四个重要定理(梅涅劳斯-塞瓦-托勒密-西姆松)

平面几何中的四个重要定理
梅涅劳斯（Menelaus ） 定理（梅氏线）
△ ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 P 、Q 、R ,贝U P 、Q 、R 共线的充
塞瓦（Ceva ）定理（塞瓦点）
△ ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ,贝U AP 、BQ 、CR 共点的充要条件
西姆松（Simson ）定理（西姆松线）
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接
要条件是 BP CQ AR
1
PC QA RB
是BP 殂塑1。

PC QA RB
P
圆。

-可编辑-
圆上。

例题:
1、设AD 是厶ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。

求
、 AE 2AF
证：——
ED FB
AE DC BF
【分析】CEF 截厶ABD T -------------------------- 1 （梅氏定理）
ED CB FA
【评注】也可以添加辅助线证明：过
A 、
B 、D 之一作CF 的平
行线。

【分析】连结并延长 AG 交BC 于M ，贝U M 为BC 的中点。

BE CF GM (DB DC) = GM 2MD EA FA = AG MD 2GM MD
AB 、AC 于 E 、F ,交 CB 于 D 。

求证： BE CF 1。

EA FA
DEG 截厶 ABM T DGF 截厶 ACM T
BE AG MD EA GM DB CF AG MD FA GM DC
1 （梅氏定理） 1 （梅氏定理）
A
2、过△ ABC 的重心G 的直线分别交
5、已知△ ABC 中，/ B=2 / C 。

求证:
【评注】梅氏定理
【评注】梅氏定理
CG 相交于一点。

【分析】
【评注】塞瓦定理
3、D 、E 、F 分别在△ ABC 的 BC 、
匹圧些,AD 、BE 、
DC FB EA
【分析】
4、以△ ABC 各边为底边向外作相似的等腰厶
BCE 、△ CAF 、△ ABG 。

求证： AE 、BF 、
-可编辑-
【分析】过A 作BC 的平行线交△ ABC 的外接圆于D ，连结BD 。

则CD=DA=AB , AC=BD 。

由托勒密定
理，
AC • BD=AD • BC+CD • AB 。

【评注】托勒密定理
6、已知正七边形 A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7。

【分析】
【评注】托勒密定理
1. △ ABC 的BC 边上的高 AD 的延长线交外接圆于 P ,作
PE 丄AB 于E ,延长ED 交AC 延长线于F 。

求证： BC • EF=BF • CE+BE • CF 。

【分析】
求证:
1 A 1A 3
A 1A 4。

（第 21 届全苏数学竞赛）
4
A 5
4
A 5
-可编辑-
K
【评注】西姆松定理(西姆松线)
【分析】
【评注】面积法
3. O ABC 内一点，分别以 d a 、d b 、d e 表示O 至U BC 、CA 、AB 的距离,
R b 、R e 表示O 到A 、B 、C 的距离。

求证：(1) a -aR b -d +e -d ;
(2) a a 逊c - d + b ・c ； (3) R a +R b +R c 》2(d a +d b +d c ) o
【分析】
2.正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 分别被内分点
M 、N 分成的比为AM : AC=CN
CE=k ，且
B 、 M 、N 共线。

求 k 。

( 23-IMO-5 )
以R a 、
C
B
A
-可编辑-
【评注】面积法
4. △ ABC 中，H 、G 、O 分别为垂心、重心、外心。

求证：H 、G 、O 三点共线，且 HG=2G0 。

（欧拉线）
【分析】
【评注】同一法
N ，延长CM 交AB 于E 。

【分析】
【评注】对称变换
5.
△ ABC 中，AB=AC , AD 丄 BC 于 D , BM 、 BN 三等分/ ABC ，与AD 相交于 M 、
求证:
MB//NE 。

AG 2=GC • GD 。

【分析】
【评注】平移变换
7. C 是直径 AB=2的O O 上一点，P 在厶ABC 内，若PA+PB+PC 的最小值是、门,
求此时△ ABC 的面积S 。

【分析】
【评注】旋转变换
费马点：已知 0是厶ABC 内一点，/ AOB= / BOC= / COA=120 °;P 是厶ABC 内
C'
6. G 是厶ABC 的重心，以
AG 为弦作圆切 BG 于G ,延长CG 交圆于D 。

求证:
B'
-可编辑-
P'
A
D
G
G'
任一点，求证: PA+PB+PCOA+OB+OC。

（O为费马点）
R(B, 60°) R(B, 60°) R(B, 60°)
【分析】将C C', O O' , P P',连结OO'、PP'。

则厶B OO'、A B PP'都是正三角形。

••• OO'=OB ，PP' =PB。

显然△ BO'C' 空BOC , △ BPC 经BPC。

由于/ BOC= / BOC=120 ° =180-° BO'O , • A、O、O'、C'四点共线。

• AP+PP'+PC AC'=AO+OO'+O'C' ，即PA+PB+PC > OA+OB+OC。

14 .菱形ABCD的内切圆O与各边分别交于E、F、G、H，在弧EF和弧GH上分别作
O O的切线交AB、BC、CD、DA分别于M、N、P、Q。

求证：MQ//NP 。

-可编辑-
D 0
-可编辑-
【分析】由 AB // CD 知：要证 MQ // NP ，只需证/ AMQ= / CPN ,
结合/ A= / C 知，只需证
△ AMQ ^ △ CPN
AM CP J
, AM- CN=AQ- CP 。

AQ CN
连结AC 、BD ，其交点为内切圆心 O 。

设MN 与O O 切于K ，连结OE 、OM 、OK 、
ON 、OF 。

记/ ABO= $，/ MOK=a ，/ KON= 3 ，则
/ EOM=a ，/ FON= 3 ，/ EOF=2 a +2 3 =180 °2 $ 。

••• / BON=9O ° - / NOF- / COF=9O ° 3 - $ = a
••• / CNO= / NBO+ / NOB= $ + a = / AOE+ / MOE= / AOM
• AM - CN=AO - CO
同理， AQ - CP=AO - CO 。

【评注】
15 . O O i 和O O 2与△ ABC 的三边所在直线都相切,
延长线交于 P 。

求证：PA 丄BC 。

【分析】
又/ OCN= / MAO ,• △ OCN MAO ，于是 AM
C
O
AO CN ，
E 、
F 、
G 、
H 为切点，EG 、FH 的
【评注】
16.如图，在四边形ABCD中，对角线
在CD上取一点E, BE与AC相交于F,
G。

求证：/ GAC= / EAC 。

证明：连结BD交AC于H。

对△ BCD用塞瓦定理，可得C?
GB 因为AH是/ BAD的角平分线, 由角平分线定理,
可得电HD AB，故AB
AD GB AD
DE
EC
过C作AB 的平行线交AG的延长线于I，过C作AD 的平行线交AE的延长线于J。

则竺GB
CI DE
AB，EC
AD
CJ
CI 所以亠丄
AB AB
AD
AD
CJ 从而
CI=CJ。

又因为CI//AB ,CJ//AD ，故/ ACI= n - / BAC= n - / DAC= / ACJ。

C
BH HD DE EC
因此，△ ACI ◎△ ACJ ，从而/ IAC= /
JAC ,即/ GAC= / EAC 。

17.已知 AB=AD , BC=DC , AC 与
BD 交于O ,过O 的任意两条直线 EF 和
GH 与四边形 ABCD 的四边交于 E 、F 、G 、
H 。

连结GF 、EH ,分别交BD 于M 、N 。

求证：OM=ON 。

（ 5 届 CMO ）
三线共点。

逆定理）。

E'G BH' FK
S OE'G S OBH ' S OFK OE'sin OB sin OF
=1 OE' GB H'F KE' = S OGB S OH'F S OKE ' OBsi n OFsi n 注：筝形：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。

对应于99联赛2 :/ E'OB= / FOB ，且E'H'、GF 、BO 三线共
点。

求证：/ GOB= / H'OB 。

事实上，上述条件是充要条件， 且M 在OB 延长线上时结论仍
然成立。

证明方法为：同一法。

证明：作△ EOH S （AC ） △ E 'OH ', 则只需证 E'、M 、H'共线，即 E'H'、BO 、GF
记/ BOG= a
,/ GOE'= 3。

连结E'F 交BO 于K 。

只需证 E'G GB BH' FK =1 （Ceva H'F KE' C D C D F
O
蝴蝶定理：P 是O O 的弦AB 的中点，过 P 点引O O 的两弦CD 、EF ,连结DE 交
又 FF'丄 GH , AN 丄 GH FF' // AB 。

二 / F'PM+ / MDF'= / FPN+ / EDF' =/ EFF'+ / EDF'=180 ° , P 、M 、D 、F'四点共圆。

二 / PF'M= / PDE= / PFN 。

•••△ PFN ◎ △ PF'M , PN=PM 。

【评注】一般结论为：已知半径为 R 的O O 内一弦AB 上的一点P ,过P 作两条相
交弦CD 、EF ,连CF 、ED 交AB 于M 、
N ，已知 0P= r , P 至U AB 中点的距离为 a ,则
1 1
PM PN 2a R 2 r 2。

AB 于M ，连结 MP=NP 。

•/ PF
【分析】设GH 为过P 的直径，F
S(GH ) S(GH) PF', PA S(GH) F'F ,显然'€O O 。

又 P € GH PF'=PF 。

PB ,「. / FPN= / F'PM , PF=PF'。

CF 交AB 于N 。

求证:。