信息论第7章保真度准则下的信源编码
信息论期末复习资料
书中： 1.信息科学，材料科学，能源科学仪器被称为当代的“三大支柱”。
2.带宽与数据传输速率 信道带宽与数据传输速率的关系可以奈奎斯特(Nyquist)准则与香农(Shanon)定律描述。
奈奎斯特准则指出：如果间隔为π/ω(ω=2πf),通过理想通信信道传输窄脉冲信号，则前后码元之间不产生相互窜扰。
因此，对于二进制数据信号的最大数据传输速率Rmax 与通信信道带宽B （B=f,单位Hz)的关系可以写为：Rmax ＝2.f(bps)；对于二进制数据若信道带宽B=f=3000Hz ，则最大数据传输速率为6000bps 。
香农定理则描述了有限带宽、有随机热噪声信道的最大传输速率与信道带宽、信噪比之间的关系。
香农定理指出：在有随机热噪声的信道上传输数据信号时，数据传输速率Rmax 与信道带宽B 、信噪比S/N 的关系为：Rmax ＝B.log2(1+S/N) 3.自信息量的性质：非负性、必然事件信息量为0、不可能事件信息量为无穷、信息量是概率的单调递减函数。
4.当X 和Y 相互独立时，互信息为0.5.信源熵表征信源的平均不确定度，平均自信息量是消除信源不确定度所需要的信息的量度。
6信源熵H(X)与信息率R 和信道容量C 的关系：不论何种信道，只要信息率R 小鱼信道容量C ，总能找到一种编码，能在信道上以任意小的错误概率和任意接近于C 的传输率来传送信息。
反之，若R>C,则传输总要产生失真。
又由无失真信源编码定理可知，要做到几乎无失真信源编码，信息率R 必须大于信源熵H （X ）。
故三者的关系为：H(x)<=R<=C7.保真度准则下的信源编码定理：即译码平均失真度大于允许失真度。
8.香农三个基本编码定理：无失真信源编码定理、信道编码定理和限失真信源编码定理。
三个基本概念：信源熵、信道容量和信息率失真函数。
9.信源编码、信道编码和安全编码信源编码是以提高通信有效性为目的的编码。
通常通过压缩信源的沉余度来实现。
(完整版)信息论与编码概念总结
第一章1.通信系统的基本模型:2.信息论研究内容：信源熵，信道容量，信息率失真函数，信源编码，信道编码，密码体制的安全性测度等等第二章１.自信息量：一个随机事件发生某一结果所带的信息量。
２.平均互信息量：两个离散随机事件集合X 和Y ，若其任意两件的互信息量为 I （Xi;Yj ），则其联合概率加权的统计平均值，称为两集合的平均互信息量，用I （X;Y ）表示３.熵功率：与一个连续信源具有相同熵的高斯信源的平均功率定义为熵功率。
如果熵功率等于信源平均功率，表示信源没有剩余；熵功率和信源的平均功率相差越大，说明信源的剩余越大。
所以信源平均功率和熵功率之差称为连续信源的剩余度。
信源熵的相对率(信源效率)：实际熵与最大熵的比值信源冗余度：0H H ∞=ηηζ-=1意义：针对最大熵而言，无用信息在其中所占的比例。
３.极限熵：平均符号熵的N 取极限值，即原始信源不断发符号，符号间的统计关系延伸到无穷。
４.５.离散信源和连续信源的最大熵定理。
离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。
连续信源，峰值功率受限时，均匀分布的熵最大。
平均功率受限时，高斯分布的熵最大。
均值受限时，指数分布的熵最大６.限平均功率的连续信源的最大熵功率：称为平均符号熵。
定义：即无记忆有记忆N X H H X H N X H X NH X H X H X H N N N N N N )()()()()()()(=≤∴≤≤若一个连续信源输出信号的平均功率被限定为p ，则其输出信号幅度的概率密度分布是高斯分布时，信源有最大的熵，其值为1log 22ep π.对于N 维连续平稳信源来说，若其输出的N 维随机序列的协方差矩阵C 被限定，则N 维随机矢量为正态分布时信源的熵最大，也就是N 维高斯信源的熵最大，其值为1log ||log 222N C e π+ 7.离散信源的无失真定长编码定理：离散信源无失真编码的基本原理原理图说明： （1） 信源发出的消息：是多符号离散信源消息，长度为L,可以用L 次扩展信源表示为： X L =(X 1X 2……X L )其中，每一位X i 都取自同一个原始信源符号集合（n 种符号）： X={x 1，x 2，…x n } 则最多可以对应n L 条消息。
信息论与编码原理信源编码
信息论与编码原理信源编码
信息论是一门涉及了信息处理的学科，它研究信息生成、传输、接收、存储、利用等过程的一般性理论。
它探讨涉及信息的一切问题，强调掌握
信息所必需的体系性的体系知识，其主要内容有：信息的定义、信息测度，信息的熵，信息编码，信息的可计量性，信息传输，信息和随机性，信息
编译，信息安全，信息认证，解码准确性，信息的保密，校验，系统复杂性，信息的加密等。
信源编码是一种在信息论中常用的编码技术，其目的是用最少的信息
量表示最多的信息内容，以提高信息发送效率。
它主要包括概率信息源编
码和确定性信息源编码两种。
概率信息源编码是根据一个信息源的发生概率来编码，是根据发出信
息的概率来决定编码方式的。
它根据一个消息源中发出的不同信息的概率
来决定信息的编码，并确定每种信息的编码长度。
在这种情况下，越高概
率的信息，编码长度越短。
确定性信息息源编码，是根据一个消息源中出现特定信息的概率确定
编码方式的。
在这种情况下，编码长度取决于消息源的熵，也就是期望的
信息量。
信源编码的基本思想是以最小的编码来传输最多的信息量。
信息论考试题(填空简答)
一.填空题（每空1分，共20分）1.香农信息论的三个基本概念分别为_______________ 、_____________ 、 ____________ 。
2•对离散无记忆信源来说，当信源呈_______________ 分布情况下，信源熵取最大值。
3•写出平均互信息的三种表达公式________________ 、_____________ 、 ____________ 。
4.若连续信源输出的平均功率和均值被限定，则其输出信号幅度的概率密度函数为______________ 时，信源具有最大熵值；若连续信源输出非负信号的均值受限，则其输出信号幅度呈____________ 分布时，信源具有最大熵值。
5. ________________________________ 信道容量是为了解决通信的_________________________ 问题，而信息率失真函数是为了解决通信的___________ 问题。
6. ______________________________________________________ 费诺编码比较适合于的信源。
7•无记忆编码信道的每一个二元符号输出可以用多个比特表示，理想情况下为实数，此时的无记忆二进制信道又称为__________________________ 。
&差错控制的4种基本方式是：_________________ 、_____________ 、 ____________ 、______________ 。
9 . （n,k）线性码能纠t个错误，并能发现I个错误（l>t）,码的最小距离为：10.循环码码矢的i次循环移位等效于将码多项式乘___________________ 后再模______________ 。
二.简答题（每小题5分，共30分）1 •分别说明平均符号熵与极限熵的物理含义并写出它们的数学表达式。
2•写出二进制均匀信道的数学表达式，并画出信道容量C与信道转移概率 p的曲线图。
信源编码文档
信源编码概述信源编码是信息论的一个重要概念，用于将源信号转换成一系列编码的比特流。
在通信系统中，信源编码被广泛用于提高信息的传输效率和可靠性。
本文将介绍信源编码的基本概念、常见的信源编码方法和应用。
基本概念信源在通信系统中，信源是指产生信息的原始源头。
信源可以是任何可以生成离散或连续信号的设备或系统，比如人的语音、文本、图像等等。
信源编码信源编码是指将信源产生的原始信号转换成一系列编码的比特流。
它的主要目的是通过消除冗余、提高信号的压缩率以及提高传输的可靠性。
码字信源编码中的最小单位被称为码字（codeword）。
码字由编码器根据特定规则生成，每个码字可以表示一个或多个原始信号。
码长码长是指每个码字中的比特数。
它决定了编码器产生的每个码字传输所需的比特数，码长越短，传输效率就越高。
码率码率是指信源编码中每秒传输的码字数量。
它可以用比特/秒（bps）来表示，码率越高表示每秒传输的信息量越大。
常见的信源编码方法均匀编码均匀编码是一种简单的信源编码方法，它将每个原始信源符号映射到固定长度的码字上。
均匀编码适用于信源符号概率分布均匀的情况，例如二进制信源。
霍夫曼编码霍夫曼编码是一种基于信源符号概率分布的编码方法。
它通过将频率较高的信源符号映射到较短的码字，频率较低的信源符号映射到较长的码字来实现压缩。
高斯混合模型编码高斯混合模型编码是一种适用于连续信源的编码方法。
它假设源信号是由多个高斯分布组成的，通过对这些高斯分布进行建模来实现有效的压缩。
游程编码游程编码是一种用于压缩离散信号的编码方法，它基于信源连续出现相同符号的特性。
游程编码将连续出现的相同符号替换为一个计数符号和一个重复符号，从而实现压缩。
信源编码的应用数据压缩信源编码在数据压缩中起着关键作用。
通过使用有效的信源编码方法，可以大大减少传输数据的比特数，从而提高数据传输的效率和速率。
影音编码在数字媒体领域，信源编码常用于音频和视频的压缩。
通过采用适当的信源编码方法，可以减小音频和视频文件的大小，从而节省存储空间和传输带宽。
信息论_限失真信源编码
信息论的旅程本章将着重讨论允许一定失真的条件下可把信源信 息压缩到什么程度。
第七章 限失真信源编码三、信源的输出中含 有多少信息？四、传输信息的最高速 率（信道容量）2009-12-22五、无失真信源编码 六、有噪信道编码 九、实际信道编码方法七、限失真信源编码2主要内容1.1 概述 失真产生的原因信道噪声的干扰使得信息传输过程会产生差错； 当信息传输率超过信道容量时，必然产生差错； 信源熵是信源无失真压缩的极限，若再继续压缩 则会带来失真。
基本概念1. 概述 1. 概述 2. 系统模型 2. 系统模型失真测度 信息率失真函数 限失真信源编码定理3失真存在的合理性信宿的灵敏度和分辨率是有限的，不要求绝对无 失真； 允许失真的存在，可以提高信息传输率，从而降 低通信成本。
41.1 概述（续）1.2 系统模型 – 只讨论信源编码问题信源 编码 信道 编码 信道 干扰 信道 译码 信源 译码无失真信源压缩的极限：信源的信息熵 本章的研究内容在允许一定程度失真的条件下，能够把信 源信息压缩到什么程度，即最少需要多少 比特才能描述信源。
研究方法用研究信道的方法，来研究有失真信源压 缩问题。
5信源X 试验信道P(Y | X )Y 失真信源无失真 信源编码信道 编码61主要内容失真函数 d (x, y )2.1 失真测度 – 失真函数基本概念非负函数；函数形式可根据需要定义 1. 失真函数 1. 失真函数 2. 平均失真 2. 平均失真 定量描述发出符号与接收符号之间的差异 （失真）x2 L ⎡ X ⎤ ⎡ x1 ⎢ P ⎥ = ⎢ p(x ) p(x ) L ⎣ ⎦ ⎣ 1 2 xn ⎤ p(xn )⎥ ⎦失真测度信息率失真函数 限失真信源编码定理7Y : {y1 , y 2 , L , y m }失真矩阵⎡ d (x1,y1 ) d ( x1,y2 ) L d ( x1,ym )⎤ ⎢d ( x ,y ) d ( x ,y ) L d ( x ,y )⎥ 2 2 2 m ⎥ D=⎢ 2 1 ⎢ M ⎥ M M ⎢ ⎥ d (xn ,y1 ) d ( xn ,y2 ) L d ( xn ,ym )⎦ ⎣82.1 失真测度 – 失真函数（续）常用的失真函数有： （1） 汉明失真2.1 失真测度 – 失真函数 – 例题例7.1 设信道输入 X = {0,1}，输出 Y = {0, ?,1} ，规定失 真函数 d(0, 0) = d(1, 1) = 0， d(0, 1) = d(1, 0) = 1， d(0, ?) = d(1, ?) = 0.5，求 D 。
信息论与编码 限失真信源编码
第一节 失真测度
1、失真度
信源 信源 编码 信道 编码 广义无扰信道
信道
干扰
信道 译码
信源 译码
信宿
失真范围: 由于只涉及信源编码问题, 所以可以将信 道编码和信道译码看成是信道的一部分. 这样信宿 收到消息的失真(或误差)只是由信源编码带来的.
第一节 失真测度
试验信道: 由于是失真编码, 所以信道不是一一
前 言
失真传输的研究方向:
在允许一定程度失真的条件下, 能把信源信息压 缩到什么程度, 即最少需要多少比特数才能描述
信源;
也就是说, 在允许一定程度失真的条件下, 如何
能快速地传输信息, 这是本章要讨论的问题。
前 言
这个问题在香农1948年最初发表的经典论文中已 经有所体现, 但直到1959年香农又发表了“保真
条件下, 如何能快速的传输信息, 这就是本章所要讨
论的问题. 本章所讨论的内容是量化、数模转换、频带压 缩和数据压缩的理论基础.
前 言
本章主要介绍信息率失真理论的基本内容, 侧重 讨论离散无记忆信源. 首先给出信源的失真度和信息率失真函数的定义
与性质, 然后讨论离散信源的信息率失真函数计算.
在这个基础上论述保真度准则下的信源编码定理.
前 言
失真传输的可能性:
传送图像时, 也并不是需要全部精确地把图像传送到
观察者. 只需将电视信号每一像素的黑白灰度级分成
256级, 屏幕上的画面就已足够清晰悦目.
对于静止图像或活动图像, 从空间频域来看, 每一帧一 般只含有大量的低频域分量, 高频域分量很少. 若将高 频分量丢弃, 只传输或存储低频分量, 数据率便大大减 少, 而图像质量仍能令人满意. 这是因为人眼有一定的 主观视觉特征, 允许传送图像时有一定的误差存在.
信源编码
1.信源编码信源编码包括无失真信源编码和有失真信源编码，其中，无失真信源编码就是我们所说的Shannon第一定理。
有失真信源编码对于模拟信号来说就是模拟信号的数字化过程，对于数字信号来说，就是一种“舍小放大”的过程。
1.1.Shannon第一定理（无失真）这种编码能达到压缩需要传输的码元总量的目的，但是，其本质是对信息冗余度的压缩，信息没有任何的损失，失真压缩（编码）就不是如此了，其信息是有损失的。
1.1.1.平均码长Vs编码效率对于等长编码，其平均码长就是等长编码的码长。
对于不等长编码，其平均码长就是每一个码字之码长的数学期望。
平均码长是衡量一个编码方案好坏的标尺。
1.1.2.Shannon第一定理无失真信源编码定理：对于一个信源S，我们要想对其实现无失真信源编码，则必须满足下面不等式：对于任何一个编码，都对应一个编码效率很明显，编码效率越高越好且编码效率永远小于或者等于1，我们希望编码效率在小于1的前提情况下，尽量的接近1。
Shannon第一定理包括了等长编码定理和不等长编码定理。
这个定理的证明过程相对简单。
1.1.3.Shannon编码1.1.4.Huffman编码％来源网络，调试通过 2009-4-22function [h,l]=huffman(p)if (length(find(p<0))~=0)error('Not a prob,negative component');endif (abs(sum(p)-1)>10e-10)error('Not a prob.vector,component do not add to 1')endn=length(p);q=p;m=zeros(n-1,n);for i=1:n-1[q,l]=sort(q);m(i,:)=[l(1:n-i+1),zeros(1,i-1)];q=[q(1)+q(2),q(3:n),1];endfor i=1:n-1c(i,:)=blanks(n*n);endc(n-1,n)='0';c(n-1,2*n)='1';for i=2:n-1c(n-i,1:n-1)=c(n-i+1,n*(find(m(n-i+1,:)==1))-(n-2):n*(find(m(n-i+1,:) ==1)));c(n-i,n)='0';c(n-i,n+1:2*n-1)=c(n-i,1:n-1);c(n-i,2*n)='1';for j=1:i-1c(n-i,(j+1)*n+1:(j+2)*n)=c(n-i+1,n*(find(m(n-i+1,:)==j+1)-1)+1:n*find (m(n-i+1,:)==j+1));endendfor i=1:nh(i,1:n)=c(1,n*(find(m(1,:)==i)-1)+1:find(m(1,:)==i)*n);ll(i)=length(find(abs(h(i,:))~=32));endl=sum(p.*ll);1.1.5.Fano编码％调制通过，但是代码太杂、太乱，需要发时间整理。
信息论与编码[第七章保真度准则下的信源编码]山东大学期末考试知识点复习
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第七章保真度准则下的信源编码7．1．1 失真度(失真函数)与平均失真度1．离散信源单符号的失真度与平均失真度设离散无记忆信源输出随机变量U，U={u1，u2，…，u r}，概率分布为P(u)=[P(u1)，P(u2)，…，P(u r)]，其通过某信道传输到信宿，接收的随机变量为V，V={v1，v2，…，v s}。
(1)离散信源单个符号的失真度它是对应于每一对(u，v)所指定的一个非负函数3．连续信源的失真度和平均失真度设连续信源输出随机变量U，U取值于实数域R，其概率密度分布为p(u)。
通过某连续信道传输到信宿，接收的随机变量为V，V也取值于实数域R。
(1)连续信源的失真度7．1．2 信息率失真函数1．离散信源的信息率失真函数设离散信源输出随机变量U，其概率分布为P(u)，接收随机变量为V，失真测度为d(u，v)，则信息率失真函数7．1．3 信息率失真函数的特性7．1．4 R(D)函数的参量表述及其计算1．离散信源已知信源的概率分布P(u)和失真函数d(u，v)，离散信源的R(D)函数是选取试验信道P(v|u)满足斜率S必为非正的。
当D由D min增大到D max时，S的数值也随之S min= -∞增至S max=0。
除某些特例外，S在D=D max处是不连续的，从某一负值跳到零。
2．连续信源已知连续信源概率密度函数p(u)和失真函数d(u，v)，连续信源的R(D)函数是在概率密度函数p(v|u)满足3．差值失真度下连续信源的香农下界限连续信源U，u∈R，概率密度函数p U(u)。
其失真函数为差值量度的函数4．高斯波形信源信源输出的是一个均值为零的平稳高斯随机过程{U(t)，-∞<t<∞}。
在均方误差失真度下，信息率失真函数和平均失真度的参量表达式7．1．5 常见信源的R(D)函数1．二元离散对称信源U7．1．6 保真度准则下信源编码定理(香农第三定理)1．保真度准则下信源编码定理及其逆定理保真度准则下信源编码定理又称限失真信源编码定理：离散信源的信息率失真函数为R(D)，并有有限的失真函数。
信息论基础-第七章
12
信息论与编码-限失真信源编码
也可以按其它的标准，如引起的损失、风险、主观感觉 上的差别等来定义失真函数。 二、平均失真 由于信源X和信宿Y都是随机变量，所以符号失真度 函数也是一个随机变量，传输时引起的平均失真应该是 符号失真度函数 d(xi , y j )在信源概率空间和信宿概率空间 求平均，即：
信息论与编码-限失真信源编码
第七章 限失真信源编码
1
信息论与编码-限失真信源编码
第五章我们讨论了无失真信源编码。但是， 在很多场合，特别是对于连续信源，因为其绝对 熵为无限大，若要求无失真地对其进行传输，则 要求信道的信息传输率也为无限大，这是不现实 的。因此也就不可能实现完全无失真传输。 另一方面，从无失真信源编码定理来考虑， 由于要求码字包含的信息量大于等于信源的熵， 所以对于连续信源，要用无限多个比特才能完全 无失真地来描述。
d被称为失真矩阵。
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信息论与编码-限失真信源编码
{ 0 ,1 } ,编码器的输出符号 例4-1-1 设信源符号 X Y { 0 , 1 ,2 } ，规定失真函数为：
d(0,0)=d(1,1)=0;d(0,1)=d(1,0)=1;d(0,2)=d(1,2)=0.5 求失真矩阵d. 解：由失真矩阵定义：
d ( 0 , 0 )d ( 0 , 1 )d ( 0 , 2 ) 010 . 5 d d ( 1 , 0 ) d ( 1 , 1 ) d ( 1 , 2 ) 1 0 0 . 5
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信息论与编码-限失真信源编码
失真函数 d(xi , y j ) 的函数形式可以根据需要适当选 取，如平方代价函数、绝对代价函数、均匀代价 函数等： 2 d ( x , y ) ( x y ) i j i j 平方失真： (x yj i,y j)x i 绝对失真： d ( x x y 相对失真： d i,y j) i j /x i 0 , x y i j d ( x , y ) ( x , y ) 误码(汉明)失真： i j i j 1 , 其它
无失真编码与保真度准则下的信源编码比较
无失真编码与保真度准则下的信源编码比较无失真编码和保真度编码是两种不同的信源编码方法。
无失真编码是一种编码方法，其中编码的输出与其输入完全相同，即没有信息损失。
保真度编码是一种编码方法，其中编码输出与输入之间具有某种度量，通常用于指定被编码信源的相关度量。
在无失真编码中，被编码的信源通常通过重复信源符号来实现。
例如，在串行传输系统中，数据被重复多次，以确保接收方能够正确地接收数据。
虽然这种方法可以确保完全输送原始信源，但它有几个限制。
首先，它需要更多的带宽，因为数据需要被重复发送多次。
其次，它并不适用于所有类型的数据，特别是当数据非常长或不规则时，这种方法会变得非常昂贵和低效。
与此不同的是，保真度编码的目标是在尽可能减少带宽和存储空间的情况下，最大限度地保留原始信源的信息。
通过使用保真度准则，可以将信源表示为某种度量形式。
这些度量通常包括信号功率、功率频谱分布、自相关函数和互相关函数等。
保真度编码通常使用一些高级编码技术，如哈夫曼编码、熵编码和维纳滤波器等。
这些编码方法都源于信息论和通信工程领域的数学理论。
通过这些编码技术，保真度编码可以提高信源的压缩效率，同时最大程度地保留信源的信息。
当比较无失真编码和保真度编码时，无失真编码通常比较简单，但需要更多的带宽和存储空间。
而保真度编码则需要更复杂的算法和技术，但可以在尽可能减少带宽和存储空间的情况下保留更多的原始信息。
综上所述，在处理信源编码问题时，需要综合考虑多个方面，包括数据类型、带宽和存储空间要求等。
无失真编码适用于对带宽和存储空间要求不是很高的应用，例如音频、图片和视频的传输。
保真度编码适用于对存储空间和带宽要求较高的应用，例如用于数字通信系统的压缩算法。
信源编码定理的内容和其意义
信源编码定理的内容和其意义
信源编码定理（Source Coding Theorem）是信息论的基本定理之一，由克劳德·香农于1948年提出。
该定理指出，对于一个字符的离散无记忆源，其熵是它的平均编码长度的下限。
具体来说，设X为离散无记忆源，其有N个可能输出符号
x_1, x_2, ..., x_N，相应的输出概率分布为P(X=x_1),
P(X=x_2), ..., P(X=x_N)。
则X的熵H(X)定义为：
H(X) = -Σ(P(X=x_i) * log2(P(X=x_i)))
信源编码定理表述如下：
对于给定的源，如果存在一种编码方式，使得该编码方式满足以下两个条件：
1. 平均编码长度L满足L ≤ H(X) + ε，其中ε为正数。
2. 随着编码长度的增加，编码方式的错误率趋近于0。
那么，对于任意小的ε和δ，当信号序列长度n足够大时，就能以概率大于1-δ找到一种编码方式，使得产生的编码序列长度为n的平均长度小于L+ε，并且错误率小于δ。
信源编码定理的意义在于，它告诉我们通过对信息进行适当的编码，可以将信息压缩到接近其熵的程度，从而提高信息的传输效率。
例如，在通信领域中，信源编码定理的应用可以帮助
我们设计更高效的编码算法，减小数据传输所需的带宽和存储空间，提高数据压缩的效果。
此外，信源编码定理也为信息论的其他重要结果提供了基础，如信道编码定理等。
信息论保真准则下的信源编码
信道
要实现保失真准则D下的传输，必须满足 R'R(D) (香农第三定理)
R' C (香农第二定理)
R(D) R' C
9
• 单调递减和连续性
7
7.6 保真度准则下的信源编码定理 —— 香农第三定理
对于任意D0，只要码长n足够长，总可以找到一 种编码C，是编码后每个信源符号的信息传输率
R'logMR(D) n
且码的平均失真度
d(C)D
8
7.7 联合有失真信源信道编码定理
—— 香农第二定理+第三定理
C
信源
信源 R ' 信道
4
7.2 信息率失真函数及其性质
—— 信息率失真函数
信源 U
P(vj | ui)
试验信道
V 信宿
D失真许可的试验信道中，平均互信息的最小值：
R (D )mi{In (U ;V)} P (vj|ui) B D
BD
P1(vj |ui) D1 D
I1(U;V)
D
P2(vj |ui) D2 D
I2(U;V)
3
7.1 失真度和平均失真度
—— 保真度准则
信源 U
P(vj | ui)
试验信道
V 信宿
保真度准则： D D（其中D为允许的最大失真）
D失真许可的试验信道的集合 —— 所有满足保真度准则的试验信道的集合：
B D { P ( v j |u i ) : D D ; i 1 , 2 , , r , j 1 , 2 , , s }
7.1 失真度和平均失真度 —— 试验信道
信源
信源 编码
信道 编码
信道 干扰
第7章 保真度准则下的信源编码
u5 = 111 u6 = 110 → v2 = 111 → 1 u7 = 101 u8 = 011
7.6 有失真信源编码定理的实用意义
这种编码方法，可以看成是一种特殊的试验信道
1 v j ∈ C , v j = f (ui ) P( v j / ui ) = v j ≠ f (ui ) 0
7.1 失真度和平均失真度
信源 试验信道 信宿
我们称此信道为试验信道 试验信道。 试验信道 现在我们要研究在给定允许失真的条件下，是否可以设计一种信 源编码使信息传输率为最低。为此，我们首先讨论失真的测度。 设信源变量为 U = {u1 , u 2 ,...u r }，其概率分布为 P(u) = [ P(u1 )...P(ur )] 接受端变量为 V = {v1 , v 2 ,...v s } ， 对于每一对(u,v)，我们指定一个非负的函数
D≤D
凡满足保真度准则的这些试验信道称为D失真许可的试验信道。 把所有D失真许可的试验信道组成一个集合，用符号 BD 表示。
7.2 信息率失真函数及其性质
1、信息率失真函数 当信源和失真函数给定后，我们总希望在满足保真度准则 下寻找平均互信息的最小值。也就是在 BD 中找一个信道，使 平均互信息取极小值。这个最小值就是在 D ≤ D 的条件下， 信源必须传输的最小平均信息量。
D = E[d (ui , v j )]
若已知试验信道的传递概率，则平均失真度为：
D = ∑ P(u, v )d (u, v ) = ∑∑ P(ui ) P( v j / ui )d (ui , v j )
U ,V i =1 j =1 r s
若平均失真度 D 不大于我们所允许的失真D，我们称此为 保真度准则。
第七章 保真度准则下的信源编码
失真矩阵为：
0 1 4 D 1 0 1
4 1 0
第一节 失真度和平均失真度
2、平均失真度
D E[d(ui,vj )]
若已知试验信道的传递概率，则平均失真度为：
rs
D P(u,v)d (u,v)
P(ui )P(v j / ui )d (ui , v j )
那么在允许一定程度失真的条件下，能够把信源信息压 缩到什么程度，也就是，允许一定程度失真的条件下，如何 能快速的传输信息，这就是本章所要讨论的问题。
本章所讨论的内容是量化、数模转换、频带压缩和数据 压缩的理论基础。
第一节 失真度和平均失真度
1、失真度
信源
信源 编码
信道 信道 编码
信道 译码
信源 译码
在汉明失真条件下，
R(
D)
H
()
0
H
(D)
0 D D
例： 0.4 D 0.2
R(D) H (0.4) H (0.2) 0.249
第三节 二元信源和离散对称信源的R(D)函数
对于离散对称信源，在汉明失真条件下：
R(D)
log
r
D
log(r
1)
H
(
D)
0
0 D 1 1 r
D 1 1 r
P(v / u) Q(v)
失真度函数变为：
D P(u)Q(v)d(u,v)
U ,V
第二节 信息率失真函数及其性质
所以， Dmax 就是在R(D)=0的情况下，求 D 的最小值
Dmax
min
Q(v)
P(u)Q(v)d (u, v)
U ,V
香农三大定理简答
香农三大定理简答
（最新版）
目录
1.香农第一定理：可变长无失真信源编码定理
2.香农第二定理：有噪信道编码定理
3.香农第三定理：保真度准则下的信源编码定理
正文
香农三大定理是信息论中的基本定理，它们分别是香农第一定理：可变长无失真信源编码定理，香农第二定理：有噪信道编码定理，以及香农第三定理：保真度准则下的信源编码定理。
下面我们将逐一介绍这三大定理。
首先，香农第一定理，又称为可变长无失真信源编码定理。
该定理表明，对于一个离散无噪信源，其输出可以进行无失真的编码，使得在信道上传输的平均速率为每秒 (c/h(s)-a) 个信源符号，其中 c 为信道容量，h(s) 为信源熵，a 为任意小的正数。
但是，要使传输的平均速率大于
(c/h(s)) 是不可能的。
这意味着，无失真的信源编码存在着一个极限，即信源的熵值。
其次，香农第二定理，即有噪信道编码定理。
该定理表明，当信道的信息传输率不超过信道容量时，采用合适的信道编码方法可以实现任意高的传输可靠性。
但是，若信息传输率超过了信道容量，就不可能实现可靠的传输。
最后，香农第三定理，也称为保真度准则下的信源编码定理。
该定理表明，只要码长足够长，总可以找到一种编码方法，使得在给定的信源符号中，译码后的符号与原始符号的误差足够小，即实现有损信源编码。
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给定D时，若R(D)越小，代表信源可被压缩的潜力越大
7
7.2 信息率失真函数及其性质
—— 信息率失真函数的性质
信源 U
P(vj | ui )
试验信道
V 信宿
D失真许可的试验信道中，平均互信息的最小值：
R(D) mi{nI(U;V)} P(vj|ui)BD
• 取值范围：
0R(D )H(U)
• 单调递减和连续性
1 (00)1B 1
1
ui (101) B v j (001)B
1
(10)0B 4
16
3
7.1 失真度和平均失真度
—— 平均失真度
信源 U
P(vj | ui )
试验信道
V 信宿
D E[d(u,v)] U,V P(uv)d(u,v) U,V rs P(ui)P(vj |ui)d(ui,vj) i1 j1
I2(U;V)
Im(U;V)
R(D)
6
7.2 信息率失真函数及其性质
—— 信息率失真函数
信源 U
P(vj | ui )
试验信道
V 信宿
D失真许可的试验信道中，平均互信息的最小值：
R(D) mi{nI(U;V)} P(vj|ui)BD
当要求失值
R'C (香农第二定理)
R(D)R'C
10
信道 编码
信道 干扰
信道 译码
信源 译码
信宿
信源 U
P(vj | ui )
试验信道
V 信宿
2
7.1 失真度和平均失真度
—— 失真度
信源 U
P(vj | ui )
试验信道
V 信宿
失真度 d (ui,v j)
D汉明
| ui vj | | ui vj |2
ui (101) B v j (100 ) B
4
7.1 失真度和平均失真度
—— 保真度准则
信源 U
P(vj | ui )
试验信道
V 信宿
保真度准则： DD（其中D为允许的最大失真）
D失真许可的试验信道的集合 —— 所有满足保真度准则的试验信道的集合：
B D { P ( v j|u i) :D D ;i 1 ,2 , ,r ,j 1 ,2 , ,s }
8
7.6 保真度准则下的信源编码定理 —— 香农第三定理
对于任意D0，只要码长n足够长，总可以找到一 种编码C，是编码后每个信源符号的信息传输率
R'logMR(D) n
且码的平均失真度
d(C)D
9
7.7 联合有失真信源信道编码定理
—— 香农第二定理+第三定理
C
信源
信源 R' 信道
编码 编码
信道
要实现保失真准则D下的传输，必须满足 R'R(D) (香农第三定理)
第7章 保真度准则下的 信源编码
7.1 失真度和平均失真度 7.2 信息率失真函数及其性质 7.4 二元和离散对称信源的R(D)函数 7.6 保真度准则下的信源编码定理 7.7 联合有失真信源信道编码定理 7.8 限失真信源编码定理的实用意义
7.1 失真度和平均失真度 —— 试验信道
信源
信源 编码
5
7.2 信息率失真函数及其性质
—— 信息率失真函数
信源 U
P(vj | ui )
试验信道
V 信宿
D失真许可的试验信道中，平均互信息的最小值：
R(D) mi{nI(U;V)} P(vj|ui)BD
BD
P1(vj | ui ) D1 D
I1(U;V)
D
P2(vj | ui ) D2 D
Pm(vj | ui ) Dm D