(一)几何证明选讲

(一)几何证明选讲

1.如图，O 是△ABC 外接圆的圆心，∠ACB ＝54°，求∠ABO 的值．

解 连结OA ，因为O 是圆心，所以∠AOB ＝2∠ACB ，

所以∠ABO ＝12(180°－∠AOB ) ＝12

(180°－2∠ACB ) ＝90°－∠ACB ＝90°－54°＝36°.

2.如图，已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，BE 切圆O 于点B ，D 是CE 与圆O 的交点，若∠BAC ＝60°，BE ＝2，BC ＝4，求线段CD 的长．

解 因为BE 切圆O 于点B ，所以∠CBE ＝∠BAC ＝60°.

因为BE ＝2，BC ＝4，由余弦定理得EC ＝2 3.

又BE 2＝EC ·ED ，所以DE ＝

233， 所以CD ＝EC －ED ＝23－233＝433

. 3．如图，已知点C 在圆O 的直径AB 的延长线上，CD 是圆O 的一条切线，D 为切点，点D 在AB 上的射影是点E ，CB ＝3BE .

求证：(1)DB 是∠CDE 的平分线；

(2)AE ＝2EB .

证明 (1)连结AD ，∵AB 是圆O 的直径，

∴∠DAB ＋∠DBA ＝90°，

∵DE ⊥AB ，∴∠BDE ＋∠DBA ＝90°，

∴∠DAB ＝∠BDE ，

∵CD 切圆O 于点D ，

∴∠CDB ＝∠DAB ，

∴∠BDE ＝∠CDB ，

∴DB 是∠CDE 的平分线．

(2)由(1)可得DB 是∠CDE 的平分线， ∴CD DE ＝CB BE

＝3，即CD ＝3DE . 设BE ＝m (m >0)，DE ＝x (x >0)，则CB ＝3m ，CD ＝3x ，

在Rt △CDE 中，

由勾股定理可得(3x )2＝x 2＋(4m )2，则x ＝2m ，

由切割线定理得CD 2＝CB ·CA ，(32m )2＝3m ·CA ，

CA ＝6m ，AB ＝3m ，AE ＝2m ，

则AE ＝2EB . 4．(2018·江苏海安中学质检)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切于点D ，E ，F ，连结AD ，与内切圆相交于另一点P ，连结PC ，PE ，PF ，已知PC ⊥PF ，

求证：(1)PF FD ＝PD DC

；(2)PE ∥BC . 证明 (1)连结DE ，

则△BDF 是等腰直角三角形，

于是∠FPD ＝∠FDB ＝45°，

故∠DPC ＝45°.

又∠PDC ＝∠PFD ，则△PFD ∽△PDC ，

所以PF FD ＝PD DC

.① (2)由∠AFP ＝∠ADF ，∠AEP ＝∠ADE ，

知△AFP ∽△ADF ，△AEP ∽△ADE .

于是，EP DE ＝AP AE ＝AP AF ＝FP DF

. 故由①得EP DE ＝PD DC

，②

由∠EPD＝∠EDC，结合②得，△EPD∽△EDC，从而△EPD也是等腰三角形．

于是，∠PED＝∠EPD＝∠EDC，所以PE∥BC.