数学公理化方法
中学几何公理体系公理化方法与中学几何
中学几何公理体系_公理化方法与中学几何公理化方法与中学几何一、公理化方法的意义和作用所谓数学公理化方法，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一r一J数学建立成为演绎系统的一种方法。
这里所说的基本概念，是不加定义的，是真正基本的，它不能用比其更简单、更原始的概念来确定它的含义，只能用描述的方法来确定其范围，如点、线、面等等。
公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所做的一种I }}述和规定，不是随意可以选定的。
一个良好的公理系统，设置公理应当满足三个条件:相容性、独立性和完备性。
一般认为，公理化的历史发展，大致可分为三个阶段:公理化方法的产生、公理化方法的完善和公理化方法的形式化。
从其发展史去考察，公理化方法的作用，至少概括出如下三点:①这种方法具有分析、总结数学知识的作用。
②公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创立。
③数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。
二、中学几何中的公理化方法中学几何教材大体上是按照下面的逻辑结构、采用演绎方式展开的基于学生的认识规律和接受能力等方面的考虑，各章节教材在具体展开时增添了便于理解教材的实例。
从总体上看，教材体现出公理化方法的基本思想，其结构框图如下:(见下页) 甚本元案和甚本圈形中学几何课本中提到:y,线、面或丁古干个点、线、面组合在一起，就成为几何图中学数学教材中的公理系统中学数学知识有一定的系统，原则上应按公理化思想方法展开.特别是平面几何、立体几何内容，应明确地列出公理组.在一般的中学数学教材中，大体_n是按照下面的逻辑结构，采用演绎方法展开的: 原始概念的描述) 定义的叙述公理的叙述命题定理--一推论公式各章节教材在具体展开时，为便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构: 感性材料实例、背景设置公理、定义、概念引进并证明定理、公式从逻辑结构和具体内容看，总体上体现了公理化的基本思想，但就其公理系统而论，由于考虑到中学生接受能力和教材的精简，因而对公理独立性的要求不是那么严格，而且公理系统也不完备，有时还要借助于直观.例如，平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本上沿用了欧氏的不完善的公理系统.首先选定一批基本元素和一批关系(包括基本关系)作为基本概念，采用扩大公理体系，然后以此为出发点，用形式逻辑方法定.义有关概念，推导一系列定理，把有关的几何知识贯穿起来.其中公理之间是相容(不矛盾)的，但所选取的公理既过剩又不足，是不独立和不完备的.20世纪末我国的平面几何教材中共引进几何公理16条，等量公理5条，不等量公理6条。
公理化思想的例子初中
公理化思想的例子初中1、加法交换律：两数相加交换加数的位置,和不变.2、加法结合律：三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第三个数相加,和不变.3、乘法交换律：两数相乘,交换因数的位置,积不变.4、乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变.5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变.6、除法的性质：在除法里,被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数,商不变.O除以任何不是O的数都得O.简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法,可以先把O前面的相乘,零不参加运算,有几个零都落下,添在积的末尾.7、么叫等式?等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式.等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数,等式仍然成立.8、什么叫方程式?答：含有未知数的等式叫方程式.9、分数：把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数.10、分数的加减法则：同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减.11、分数大小的比较：同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小.异分母的分数相比较,先通分然后再比较；若分子相同,分母大的反而小.12、分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变.13、分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母.14、分数除以整数（0除外）,等于分数乘以这个整数的倒数.15、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数.16、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数.假分数大于或等于1.17、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式,叫做带分数.18、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外）,分数的大小不变.19、一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数.20、甲数除以乙数（0除外）,等于甲数乘以乙数的倒数.。
第七章 数学中的公理化方法
希尔伯特对元数学的研究，使公理 化方法进一步精确化：
• 把数学理论中的定理及数学中使用的逻辑 规则排成演绎的体系，并使用数学符号和 逻辑符号把数学命题变成公式，这样，全 部数学命题便变成了公式的集合，公理化 的数学理论便变成了演绎的形式系统。元 数学思想的提出，标志着数学的研究达到 了新的、更高的水平，数学的研究对象已 不是具体的、特殊的对象，而是抽象的数 学结构。从而，公理化被推向一个新阶段 即纯形式化阶段。
• • • • • • • • • （1）各与同一个第三个量相等的量必相等。 （2）相等的量加上相等的量仍为相等的量。 （3）相等的量减去相等的量仍为相等的量。 （4）不等的量加上相等的量获不相等的量。 （5）相等的量的两倍仍为相等的量。 （6）相等的量的一半仍为相等的量。 （7）能互相重合的是一定是相等的量。 （8）整体大于部分。 （9）过任意两点只能引一条直线。
• 直到19世纪，俄国数学家罗巴切夫斯基吸 取了前人两千多年来在证明第五公设中的 失败教训，认识到第五公设与其他几何公 理是互相独立的，除掉第五公设成立的欧 氏几何外，还可以有第五公设不成立的新 几何系统存在。于是他在剔除第五公设而 保留欧氏几何其余公理的前提下，引进了 一个与第五公设相反的公理：“过平面上 一已知直线外的一点至少可引两条直线与 该已知直线平行”，由此构成了一个新的 几何系统与欧氏几何系统相并列。
1．相容性
• 公理的相容性也称无矛盾性或和谐性，是 指同一公理系统中的公理，不能自相矛盾； 由这些公理推出的一切结果，也不能有丝 毫矛盾。即不允许既能证明某定理成立， 又能证明它的反面也成立的情况存在。
2．独立性
• 公理的独立性，是指一个公理系统中的所 有公理，不能互相推出。这就是要求该系 统中公理的数目减少到最低限度，不允许 公理集合中出现多余的公理，这也是对数 学的“简单美”的一种追求。
公理化方法(精)
现代公理法的意义与作用
公理化方法是加工、整理知识，建立科学理论的工 具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点。 公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索各 个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推动 新理论的创立和发展。 公理化方法是建立某些抽象学科的基础。 公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借鉴 作用。 公理化方法对于学生理解和掌握数学知识、数学方 法及培养学生逻辑思维能力具有重要作用。
进一步的工作
集合论悖论的出现，又一次引起了数学基础的危机。 希尔伯特的元数学（证明论）：（1）证明古典数学 的每一个分支都可以公理化；（2）证明每一个这样 的系统都是完备的、相容的；（3）证明每一个这样 的系统所应用的模型都是同构的；（4）寻找这样一 种方法，借助于它，可以在有限步骤内判断任一命 题的可证明性。 元数学理论的研究使公理化方法进一步精确化，把 公理化方法发展到一个新的阶段。形式化公理法不 仅推动了数学基础的研究，而且为计算机的广泛应 用开辟了广泛的前景。
公理化方法的思想源流
历史上第一个给出公理系统的学者是亚里士多德，他 在其《工具书》中，总结了古代积累起来的逻辑知识， 并以数学及其它学科为例，把完全三段论作为公理， 由此推出了别的所有三段论。 第一个在“知其然”的同时提出“知其所以然”的学 者是古希腊哲学家和数学家泰勒斯，他第一个证明了 下面定理(1)一个圆被它的一个直径所平分；（2）三 角形内角和等于两直角之和；（3）等腰三角形的两底 角相等；（4）半圆上的圆周角是直角；（5）对顶角 相等；（6）全等三角形的ASA定理。所以泰勒斯被称 为论证之父。
自然数
在N上定义加法：f：N×N→N (n,m) →n+m 满足：（1）n+1 = n ( n m ) m （2）n+ = 在N上定义乘法：f：N×N→N (n,m) →n·m 满足：（1）n·1=n （2）n· m =n·m+n
数学逻辑中的模型论和公理化方法
数学逻辑是数学的一个重要分支，研究的是数学表达和推理的形式系统。
在数学逻辑中，模型论和公理化方法是两个重要的研究方向。
模型论是一种研究数学语言和数学结构之间关系的方法。
它关注的是数学语句的真假性，通过定义一种解释来给数学语句赋予具体的意义。
这种解释通常被称为模型。
模型论的目标是对形式系统的语义进行研究，从而使其能够用来推导出关于数学结构的陈述。
在模型论中，一个模型由两个部分组成：领域和解释。
领域是一组元素的集合，解释是把语言中的符号与领域中的元素进行对应的函数。
通过这种对应关系，我们可以判断给定的语句是否在模型中为真。
模型论的一个重要结果是声称：如果一个数学系统是一致的（即不存在矛盾的语句），那么必然存在一个模型，使得该系统中的所有语句都在该模型中为真。
公理化方法是一种通过公理系统来构建数学理论的方法。
公理是一组被认为是真实的或被接受的命题。
通过使用公理，我们可以推导出其他的命题，并且构建出一个完整的数学理论。
公理化方法强调了逻辑推理的严谨性和正确性，使得数学理论能够在逻辑上自洽和一致。
在公理化方法中，公理系统是一个包含一组公理的形式系统。
这些公理可以是被接受的基本事实，也可以是通过推导和证明得到的结果。
通过对公理系统进行严密演绎的推理，我们可以得出其他的定理。
这种推理过程遵循逻辑的规则和原则，确保了数学理论的正确性和可靠性。
模型论和公理化方法在数学逻辑中起着重要的作用。
模型论通过给数学语句赋予具体的意义，使得我们可以判断其真假性，并且可以用来证明一致性和完备性等重要结果。
公理化方法则通过严格的逻辑推理，构建出了一套严密的数学理论，为数学研究提供了坚实的基础。
总的来说，数学逻辑中的模型论和公理化方法是两个重要的研究方向。
它们都致力于研究数学语句和数学结构之间的关系，通过不同的方法和手段，推动了数学的发展和进步。
在实践中，模型论和公理化方法经常是相辅相成的，相互补充的。
通过它们的研究，我们能够更深入地理解数学的本质和数学的应用，使得数学成为一门真正的科学。
公理化方法和中学几何公理体系
公理化方法和中学几何公理体系12数学陈婷12220620摘要：数学公理化方法是研究数学的重要思想方法，它对于近代数学和其他自然科学的发展有过巨大作用和深远影响，它很大程度上推动了数学的发展。
而数学的教育更多的是方法和思想的教育，公理化方法在教学教育上有着举足轻重的地位。
本文将从几何发展简史、公理化方法的意义与作用等方面探究公理化方法对中学几何公理体系的影响。
关键词：公理化方法；几何学；发展史；中学几何；教学启示正文：一、几何学发展简史几何学是一门研究『空间』与『移动』的学问.这里的『空间』指的是正统的『几何空间』, 包括各种具体或抽象的几何图形,甚至是整个宇宙空间的几何构造;而『移动』则是这些几何空间的表现,例如:平移,旋转, 对称,波动等等.因此,几何学可说是真实世界与抽象世界的舞台与演员的演出.而数学家Descartes (笛卡儿, 1596 1650)曾说:『人类心智与生俱来有完美,空间,时间和运动等观念.』不论是实际生活上为了丈量与计算的需要,或是对於宇宙空间的好奇与探索,亦或是对於『美』的追求,自从人类开始生活在地球上,几何概念的演进便未曾停歇.而几何学的发展,也使人类开始真正认识我们所生存的宇宙空间。
在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。
一）欧氏几何的创始公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。
欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。
全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。
这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。
欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。
他的思想被称作“公理化思想”。
欧几里德几何自诞生两千多年来，因其论证的严密性而被誉为完美无瑕。
但到了19世纪，由于非欧几何的创立，大大提高了公理化方法，数学的严格性标准大为提高，从而欧几里德几何的逻辑缺陷逐渐暴漏出来了，具体将有以下几点：1、在欧式几何中用了重合法来证明全等：在重合法中，首先使用了运动的概念，这样就定性了欧氏几何属于经验综合知识，他与人的经验有关，不属于纯粹知识。
数学公理化方法在研究数学中的重要作用-2019年精选教育文档
数学公理化方法在研究数学中的重要作用1数学公理化方法概述1.1数学公理化方法的内涵纯形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系统的基本概念、基本关系用抽象的符号表示，命题由符号组成的公式表示，命题的证明用一个公式串表达。
一个符号化的形式系统只有在解释之后才有意义。
同时，作为一个符号化的形式系统，可以用来提供简洁精确的形式化语言；提供数量分析及计算的方法；提供逻辑推理的工具。
公理化方法的具体形态有三种：实体性公理化方法、形式公理化方法和纯形式公理化方法，用它们建构起来的理论体系分别为《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。
1.2公理化方法的基本思想数学是撇开现实世界的具体内容来研究其量性特征形式与关系的。
其结果只有经过证明才可信，而数学证明采用的是逻辑推理方法，根据逻辑推理的规则，每步推理都要有个大前提，我们不难想象到，最初的那个大前提是不可能再由另外的大前提导出的，既是说，我们的逆推过程总有个“尽头”，同样，概念需要定义，新概念由前此概念定义，必也出现这样的情况最原始的概念无法定义。
因此，我们要想建立一门科学的严格的理论体系，只能采取如下方法：让该门学科的某些概念以及与之有关的某些关系作为不加定义的原始概念与公设或公理，而以后的全部概念及其性质要求均由原始概念与公设或公理经过精确定义与逻辑推理的方法演绎出来，这种从尽可能少的一组原始概念和公设或公理出发，运用逻辑推理原则，建立科学体系的方法叫做公理化方法。
2数学公理化方法的逻辑特征2.1协调性无矛盾性要求在一个公理系统中，公理之间不能自相矛盾，由公理系推出的结果也不能矛盾，即不能同时推出命题A与其否定命题，显然，这是对公理系统的最基本的要求。
如何证明给定的公理系统的无矛盾性呢？若想通过“由这一公理系作出全部可能的推论并指出其中没有矛盾”来证明是不可能的。
2.2独立性独立性要求在一个公理系统中，被选定的公理组中任何一个公理都不能由其他公理推出。
几何学：第五公设——公理化方法
二．《原本》：（Elements ）
版本：888年希腊文抄本， 1294年拉丁文手抄本， 1350年阿拉伯文手抄本， 1480年最早拉丁文印刷本， 1570年英译本， 1607年、1857年、1990年中译本， 1655年Barrow拉丁文译本， 1925年T.LHeath英译本。
内容：
巴比伦 古埃及
4°若 ABC=ABD+BDC,则( ABC)¯=( ABD)¯+( BDC)¯. 5°若 ABC = AB`C`+B`C`CB，则( AB`C`)¯( ABC)¯． 6°若 Rt ABC , Rt A`B`C `, 满足AB A`B`, AC A`C`,
且 (RtABC)= ，则 (RtA`B`C `)= ．
由Pasch公理，b不过A`Bn，必过BBn，即b与a交于AB右侧。
例4．Saccheri（1667~1733）
Lambert（1728~1777）
结论：1）Sa /2 2）Sa = /2 第5公设 3）Sa /2 ()
4）若 Sa□使Sa /2 则 Sa□有Sa /2
La /2 La = /2 第5公设
不平行：
作AB=BB1， AB1=，AB2=B2B3，．．．．．．．．．
ABn-1=Bn-1Bn ， ( ) = ， BB1A= /4,， B1B2A=(1/2)² /2， B2B3A=(1/2)³ /2
数学公理化方法
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中文版
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1606年，由意大利传教士利玛 窦口译，明代进士、数学家徐光启 执笔，合作译完欧几里得《几何原 本》前6卷，1607年在北京雕版刊 行．徐光启亲自写了《刻几何原本 序》，手迹至今犹存。
徐光启和利玛窦译的《几何原本》
前6卷，乃是东方的最早译本(不 计阿拉伯文本)。 较俄译本(1739)、瑞典文本 (1744)、丹麦文本(1745)、波兰 文本(1817)都早。
欧几里得
几何原本》受到了毕达哥拉斯学 派和亚里士多德的影响 毕达哥拉斯学派开创了把几何学作 为证明的演绎学科来进行研究的方 向。 亚里士多德首创造公理化思想，提 出了逻辑学的“三段论公理体系”。
《
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欧几里德首先指明了几何学的研究
对象，即点、线、面，在对这些对 象进行“定义”（其实只是说明） 以后，引进了关于这些对象的一些 明显的事实作为不加证明而采用的5 个公设，进而又引进了更为一般的5 个断言作为公理，他通过这些公理、 公设，逐步推演出465个命题。
徐光启和利玛窦合译的《几何原本》
语言通俗，错误很少。
其中的许多数学译名都是从无到有，
边译边创造的，而且都十分恰当。
“几何”一词的选用，其他如点、直
线、平行线、角、三角形、四边形、 有理数，无理数等都是这个译本首 先定下来的。
公理化方法基本要求？
公理化⽅法基本要求？基本要求公理是对诸基本概念相互关系的规定，这些规定必须是必要的⽽且是合理的。
因此，⼀个严格完善的公理系统，对于公理的选取和设置，必须具备如下三个基本要求：相容性这⼀要求是指在⼀个公理系统中，不允许同时能证明某⼀定理及其否定理。
反之，如果能从该公理系统中导出命题A和否命题⾮A(记作-A)，从A与-A并存就说明出现了⽭盾，⽽⽭盾的出现归根到底是由于公理系统本⾝存在着⽭盾的认识，这是思维规律所不容许的。
因此，公理系统的⽆⽭盾性要求是⼀个基本要求，任何学科，理论体系都必须满⾜这个要求。
独⽴性这⼀要求是指在⼀个公理系统中的每⼀条公理都独⽴存在，不允许有⼀条公理能⽤其它公理把它推导出来，同时使公理的数⽬减少到最低限度。
完备性这就是要求确保从公理系统中能推出所研究的数学分⽀的全部命题，也就是说，必要的公理不能减少，否则这个数学分⽀的许多真实命题将得不到理论的证明或者造成⼀些命题的证明没有充⾜的理由。
从理论上讲，⼀个公理系统的上述三条要求是必要的，同时也是合理的。
⾄于某个所讨论的公理系统是否满⾜或能否满⾜上述要求，甚⾄能否在理论上证明满⾜上述要求的公理系统确实存在等，则是另外⼀回事了。
应该指出的是，对于⼀个较复杂的公理体系来说，要逐⼀验证这三条要求相当困难，甚⾄⾄今不能彻底实现。
⽅法运⽤1．要积累⼤量的经验、数据和资料，对这些经验资料进⾏分析归纳，使之系统化，最后上升为理论。
因为公理系统的建⽴是以⼤量的事实为基础，以丰富的经验和已有的科学知识为前提的，设此⽆彼。
2．数学公理化的⽬的是要把⼀门数学整理成为⼀个演绎系统，⽽这⼀系统的出发点就是⼀组基本概念和公理。
因此，要建⽴⼀门数学的演绎系统，就要在第⼀步的基础上，从原有的资料、数据和经验中选择⼀些基本概念和确定⼀组公理，然后由此来定义其它有关概念并证明有关命题。
选取的基本概念是不定义概念，必须是⽆法⽤更原始、更简单的概念去确定其涵义的，也就是说，它是⾼度纯化的抽象，是最原始最简单的思想规定。
公理化方法
公理化方法的特征及功能数学家欧几里得以亚里士多德的演绎逻辑为工具总结了人类长期以来所积累的大量几何知识，于公元前300年完成了他的名著《几何原本》，它是演绎逻辑与几何相结合的产物。
因此它的出现使演绎逻辑第一次成功的应用于数学。
欧几里得的《几何原本》是有史以来用公理思想建立起来的第一门演绎数学，后来成为公理化方法的初级阶段，既然是初级阶段，就少不了后来人的应用和发展。
它不仅作为基础为后来人的研究打下基础，也激发了许多杰出数学家的研究几何演绎与公理化的热情。
希尔伯特在1899年出版的名著《几何基础》就是在之后的研究热潮中的重要成果的突出代表。
他在《几何基础》中放弃了欧几里得《几何原本》中公理的直观显然性把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容加以摒弃，着眼于对象间的联系，强调了逻辑推理，首次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式公理系统。
从此，公理化方法不仅是数学中一个重要方法，而且已经被其他学科领域所采用。
以下介绍希尔伯特在《几何基础》中对于几何的应用提出的公理化方法，以及上面所提到在其他领域中应用的几个例子，总结公理化方法在教学中的启示。
几何学公理化方法结合公理：Ⅰ1对于任意两个不同的点A、B，存在着直线a通过每个点A、B．Ⅰ2对于任意两个不同的点A、B，至多存在着一条直线通过每个点A、B．Ⅰ3在每条直线上至少有两个点；至少存在着三个点不在一条直线上．Ⅰ4对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，存在着平面α通过每个点A、B、C．在每个平面上至少有一个点．Ⅰ5对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，至多有一个平面通过每个点A、B、C．Ⅰ6如果直线a上的两个点A、B在平面α上，那么直线a上的每个点都在平面α上．Ⅰ7如果两个平面α、β有公共点A，那么至少还有另一公共点B．Ⅰ8至少存在着四个点不在一个平面上．顺序公理：Ⅱ1如果点B在点A和点C之间，那么A、B、C是一条直线上的不同的三点，且B也在C、A之间．Ⅱ2对于任意两点A和B，直线AB上至少有一点C，使得B在A、C之间．Ⅱ3在一条直线上的任意三点中，至多有一点在其余两点之间．Ⅱ4设A、B、C是不在一条直线上的三个点；直线a在平面ABC上但不通过A、B、C中任一点；如果a通过线段AB的一个内点，（①线段AB的内点即A、B之间的点．）那么a也必通过AC或BC的一个内点(巴士(Pasch，1843—1930)公理)．合同公理：Ⅲ1如果A、B是直线a上两点，A′是直线a或另一条直线a′上的一点，那么在a或a′上点A′的某一侧必有且只有一点B′，使得A′B′≡AB．又，AB≡BA．Ⅲ2如果两线段都合同于第三线段，这两线段也合同．Ⅲ3设AB、BC是直线a上的两线段且无公共的内点；A′B′、B′C′是a或另一直线a′上的两线段，也无公共的内点．如果AB≡A′B′，BC≡B′C′，那么AC≡A′C′．Ⅲ4设平面α上给定∠(h，k)，在α或另一平面α′上给定直线a′和a′所确定的某一侧，如果h′是α′上以点O′为端点的射线，那么必有且只有一条以O′为端点的射线k′存在，使得∠(h′，k′)≡∠(h，k)．Ⅲ5设A、B、C是不在一条直线上的三点，A′、B′、C′也是不在一条直线上的三点，如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，那么∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′．平行公理：过定直线外一点，至多有一条直线与该直线平行连续公理：Ⅴ1如果AB和CD是任意两线段，那么以A为端点的射线AB上，必有这样的有限个点A1，A2，…，An，使得线段AA1，A1A2，…，An-1An都和线段CD合同，而且B在An-1和An之间(阿基米德公理)．Ⅴ2一直线上的点集在保持公理Ⅰ1，Ⅰ2，Ⅱ，Ⅲ1，Ⅴ1的条件下，不可能再行扩充．注1．有些《几何基础》书中，常以康托(Cantor，1845—1918)公理代替上述的Ⅴ2：“一条直线上如果有线段的无穷序列A1B1，A2B2，A3B3，…，其中每一线段都在前一线段的内部，且对于任何线段PQ总有一个n存在，使得AnBn<PQ，那么在这直线上必有且只有一点X落在A1B1，A2B2，A3B3，…的内部．”注2．也有的书中，用与V1，V2等价的戴德金(Dedekind，1831—1916)公理作为连续公理：“如果线段AB及其内部的所有点能分为有下列性质的两类：(1)每点恰属一类；A属于第一类，B属于第二类；(2)第一类中异于A的每个点在A和第二类点之间．那么，必有一点C，使A、C间的点都属于第一类，而C、B间的点都属于第二类．”各个领域的应用应用公理化设计，进行可用于在轨组装飞行器总体设计的步骤为：1) 了解组装服务的需求：根据任务的实施环境、任务类型及任务特点，获取“5WlH”（why、what、where、when、who、how）等需求信息；2) 定义满足这些需求所需解决的问题：将任务需求转化；3) 通过综合分析产生或选择解决方案，将由组装服务需求转化而成的功能需求和设计参数进行“之”字型展开，根据独立公理调整FR 或DP，使得二者层级上各层次的射矩阵为对角阵或三角阵。
数学的公理化方法
• 拓扑结构：领域、连续、极限、连通性、 维数等构成一般拓扑学的研究对象
• 14．中学教材中的公理系统—— • 平面几何公理： • 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 • 在所有连接两点的连线中，线段最短 • 平行公理：经过直线外一点，有一条而且只有
相等的
• 等量加等量，总量仍相等 • 等量减等量，余量仍相等 • 彼此重合的东西是相等的 • 整体大于部分 • 7．罗巴切夫斯基引入了一个与第五公设完全相
反的公设：过平面上一个已知直线外一点至少 可以引出两条直线与已知直线平行。
• 8．罗巴切夫斯基的新几何——锐角假设的双曲 式几何
• 黎曼——钝角假设的椭圆式几何 • 从而非欧几何被人们所承认
一条直线和该直线平行 • 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，
那么这两条直线平行 • 边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的
两个三角形全等 • 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的
两个三角形全等 • 矩形的面积等于它的长a和宽b的积
• 立体几何公理：
• 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这 条直线上的所有点都在这个平面内
• 6．欧几里得列出五个公设和五个公理，公理是适用于 一切科学的真理，而公设则只用于几何。
• 欧几里得《几何原本》中以直观几何背景为基础构成的 体系，它代表的是“实质性公理体系”（也称实体性公 理体系），这种公理化方法也称为实质性公理化方法。
• 欧几里得从上述的五个公设和五个公理出发，推出了 465个命题。
• 定理：经过公理推演出来的命题
• 5．亚里士多德提出了历史上第一个成文的三段论式的演 绎方式的公理化方法。
• 第一次把公理化方法系统用于数学中的是古希腊的欧几 里得，他把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学
希尔伯特公理化
希尔伯特公理化一、前言希尔伯特公理化是数学基础理论中的一种重要方法，它在数学基础研究中起着至关重要的作用。
本文将从以下几个方面对希尔伯特公理化进行详细介绍：定义、历史背景、意义、具体步骤、优缺点及应用。
二、定义希尔伯特公理化是指将某个数学领域的基本概念和基本命题通过一系列公理化的方法来表述和证明的过程。
这种方法可以使得该领域的推导更加简单明了，同时也能够确保推导的正确性。
三、历史背景19世纪末20世纪初，欧洲的数学家们开始对数学基础进行深入研究，并试图建立一个完备而严谨的数学体系。
然而，在这个过程中，他们发现了一些悖论，例如罗素悖论等。
这些悖论引起了人们对于数学基础问题的深刻思考，并促使人们探索更为严谨和完备的数学体系。
在这样的背景下，德国著名数学家希尔伯特提出了公理化方法。
他认为，数学应该建立在一些基本的公理之上，这些公理应该是不矛盾的、自洽的，并能够涵盖该领域内所有的基本概念和命题。
通过这种方法，人们可以建立一个完备而严谨的数学体系。
四、意义希尔伯特公理化方法具有以下几个重要意义：1.确保数学推导的正确性通过公理化方法，可以确保数学推导的正确性。
因为公理是不需要证明的基本命题，它们是被认为是真实和正确的。
因此，如果一个定理可以从这些公理中推导出来，那么它就是正确的。
2.简化数学推导过程通过公理化方法，可以将复杂且抽象的数学概念转化为简单而易于处理的形式。
这样一来，在推导过程中就可以避免出现繁琐复杂的运算，从而使得整个推导过程更加简单明了。
3.统一不同分支领域由于不同分支领域之间存在共性和联系，因此，在建立数学体系时应当尽可能地利用这些共性和联系。
通过公理化方法，不同分支领域之间可以使用相同或类似的基本概念和基本命题，从而使得整个数学体系更加统一。
五、具体步骤希尔伯特公理化的具体步骤如下：1.确定基本概念首先，需要确定该领域内的基本概念。
这些概念应该是直观而简单的，例如点、直线、平面等。
这些概念是不需要证明的，它们是被认为是真实和正确的。
公理化方法
公理化方法
公理化方法简介如下：
公理化方法公理化思想任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。
公理化是一种数学方法。
最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之问可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理”(如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。
公理化方法在小学数学中的渗透
公理化方法在小学数学中的渗透
公理化方法是指以公理为基础，以逻辑推理为主要手段，以定义、定理、证明为基本结构，以结论为终点的一种数学思维方法。
在小学数学中，公理化方法的渗透可以从以下几个方面来考虑：一是在教学过程中，教师可以引导学生思考，使用公理化方法来解决实际问题，培养学生的独立思考能力。
二是在教材编写上，可以在教材中植入公理化方法，让学生掌握公理化思维方法，从而让学生更好地理解数学知识，提高学习效率。
三是在评价方面，可以通过考查学生使用公理化方法解决问题的能力，来衡量学生的数学水平。
四是在教学活动中，可以结合公理化方法，让学生在实践中体验数学知识，更好地理解数学思维。
总之，公理化方法在小学数学中的渗透，有助于培养学生的数学思维能力，提高学生的数学学习能力，为学生今后学习更高层次的数学知识打下坚实的基础。
第四章 数学中的公理化方法
§4.1公理化方法的历史概述
• 公理化方法的历史考察 • 众所周知，在长达一千多年的光辉灿烂的希腊文化中，
哲学、逻辑学、几何学得到了很大的发展，特别是哲学家 和逻辑学家亚里斯多德，总结了前人所发现和创立的逻辑 知识，以完全三段论作为出发点，用演绎的方法推导出其 余十九个不同格式的所有三段论，创立了人类历史上第一 个公理化方法，即逻辑公理化方法，从而为数学公理化方 法创造了条件。
§4.1公理化方法的历史概述
萨克利最先使用归谬法来证明第五公设。他
在一本名叫《欧几里得无懈可击》（1733年）
的书中，从著名的“萨克利四边形”出发来证明
平行公设。
萨克利四边形是一个等腰双直角四边形，
如图，其中 AC BD,A B 且为直角。
萨克利指出，顶 C
D
角具有三种可能性并
分别将它们命名为：
第四章 数学中的公理化方法 与结构方法
• 公理化方法在近代数学的发展中起着基本 的作用，它的思想对各门现代数学理论的系统 形成有着深刻的影响，而数学结构方法则是全 面整理和分析数学的一种十分合理的方法，其 观点曾导致一场几乎席卷世界的数学教学改革 运动，即“新数学”运动。
• 两种方法均是用来构建数学理论体系的， 一个是局部，一个是整体。
§4.1公理化方法的历史概述
• 在1854年又发现了钝角假设（三角形内角和 大于180°）也成立的黎曼几何系统，后来人们称 这两种几何为非欧几何。
• 非欧几何产生后，还有两方面的问题有待进 一步解决。从逻辑方面看，这种逻辑无矛盾性还 有待于从理论上得到严格证明；从实践方面看， 非欧几何的客观原型是什么？人们还不清楚。也 就是说，非欧几何到底反映了哪种空间形式也没 有得到具体的解释。
亚里斯多德的思想方法深深地影响了公元前3世纪的 希腊数学家欧几里德，后者把形式逻辑的公理演绎方法 应用于几何学，从而完成了数学史上重要著作《几何原 本》。
对数学的重新认识与探索
对数学的重新认识与探索数学是一门用来描述模型、预测、优化、计算和验证的学科。
无论是在自然科学、社会科学、工程技术中，数学都扮演着重要的角色。
但在大多数人看来，数学是一门枯燥、抽象、难以理解的学科，往往被视为一门用来升学、考试的课程，缺乏现实意义和应用价值。
然而，对数学的重新认识与探索可以让我们了解到数学的真正魅力和实用价值。
一、数学的原理和思想数学是一门具有基础性和独立性的学科，它有其独特的方法和思想。
细心观察可以发现，数学的核心思想其实是伴随人类文明不断演化和发展的。
随着人类崇尚知识和智慧的程度提高，数学得到深入发展。
数学的原理和思想主要有以下几个方面：1.公理化方法公理化方法是数学的基础。
公理是数学中最基本、最重要的定义和前提，其他定义、定理和推论都是基于公理推导出来的。
公理化方法的好处是可以让数学的证明变得更加理性和严谨，确保数学的正确性和可靠性。
2.抽象思维数学的另一种思想是抽象思维，在遍布世间的“具体事物“中寻找普遍性的规律，抽象出数学中的概念、定义和定理。
抽象思维的优势在于，让我们能够对现实世界进行抽象建模，从而揭示事物之间的内在联系，井井有条地解释万物之理。
3.推导和演绎推导和演绎是数学的重要思想之一。
通过公理化方法和抽象思维，可以推导出一系列的定理和命题，然后通过演绎，将信息的关系与系统之间的内在结构明晰化。
这些思想是数学的基础，它们共同构成数学学科的逻辑骨架和内在精神。
这些思想反映了人类接近真理和解决实际问题的认知方式，而数学作为学科的核心，通过其高度抽象和纯粹性质，可以使上述思想精加工、深入发展。
对于解决实际问题而言，这些数学原理和思想是优秀产品和工艺及其效益的重要前提。
二、数学的应用数学在现实生活、科学技术、工程技术和金融领域中具有重要应用，积极参与到许多行业和领域。
1.科学技术中的应用数学在科学技术中的应用范围十分广泛，其应用包括：①天文学：数学被广泛应用于天文学，从理论计算模型、空间的测量到对行星和恒星的研究等中，无处不在。
欧几里得《原本》与公理化方法优秀数学课件
因为A点是圆CDB的圆心，故AC等于AB（定义I.15） .
又点B是圆CAE的圆心，故BC等于BA（定义I.15），
因为等于同量的量彼此相等（公理I.1）；其内圆有：一由点一与条这线条包直围线着上的任平何面一图点形，
所以CA等于CB.
所连成的线段都相等.
所以三条线段CA、AB、BC相等.
所以三角形ABC是建立在线段AB上的等边三角形. 证毕
向量是沟通几何和代数的桥梁，并且有丰富的物理背 景，有广泛的运用价值，是一个优良的“空间”.
创建新体系的一种方法——公理化方法
3.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等. 如图： // , AB // CD, A ,C , B , D .
求证：AB CD.
证明：因为AB // CD,
的交线平行. 如图：平面 ， , 满足 // , a,
b, 求证：a // b. 证明：因为 a, b,
所以a ，b .
又因为 // ，所以a, b没有公共点.（平面与平面平行的定义）
又因为a, b同在平面内，所以 a // b（ . 直线与直线平行的定义）
（定义I.15）.
又c也等于AD，所以线段AE和c都等于AD，
所以AE也等于c(公理I.1).
所以从较长AB上作出了AE等于短线段c.
证毕
公设I.3
定义I.15 命题I.3
公理I.1
命题I.11 过直线上的一点，可以作该直线的垂线.
设AB已知直线，C为直线上的点. 要求从C点作一条直线垂直于AB.
余的命题，使某一数学分支成为演绎系统的一种方法.
基本概念——如中学数学中的点，直线，平面等. 公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所作 的一种阐述和规定.
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数学公理化方法
在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一组不加证明的公理出发，用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法。
它是随着数学和逻辑学的发展而产生的。
公元前6世纪前后，希腊数学家泰勒斯（Thales)开始了几何命题的证明，开辟了几何学作为证明的演绎科学的方向。
毕达哥拉斯学派的欧多克斯于公元前4世纪在处理不可通约量时，建立了一公理为依据的演绎方法。
爱奥尼亚学派的芝诺（Zeno）在论辩术中运用了归谬法。
伯拉图阐明了许多逻辑原则。
亚里士多德在其著作《分析篇》中，对公理方法作了系统总结，指出了演绎证明的逻辑结构和要求，从而奠定了公理化方法的基础。
公元前3、4世纪之交，希腊数学家欧几里德在总结前人积累的几何知识基础上，把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，运用他所抽象出的一系列基本概念和公理，完成了传世之作《几何原本》，标志着数学领域中公理化方法的诞生。
由于《几何原本》在第五公设的陈述和内容上复杂而累赘，引起人们对这一公设本身必要性的怀疑。
在此后的2000多年间，人们试图给出一个第五公设的证明，但所有的尝试都失败了。
19世纪，俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基吸取前人失败的教训，从反面提出问题，给出了一个新的公理体系，创立了非欧几何学。
这是公理化方法的进一步发展。
1899年，德国数学家希尔伯特在前人工作的基础上，著《几何基础》一书，解决了欧氏几何的欠缺，完善了几何公理化方法，创造了全新的形式公理化方法。
为了避免在数学中出现悖论，希尔伯特认为要设法绝对的证明数学的无矛盾性，致使他从事“证明论的研究”，于是希尔伯特又把公理化方法推向一个新阶段，即纯形式化发展阶段，这就产生了纯形式公理化方法。
几何学的公理化，成为其它学科及分支的楷模。
相继出现了各种理论的公理化系统，如理论力学公理化，相对论公理化，数理逻辑公理化，概率论公理化等。
同时，纯形式公理化方法推动了数学基础的研究，并为机算机的广泛应用开阔了前景。