比它可能指示的期望偿付更值钱。
资产定价理论的大部分有关怎样从边际效用走 向可观察的指标。当边际效用高时，消费就低， 消费当然就是一个有用的指标。
当投资者的其他资产不值钱时，消费也低，并 且边际效用高；这样我们可以期待，价格对于 与诸如市场组合那样的大指数正协变的资产来 说是低的。
消费与边际效用 (续)
这就是资本资产定价模型 (Capital Asset Pricing Model)。我们将看到边际效用的附加 指标的一大类变种，对它们计算协方差是为了 预测价格的风险调整。
边际效用的关键作用
对资产价格的风险校正应该被资产偿付与边际 效用的协方差所驱动，因而也被资产偿付与消 费的协方差所驱动。其他条件相同的情况下， 一种资产处于衰退之类的坏自然状态，使投资 者感到不值钱而少消费，就比不上另一种处于 兴旺之类的好自然状态的资产，后者使投资者 感到值钱而多消费。前一种资产将以低价卖出； 其价格将反映一种关于它的“风险性”的折价， 并且这种风险性依赖于协方差，而不是方差。
5. 利用任何均值方差有效收益（除了无风 险利率)，期望收益可描述为单 beta 表达式：
(第6章中将更深入地讨论这些关系。)
有意义的经典含义（续）
6. 收益可分解为 “被定价” （或“系统”） 部分和“剩余” （或“异质”） 部分。“被定 价”部分与折 现因子完全相 关，“剩余” 部分不生成期 望收益。
状态价格密度。
价格－偿付的各种表现
名义折现因子
1.4 金融学中的经典结果
我利用基本定价方程的简单处理来 引入金融中的经典结果：利率经济 学，风险调整，系统风险对异质风 险，期望收益-beta 表达式，均值 －方差前沿，均值－方差前沿的斜 率，时变期望收益，以及现值关系。
无风险利率
无风险证券就是当前价格为 1、未来价格为常 数 的证券。利用基本方程可得
利率与边际效用
利率是与期望边际效用增长有关的，因 而也与消费的期望路径有关。在高实在 利率的时候，储蓄、购买债券就有意义， 然后，明天就消费得更多。因此，高实 在利率应该与增长的消费期望相联系。
(这是对模型的一种经济解释，说明利率 高低可以用这一模型来说明。)
消费与边际效用
是边际效用，而不是消费，才用来作为我们感 觉的程度的基本度量。
风险校正的经济意义 (续)
保险是个极端的的例子。保险支付刚好 是在你的财富和消费遭难的时候－－当 你的房子被火烧了，你就得到一张支票。 就因为这个原因，你就乐于买保险，即 使你预料会有所损失－－即使保险的价 格高于其对无风险利率折现的期望支付。
（参加高尔夫俱乐部之类是否是另一个 极端的例子？）
2. 前沿上的所有收益都与折现因子完全相 关。即 为+1或－1.
3. 所有前沿收益也互相完全相关。两个前 沿收益可生成 (span) 所有前沿收益。 例如
有意义的经典含义（续）
4. 对于任何前沿收益 ，存在常数a,b,d,e,
使得
这说明任何均值－方差有效收益负载了 所有价格信息。
有意义的经典含义（续）
称为“影子”无风险利率，或 “零－beta”利率。
与幂效用函数相联系
如果效用函数为幂函数，那么有
从而在无不确定因素情形下，
表达式指出的三种效应
1. 人们无耐心 ( 较低) 时，实在利率较高。
2. 消费增长较快时，实在利率较高。
3. 较大时，实在利率对消费增长更敏感。
（这三种效应其实都是假定效用函数为幂函 数以及无不确定因素的情况下所引起的。 它们并非是理论导出的结果，而是对现实 中的这些现象用幂效用函数来建立模型。)
(这就从消费与边际效用之间的关系来理解 CAPM 等。作为一种经济解释，实际上都加入 了一些模型本身所不具备的因素。)
1.1 基本定价方程
投资者一阶条件给出基于消费基本模型，
基于消费模型
投资者需要求解的效用最大化问题：
最优一阶条件
把两个线性方程代入，对 求导数，并
令它为零，就得
1.2 边际替代率/随机折现因子