神奇的数学——序
神奇数学之那些有趣的数学规律
我们给英文字母依序配上相应的代表数字：A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26.那么“努力工作”(HardWork) ： H-A-R-D-W-O-R- K 8+1+18+4+23+15+18+11 = 98% “知识”(Knowledge)： K-N-O-W-L-E-D-G-E 11+14+15+23+12+5+4+7+5 = 96%而“态度”(Attitud) ：A-T-T-I-T-U-D-E 1+20+20+9+20+21+4+5 = 100%那么再来看看（博爱）“神的爱”(LoveOfGod)：L-O-V-E-O-F-G-O-D12+15+22+5+15+6+7+15+4 = 101%那就是说：努力工作和知识只能让你接近目标，而态度能让你达到目标。
唯有“神的愛”亦即“博爱”能让你超越目标、走向巅峰。
神奇数字142857：142857，又名走马灯数。
被誉为世界上最神奇的数字。
它发现于埃及金字塔内，它是一组神奇数字，它证明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6个数字，依顺序轮值一次，到了第7天，它们就放假，由999999去代班，数字越加越大，每超过一星期轮回，每个数字需要分身一次，你不需要计算机，只要知道它的分身方法，就可以知道继续累加的答案。
142857 × 1 = 14285（7） 1*7=7142857 × 2 = 28571（4） 2*7=14142857 × 3 = 42857（1） 3*7=21142857 × 4 = 57142（8） 4*7=28142857 × 5 = 71428（5） 5*7=35142857 × 6 = 85714（2） 6*7=42142857 × 7 = 99999（9） 7*7=49142857 × 8 = 114285（6） 8*7=56142857 × 9 = 128571（3） 9*7=63142857 × 10 = 142857（0） 10*7=70规律：1-6同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。
自然界中的数学
自然界中的数学你是否曾经停下来环顾四周，注意到我们周围世界中的神奇的形状和图案？数学构成了自然世界的基石，并以惊人的方式展现出来。
下面是一些自然界数学的例子。
斐波那契序列(The Fibonacci Sequence)斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。
它是一个简单而深奥的数列。
序列从数字1和1开始，然后每个后续的数字通过将前面的两个数字相加来找到。
因此，在1和1之后，下一个数字是2(1 + 1)。
下一个数字是3(1+ 2) ，然后是5(2 + 3) ，如此类推。
值得注意的是，序列中的数字在自然界中经常可以看到。
一些例子包括松果的螺旋数，菠萝或向日葵的种子数，或一朵花的花瓣数。
上图：向日葵的两条螺旋线符合斐波那契数列的数字规律上图：松果的螺旋数斐波那契数列中的数字还形成了一个独特的形状，被称为斐波那契螺旋，我们在自然界中看到它的形式是贝壳和飓风的形状。
上图：贝壳的形状自然界的分形(Fractals in Nature)：分形是我们在自然界中看到的另一种有趣的数学形状。
分形是一种相似的、重复的形状，这意味着同样的基本形状在形状本身中反复出现。
换句话说，如果你要放大或缩小，整个形状都是一样的。
上图：蕨类植物的叶子分形构成了我们世界的许多方面，包括蕨类植物的叶子、树枝、我们大脑中的神经元分支和海岸线。
上图：神经元分支自然界的六边形(Hexagons in Nature)：自然界的另一个几何奇观是六边形。
解密数列数学中的规律之美
解密数列数学中的规律之美数列，在数学中是由一串按照规律排列的数字组成的序列。
它可能看起来单调乏味，但深入研究后，我们将会发现数列中蕴含着许多有趣的规律和美妙的数学现象。
本文将带您深入探讨数列数学中的规律之美。
一、等差数列：简单而神奇等差数列是最为简单和常见的数列之一。
在等差数列中，每个数都比前一个数增加（或减少）相同的固定量，这个固定量称为公差。
以1, 3, 5, 7, 9为例，这是一个公差为2的等差数列。
等差数列中的规律除了公差外，还可以通过求和来表现。
等差数列的前n项和可以通过公式Sn = (a1+an)*n/2来计算，其中a1为首项，an 为末项，n为项数。
二、等比数列：神秘又瑰丽等比数列是另一种常见的数列类型。
在等比数列中，每个数都是前一个数乘以同一个固定倍数得到的。
以1, 2, 4, 8, 16为例，这是一个公比为2的等比数列。
等比数列的规律更为神秘。
通过求和，我们可以发现等比数列的前n项和可以用公式Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)来表示，其中a1为首项，q为公比。
当公比小于1时，等比数列的和将趋于一个有限值。
三、斐波那契数列：自然而有趣斐波那契数列是一种特殊而有趣的数列。
它的前两个数为1，之后的每个数都是前两个数的和。
所以，斐波那契数列的规律可以表示为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...在斐波那契数列中，每个数与它前面的数的比值越来越接近黄金比例1.618。
黄金比例不仅被广泛应用于艺术和建筑中，还在自然界中频繁出现，如植物的生长和动物的外形。
四、平方数列：神奇的完美平方平方数列是由完全平方数按照顺序排列而成的数列。
完全平方数即小于等于它的数的平方，如1, 4，9，16等。
平方数列的规律相对简单，每个数是前一个数加上等差数列的公差。
例如4是1+3，9是4+5，以此类推。
平方数列与等差数列之间的密切关系使得平方数列在数学中有着广泛的应用。
五、三角数列：奥妙的几何数字三角数列是由一系列排列成三角形的点数所构成的数列。
探索趣味数学的小百科
探索趣味数学的小百科数学作为一门科学，常被认为是严谨而枯燥的学科。
然而，数学中也有许多有趣的现象和奇妙的规律，通过这篇小百科，我们一起来探索趣味数学的世界。
一、斐波那契数列斐波那契数列是一个古老而著名的数学序列，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
即：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...这个数列在自然界中也经常出现，例如：太阳花的花瓣数、菠菜的叶子数、海螺的螺旋线数等，都可以用斐波那契数列来表示。
有趣的是，当你把相邻两项的比值进行计算时，会逐渐接近黄金比例0.618。
二、数学的魔幻方阵魔幻方阵是由数字排列组成的正方形矩阵，使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
其中最有名的魔幻方阵是3阶的“罗马方阵”，如下所示：8 1 63 5 74 9 2这个方阵中，无论从任何方向去计算，其数字之和都为15。
这种神奇的排列在数学和游戏中经常被使用，并具有非常高的艺术价值。
三、数学的悖论：贝尔库兹矛盾贝尔库兹悖论是数学中一个富有争议和引发许多思考的问题，也被称为无穷的悖论。
我们知道，偶数是可以被2整除的，而奇数则不可以。
然而，根据贝尔库兹悖论，“最大的无穷数”既是奇数，又是偶数，这看似矛盾的说法引发了许多争议和讨论。
四、数学的神奇根号根号在数学中扮演了非常重要的角色。
然而，根号和几个整数之间的关系却十分有趣。
例如，4的平方根是2，而8的平方根却无法用一个简单的分数表示，这使得根号和分数之间的关系成为数学中的一大奥秘。
五、数学与艺术的结合数学并不只存在于干燥的公式和计算中，它也可以与艺术相结合，创造出令人惊叹的美。
例如，数学曲线和图形在艺术中被广泛运用，如斯德哥尔摩螺旋线和科赫雪花曲线等。
这些美丽而复杂的图形在艺术品和建筑中都能够看到，无不展示了数学的优雅和魅力。
六、数学解密密码学密码学是数学的一个重要应用领域，通过数学的原理和方法可以实现对信息的加密和解密。
例如，最著名的密码学方法之一是RSA加密算法，它基于大数分解的难题，利用质数的特性来实现信息安全的传输，广泛应用于互联网和电子商务领域。
数字之间的神奇关系
数字之间的神奇关系数字，作为一种抽象的符号，贯穿于我们的日常生活中。
我们使用数字来计量、计数、记录和抽象化，但数字之间的关系却常常被人们忽略。
然而，深入研究数字之间的神奇关系，可以帮助我们更好地理解数学的奥妙和世界的本质。
一、数字之间的基本关系在数学中，数字之间存在多种基本关系。
首先，数字的顺序关系是十分重要的。
比如，若将1、2、3等数字进行排列，可以得到不同的数列。
数列中的每个数字都在整体中发挥着特定的作用，它们的排列顺序决定了数列的性质和特征。
其次，数字之间的大小关系也是数学中的重要概念。
我们常用大于、小于等符号来表示数字之间的大小关系。
通过比较不同数字的大小，我们可以得出他们的相对大小和序列。
此外，数字之间还存在着一种特殊的运算关系——运算符。
加减乘除等运算符将数字联系在一起，使他们通过运算展现出更多的关联和特性。
通过运算，我们可以得到数字之间的和、差、积和商等。
这些运算不仅能帮助我们进行计算，更能揭示数字之间的相互作用和神奇之处。
二、数字之间的特殊关系除了基本的数字关系外，数字之间还存在着一些特殊的关系，其背后蕴含着数学的深层奥秘。
例如，数字的倍数关系和因数关系。
1. 倍数关系数字之间的倍数关系是指一个数能够整除另一个数，使得被除数除以除数的余数为0。
比如，6是3的倍数，因为6 ÷ 3 = 2余0。
倍数关系不仅展示了数字之间的整除关系，还可以帮助我们研究和计算更复杂的数学问题。
2. 因数关系数字的因数是指能够整除该数字的数，而被整除的数是该数字的倍数。
例如，12的因数有1、2、3、4、6和12。
因数关系可以帮助我们分解数字，探索数字的因式分解和素数分解等数学性质。
三、除了常见的数字关系外，数字之间还存在着一些难以想象的神奇关系。
例如，数字之间的和、差、积或商等运算结果可能会产生一些特殊的规律。
1. 数字之和当我们将一系列数字进行相加时，可能会发现一些有趣的规律。
例如，数字1至100的和可以通过数列求和公式计算得到。
宇宙中的神奇数字
宇宙中的神奇数字在宇宙的无垠星空中，隐藏着许多神秘而神奇的数字。
这些数字不仅仅是数学的基础，更承载着宇宙的奥秘和智慧。
本文将带您深入探索宇宙中的神奇数字，并揭示它们的意义和影响。
1. 无限的ππ（pi）是一个既无理数又超越数，它代表着圆周率，是宇宙中最著名的数之一。
π是一个无限不循环的小数，其数值近似为3.14159，但它的真实值无法被准确计算出来。
π的出现不仅在数学中广泛应用，还与实际生活息息相关。
它在测量、物理学、天文学等领域起着重要作用，例如计算圆的周长、面积，揭示天体运动规律等。
π的无穷性和无理性使其成为数学研究领域的热点，许多数学家都为了寻找π的更多特性而不断努力。
无论如何，π给了我们一个重要的启示：宇宙中的数字世界虽然神秘，却蕴含着无限的可能性。
2. 黄金比例黄金比例，又称黄金分割或黄金比例常数，是数学中一种特殊的比例关系。
它的数值约为1.6180339887，用希腊字母φ（phi）表示。
黄金比例在宇宙中随处可见，如自然界的植物花瓣排列、海洋生命的外形构造，以及人体的各种比例关系等。
这种比例被认为是最美、最和谐的比例，给人以愉悦和美感。
许多艺术家和设计师在创作中都运用了黄金比例，以期达到视觉上的完美和平衡。
黄金比例的存在也让我们深刻思考宇宙对美的追求，是否存在一种超越数学和科学的普遍美学规律。
3. 超越数ee（自然对数的底数）是另一个宇宙中的神奇数字。
e的数值约为2.71828182846，也是一个无理数。
它广泛应用于数学、物理学、金融学等领域。
e的特性使之在复利计算、连续复利模型中发挥重要作用。
它被称为增长最快的数，并且具有自我增长的特性。
e的数学性质和出现在各种实际问题中的应用，使其成为数学家和科学家的研究对象。
它还与物质的变化和发展密切相关，无论是生命的进化，还是经济的增长，e都扮演着重要的角色。
4. 斐波那契数列斐波那契数列是一组数字序列，其特点是每个数都是前两个数之和。
它起源于12世纪的意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci），被称为宇宙中最神奇的数字序列之一。
神奇的数字
神奇的数字看似平凡的数字，为什么说他最神奇呢？我们把它从1乘到6看看142857 X 1 = 142857142857 X 2 = 285714142857 X 3 = 428571142857 X 4 = 571428142857 X 5 = 714285142857 X 6 = 857142同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。
那么把它乘与7是多少呢？我们会惊奇的发现是999999而142 + 857 = 99914 + 28 + 57 = 99最后，我们用142857乘与142857答案是：20408122449前五位+上后五位的得数是多少呢？20408 + 122449 = 142857关于其中神奇的解答“142857”它发现于埃及金字塔内，它是一组神奇数字，它证明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6个数字，依顺序轮值一次，到了第7天，它们就放假，由999999去代班，数字越加越大，每超过一星期轮回，每个数字需要分身一次，你不需要计算机，只要知道它的分身方法，就可以知道继续累加的答案，它还有更神奇的地方等待你去发掘！也许，它就是宇宙的密码┅┅142857×1＝142857（原数字）142857×2＝285714（轮值）142857×3＝428571（轮值）142857×4＝571428（轮值）142857×5＝714285（轮值）142857×6＝857142（轮值）142857×7＝999999（放假由9代班）142857×8＝1142856（7分身，即分为头一个数字1与尾数6，数列内少了7）142857×9＝1285713（4分身）142857×10＝1428570（1分身）142857×11＝1571427（8分身）142857×12＝1714284（5分身）142857×13＝1857141（2分身）142857×14＝1999998（9也需要分身变大）继续算下去……以上各数的单数和都是“9”。
自然界中的神奇数学
自然界中的神奇数学自然界是一个充满了奥秘和神奇的地方，我们可以从不同的角度去理解它。
而其中一种角度是数学。
数学作为一门学科，不仅存在于我们的日常生活中，也深深地植根于自然界中。
自然界中的各种现象和规律都可以用数学来解释和描述。
本文将带您探索自然界中的神奇数学，揭示数学在自然界中的妙用。
1. 斐波那契数列（Fibonacci Sequence）斐波那契数列是自然界中最著名的数学现象之一。
它的特点是每个数字都是前两个数之和。
例如，从0和1开始的斐波那契数列为0、1、1、2、3、5、8、13、21、34，依此类推。
很多物种的生长模式都符合斐波那契数列，例如植物的叶子排列、鱼类的繁殖规律等。
这种规律背后的数学原理对于理解自然界中的生态系统和物种演化过程具有重要意义。
2. 黄金分割（Golden Ratio）黄金分割是数学中一种神秘而美丽的比例关系。
它定义为两个数量之和与较大数量之比等于较大数量与较小数量之比的比值。
这个比值约等于1.618，常被表示为φ（phi）。
黄金分割在自然界中广泛存在，例如植物的枝干分布、贝壳的螺旋形状、动物的身体比例等。
黄金分割可以让我们更好地欣赏自然界中的美，也被广泛运用在建筑、艺术和设计中。
3. 汉诺塔（Tower of Hanoi）汉诺塔是一种经典的数学谜题，它反映了数学中的递归思想。
汉诺塔由三个柱子和一些盘子组成，盘子大小各不相同，从小到大依次叠放在某个柱子上。
游戏的目标是将所有盘子从一个柱子移动到另一个柱子上，但是规则是每次只能移动一个盘子，且较大的盘子不能放在较小的盘子上面。
汉诺塔问题可以用递归算法求解，同时也反映了自然界中的某些现象，例如大气环流、物种繁衍等，都存在着递归的规律。
4. 黑洞（Black Hole）黑洞是宇宙中最神秘和奇特的现象之一，同时也与数学有着密切的关联。
黑洞的形成是由恒星在引力作用下塌缩而成，形成一个非常密集的物体。
然而，黑洞的特殊之处在于其具有无穷大的密度和极强的引力场，使其吞噬周围的物质。
斐波那契数列的神奇之处
斐波那契数列的神奇之处斐波那契数列(Fibonacci sequence)起源于20世纪初期，由意大利数学家列奥纳多·斐波那契(L.Fibonacci)发现，并以他的名字来命名。
这个数列由数列中的前两个数0和1开始，后面的每个数都等于前面两个数之和。
数列的前几个数字为0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……下面就让我们来探讨一下斐波那契数列的神奇之处。
1. 出现在自然界和人工制品中斐波那契数列不仅仅在数学上有意义，它还出现在自然界和人工制品中。
例如，一些植物的花序和果枝排列，他们的叶子数量、蜂房中蜂窝的排列等等，都符合斐波那契数列的规律。
同样，一些人工制品中也出现过斐波那契数列，比如乐器中的管长或键盘数目等等。
2. 黄金比例与斐波那契数列的关系斐波那契数列与黄金比例有着密切的关系。
所谓黄金比例就是两个数数量之和与较大的数之比等于较大的数之比与较小的数之比相等，这个比例约为1:1.618。
这种比例出现在各个领域，包括艺术、建筑、金融等等。
而斐波那契数列中相邻数之比很接近黄金比例，随着数列长度的增加，这个比例会越来越接近黄金比例。
3. 应用于投资和财务领域斐波那契数列在投资和财务领域有着广泛的应用。
投资者们往往利用这个数列来预测股票市场的走势，以及判断股票是否被高估或低估。
此外，在财务领域中，斐波那契数列也被用来解决各种问题，比如预测银行借贷期限、计算贷款等。
4. 数学问题的研究斐波那契数列一直是数学研究的重点之一。
从初中的数列和级数开始，到高中的函数、极限和导数等等，都与斐波那契数列有关。
这个数列也是数论和组合数学领域中一些基础问题的研究对象，如偏序关系、数的表示问题等等。
5. 算法和计算机编程斐波那契数列在算法和计算机编程中也发挥了重要的作用。
它是许多算法问题的基础，比如欧几里德算法、矩阵求幂算法等等。
此外，在计算机编程中，斐波那契数列也被用来解决一些实际的问题，比如优化代码性能、加密算法等等。
数学文化之旅------神奇的斐波那契数列与黄金分割
神奇的斐波那契数列与黄金分割石家庄二中南校区孟柳比萨的列奥纳多，又称斐波那契(Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年)，中世纪意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
列奥纳多的父亲Guilielmo(威廉)，外号Bonacci.因此列奥纳多就得到了外号斐波那契(Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子)。
1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作,因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
于是他就学会了阿拉伯数字。
他是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
主要著作有《算盘书》《几何实践》《花朵》《平方数书》斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后就具有了繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对兔子，如果兔子都不死，那么一年后能有多少对兔子？拿新出生的一对兔子研究：第一个月兔子没有繁殖能力，两个月后生下一对小兔总数共有两对；三个月后，老兔子生下又一对，因为上一轮的小兔没有繁殖能力，所以总数是三对；…………..1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。
在这个数列中的数字，就被称为斐波那契数。
2是第3个斐波那契数。
斐波那契数列还满足一下特点：1.任一项的平方数都等于与它相邻的两项乘积相差12.相邻的4个数，内积与外积相差13.前一项与后一项的比大约是0.6184.后一项比前一项大约是1.618经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
神奇的数字——精选推荐
神奇的数字西西弗斯串在古希腊神话中，科林斯国王西西弗斯被罚将⼀块巨⽯推到⼀座⼭上，但是⽆论他怎么努⼒，这块巨⽯总是在到达⼭顶之前不可避免地滚下来，于是他只好重新再推，永⽆休⽌。
著名的西西弗斯串就是根据这个故事⽽得名的。
什么是西西弗斯串呢？也就是任取⼀个数，例如35962，数出这数中的偶数个数、奇数个数及所有数字的个数，就可得到2（2个偶数）、3（3个奇数）、5（总共五位数），⽤这3个数组成下⼀个数字串235。
对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数串123再重复进⾏，仍得123。
对这个程序和数的"宇宙"来说，123就是⼀个数字⿊洞。
是否每⼀个数最后都能得到123呢？⽤⼀个⼤数试试看。
例如：88883337777444992222，在这个数中偶数、奇数及全部数字个数分别为11、9、20，将这3个数合起来得到11920，对11920这个数串重复这个程序得到235，再重复这个程序得到123，于是便进⼊"⿊洞"了。
这就是数学⿊洞"西西弗斯串"。
孔雀开屏数：（20＋25）的平⽅=2025类似的数还有两个：（30＋25）的平⽅=3025（98＋01）的平⽅=9801 与此相类似的还有：（2+4+0+1）的4次⽅=2401（5+1+2）的⽴⽅=512（8+1）的平⽅=81回归数英国⼤数学家哈代（G.H.Hardy,1877-1947）曾经发现过⼀种有趣的现象:153=1^3+5^3+3^3371=3^3+7^3+1^3370=3^3+7^3+0^3407=4^3+0^3+7^3他们都是三位数且等于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令⼈感到惊讶.更为称奇的是,⼀位读者看过哈代的有趣发现后,竟然构造出其值等于各位数字四（五,六）次幂之和的四（五,六）位数:1634=1^4+6^4+3^4+4^454748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5548834=5^6+4^6+8^6+8^6+3^6+4^6注:3位3次幂回归数⼜称位“⽔仙花数”像这种其值等于各位数字的n 次幂之和的n 位数,称为n 位n 次幂回归数.本⽂只讨论这种回归数,故简称为回归数,⼈们⾃然要问:对于什么样的⾃然数n 有回归数?这样的n 是有限个还是⽆穷多个?对于已经给定的n ,如果有回归数,那么有多少个回归数?1986年美国的⼀位数学教师安东尼.迪拉那（Anthony Diluna）巧妙地证明了使n 位数成为回归数的n 只有有限个.设An 是这样的回归数,即:An=a1a2a3...an=a1^n+a2^n+...+an^n （其中0<=a1,a2,...an<=9）从⽽10^n-1<=An<=n9^n 即n 必须满⾜n9^n>10^n-1 也就是（10/9）^n<10n （1）随着⾃然数n 的不断增⼤,（10/9）^n 值的增加越来越快,很快就会使得（1）式不成⽴,因此,满⾜（1）的n 不能⽆限增⼤,即n只能取有限多个.进⼀步的计算表明:（10/9）^60=556.4798...<10*60=600 （10/9）^61=618.3109...>10*61=610对于n>=61,便有（10/9）^n>10n由此可知,使（1）式成⽴的⾃然数n<=60.故这种回归数最多是60位数.迪拉那说,他的学⽣们早在1975年借助于哥伦⽐亚⼤学的计算机得到下列回归数:⼀位回归数:1,2,3,4,5,6,7,8,9⼆位回归数:不存在三位回归数:153,370,371,407四位回归数:1634,8208,9474五位回归数:54748,92727,93084六位回归数:548834七位回归数:1741725,4210818,9800817⼋位回归数:24678050,24678051但是此后对于哪⼀个⾃然数n （<=60）还有回归数?对于已经给定的n ,能有多少个回归数?最⼤的回归数是多少?3 153 370 371 4074 1634 8208 94745 54748 92727 930846 5488347 1741725 4210818 9800817 99263158 24678050 24678051 885934779 146511208 472335975 534494836 91298515310 467930777411 82693916578 44708635679 94204591914 32164049651 42678290603 40028394225 32164049650 4938855060612 ⽆解13 ⽆解0564240140138（只有⼴义解⼀组）14 2811644033596715 ⽆解16 4338281769391371 433828176939137017 35641594208964132 21897142587612075 35875699062250035 233411150132317（⼴义解）18 ⽆解19 4498128791164624869 4929273885928088826 3289582984443187032 151784154330750503920 14543398311484532713 6310542598859969391621 128468643043731391252 44917739914603869730722 ⽆解23 21887696841122916288858 28361281321319229463398、27879694893054074471405 35452590104031691935943 27907865009977052567814数学⿊洞6174数学⿊洞是古希腊的⼀个国王偶然发现的。
自然界中的神奇数学
在人类看来，动物们头脑似乎都比较简单。
其实，有许多动物的头脑并非像人们想象的那样愚钝，有许多动物很聪明，它们懂得计算、计量或算数等等，还有很多动物在数学方法的研究上做了很大的贡献。
下面就让你见识一下自然界中动植物中的天才！1.蜘蛛网曾看过这样一则谜语：“小小诸葛亮，稳坐军中帐。
摆下八卦阵，只等飞来将。
”动一动脑筋，这说的是什么呢?原来是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形。
我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地方，也是它赖以谋生的工具。
而且，结网是它的本能，并不需要学习。
你观察过蜘蛛网吗?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?你心中是不是有一连串的疑问，好，下面就让我来慢慢告诉你吧。
在结网的过程中，功勋最卓著的要属它的腿了。
首先，它用腿从吐丝器中抽出一些丝，把它固定在墙角的一侧或者树枝上。
然后，再吐出一些丝，把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来，用一根特别的丝把这个轮廓固定住。
为继续穿针引线搭好了脚手架。
它每抽一根丝，沿着脚手架，小心翼翼地向前走，走到中心时，把丝拉紧，多余的部分就让它聚到中心。
从中心往边上爬的过程中，在合适的地方加几根辐线，为了保持蜘蛛网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。
一般来说，不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同。
丝蛛最多，42条；有带的蜘蛛次之，也有32条；角蛛最少，也达到21条。
同一种蜘蛛一般不会改变辐线数。
到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体相同的。
现在，整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周，画曲线的工作就要开始了。
蜘蛛从中心开始，用一条极细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。
这是一条辅助的丝。
然后，它又从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。
在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。
这样半径上就有许多小球。
从外面看上去，就是许多个小点。
好了，一个完美的蜘蛛网就结成了。
让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作：从外圈走向中心的那根螺旋线，越接近中心，每周间的距离越密，直到中断。
趣味数学的魔法世界
趣味数学的魔法世界数学作为一门科学，往往给人一种枯燥乏味的印象。
然而，如果我们能以一种有趣的方式来学习数学，那么它一定会成为一个充满魔力的世界。
本文将介绍一些趣味数学的魔法技巧和有趣的数学问题，让我们一起进入这个神奇的数学世界吧！一、数学魔法技巧1. 神奇的数字预测这是一个迷人的数字游戏，既能展示数学的神奇之处，又能给人带来惊喜。
首先，我们请一个观众选择任意一个数字，并进行一系列的运算，最后得到一个结果。
然而，无论观众选择的数字是多少，我们都能从结果中推算出他选择的数字！它的原理是通过巧妙的数学运算和逆推法来得到观众所选的数字，让人颇为惊奇。
2. 魔术方块的秘密我们都知道魔术方块是一个由三维小方块组成的复杂玩具，一般人都需要花费很多时间来解开它。
但是，只要我们掌握了一些简单的数学原理，就能轻松地解开魔术方块。
通过理解方块的结构和变形原理，我们可以运用一些数学上的技巧和方法，迅速还原整个魔术方块，给人一种魔术般的感觉。
二、有趣的数学问题1. 数列的神奇魔力在数学中，数列是一个由一系列数字按照一定规律组成的序列。
数列不仅仅是一堆数字的排列，它还蕴含着丰富的数学规律和魔力。
例如斐波那契数列，它的每个数都是前两个数的和，这个数列不仅在数学中有重要的应用，还具有一种神奇的美感。
另外，调和级数、等差数列、等比数列等也都有其独特的魅力和奥秘。
2. 数学之旅的迷宫数学不仅可以在纸上进行推理和计算，还可以在现实生活中创造出一种有趣的游戏空间。
数学迷宫就是一个很好的例子。
通过设计迷宫中的道路、出口和陷阱等元素，我们可以让玩家在迷宫中寻找解决问题的路径。
这既锻炼了玩家的逻辑思维能力，又让他们感受到数学与游戏的结合带来的乐趣。
三、数学的魔力与现实生活数学与现实生活密不可分，它不仅仅是一门纯粹的学科，还有着广泛的应用价值。
数学在物理、经济、计算机科学等领域都有着重要的作用。
例如，数学中的统计学方法可以帮助我们了解社会现象和经济趋势，优化算法和数学模型可以提高计算机程序的效率。
神奇的数学
死理性派的小编经常会被问到的一个问题：数学到底哪里有趣了，数学之美又在哪里？这篇文章精心选择了10 个老少咸宜的算术问题，以定理、趣题甚至未解之谜等各种形式带领大家窥探数学世界的一角。
不少问题背后都蕴含了深刻的数学知识，触及到数学的各个领域。
希望从小数学就不及格的朋友们能够喜欢上数学这门充满乐趣的学科。
1.数字黑洞6174任意选一个四位数（数字不能全相同），把所有数字从大到小排列，再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。
重复对新得到的数进行上述操作，7 步以内必然会得到6174。
例如，选择四位数6767：7766 - 6677 = 10899810 - 0189 = 96219621 - 1269 = 83528532 - 2358 = 61747641 - 1467 = 6174……6174 这个“黑洞”就叫做Kaprekar 常数。
对于三位数，也有一个数字黑洞——495。
2.3x + 1 问题从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以 2 ；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的 3 倍后再加1 。
你会发现，序列最终总会变成4, 2, 1, 4, 2, 1, … 的循环。
例如，所选的数是67，根据上面的规则可以依次得到：67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17,52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...数学家们试了很多数，没有一个能逃脱“421 陷阱”。
但是，是否对于所有的数，序列最终总会变成4, 2, 1 循环呢？这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。
已经中招的数学家不计其数，这可以从3x + 1 问题的各种别名看出来：3x + 1 问题又叫Collatz 猜想、Syracuse 问题、Kakutani 问题、Hasse 算法、Ulam 问题等等。
胡迪尼序列表达式
胡迪尼序列表达式胡迪尼（Houdini）是20世纪最著名的魔术师之一，他以惊人的逃脱技巧和神秘的表演而闻名于世。
胡迪尼序列（Houdini Sequence）是一种数学表达式，被用于描述一种神奇的数学现象。
在这篇文章中，我们将探索胡迪尼序列的奇妙之处。
胡迪尼序列是一种递归序列，它以初始值1开始，后续的每个数字都是前一个数字加上一个由其二进制表示的数字中1的个数。
例如，序列的前几个数字是1、2、4、7、11、16、22等等。
这个序列的奇特之处在于，它的数字之间没有明显的规律，但它们却具有一种美妙的对称性。
这种对称性可以通过观察序列中数字的二进制表示来解释。
胡迪尼序列的每个数字的二进制表示都具有相同数量的1和0，并且这些1和0交替排列。
这种对称性使得胡迪尼序列在数学上具有一种独特的美感。
除了对称性，胡迪尼序列还具有一些其他有趣的属性。
首先，序列中的数字呈现出递增的趋势，但增长速度逐渐减缓。
其次，序列中的数字之间的差异逐渐减小，这种趋势可以通过计算相邻数字的差值来观察到。
最后，胡迪尼序列中的数字在数学上被认为是“稠密”的，即它们无限逼近于所有正整数。
这意味着胡迪尼序列可以无限延伸，而不会重复任何数字。
胡迪尼序列的奇特之处在于，尽管它的生成规则非常简单，但它却产生了一系列令人惊叹的数学现象。
这些现象使得胡迪尼序列成为数学家们研究和探索的对象。
许多数学家试图研究胡迪尼序列的性质，并提出了一些关于序列的猜想和定理。
然而，迄今为止，胡迪尼序列仍然是一个未解之谜，许多问题仍然没有得到解答。
胡迪尼序列的神秘性和美妙之处激发了人们的好奇心和兴趣。
许多数学爱好者和研究者试图通过计算机程序来生成和研究胡迪尼序列。
他们希望能够找到序列中隐藏的规律和特征，并解开序列背后的数学之谜。
总结起来，胡迪尼序列是一种具有对称美和神秘属性的递归数学序列。
尽管我们对这个序列的性质和特征还有很多疑问，但它仍然是一个令人着迷和引人入胜的数学现象。
关于数列的趣味故事
关于数列的趣味故事在一个远古的小村庄里，住着一个叫小明的聪明而好奇的小男孩。
他一直对数学特别感兴趣，尤其是数列。
他喜欢研究数列的规律，并且探索它们背后的趣味故事。
一天，小明听说了一个关于数列的有趣故事。
据说，在一个古老的王国里，有一个贪婪的国王。
这个国王迷恋上了一种特殊的数列，叫作斐波那契数列。
斐波那契数列的规律是，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
这个国王听说这个数列有神奇的性质，于是他决定通过斐波那契数列来预测未来。
国王召集了王国里最聪明的数学家，并命令他们研究斐波那契数列的奥秘。
数学家们花了很长时间才发现了这个规律，他们告诉国王，斐波那契数列可以无限延伸下去。
而且，这个数列中有很多有趣的性质。
小明听了这个故事后，决定自己也去研究一下斐波那契数列。
他想看看这个数列到底有多神奇。
于是，他开始列举斐波那契数列的前几项：1，1，2，3，5，8，13，...小明发现，这个数列的每一项都可以通过前两项相加得到。
比如，第三项2就是1加上1得到的；第四项3是1加上2得到的；第五项5是2加上3得到的，依此类推。
小明还发现，斐波那契数列的比值也很有意思。
他计算了相邻数列项之间的比值，发现这些比值逐渐接近一个特殊的常数，约等于 1.618。
这个常数被称为黄金分割，也是斐波那契数列的一个重要性质。
随着小明对斐波那契数列的研究深入，他发现了更多有趣的特性。
比如，如果把相邻的斐波那契数列项求商，得到的结果会无限接近黄金分割。
而且，这种趋势不仅在斐波那契数列中成立，还在自然界的很多事物中也存在，比如动植物的生长规律、音乐的节奏等等。
小明对这些发现充满了好奇，他开始思考斐波那契数列背后的意义。
他意识到，斐波那契数列的规律是自然界中普遍存在的一种模式，它代表了一种有序、和谐的变化过程。
这种模式不仅在数学中成立，在生活中也存在着。
无论是大自然的生态系统，还是人类的社会组织，都遵循着这种有序变化的规律。
通过对斐波那契数列的研究，小明也发现了数学的美妙之处。
数学真美妙中有趣的数学现象
数学真美妙中有趣的数学现象1. 金字塔数学：这是一个涉及数字金字塔的现象，其中最顶端的数字是通过底层数字经过加减乘除等运算得出的。
这种数学现象展示了数字之间的复杂关系和运算的巧妙。
2. Fibonacci序列：这是一个由自然数组成的无限序列，其中每个数字都是前两个数字的和。
这种序列在自然界中经常出现，例如在植物生长、动物繁殖和自然界的其他方面。
Fibonacci序列的神奇之处在于它的数学性质和实际应用。
3. 谢尔宾斯基三角形：这是一种具有特殊数学性质的三角形，它的每一行数字都比上一行多一个，而且可以通过它计算出许多有趣的数学表达式。
谢尔宾斯基三角形展示了数学中的递归和自相似性。
4. 乌拉姆现象：这是一个关于质数分布的现象，由美国数学家乌拉姆发现。
他在一张纸上画出方格，将自然数按逆时针方向螺旋分布，并将质数圈出来。
他发现这些质数有秩序地集中在一些斜线上，显示出令人惊讶的规则性。
这个现象展示了质数分布的神秘和规律性。
5. 幻方：这是一种由数字组成的正方形阵列，其每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
最著名的幻方是3x3的洛伊斯幻方，它展示了数学中的对称性和平衡性。
6. 柯西-施瓦茨不等式：这是一个在向量空间中描述向量长度和向量之间夹角关系的不等式。
尽管它看起来可能很复杂，但它的应用却非常广泛，从几何到统计学，再到信号处理等多个领域都可以找到它的影子。
7. 分形：这是一种在数学和自然世界中都非常常见的结构，它们的特点是自相似性，也就是说，无论你放大多少倍，都可以看到相同的形状和结构。
最著名的分形之一就是曼德勃罗特集，它是由法国数学家曼德勃罗特提出的，展示了数学的复杂性和美感。
8. 四色定理：这是一个关于地图着色的定理，它说任何一张地图都可以只用四种颜色进行着色，使得没有两个相邻的区域颜色相同。
这个定理虽然看起来简单，但它的证明却非常复杂，涉及到了图论和组合数学的许多概念。
9. 欧拉公式：欧拉公式是复变函数论的基础，它将三角函数与复数指数函数相关联。
斐波那契 指数
斐波那契 指数哇，说起斐波那契指数，这可真是个神奇的数学宝藏！你们知道吗，这个数列简直就像是大自然的魔法密码，藏在花瓣、贝壳，甚至松果的螺旋纹里。
今天咱们就来聊聊这个既神秘又有趣的数学话题！斐波那契指数说白了就是一串特别的数字，每个数都是前面两个数加起来的和。
听起来是不是很简单？比如说：1、1、2、3、5、8、13、21。
像不像在玩数字接龙游戏啊！每个数都乖乖地等着前面两个数加起来才现身。
这个数列可有意思了，它的增长速度简直像坐了火箭！你看啊，刚开始增长得慢悠悠的，到后面就像是被按了快进键，蹭蹭往上涨。
这让我想起了我家的仓鼠繁殖，开始养两只，没多久就变成一大家子！说到指数增长，斐波那契数列里相邻两个数的比值，慢慢会越来越接近一个神奇的数字：零点六百一十八。
这个数字在数学界可是个大明星，它就像是大自然的黄金分割点，美得让人惊叹！你们猜怎么着？这个数列在股市分析里可受欢迎了！有的股民把它当作预测股价涨跌的法宝，就像是有了一个预测未来的水晶球。
不过啊，我觉得炒股还是得理性一点，可别把它当成包治百病的灵丹妙药。
在自然界中，斐波那契指数简直无处不在。
向日葵的种子排列、树枝的分叉方式、贝壳的螺旋纹，都跟这个数列有关。
这就像是大自然在跟我们玩捉迷藏，到处都藏着这个数学密码！有趣的是，这个数列最早是用来计算兔子繁殖的。
想象一下，一对兔子每个月生一对小兔子，小兔子长大后也开始生，这样繁殖下去的数量就符合斐波那契数列。
这简直就是最生动的数学课！在计算机领域，斐波那契指数也大显身手。
程序员们用它来设计算法，解决各种复杂的问题。
就像是给电脑装了一个数学超能力，让它能更聪明地处理任务。
艺术家们也特别喜欢这个数列。
他们用它来设计建筑、绘画构图，甚至作曲！你看，数学和艺术的结合，简直就像是科学和浪漫的完美约会。
不过学习斐波那契指数的时候也要当心，有些人会把它神化。
记住啊，它再神奇也是个数学工具，可不是算命的神器。
我就见过有人想用它来预测彩票号码，这可就有点想太多啦！说到实际应用，斐波那契指数在时间管理上也很有用。
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序
在我一生中，我一直对魔术充满热情。
无论我是在观看其他魔术师还是自己表演魔术时，我都着迷于那些令人印象深刻的惊人手法，并且我喜欢学习它的秘密。
只需几个简单的原则，我甚至可以发明自己的手法。
对于数学，我有着相同的体验。
从很小的时候开始，我就发现数有着独特的魔力。
这是一个你可能会喜欢的小把戏：设想一个在20与100之间的数，然后将这个数的每一位相加，将得到的和从你所想的这个数中减去，最后，将新产生的数的每一位加起来。
你会想到是9吗？（如果你的结果不是，请检查你的计算过程。
）很酷，是吧？数学充满了这样的魔力，但我们大多数人从未在学校接触过它。
在这本书中，你会看到数、形状和纯逻辑如何产生令人愉快的惊喜。
只需要一点代数或几何知识，你就可以经常发现魔法背后的秘密，甚至可以发现你自己的一些美丽的数学。
本书涵盖了算术，代数，几何，三角和微积分这些基本的数学主题。
它也涵盖了不那么好展现的主题，如：帕斯卡三角形、无穷大、9、π、e、i这些数的神奇属性、斐波纳契数列和
黄金比例。
虽然在几十页内无法完全覆盖一个大的数学专题，但我希望你能够理解主要概念，更好地理解它们为什么起作用，体会到每个概念的优雅和概念间的相关性。
即使你之前看过这些内容，我希望你以新的视角欣赏他们。
随着我们学习的数学越来越多，魔法会变得更加复杂和迷人。
例如，这是我最喜欢的方程式之一：
e 1 0
有人称之为“上帝的方程”，因为这个神奇的方程中使用了数学中一些最重要的数。
具体来说，它使用了算术的基础0和1；几何中最重要的数π= 3.14159；微积分中最重要的数e = 2.71828；和虚数i，平方为-1的数。
我将在第8章详细地介绍π，第10章详细地介绍i和e。
在第11章，我们将看到帮助我们理解这个神奇方程的数学。
本书的目标读者是需要参加数学课程，目前正在参加数学课程或已经完成数学课程的人。
换句话说，我希望这本书能够为所有人喜爱，从数学恐惧症患者到数学爱好者。
为了做到这一点，我需要制定一些规则。
规则1：你可以跳过灰色方框（除此之外）！
每一章都充满了“旁白”，我喜欢离题谈论有趣的
事情。
这可能是一个额外的例子或证明，或者能吸引更
多高级读者的东西。
第一次阅读本书时（或者第二次和
第三次），你可能会想跳过这些内容。
我希望你能重读
这本书。
数学是一个值得重新审视的课题。
规则2：不要害怕跳过段落，甚至章节。
除了灰色方块之外，你还可以跳过任何一时无法理解的章节。
有时候，在深入某个主题之前，你需要对别的主题有所了解。
当你稍后再回来时，你会惊讶地发现该主题变得更容易。
在阅读过程中，一旦遇到困难就放弃，以至于错过后续所有有趣的东西，那将是一件非常遗憾的事。
规则3：不要跳过最后一章。
这一章的主题是无穷，有很多令人兴奋的概念可能你并未在学校学习过，其中许多结论并不依赖于前面的章节。
另一方面，最后一章会涉及到前面所有章节中出现的概念，因此可能会给你额外的动力去回顾并重读本书前几部分的内容。
规则π：期待意外。
虽然数学是一个非常重要的课题，但它不一定要以严肃而枯燥的方式教授。
作为哈维穆德学院的
数学教授，我无法抗拒偶尔的双关语、笑话、诗歌、歌曲或魔术，从而让一堂课变得更加愉快，而且它们会出现在这本书中。
当然这是一本书，你不必听我唱歌。
祝你好运！
遵循这些规则，去发现数学的魔力吧！。