双曲线专题复习附答案

双曲线专题

考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义

1.设P 为双曲线112

2

2

=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）

A ．36

B ．12

C ．312

D ．24

解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①

又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF

,52||,52||||2212221==+F F PF PF

为21F PF ∴直角三角形，

.12462

1

||||212121=⨯⨯=⋅=

∴∆PF PF S F PF 故选B 。 2. P 是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内

切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a -

（B ）b -

（C ）c -

（D ）c b a -+

［解析］设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为0x ，

由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=⇒=----=-000122|)(|||

题型2 求双曲线的标准方程

3.已知双曲线C 与双曲线162

x －4

2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．

[解析] 解法一：设双曲线方程为22

a x －22b

y =1.由题意易求c =25.

又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －2

4

b =1.

又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2

=8.

故所求双曲线的方程为122

x －8

2y =1.

解法二：设双曲线方程为k

x -162

－k y +42＝1，

将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122

x －8

2y ＝1.

4.已知双曲线的渐近线方程是2

x

y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； [解析]设双曲线方程为λ=-2

2

4y x ， 当0>λ时，化为

14

2

2

=-

λ

λ

y x ，20104

52

=∴=∴λλ

， 当0<λ时，化为

14

2

2

=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为

221205

x y -=或12052

2=-x y 5.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.

[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-2

23y x ，9)32(3

42=∴=∴

λλ

，双曲线方程为13

92

2=-y x 6.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为

A ．22

1(1)8y x x -=<- B ．221(1)8y x x -=>

C ．1822=+y x （x > 0）

D ．22

1(1)10y x x -

=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围

7.已知双曲线22

221,(0,0)x y a b a b

-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且

12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．

[解析](方法1)由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得18

3

PF a =，223PF a =，在12

PF F ∆中，由余弦定理，得22

2

221898173

2382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，

当1cos 21-=∠PF F 时，解得5

3

e =

．即e 的最大值为53．

(方法2) a

c a

PF a PF PF a PF PF -+≤+=+=21||21||||2||||22221 ，

双曲线上存在一点P 使12||4||PF PF =，等价于3

5

,421≤∴≥-+

e a c a (方法3)设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF

=，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=

，∵a x ≥，∴3

5

≤e ，∴e 的最大值为53．

8. 已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、

B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是（ ）

A ．215+

B ．2

C ．2

15+或2 D ．不存在

[解析]设双曲线的左准线与x 轴交于点D,则c ab AD =，c a a ED 2+=，=+∴c a a 2c

ab

⋅3，2=∴e 题型2 与渐近线有关的问题

9.若双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）

A.2

B.3

C.5

D.2

[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2=，5122

222

=+==a

b a

c e ,所以5=e

10.焦点为（0，6），且与双曲线12

22

=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）

A ．124

1222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．112242

2=-y x

基础巩固训练

1..

已知双曲线的两个焦点为1(0)F

、20)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅=，

12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是 （ ）

A ．2219x y -=

B ．22

19

y x -= C ．22137x y -

= D ．22173x y -= [解析]由 12||||2MF MF ⋅=和402

22

1=+PF PF 得6||21=-PF PF ，选A

2..已知F 1，F 2分别是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，

B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） (A).),21(+∞+

(B).)21,1(+ (C).)3,1( (D).)22,3(

[解析] 210122122

222

+<⇒<--⇒<-⇒

a b ，选B

3.曲线

)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(1952

2<<=-+-n n

y n x 的 （ ）

A ．焦距相等

B ．焦点相同

C ．离心率相等

D ．以上都不对