第十五章---分式方程(知识点+题型分类练习)

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八上数学第十五章知识点总结

八上数学第十五章知识点总结一、分式的概念。

1. 分式的定义。

- 一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子(A)/(B)就叫做分式。

例如(x)/(x + 1)，(1)/(x)等都是分式，而(3)/(5)不是分式，因为分母5是常数，不含有字母。

2. 分式有意义的条件。

- 分式(A)/(B)有意义的条件是B≠0。

例如对于分式(1)/(x - 2)，当x - 2≠0，即x≠2时，该分式有意义。

3. 分式的值为零的条件。

- 分式(A)/(B)的值为零的条件是A = 0且B≠0。

比如对于分式(x - 1)/(x+1)，当x - 1 = 0（即x = 1）且x+1≠0（x≠ - 1）时，分式的值为0。

二、分式的基本性质。

1. 基本性质。

- 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

即(A)/(B)=(A× C)/(B× C)，(A)/(B)=(A÷ C)/(B÷ C)（C≠0）。

例如(2x)/(3y)=(2x×2)/(3y×2)=(4x)/(6y)。

2. 约分。

- 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

例如对于分式(6x^2y)/(9xy^2)，分子分母的公因式是3xy，约分后得到(2x)/(3y)。

- 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。

像(x + 1)/(x^2+1)就是最简分式。

3. 通分。

- 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

通分的关键是确定最简公分母。

例如对于分式(1)/(x)和(1)/(x + 1)，最简公分母是x(x + 1)，通分后分别为(x+1)/(x(x + 1))和(x)/(x(x + 1))。

三、分式的运算。

1. 分式的乘除。

- 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。

即(A)/(B)·(C)/(D)=(A· C)/(B· D)。

分式方程(知识点+典型例题)完美打印版

考点4 分式方程的特殊解问题【例7】若关于x 的方程2222=-++-xm x x 的解为正数，求m 的取值范围？【例8】已知关于x 的分式方程21a x ++=1的解是非正数，则a 的取值范围是（） A ．a≤-1B ．a≤-1且a≠-2C ．a≤1且a≠-2D ．a≤1【例9】如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是3-和xx--21，且点A ，B 到原点的距离相等，求x 的值.【课堂练习】 1、分式方程0131-x 2=+-x 的解为（）[来源Com] A ．x=3 B ．x=﹣5 C ．x=5 D ．无解2、关于x 的分式方程=1的解为正数，则字母a 的取值范围为（）A. a≥﹣1B. a ＞﹣1C. a≤﹣1D. a ＜﹣1 3、若分式方程)2)(1(11+-=--x x m x x 有增根，则m 的值为（） A 、0和3 B 、1 C 、1和-2 D 、3 4、关于x 的分式方程1mx +=-1的解是负数，则m 的取值范围是（） A ．m ＞-1 B ．m ＞-1且m≠0 C ．m≥-1D ．m≥-1且m≠05、方程201x xx +=+的根是。

6、分式方程2111x x x +--=3的解是。

-3xx --21 B ．A ．7、若关于x 的方程15102x mx x-=--无解，则m= 。

8、已知关于x 的分式方程2122=--x a x 的解为非负数，求a 得取值范围。

9、的值求有增根若分式方程m x x m x x ,)2)(1(11+-=--【课后作业】1、解分式方程x x －2＝2＋3x －2，去分母后的结果是( )A ．x ＝2＋3B ．x ＝2(x －2)＋3C ．x(x －2)＝2＋3(x －2)D ．x ＝3(x －2)＋2 2、若分式的值为0，则x 的值是（）A. x=3B. x=0C. x=﹣3D. x=﹣43、若3x 与61x -互为相反数，则x 的值为（） A.13 B.－13C.1D.－1 4、若方程32x x --=2mx-无解，则m=——————．5、已知x ＝2y ＋33y －2，用x 的代数式表示y ，则y ＝____．6、解方程：（1）x x 332=-；（2）11322x x x -=--- （3）2240x-11x -=-。

八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结(带答案)

八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结单选题1、若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为正数，则a的取值正确的是（）A．a<6且a≠2B．a>6且a≠1C．a<6D．a>6答案：A分析：表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．解：分式方程整理得：2x−1−ax−1=4，去分母得：2−a＝4x−4，解得：x＝6−a4，由分式方程的解为正数，得到6−a4>0，且6−a4≠1，解得：a<6且a≠2．故选：A．小提示：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．2、若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为（）A．2B．3C．4D．5答案：D分析：根据分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后将x=3代入求解即可.解：∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，∴x=3，去分母，得m+4=3x+2(x−3)，将x=3代入，得m+4=9，解得m=5．故选：D．小提示：本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（）A ．扩大到原来的3倍B ．扩大到原来的6倍C ．缩小为原来的13D ．不变答案：D分析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：∵2×3x 3x+3y =2×3x 3(x+y )=2xy x+y ，∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，故选：D ．小提示：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4、计算x x+1+1x+1的结果是（）A ．x x+1B ．1x+1C ．1D ．−1答案：C分析：根据同分母分式的加法法则，即可求解．解：原式=x+1x+1=1，故选C ．小提示：本题主要考查同分母分式的加法法则，掌握”同分母分式相加，分母不变，分子相加“是解题的关键．5、若a +b =5，则代数式（b 2a ﹣a ）÷（a−b a ）的值为（）A ．5B ．﹣5C ．﹣15D ．15 答案：B分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．∵a +b =5，∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5，故选：B ．小提示：考查分式的化简求值，掌握减法法则以及除法法师是解题的关键，注意整体代入法在解题中的应用．6、某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为()A．300x =200x+30B．300x−30=200xC．300x+30=200xD．300x=200x−30答案：C分析：乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效，列出方程即可．乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，依题意得：300x+30=200x，故选C．小提示：本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键．.7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3，则常数a的值为（）A．a=2B．a=−2C．a=−1D．a=1答案：D分析：根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可．解：∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3，∴23−a−1=0，∴2=3−a，∴a=1，经检验，a=1是方程23−a−1=0的解，故选：D．小提示：本题主要考查了利用分式方程的解求参数，熟练掌握相关方法是解题关键．8、解方程2x−13=x+a2−1时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是（）A ．x =−3B ．x =−2C ．x =13D ．x =−13答案：A分析：先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a 的值，然后把a 的值代入原方程并解方程．解：把x =2代入方程2（2x -1）=3（x +a ）-1中得：6=6+3a -1，解得：a =13，正确去分母结果为2（2x -1）=3（x +13）-6，去括号得：4x -2=3x +1-6，解得：x =-3．故选：A小提示：本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．9、下列运算正确的是( )A ．2a +3b =5abB ．(−ab)2=a 2bC ．a 2⋅a 4=a 8D ．2a 6a 3=2a 3答案：D分析：根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答．解：A 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、原式=a 2b 2，故本选项错误；C 、原式=a 6，故本选项错误；D 、原式=2a 3，故本选项正确．故选D ．小提示：本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．10、下列分式中是最简分式的是（）A ．2x 2B ．42xC ．x−1x 2−1D ．x−1(x−1)2答案：A分析：一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式，四个选项逐个分析排除，只有选项A是最简分式，选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式x−1、公因式x−1，都不是最简分式．选项A不能约分，是最简分式；选项B中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式；选项C中x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)，分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；选项D中分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；故选：A．小提示：本题主要考查了最简分式的概念，最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式，有时需要将分子分母进行因式分解再判断．填空题11、计算2m−2−mm−2的结果是 ____．答案：−1分析：根据分式的减法法则即可得．解：原式=2−mm−2=−(m−2) m−2=−1，所以答案是：−1．小提示：本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．12、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解，则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________．答案：2分析：先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案．解：解不等式2x>2得：x>1，解不等式3x <m +1得：x <m+13， ∵不等式组无解，∴m+13≤1，∴m ≤2；y y −1=4−m 2y −2去分母得2y =4−m ，解得y =4−m 2，∵m ≤2，∴4−m ≥2∴y =4−m 2≥1，又∵y −1≠0，∴y >1，∴y 的最小整数解为2，所以答案是：2小提示：本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．13、方程22x−1+x 1−2x =1的解是________．答案：x ＝1分析：原方程去分母得到整式方程，求解整式方程，最后检验即可．解：22x−1+x 1−2x =1， 22x−1﹣x 2x−1＝1，方程两边都乘2x ﹣1，得2﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，2x ﹣1≠0，所以x ＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1，所以答案是：x＝1．小提示：本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意解分式方程不一定要检验．14、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．##0.25答案：14分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4所以答案是：1．4小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．15、用科学记数法将﹣0.03896保留两位有效数字为____．答案：﹣3.9×10﹣2分析：先根据科学记数法表示该数，再保留两个有效数字即可．解：﹣0.03896＝﹣3.896×10﹣2≈﹣3.9×10﹣2，所以答案是：﹣3.9×10﹣2．小提示：此题考查了科学记数法的表示方法，有效数字的概念，正确理解各知识点是解题的关键．解答题16、为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？答案：每个篮球的原价是120元．分析：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据题意，得12000x ＝10000x−20．解得x ＝120．经检验x ＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．小提示：本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．17、若a ，b 为实数，且(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，求3a ﹣b 的值．答案：2分析：根据题意可得{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解方程组可得a,b,再代入求值.解：∵(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，∴{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解得{a =2b =4， ∴3a ﹣b=6﹣4=2．故3a ﹣b 的值是2．小提示：本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.18、阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式(x−a)(x−b)x 的值为零，则解得x 1＝a ，x 2＝b ．又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x=x +ab x ﹣（a +b ），所以关于x 的方程x +ab x ＝a +b 的解为x 1＝a ，x 2＝b ． (1)理解应用：方程x 2+2x =3+23的解为：x 1＝，x 2＝；(2)知识迁移：若关于x 的方程x +3x ＝5的解为x 1＝a ，x 2＝b ，求a 2+b 2的值；(3)拓展提升：若关于x 的方程4x−1＝k ﹣x 的解为x 1＝t +1，x 2＝t 2+2，求k 2﹣4k +2t 3的值．答案：(1)3，23；(2)19；(3)12．分析：（1）根据题意可得x =3或x =23；（2）由题意可得a +b =5，ab =3，再由完全平方公式可得a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =19；（3）方程变形为x -1+4x−1=k -1，则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1，则有t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1，整理得k =t +t 2+2，t 3+t =4，再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t （t 3+t ）+4t 3-4=4（t 3+t ）-4=12．（1）解：∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ，x 2=b ，∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23，所以答案是：3，23；（2）解：∵x +3x =5，∴a +b =5，ab =3，∴a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =25-6=19；（3）解：4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1，∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1，x 2=t 2+2，则有x -1=t 或x -1=t 2+1，∴t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1， ∴k =t +t 2+2，t 3+t =4， k 2-4k +2t 3=k （k -4）+2t 3=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3=t4+4t3+t2-4=t（t3+t）+4t3-4=4t+4t3-4=4（t3+t）-4=4×4-4=12．小提示：本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．。

人教版八年级数学上册考点与题型归纳 15.3 分式方程

人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十五章分式15.3 分式方程一：考点归纳考点一:分式方程的意义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.考点二:分式方程的解法：⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

（产生增根的过程）⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

考点三：分式方程解应用题基本步骤①审—仔细审题，找出等量关系。

②设—合理设未知数。

③列—根据等量关系列出方程（组）。

④解—解出方程（组）。

注意检验⑤答—答题。

二：【题型归纳】题型一：分式方程的意义1．如果关于x 的分式方程m 2x x 22x ---＝1有增根，那么m 的值为（） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣2题型二：分式方程的解 2．解分式方程211112x x x x --=--时，去分母后得到的方程正确的是（） A ．211x x x -+=- B ．2421x x x -+=-C ．2421x x x +-=-D ．211x x x +-=- 3.解方程：242111x x x x +=-+-题型三：分式方程解答应用题 4．学校为满足学生体育运动的需求，计划购买一定数量的篮球和足球．若每个足球的价格比篮球的价格贵15元，且用600元购买篮球的数量与用800元购买足球的数量相同．设每个篮球的价格为x 元，则可列方程为（）A ．60080015x x =+ B ．60080015x x =- C ．60080015x x =+ D ．60080015x x =-5．山西民间的雕刻艺术源远流长，主要以古代传统吉祥纹样为素材，以石雕、木雕砖雕等形式，来体现主人的高尚情操和文化修养以及人们的美好愿望.某木雕经销商购进“木象”和“木马”两种雕刻艺术品，购“木象”艺术品共用了2000元，“木马”艺术品共用了2400元已知“木马”每件的进价比“木象”每件的进价贵8元，且购进“木象”“木马”的数量相同.()1求每件“木象”、“木马”艺术品的进价；()2该经销商将购进的两种艺术品进行销售，“木象”的销售单价为60元，“木马”的销售单价为88元，销售过程中发现“木象”的销量不好，经销商决定:“木象”销售一定数量后，将剩余的“木象”按原销售单价的七折销售；“木马”的销售单价保持不变要使两种艺术品全部售完后共获利不少于2460元，问“木象”按原销售单价应至少销售多少件？三：基础巩固和培优一、单选题1．如果关于x 的方程2133m x x =---无解，则m 的值等于（） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．3 2．分式方程71222x x+=--的解是（）． A ．1x =B ．2x =C ．2x =-D ．4x = 3．若关于x 的方程62033x m x x --=--有增根，则m 的值是（）A ．32B ．23-C ．3D ．3-4．县城建局对某一条街的改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x 天，则所列方程正确的是（）A ．4116x x x +=+-B ．116x x x =-+C ．4116x x x +=--D ．4116x x x +=-+ 5．若关于x 的方程111ax x +=-有增根，则a =（） A ．1- B ．3- C ．1 D ．36．关于x 的方程2311x m x -=-的解是正数，m 的值可能是（） A ．23 B ．12C ．0D ．-17．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Max(a ，b)表示a ，b 中的较大的值，如Max(2，4)=4，按照这个规定，方程Max( 1x ， 2x )=1- 3x的解是( ) A ．x=4B ．x=5C ．x=4或x=5D ．无实数解8．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm ，则根据题意可得方程( )A ．240024008(120%)x x-=+ B ．240024008(120%)x x -=+ C ．240024008(120%)x x -=- D ．240024008(120%)x x-=-9．关于x 的分式方程2x a 1x 1+=+的解为负数，则a 的取值范围是( ) A ．a 1> B ．a 1< C ．a 1<且a 2≠- D ．a 1>且a 2≠10．已知关于x 的分式方程433x k x x-=--的解为非正数，则k 的取值范围是（） A ．k≤－12B ．k≥ －12且k ≠ －3C ．k>－12D ．k<－12二、填空题 11．若关于x 的分式方程12224x a a x x ++=--无解，则a 的值为__________． 12．当m ＝______时，分式方程233x m x x-=--会出现增根 13．x=1是关于x 的方程2x －a=0的解，则a 的值是_____．14．若数a 使关于x 的不等式组542x x a<⎧⎨-≥⎩有且只有四个整数解，且使关于y 的方程2211y a a y y ++=--的解为非负数，则符合条件的正整数a 的值为___________．15．若关于x 的分式方程a b x =的解为1a b +，我们就说这个方程是和解方程．比如：24x=-就是一个和解方程．如果关于x 的分式方程3n n x =-是一个和解方程，则n =___________．三、解答题16．解分式方程（1）32122x x x-=--- （2） 2216224x x x x x +-=-+- 17．若关于x 的方程233x m x x -=--的解为正数，求m 的取值范围 18．解方程：22311x x x++=-- 19．清明时节，张老师和王老师组织八年级1班学生步行到距学校10.8千米的烈士陵园扫墓．出发时，王老师带领学生先出发，30分钟后，张老师骑自行车出发，张老师骑自行车的速度是学生步行速度的2倍，当学生到达烈士陵园时，张老师已经到达1个小时，并为大家买好了扫墓门票．（1）求学生的步行速度和张老师骑自行车的速度各是多少；（2）当张老师追上学生时，距离烈士陵园还有多远？20．端午节是中华民族的传统节日，全国各地素来都有端午节吃粽子的习俗．在今年端午节前夕，某商场采购了一批甲、乙两种品牌的粽子共600盒，其中采购甲品牌粽子花费7200元，采购乙品牌粽子花费9600元，已知每盒甲品牌粽子的进价是乙品牌粽子进价的1.5倍．（1）求该商场采购的甲、乙两种品牌的粽子每盒进价分别是多少元．（2）该商场原计划确定甲品牌粽子的售价为60元/盒，乙品牌粽子的售价为32元/盒．后调整销售策略，对甲品牌粽子进行打折销售，乙品牌粽子按原价售出．若要使购进的甲、乙两种品牌的粽子全部售出后所获利润不低于5600元，则每盒甲品牌粽子最低能打几折？21．阅读下列材料∶11x c x c +=+的解是12111,,x c x x c c x c ==-=-的解是121,x c x c ==-22x c x c +=+的解是12233,,x c x x c c x c ==+=+的解是123,x c x c== （1）请观察上述方程与解的特征，猜想方程m m x c x c -=-的解分别为：1x =___ ，2x =___ ．（2）利用这个结论可得关于x 的方程；4455x x +=的解为：1x =___ ，2x =___ ．（3）利用这个结论求解关于x 的方程：3225x x -=参考答案题型归纳1．B2．C3．x=24．A5．()1 “木象”艺术品每件进价为40元，“木马”艺术品每件进价为48元．()2至少销售20件．基础巩固和培优1．B2．C3．A4．D5．A6．B7．B8．A9．D10．A11．2a =-或32a =-12．－1．13．214．2 15．3416．（1）16x =；（2）无解 17．6m >-，且3m ≠-18．34x =． 19．（1）学生的步行速度为3.6千米/时，张老师骑自行车的速度为7.2千米/时；（2）当张老师追上学生时，距离烈士陵园还有 7.2千米20．（1）每盒甲品牌粽子进价为36元，每盒乙品牌粽子进价为24元；（2）每盒甲品牌棕子最低打8折21．（1） c ，m c -；（2）5，45；（3）1235,5x x ==-。

【人教版】八年级数学上册第十五章《分式方程及其应用》(讲义+习题+随堂测试及答案)

分式方程及其应用（讲义）➢课前预习1.请回顾相关知识，填空：2.回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题：（1）理解题意，梳理信息．梳理信息的主要手段有_______________________________．（2）建立数学模型．建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如：①共需.同时.刚好.恰好.相同……，考虑___________；②不超过.不多于.少于.至少……，考虑_____________．（3）求解验证，回归实际．主要是看结果是否_________________． ➢ 知识点睛1. 分式方程的定义：__________________的方程叫做分式方程．2. 解分式方程：根据________________，把分式方程转化为__________求解，结果必须_______，因为解方程的过程中有可能产生______．增根产生的原因是方程两边同乘了一个_________________．3. 列分式方程解应用题，也要进行___________．➢ 精讲精练1. 下列关于x 的方程是分式方程的有__________．（填写序号）①315x -=；②x x π=π；③11123x y -=；④1152x x +=+；⑤11x a b =-． 2. 已知方程2512kx x +=+的解为1x =，则k =_________．3. 解分式方程：（1）2115225x x x ++=--；（2）100602020x x=+-；（3）3201(1)x x x x +-=--；（4）2216124x x x ++=---；（5）2236111x x x +=+--；（6）2221114268x x x x x +-=----+．4. 对于分式方程，下列说法一定正确的是（）A ．只要是分式方程，一定有增根B ．分式方程若有增根，把增根代入最简公分母，其值一定为0C ．使分式方程中分母为零的值，都是此方程的增根D ．分式方程化成整式方程，整式方程的解都是原分式方程的解5. 若分式方程1322m x x x -=---有增根，则m 的值为（） A ．2 B ．3 C ．1 D ．1-6. 若分式方程11222kx x x-+=--有增根，则k 的值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．27. 若分式方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则它的增根是（）A ．0B ．1C ．1-D ．1和1-8. 若分式方程342(2)a x x x x =+--有增根，则增根可能为（） A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．19. 某校用420元钱到商店购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果多买了20本，则原价每本多少元？设原价每本x 元，则由题意列出的方程为（）A ．420420200.5x x -=- B ．420420200.5x x -=- C ．4204200.520x x -=-D ．4204200.520x x-=-10. 已知A ，B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时．若水流速度为4千米/时，设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则由题意列出的方程为（） A ．4848944x x +=+-B ．4848944x x +=+- C ．4849x+=D ．9696944x x +=+-11. 为保证某高速公路在2016年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲.乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务．若设规定的时间为x 天，则由题意列出的方程为（）A ．111104014x x x +=--+ B ．111104014x x x +=++- C ．111104014x x x -=++- D ．111101440x x x +=-+- 12. 某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．（1）第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，则每支售价至少是多少元？13.公交快速通道开通后，小王上班由骑电动车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点9千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用骑电动车的方式平均每小时行驶的路程的1.5倍还多5千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是骑电动车方式所用时间的4．小王用骑电动车方式上班平均每7小时行驶多少千米？【参考答案】➢课前预习1.等式，消元不等号，不等式2.（1）列表，画线段图或示意图（2）①方程模型；②不等式模型（3）符合实际情况➢知识点睛1.分母中含有未知数2.等式的基本性质，整式方程，检验，增根使分母为零的整式3.检验➢精讲精练1.②④2.-13.（1）4x=3（2）5x=（3）无解（4）无解（5）无解（6）x=14.B5.C6.C7.B8.A9.B10. A11. B12. （1）第一次每支铅笔的进价是4元（2）每支售价至少是6元13.小王用骑电动车方式上班平均每小时行驶20千米分式方程及其应用（习题）➢ 例题示范例1：解分式方程：11322x x x-=---．【过程书写】1(1)3(2)1136242x x x x x x =----=-+-+==解：检验：把x =2代入原方程，不成立 ∴x =2是原分式方程的增根 ∴原分式方程无解例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km ．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度. 【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】解：设慢车的速度为x km/h ，则快车的速度为1.2x km/h ，由题意得，1201200.51.2x x =-解得，x =40经检验：x =40是原方程的解，且符合题意答：慢车的速度是40km/h ． ➢ 巩固练习1. 下列关于x 的方程，其中不属于分式方程的是（）A ．1a ba x a++= B ．xa b x b a +=-11 C ．bx a a x 1-=+ D ．1=-+++-nx mx m x n x 2. 解分式方程2236111x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（）A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程2(1)3(1)6x x -++= C ．解这个整式方程，得1x = D ．原方程的解为1x =3. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意可列方程为（） A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=- 4. 若方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则m =_________．5. 如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是___________．6. 解分式方程：（1）43(1)1x x x x +=--；（2）22(1)23422x x x x +=+--+；（3）23112x x x x -=+--；（4）11222x x x-=---．7. 某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800件投入市场．已知该服装厂有A ，B 两个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B 车间的1.2倍．A，B两车间共同完成一半的生产任务后，A车间因出现故障而停产，剩下的全部由B车间单独完成，结果前后共用了20天完成全部生产任务．则A，B两车间每天分别能加工多少件该款夏装？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】8.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但是单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】【参考答案】 ➢ 巩固练习1. C2. D3. B4. 35.x =36. （1）x =2（2）43x = （3）无解（4）无解7. A 车间每天能加工384件该款夏装B 车间每天能加工320件该款夏装8. 商厦共盈利90260元分式方程及其应用（随堂测试）1. 下列关于x 的方程：①2103x -=；②x x 3=π-1；③31πy x -=；④13+4x=； ⑤11x a b =-；⑥2153x x x -=--．其中属于分式方程的是________________．（填序号） 2. 解方程：214111x x x +-=--．3. 如果解关于x 的分式方程1132x k x x+-=--出现了增根，那么增根是_________，k 的值是________．【参考答案】 1. ②④⑥2. x =1是原方程的增根，原分式方程无解3.2x =，4. 1。

(完整)第十五章--分式方程(知识点+题型分类练习),推荐文档

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．
2x a
6.（2013•牡丹江）若关于 x 的分式方程 x 1 =1 的解为正数，那么字母 a 的取值范围是
．
x 3a
7.（2013•齐齐哈尔）若关于 x 的分式方程 x 1 2x 2 -2 有非负数解，则 a 的取值范围是
．
8.若分式方程 x 2 a 有增根，则 a 的值为
x4
x4
（）
（m≠0）
3、约分：根据
把一个分式分子和分母的
约去叫做分式的约分。
约分的关键是确保分式的分子和分母中的
，约分的结果必须是
分式。
4、通分：根据
把几个异分母的分式化为
分母分式的过程叫做分式的通分，通分的
关键是确定各分母的
提醒：①最简分式是指
② 约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的
1
0
的根．
2.（2012•遵义）先化简
(
x
x 1
x
x2
) 1
x2
x2
x 2x
1
，并从-1≤x≤3
中选一个你认为合适的整数
x
代入求
值．
3．先化简，再求值：
2
4 x
x2 x
4
，其中
x=﹣4．
4 x2
x
x
22
4．先化简，再求值： x 1
，其中 x=
7．
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5．先化简，再求值：
．
x 1 m
16.（2013•威海）若关于 x 的方程 x 5 10 2x 无解，则 m=
．
考点二、解分式方程
1.解下列分式方程

初二数学上册(人教版)第十五章分式15.5知识点总结含同步练习及答案

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四、课后作业
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1. 若关于 x 的方程 A．0
答案： C
2x − a = 1 无解，则 a 的值等于 ( x−1 B．1 C．2
)
D．4
2. 分式方程 A．2
答案： C
1 m 有增根，则增根为 ( = x−2 x+1
B．−1
)
C．2 或 −1 D．无法确定
两边平方，得
− − − + 5x + 20． x + 8 = 4 + 4√− 5− x− + 20
整理，得
− − − = −x − 4 ． √− 5− x− + 20
两边平方，整理得
x2 + 3x − 4 = 0 ．
解得
x1 = −4，x2 = 1．
经检验：当 x = 1 时，原方程不成立，所以 x = 1 是增根，舍去．所以，原方程的根为x = −4．
)
D．−0.5 或 −1.5
x (x − 3) ，得 (2m + x) x − x (x − 3) = 2 (x − 3)，即 (2m + 1) x = −6, ⋯ ⋯ ① （1）∵ 当 2m + 1 = 0 时，此方程无解，∴ 此时 m = −0.5 ． 2m + x 2 （2）∵ 关于 x 的分式方程无解，∴ x = 0 或 x − 3 = 0 ，即 x = 0， −1 = x−3 x x = 3，当 x = 0 时，代入 ①，得 (2m + 1) × 0 = −6 ，解得此方程无解；当 x = 3 时，代入 ①，得 (2m + 1) × 3 = −6 ，解得 m = −1.5 ． ∴ m 的值是 −0.5 或 −1.5 ．

(完整版)第十五章分式知识点归纳与整理

第十五章分式知识点归纳与整理§15.1分式1.分式的概念形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母整式和分式统称有理式。

特别注意：1π不是分式。

2.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

MB MA MB M A B A ÷÷=••=（其中0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式）【分式的约分】首先要找出分子与分母的公因式，再把分子与分母的公因式约去。

【分式的通分】通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）。

§15.2 分式的运算1.分式的乘除【乘法法则】分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

注意：如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。

【除法法则】分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

2.分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式想加减，先通分，变为同分母的分式，再把分子相加减。

3.分式的乘方【乘方法则】n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛【零指数幂】任何不等于零的数的零次幂都等于1。

【负整指数幂】任何不等于零的数的－N （N 为正整数）次幂，等于这个数的N 次幂的倒数。

【正整数指数幂运算性质】注意：这些性质在整数指数幂中同样适用。

4.科学记数法：把一个数表示成的形式10n a ⨯（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法。

（1）用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为10n a ⨯的形式, 其中1≤︱a ︱＜10,n 为原整数部分的位数减1；（2）用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为10n a -⨯的形式，其中n 为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1≤︱a ︱＜10。

人教版八年级上册数学第十五章分式方程知识点及考点

第十五章分式方程知识点及考点一、知识点1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．二、考试方向（一）解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．例题：1、解分式方程：312242x x x -=--．【解析】去分母得：6-x =x -2，解得：x =4，经检验x =4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2、方程33122x x x-+=--的解为_______________．【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-，解得1x =，检验：1x =时，20x -≠，所以1x =是原分式方程的解．故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．（二）分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.例题：3、若关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数解，则满足条件的所有整数a 的和是 A ．6 B ．0 C ．1 D ．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax -1-x =3，解得：x =41a -，由分式方程的解为整数解，得到a -1=±1，a -1=±2，a -1=±4，解得：a =2，0，3，-1，5，-3（舍去），则满足条件的所有整数a 的和是9，故选D ．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为_______________．【答案】3k <且1k ≠【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122k x -=+，解得32x k =-，由分式方程的解为负数，可得203k -<且10x +≠，即213k -≠-，解得3k <且1k ≠．（三）分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．例题：5、某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+ B ．2010154x x -=+ C ．201015x x += D ．201015x x -= 【答案】A 【解析】由题意可知原计划每天生产x 个零件，则实际每天生产了(4)x +个零件，实际15天共生产了(200)1x +个零件，因此根据题意可列分式方程为2010154x x +=+．故选A ． 6、元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400 解得 2.5x =元．故选B ．。

人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳

人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。

例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。

考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。

-8/b。

11/b。

则第n 个分式为(3n-1)/b。

2021年八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(答案解析)

一、选择题1．某市铺设一条长660米的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天铺设的管道长比计划增加10%，结果提前6天完工，求实际每天铺设管道长度及实际施工天数，小明列出方程：660660(110%)x x -+=6，题中x 表示的量为（） A ．实际每天铺设管道长度B ．实际施工天数C ．计划施工天数D ．计划每天铺设管道的长度 2．关于分式2634m n m n--，下列说法正确的是（） A ．分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值也扩大2倍B ．分子、分母的中m 扩大2倍，n 不变，分式的值扩大2倍C ．分子、分母的中n 扩大2倍，m 不变，分式的值不变D ．分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值不变3．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A ．50.2510-⨯B ．60.2510-⨯C ．72.510-⨯D ．62.510-⨯ 4．已知分式34x x -+的值为0，则x 的值是（） A ．3 B ．0 C ．－3 D ．－45．若a 与b 互为相反数，则22201920212020a b ab+=( ) A ．-2020B ．-2C ．1D ．2 6．若方程21224k x x -=--有增根，则k =（） A ．4- B ．14- C ．4 D ．147．大爱无疆，在爆发新冠病毒疫情后，甲，乙两家单位分别组织了员工捐款．已知甲单位捐款7500元，乙单位捐款9800元，甲单位捐款人数比乙单位少10人，且甲单位人均捐款额比乙单位多20元，若设甲单位的捐款人数为x ，则可列方程为（）A ．7500980020x x 10-=- B ．9800750020x 10x -=-C ．7500980020x x 10-=+D ．9800750020x 10x-=+ 8．小红用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小红和小丽买到相同数量的笔记本．设硬面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为（）A ．1524x x 3=+B ．1524x x 3=- C ．1524x 3x =+ D ．1524x 3x =- 9．下列变形不正确．．．的是（） A ．1a b a b a b-=-- B ．1a b a b a b +=++ C ．221a b a b a b +=++ D ．221-=-+a b a b a b10．2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：厨余垃圾分出量如果厨余垃圾分出率=100%⨯厨余垃圾分出量生活垃圾总量(生活垃圾总量=厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是（）A ．660840014710x x ⨯= B ．6608400147660840010x x ⨯=++ C ．660840014147660840010x x ⨯=⨯++ D ．7840066010146608400x x ++⨯= 11．已知227x ,y ==-，则221639y x y x y ---的值为（） A ．-1B ．1C ．-3D ．3 12．若分式2-3x x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（） A ．x >32 B ．x <32 C ．x =32 D ．x ≠3213．若分式2132x x x --+的值为0，则x 的值为（） A ．1- B ．0C ．1D ．±114．如果111a b a b +=+，则b a a b +的值为（） A ．2B ．1C ．1-D ．2- 15．化简214a 2a 4---的结果为（） A ．1a 2+ B ．a 2+ C ．1a 2- D ．a 2-二、填空题16．计算22a b a b a b-=-- _________． 17．如果实数x 、y 满足方程组30233x y x y +=⎧⎨+=⎩，求代数式（xy x y ++2）÷1x y =+_____． 18．计算：112a a-＝________． 19．211a a a-+=+_________． 20．223(3)a b -＝______，22()a b ---＝______．21．101()()2π-+-=______，011(3.14)2--++＝______． 22．当2x =，3y =-时，代数式22222-⋅++x y x x x xy y的值为________． 23．计算：()1211x x x x x ⎡⎤-⋅=⎢⎥+-⎣⎦______． 24．方程111x x x x -+=-的解是______． 25．方程2111x x x =--的解是___________． 26．方程22020(1)1x x x ++-=的整数解的个数是_____．三、解答题27．先化简，再求值：()()()()2222222a b a b b a a a b a ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦，其中12a =，112b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 28．计算：（1）2031(2021)|13|(2)4；（2）2222()()ab a ab b a b a ab b ．29．武汉某道路工程项目，若由甲、乙两工程队合作20天可完工；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可完工．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）如果甲、乙工程队合作施工时对道路交通有影响，独施工时对交通无影响且要求整个工期不能超过24天，问如何安排两队施工，对道路交通的影响会最小？30．水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用2000元购进若干千克，并以每千克9元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了20%，用2496元所购买的水果比第一次多20千克，以每千克10元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．（1）第一次水果的进价是每千克多少元？（2）该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？。

初二数学八上第十五章分式知识点总结复习和常考题型练习

第十五章分式一、知识框架：二、知识概念：1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a bc c c±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a c ad cbb d bd±±=⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m na a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn aa =（m n 、是正整数）⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）⑹1n na a -=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).常考例题精选1.(2015·宜昌中考)若分式有意义，则a 的取值范围是 ( ) A.a=0 B.a=1 C.a ≠-1D.a ≠02.(2015·丽水中考)把分式方程=转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以 ( ) A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)3.(2015·宜宾中考)分式方程 - =的解为 ( ) A.3B.-3C.无解D.3或-34.(2015·海南中考)今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获荔枝8 600kg和9 800kg，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg，根据题意，可得方程( )A.=B.=C.=D.=5.(2015·河池中考)若分式有意义，则x的取值范围是.6.(2015·白银中考)若代数式-1的值为零，则x= ________.7.(2015·齐齐哈尔中考)若关于x的分式方程=-2有非负数解，则a的取值范围是.8.(2015·呼和浩特中考)化简：÷.9.(2015·连云港中考)先化简，再求值：÷，其中m=-3，n=5.10.(2015·凉山州中考)某车队要把4000t货物运到雅安地震灾区(方案定后，每天的运量不变).(1)从运输开始，每天运输的货物吨数n(单位：t)与运输时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系式?(2)因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数.11.(2015·重庆中考)先化简，再求值：÷，其中x是不等式3x+7>1的负整数解.12.(2015·玉溪中考)某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元?13.(2015·娄底中考)为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元.(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟? (2)若单独租用一台车，租用哪台车合算?1．(2015·黔西南州)分式1x －1有意义，则x 的取值范围是( )A ．x>1B ．x ≠1C ．x<1D ．一切实数2．下列各分式与ba 相等的是( )A .b 2a 2B .b ＋2a ＋2C .aba 2 D .a ＋b 2a3．下列分式的运算正确的是( )A .1a ＋2b ＝3a ＋b B ．(a ＋bc )2＝a 2＋b 2c 2C .a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋bD .3－a a 2－6a ＋9＝13－a4．(2015·泰安)化简(a ＋3a －4a －3)(1－1a －2)的结果等于( )A ．a －2cB ．a ＋2C .a －2a －3D .a －3a －25．若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的根，则a 的值是( )A ．5B ．－5C ．3D ．－36．已知a＝－0.32，b＝－3－2，c＝(－13)－2，d＝(－13)0，比较a，b，c，d的大小关系，则有( )A．a＜b＜c＜d B．a＜d＜c＜bC．b＜a＜d＜c D．c＜a＜d＜b7．学完分式运算后，老师出了一道题“化简：x＋3x＋2＋2－xx2－4”．小明的做法是：原式＝（x＋3）（x－2）x2－4－x－2x2－4＝x2＋x－6－x－2x2－4＝x2－8x2－4；小亮的做法是：原式＝(x＋3)(x－2)＋(2－x)＝x2＋x－6＋2－x＝x2－4；小芳的做法是：原式＝x＋3x＋2－x－2（x＋2）（x－2）＝x＋3x＋2－1x＋2＝x＋3－1x＋2＝1.其中正确的是( )A．小明B．小亮C．小芳D．没有正确的8．已知关于x的分式方程mx－1＋31－x＝1的解是非负数，则m的取值范围是( )A．m>2 B．m≥2C．m≥2且m≠3 D．m>2且m≠39．(2015·鄂尔多斯)小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程( )A.24x＋2－20x＝1 B.20x－24x＋2＝1 C.24x－20x＋2＝1 D.20x＋2－24x＝110．如果a，b，c是非零实数，且a＋b＋c＝0，那么a|a|＋b|b|＋c|c|＋abc|abc|的所有可能的值为( )A．0 B.1或－1 C．2或－2 D．0或－211．已知空气的单位体积质量是0.001 239 g/cm3，则用科学记数法表示该数为．12．当x ＝1时，分式x －b x ＋a 无意义；当x ＝2时，分式2x －b3x ＋a的值为0，则a＋b ＝．13．计算：(a 2b)－2÷(2a －2b －3)－2＝ (结果只含有正整数指数幂)．14．(2015·长沙)方程5x ＝7x －2的解是x ＝．15．若b a －b ＝12，则3a 2－5ab ＋2b 22a 2＋3ab －6b 2的值是．16．若(x －y －2)2＋|xy ＋3|＝0，则(3x x －y －2x x －y )÷1y的值是．17．轮船在顺流中航行64 km 与在逆流中航行34 km 一共用去的时间，等于该船在静水中航行180 km 所用的时间．已知水流的速度是每小时3 km ，求该船在静水中的速度．设该船在静水中的速度为x km /h ，依题意可列方程．18．(2015·黑龙江)关于x 的分式方程m x 2－4－1x ＋2＝0无解，则m＝．19．计算或化简：(1)38－2－1＋|2－1|； (2)2x x 2－4－1x －2；(3)3－a2a－4÷(a＋2－5a－2)．20．解分式方程：(1)1x－x－2x＝1; (2)12x－1＝12－34x－2.21．化简求值：(1)(2015·淮安)先化简(1＋1x－2)÷x－1x2－4x＋4，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值；(2)已知x2x2－2＝3，求(11－x－11＋x)÷(xx2－1＋x)的值．22．当x 取何值，式子3(2x －3)－1与12(x －1)－1的值相等．23． (2015·宜宾)近年来，我国逐步完善养老金保险制度，甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？24．小明去离家2.4 km 的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min ，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时2 min ，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min ，骑自行车的速度是步行速度的3倍．(1)小明步行的速度是多少？(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？25．某开发商要建一批住房，经调查了解，若甲、乙两队分别单独完成，则乙队完成的天数是甲队的1.5倍；若甲、乙两队合作，则需120天完成．(1)甲、乙两队单独完成各需多少天？(2)施工过程中，开发商派两名工程师全程监督，需支付每人每天食宿费150元．已知乙队单独施工，开发商每天需支付施工费为10000元．现从甲、乙两队中选一队单独施工，若要使开发商选甲队支付的总费用不超过选乙队的，则甲队每天的施工费最多为多少元？(总费用＝施工费＋工程师食宿费)。

八年级数学上册《第十五章-分式》同步练习题含答案(人教版)

八年级数学上册《第十五章分式》同步练习题含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识点：一、分式1、分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式。

其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算法则;;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯ );()(为整数n ba b a n nn = ;cb ac b c a ±=± bdbc ad d c b a ±=± 二、分式方程1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

练习题一、单选题1．化简22x y y x x y+--的结果为（） A ．﹣x ﹣y B ．y ﹣x C ．x ﹣y D ．x+y2．把分式x x y+（x ≠0，y ≠0）中的分子、分母的x 、y 同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（） A ．扩大为原来的2倍B ．扩大为原来的4倍C ．缩小为原来的12D ．不改变 3．小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了14，设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是（） A ．4020x +=34×40x B ．40x =34×4020x + C ．4020x ++14=40x D ．40x =4020x +-144．分式方程21124x x x -=--去分母后的结果正确的是（） A ．x 2﹣4﹣1＝1B ．x 2+2x ﹣（x 2﹣4）＝1C ．x+2﹣x 2﹣4＝1D ．x+2﹣1＝1 5．已知1a +12b =3，则代数式254436a ab b ab a b-+--的值为（） A ．3 B ．-2 C ．13- D ．12- 6．关于x 的方程31133x a x x-=---有增根，则a 的值是（） A ．3 B ．8 C ．8- D ．14-7．若关于x 的分式方程2311x m x x-=--的解为正数，则m 的取值范围是（）． A ．m<－2且3m ≠- B ．m<2且3m ≠-C ．m>－3且2m ≠-D ．m>－3且2m ≠8．已知1112x y z +=+，1113y z x +=+与1114z x y +=+，则234x y z++的值为（） A ．1B ．32C ．2D ．52二、填空题 9．当x= 时，分式 225x x -+ 的值为0．10．小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍．设骑自行车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为11．某药品原来每盒p 元，现在每盒提高3元，用200元买这种药品现在比原来少买盒．12．若关于x 的分式方程23m x x +- ﹣1= 2x无解，则m 的值 13．若x + 1x =3，则 21x x x ++ 的值是． 14．若关于x 的分式方程 2-1--1k x x x = 的解为正数，则满足条件的非负整数K 的值为 . 三、计算题15．解方程：12133x x x-+=--16．化简：212111a a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭.17．先化简2344111a a a a a -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，然后从22a -≤≤的范围内选择一个合适的整数作为a 的值代入求值．18．某公司开发生产的1200件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．公司派出相关人员分别到这两间工厂了解生产情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天比甲工厂多加工20件．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？19．为了深入贯彻习总书记关于“双减”工作的重要指示，增强学生的体质，济南市某中学决定购买一些篮球和足球来促进学生的体育锻炼，已知每个篮球的售价比每个足球的售价单价多20元，并且花费6000元购买篮球的数量是花费3200元购买足球数量的1.25倍．（1）求篮球和足球的单价分别是多少元？（2）根据学校的实际需求，需要一次性购买篮球和足球共200个，并且要求购买篮球和足球的总费用不超过9600元，那么学校最少购入多少个足球？参考答案：1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】C9．【答案】210．【答案】5x ﹣52x =1611．【答案】26003p p+ 12．【答案】﹣32 或﹣ 12 13．【答案】1414．【答案】015．【答案】解：等式两边同时乘以 3x - 原方程可化为： 123x x --=-解得 1x =经检验 1x = 是原方程的解.16．【答案】解：原式211112a a a a a++--=⋅- 2(1)(1)12a a a a a+-=⋅- 1a =+. 17．【答案】解：2344111a a a a a -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭＝()()231111(2)a a a a a --++⋅+- =()()22211(2)a a a a a +-+-⋅+- =22a a +-- 当a ＝0时，原式＝1．18．【答案】解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工x+20件新产品，根据题意得：1200x ﹣120020x +=10解得：x=40或x=﹣60（不合题意舍去）经检验：x=40是所列方程的解．乙工厂每天加工零件为：40+20=60（件）．答：甲工厂每天能加工40件新产品，乙工厂每天能加工60件新产品．19．【答案】（1）解：设每个足球的售价为x 元，则每个篮球的售价为()20x +元由题意得600032001.2520x x =⨯+ 解得40x =经检验40x =是所列方程解且正确∴2060x +=答：每个足球售价为40元，则每个篮球售价为60元；（2）解：设购入m 个足球，则购入()200m -个篮球．由题意得()40602009600m m +-≤解得120m ≥答：学校最少购入120个足球。

八年级数学上册第15章小专题_分式方程的解法(人教版)

小专题分式方程的解法题组1 解分式方程1.解下列分式方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）2.解下列分式方程：（1）（2）3.已知关于x的分式方程与分式方程的解相同，求m2-2m的值。

题组2 解分式方程的简单应用类型1 由分式方程的特殊解确定字母的取值范围4.（兰州中考）关于的分式方程的解为负数，则a的取值范围是（）A. B.C. 且D. 且5.（黑龙江中考）已知关于x的分式方程的解是非负数，那么a的取值范围是（）A. B.C. 且D.6.已知关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是（）A. B. 且.C. D.7.（眉山中考）已知关于的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为________【易错提示】求得的未知数不仪要满足所给出的范国，还要使分式的分母不为零，两个条件必须同时具备，缺一不可类型2 由分式方程无解确定字母的取值8.若关于的方程无解，则m的值为（）A.-5B.-8C.-2D.59.若关于的方程无解，则a的值是___________10.若关于的方程无解，则m的值是___________【易错提示】分式方程无解可能有两种情况：（1）由分式方程去分母后化成的整式方程有解，但这个解使最简公分母为零；（2）由分式方程去分母后化成的整式方程无解参考答案1.解：(1) （4）原分式方程无解.（5）2.解：3.解：4.D5.C6.B7.且8.A9.1或210.1或。

分式方程知识点及练习(学)

八年级数学下册分式方程【分式方程的概念】分式的中含有的方程叫做分式方程【分式方程的解法】（1）基本思想：把分式方程转化成为整式方程。

（2）步骤：<1> 去分母：方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程。

<2> 解这个整式方程。

<3> 验根：把求出的整式方程的根代入最简公分母。

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

解分式方程要检验，方法是将求出来的未知数的值代入，看它是不是，如果是，说明它是，要舍去。

练习1、分式方程1111112-=+--x x x 去分母时，两边都乘以 2、下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（）A ．xx ππ= B ．6510-=x x C ．4132=+x x D ．n x m n x =-π 3．如果11-x 与11+x 互为相反数，则x ＝． 4．方程xx 3403440=-的解是． 5．当x=时，分式x x --424的值与45--x x 的值相等． 6．若分式方程52)1()(2-=--x a a x 的解为x=3，则a 的值为． 7．如果方程xx x --=+-21321有增根，那么增根是． 8.某煤厂原计划x 天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为（）A ．31202120-=-x xB ．32120120-+=x xC ．31202120-=+xx D ．32120120--=x x 9.若关于x 的方程1011m x x x --=--有增根，则m 的值是（）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．－1二、解下列分式方程132+=x x 13132=-+--x x x 21111x x =--43122x x x -=--11322x x x-=---【拓展】1、如果26910x x ++=，那么9x的值是（） A 、6 B 、-6 C 、-3 D 、32、已知12x x +=，221x x+的值3、若分式2211111x x x ++--与的值相等，求x 的值列分式方程——基本步骤：① 审—仔细审题，找出等量关系。

人教版数学八年级上第十五章分式小结及习题训练复习课件

选作
再见
知识体系
定义
有关概念分式有意义的条件
分式值为零的条件
约分
分
基本性质性质通分
式
分式的运算
分式的加减、乘除、乘方、混合运算
分式方程
分式方程的定义分式方程的解法分式方程的应用
知识体系
概念
的形式
B中含有字母 B≠0
约分
分式的基本性质
通分
分式
分式的乘除
分式的运算分式的加减
分式有意义分式的值为0
(1)该学生解答过程是从第一步开始出错的，其错
误原因是分式的性质用错了 . （2）请写出此题的解答过程。
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2018吉林中考
如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程。
15.3分式方程甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路 600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度。
根据以上信息，解答下列问题．（1）冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度，庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路400米所；用的天数（2）两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；（3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
解：（2）选冰冰所列方程甲队修路400米与乙队修路600米所用的时间相等；选庆庆所列的方程，乙队每天修路长度与甲队每天修路长度的差等于20米。
最简分式
去分母
解分式方程
解整式方程
验根
分式方程应用
变式提高
其中B型垃圾箱的成本比A型高3元，A、B两型号垃圾箱的单价各是多少？问题2：由题可得
小结
【小结】
本节课有哪些的收获？

八年级数学上册第十五章分式专项训练题(带答案)

八年级数学上册第十五章分式专项训练题单选题1、对于任意的实数x ，总有意义的分式是（）A ．x−5x 2−1B ．x−3x 2+1C ．x 2+18x D ．2x−1答案：B分析：根据分式有意义的条件进行判断即可．A 项当x=±1时，分母为0，分式无意义；B 项分母x 2+1恒大于0，故分式总有意义；C 项当x=0时，分母为0，分式无意义；D 项当x=1时，分母为0，分式无意义；故选：B ．小提示：本题考查了分式有意义的条件，掌握知识点是解题关键．2、若关于x 的分式方程m+4x−3=3x x−3+2有增根，则m 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：D分析：根据分式方程有增根可求出x =3，方程去分母后将x =3代入求解即可.解：∵分式方程m+4x−3=3x x−3+2有增根， ∴x =3，去分母，得m +4=3x +2(x −3)，将x =3代入，得m +4=9，解得m =5．故选：D ．小提示：本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3、已知a =1−1b ,b =1−1c ，用a 表示c 的代数式为（）A ．c =11−bB ．a =11−cC ．c =1−a aD ．c =a−1a答案：D分析：将b =1−1c 代入a =1−1b 消去b ，进行化简即可得到结果．解：把b =1−1c 代入a =1−1b ，得 a =1−11−1c ， 1−a =11−1c ， 1−1c=11−a ， 1c=1−11−a ， 1c =−a 1−a ，c =a−1a．故选D ．小提示：本题考查了分式的混合运算，列代数式．熟练掌握运算法则是解题的关键．4、已知一个三角形三边的长分别为6，8，a ，且关于y 的分式方程y+3a y−3+4a 3−y =2的解是非负数，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．20B ．18C ．17D ．15答案：D分析：根据三边关系，即可求出a 的取值范围，再求出分式方程的解，利用分式方程的解为非负数建立不等式，即可求出a 的范围，注意分母不能为0．最后综合比较即可求解．解：∵一个三角形三边的长分别为6，8，a ，∴8−6＜a ＜8＋6．即：2＜a ＜14，∵y+3a y−3+4a 3−y =2，∴y ＝6−a ，∵解是非负数，且y ≠3，∴6−a ≥0，且6−a ≠3，∴a ≤6且a ≠3，∴2＜a≤6且a≠3，∴符合条件的所有整数a为：4或5或6．∴符合条件的所有整数a的和为：4＋5＋6＝15．故选：D．小提示：本题考查了三角形三边关系、求解分式方程、一元一次不等式等知识，关键在于利用分式方程的解为非负数，建立不等式，同时一定要注意分母不为0的条件．属于中考填空或者选择的常考题．5、计算4ac3b ⋅9b22ac3的结果是（）A．36ab2c6abc3B．6ab2cabc3C．6abcac3D．6bc2答案：D分析：先求出两个分式的乘积，然后根据分式的性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变，进行求解即可．解：4ac3b ·9b22ac3=36ab2c6abc3=6bc2，故选D．小提示：本题主要考查了分式的乘法和分式的化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．6、将公式1R =1R1+1R2（R，R1，R2均不为零，且R≠R2）变形成求R1的式子，正确的是（）A．R1=RR2R2−R B．R1=RR2R2+RC．R1=RR1+RR2R2D．R1=RR2R−R2答案：A分析：根据等式的性质即可求出答案．1 R1=1R−1R2=R2−RRR2，所以R1=RR2R2−R．故选：A．小提示：本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，属于基础题型．7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3，则常数a的值为（）A．a=2B．a=−2C．a=−1D．a=1答案：D分析：根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可．解：∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3，∴23−a−1=0，∴2=3−a，∴a=1，经检验，a=1是方程23−a−1=0的解，故选：D．小提示：本题主要考查了利用分式方程的解求参数，熟练掌握相关方法是解题关键．8、分式方程3x−2=2x+6x(x−2)的解是（）A．0B．2C．0或2D．无解答案：D分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得，3x=2(x−2)+6，解得x=2，经检验x=2是增根，则分式方程无解．故选：D．小提示：本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．9、下列运算中，错误的是( )A．ab =acbc(c≠0)B．−a−ba+b=−1C．0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3bD．x−yx+y=y−xy+x答案：D分析：分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．据此作答．解：A、分式的分子、分母同时乘以同一个非0的数c，分式的值不变，故A正确；B、分式的分子、分母同时除以同一个非0的式子（a+b），分式的值不变，故B正确；C、分式的分子、分母同时乘以10，分式的值不变，故C正确；D、x−yx+y =−（y−x）y+x，故D错误．故选D．小提示：本题考查了分式的基本性质．无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．10、(−b2a)2n（n为正整数）的值是（）A．b2+2na2n B．b4na2nC．−b2n+1a2nD．−b4na2n答案：B分析：根据分式的乘方计算法则解答．(−b2a )2n=b4na2n．故选：B．小提示：此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．填空题11、观察下列各等式：1x ，-2x2，4x3，-8x4，16x5......，猜想第八个分式__．答案：−128x8分析：通过观察找出规律即可，第n个分式可表示为(−1)n+12n-1x n．解：当n=8时，求得分式为：−128x8所以答案为：−128x8．小提示：本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是得出规律(−1)n+12n-1x n．12、化简1÷(3a2b ÷9a4b⋅2b3a)得________.答案：9a4b分析：在分式乘除混合计算中，一般情况下是按照从左到右的顺序进行运算，如果有括号，那么应先算括号内的，再算括号外的．1÷(3a 2b ÷9a 4b ⋅2b 3a )=1÷(3a 2b ×4b 9a ×2b 3a )=9a 4b .所以答案是：9a 4b .小提示：此题考查了分式的乘除混合运算，分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.13、化简b 23a−b +9a 2b−3a 的结果是______．答案：−b −3a分析：根据同分母分式的加减法法则计算即可．解：原式=b 23a−b −9a 23a−b=b 2−9a 23a −b=(b +3a)(b −3a)3a −b=−b −3a所以答案是：−b −3a ．小提示：本题考查同分母分式的加减，解题关键是正确地运用运算法则．14、当x________时，分式x+12x−1有意义．答案：≠12．分析：分母不为零时，分式有意义.当2x ﹣1≠0，即x ≠12时，分式x+12x−1有意义．故答案为≠12．小提示：本题考点：分式有意义.15、若关于x 的分式方程k 1−x =2−x x−1的解为正数，则满足条件的非负整数k 的值为____．答案：0．分析：首先解分式方程k1−x =2−xx−1，然后根据方程的解为正数，可得x＞0，据此求出满足条件的非负整数K的值为多少即可．∵k1−x =2−xx−1，∴x=2−k．∵x＞0，∴2−k>0，∴k<2，∴满足条件的非负整数k的值为0、1，k=0时，解得：x=2，符合题意；k=1时，解得：x=1，不符合题意；∴满足条件的非负整数k的值为0．所以答案是：0．小提示：此题考查分式方程的解，解题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．解答题16、阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式(x−a)(x−b)x的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为(x−a)(x−b)x =x2−(a+b)x+abx=x+abx﹣（a+b），所以关于x的方程x+abx＝a+b的解为x1＝a，x2＝b．(1)理解应用：方程x2+2x =3+23的解为：x1＝，x2＝；(2)知识迁移：若关于x的方程x+3x＝5的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；(3)拓展提升：若关于x的方程4x−1＝k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．答案：(1)3，23；(2)19；(3)12．分析：（1）根据题意可得x=3或x=23；（2）由题意可得a +b =5，ab =3，再由完全平方公式可得a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =19；（3）方程变形为x -1+4x−1=k -1，则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1，则有t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1，整理得k =t +t 2+2，t 3+t =4，再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t （t 3+t ）+4t 3-4=4（t 3+t ）-4=12．（1）解：∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ，x 2=b ，∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23，所以答案是：3，23；（2）解：∵x +3x =5， ∴a +b =5，ab =3，∴a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =25-6=19；（3）解：4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1，∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1，x 2=t 2+2，则有x -1=t 或x -1=t 2+1，∴t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1， ∴k =t +t 2+2，t 3+t =4， k 2-4k +2t 3=k （k -4）+2t 3=（t +t 2+2）（t +t 2-2）+2t 3=t 4+4t 3+t 2-4=t （t 3+t ）+4t 3-4=4t +4t 3-4=4（t 3+t ）-4=4×4-4=12．小提示：本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．17、解分式方程：3x−1+2=x x−1答案：x =−1分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解：3x−1+2=x x−1去分母得，3+2(x −1)=x ，解得，x =−1，经检验，x =−1是原方程的解．所以，原方程的解为：x =−1．小提示：本题主要考查了分式方程的解法．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．18、先化简，再求值：x 2−4x+4x+1÷（3x+1﹣x +1），请从不等式组{5−2x ≥1x +3>0 的整数解中选择一个合适的值代入求值．答案：2−x 2+x ，1．分析：根据分式运算的步骤先将分式进行化简，然后求出不等式组的解集，根据分式的意义在不等式组的解集中找到整数解，代入求值即可.x 2−4x+4x+1÷（3x+1﹣x +1）＝(x−2)2x+1÷3−(x−1)(x+1)x+1＝(x−2)2x+1⋅x+13−x 2+1＝(x−2)2(2+x)(2−x)＝2−x 2+x ，由不等式组{5−2x ⩾1x +3>0得，﹣3＜x ≤2， ∵x +1≠0，（2+x ）（2﹣x ）≠0，∴x ≠﹣1，x ≠±2，∴当x ＝0时，原式＝2−02+0＝1．小提示：本题考查了分式的化简求值及分式有意义的条件,不等式组的解法,解决本题的关键是熟练掌握分式运算的步骤过程,能够详尽掌握不等式组的解法.。