《实数和二次根式》全章复习与巩固(提高)

《实数与二次根式》全章复习与巩固一、目标与策略 姓名：明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.● 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.● 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. ● 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.● 5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.● 6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. ●7.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.学习策略：●本章的概念、公式比较多，有难于理解，因此熟记概念和公示是本章的难点和重点；● 要注意知识点的相互联系,二次根式的化简一定要注意被开方数小于0的这种情况，主要依据是公式(0)0(0-a(a a a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩）0)．● 多举出实例，让学生通过例子自己去归纳总结平方根的性质和正数、零、负数的平方根的情况，理解负数没有平方根.二、学习与应用1．若n 个非负数之和为零，则每个非负数必定同时为 2．36的平方根是 ,算术平方根是 ,81的算术平方根是 ;3． 在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是 （ ）A3和18 B 3和31 C b a 2和2ab D1+a 和1-a4． 下列二次根式中，与2是同类二次根式的是 （ ）A8 B 10 C 12 D 27“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？5．已知012=-++bba，求ab的值要点一、平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有个平方根，且互为；零的平方根为；负数没有；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22aaaaaaaaa333333)(aaaaaa-=-==要点二、无理数与实数有理数和统称为实数.1.实数的分类<实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称，无限不循环小数叫做数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如5，32等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成形式.2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个要点梳理——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：#91410#427795与之对应. 3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为 数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即 ≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即 ≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (0a ≥).非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值 ； （2）有限个非负数之和仍是 数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于 . 4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、 开方、再乘除 ，最后算 .同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在 范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应 ，在数轴上表示的两个数，右边的数总比 边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而 ；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.要点三、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如 的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是 ，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质（1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a2()a = （0a ≥），如222112(2);();()33x x ===（0x ≥）. （2） 2a 中a 的取值范围可以是任意 ，即不论a 取何值，2a 一定有意义.（3）化简2a时，先将它化成a，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）2a 与2()a的异同不同点：2a中a可以取任何，而2()a中的a必须取；2a=a ，2()a=a（0a≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 取非负数时，2a =2()a.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或；（2)被开方数中不含能开方的或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如222,,3,ab x a b+等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到后，看被开方数是否相同，再判断.如2与8，由于8=22，2与8显然是同类二次根式.要点四、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd⋅=.（2）被开方数a b、一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)49-⨯-≠-⨯-.2.加减法将二次根式化为根式后，将同类二次根式的系数相，被开方数和根指数，即合并同类二次根式.类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-类型一、有关方根的问题例1、已知31233-+-+-=xxxy，求yx2的值.【思路点拨】由被开方数是非负数，分母不为0得出x的值，从而求出y值，及yx2的值.【总结升华】________________________________________________________________.举一反三：【变式1】已知322+-+-=xxy，求x y的平方根。

【变式2】若373-x和334y+互为相反数,试求x y+的值。

例2、已知M是满足不等式63<<-a的所有整数a的和，N是满足不等式2237-≤x的最大整数．求M＋N的平方根．【总结升华】_________________________________________________________________．类型二、与实数有关的问题例3、已知a是10的整数部分，b是它的小数部分，求()()323a b-++的值．【思路点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.通过估算10的整数部分是3，那么它#7728#390965典型例题——自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．更多精彩内容请学习网校资源ID：#91415#427795的小数部分就是103-，再代入式子求值.【总结升华】__________________________________________________________________. 举一反三： 【变式】 已知5＋11的小数部分为a ，5－11的小数部分为b ，则a ＋b 的值是 ；a －b 的值是_______.例4、阅读理解，回答问题.在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据 命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有 效的方法：若a －b ＞0，则a ＞b ；若a －b ＝0，则a ＝b ；若a －b ＜0，则a ＜b . 例如：在比较21m +与2m 的大小时，小东同学的作法是：∵()()2222111mm m m +-=+-=∴221mm +>请你参考小东同学的作法，比较43与2(23)+的大小.【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小.【总结升华】____________________________________________________________. 举一反三：【变式】实数a 在数轴上的位置如图所示，则2,1,,a aa a -的大小关系是： ； 0-1a类型三、实数综合应用例5、阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算13的近似值.小明的方法：∵91316<<，设133k =+（01k <<）.∴22(13)(3)k =+.∴21396k k =++.∴1396k ≈+.解得 46k ≈.∴4133 3.676≈+≈. 问题：（1）请你依照小明的方法，估算41的近似值；（2） 请结合上述具体实例，概括出估算m 的公式：已知非负整数a 、b 、m ，若1a m a <<+，且2m a b =+，则m ≈_________________(用含a 、b 的代数式表示)；（3）请用（2）中的结论估算37的近似值.【总结升华】________________________________________________________________.类型四、二次根式概念及运算 例6、.把根号外的因式移到根号内，得( ).A ．B ．C ．D ．【总结升华】_________________________________________________________________. 举一反三： 【变式】25(03)x x --（2x+1）＜＜..例7、已知a b c 、、为△ABC 的三边长，化简【总结升华】____________________________________________________________________. 例8、 若0x >，化简___________x xy xy y xy yx xy+-+=+-.【总结升华】________________________________________________________. 举一反三：【变式】当22211221123a a a a a a a a -+-+=---+时，求的值.三、测评与总结要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．知识点：《实数与二次根式》全章复习与巩固（提高）测评系统分数：模拟考试系统分数：如果你的分数在85分以下，请进入网校资源ID ：#91407#427762 进行巩固练习，如果你的分数在85分以上，请进入网校资源ID ：#91440#427795 进行能力提升．我的收获课前收获课后总结习题整理题目或题目出处所属类型或知识点分析及注意问题好题成果测评现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试．自我反馈学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理．如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流．错题注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录．○网○校○重○要○资○源知识导学：《实数与二次根式》全章复习与巩固（提高）（#427795 ）对本知识的学案导学的使用率：□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）□ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）□ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学．。