2020-2021学年上海市嘉定区第一中学高二上学期第一阶段考试数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市嘉定区第一中学高二上学期第一阶段

考试数学试题

一、单选题

1．已知a b c d ⎛⎫

⎪⎝⎭

为单位矩阵，则向量()m a b =,的模为（ ）

．

A ．0

B ．1

C ．2

D

【答案】B

【分析】根据n 阶单位矩阵的定义，可知1,0a d b c ====，即()1,0m =，即可求得结果

【详解】根据单位矩阵的定义，主对角线上的元素都为1，其余元素全为0的n 阶矩阵称为n 阶单位矩阵，

可知1,0a d b c ====，则()(),1,0m a b == 所以()1,01m == 故选：B.

【点睛】关键点睛：本题考查单位矩阵及求向量的模，解题的关键是熟悉单位矩阵的定义，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.

2．已知a ，b 为两个非零向量，命题甲：a b a b -=+，命题乙：向量a 和b 共线，则甲是乙的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件

【答案】A

【分析】若()2

2

cos ,//1a b a b a a b

a b b

a b

-=+⇒-=+⇒=-⇒，即甲

可以推出乙，故充分性成立；但,a b 同向共线时，a b a b -<+；,a b 反向共线时，

a b a b -=+，即乙推不出甲，故必要性不成立.

【详解】若a b a b -=+，则()2

2

a b

a b

-=+，整理得

2

2

2

2

+c 2,2os a a b a b a b a b b +-=+，即c 22os ,a b a b a b -=，

即cos ,1=-a b ，则//a b ，即甲可以推出乙，故充分性成立；

若//a b ，当,a b 同向时，a b a b -<+；当,a b 反向时，a b a b -=+，即乙推不出甲，故必要性不成立，所以甲是乙的充分不必要条件； 故选：A

【点睛】关键点睛：本题考查充分必要性条件的判断，向量数量积与向量共线，向量模长的运算，解题的关键是熟悉向量积公式cos ,a b a b a b ⋅=，及向量模长公式

2a a =的运用，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题.

3．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的1010倍，若视力4.2的视标边长为a ，则视力5.1的视标边长为（ ）

A ．9

1010a - B ．4

510a -

C ．4

510a

D ．9

1010a

【答案】A

【分析】根据等比数列的性质求解即可.

【详解】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -

由题意可得：10

11011

1100n n n n a a a a ---=⇔=

则数列{}n a 为首项为a ，公比为1

1010-的等比数列

即101

1

9

1010

101010

a a a ---

⎛⎫

== ⎪

⎝⎭

则视力5.1的视标边长为9

1010a - 故选：A

【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.

4．在ABC 中，H 是边AB 上一定点，满足4AB HB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB PC HB HC ⋅≥⋅，则（ ）． A ．90ABC ∠= B ．90BAC ∠=

C ．AB AC =

D ．AC BC =

【答案】D

【分析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设4AB =，

(),C a b ，(),0P x ，由题意写出HB ，HC ，PB ，PC 的坐标，由PB PC HB HC

⋅≥⋅结合向量的数量的坐标表示可得关于x 的一元二次不等式，结合二次不等式的性质即可求出a 得值，进而可得正确答案.

【详解】

以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系， 设4AB =，(),C a b ，(),0P

x ，则1BH = ，()2,0A -，()2,0B ，()1,0H ，

所以()1,0HB =，()2,0PB x =-，(),PC a x b =-，()1,HC a b =-，

()()2PB PC x a x ⋅=--，1HB HC a ⋅=-，

因为PB PC HB HC ⋅≥⋅对于边AB 上任一点P 都成立， 所以()()21x a x a --≥-恒成立，

即()2

210x a x a -+++≥恒成立，

所以()()2

2410a a ∆=+-+≤，即20a ≤，

又因为20a ≥，所以0a =，即点C 在AB 的垂直平分线上， 所以AC BC =， 故选：D

【点睛】关键点点睛：本题关键想到建立直角坐标系将PB PC HB HC ⋅≥⋅转化为坐标，设，设4AB =，(),C a b ，(),0P

x ，写出各点坐标即可写出HB ，HC ，PB ，PC 的

坐标，可得()()21x a x a --≥-恒成立，利用二次函数的性质求出0a =，可得点C 在

AB 的垂直平分线上即AC BC =

二、填空题

5．2

2

13lim x n n →∞+=______．

【答案】3

【分析】根据极限的运算法则，即可求解.

【详解】由22221311lim lim(3)lim 33x x x n n n n

→∞→∞→∞+=+=+=. 故答案为：3.

6．已知()1,a k =，()2,3b =，若a 与b 平行，则k =________. 【答案】

3

2

【分析】直接利用向量平行公式计算得到答案.

【详解】()1,a k =，()2,3b =，a 与b 平行，则3322

k k =∴= 故答案为：

32

【点睛】本题考查了向量的平行，属于简单题.

7．方程组21

30

x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为______．

【答案】211310⎛⎫

⎪-⎝⎭

【分析】利用增广矩阵的定义即可求解.