2015年北京高考文科数学真题及答案

强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。
7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）.
A.1 B.
C.
D.2
【答案】C 【难度】中等 【点评】本题考查等几何图形形状。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章《几何体的直观图与 三视图》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三视图相关知识的总结讲解，有几乎一 致的题目解析。
于是 a1 4, 所以 an a1 (n 1)d 2n 2
（2） b2 a3 8, b3 a7 16
从而 q 2, b6 b2.q4 128
令 an 2n 2 128 得到 n 63
【难度】简单 【点评】本题考查数列综合题目的求解。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章《数列》有详细 讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解。
由于 MO 平面 MOC ，MO 平面 MOC,MO∥BV 得到 VB∥平面 MOC
因为 AC=BC,D 为 AB 的中点，所以 CO⊥AB
因为 AB=平面 VAB 平面 ABC
所以 CO⊥平面 ABV
又因为 OC 平面 MOC，所以平面 MOC⊥平面 ABV
（3） S△ABC
1. 2
2.
2 1
8.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为
A.6 升 B.8 升 C.10 升 D.12 升
【答案】B 【难度】中等 【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章《函数》有详细讲 解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。
10.2-3,3 ,log25 三个数中最大数的是____________.
【答案】log25 【难度】中等 【点评】本题考查函数的计算。在高一数学（文）强化提高班上学期，第三章《函数综合》中有详细讲解， 其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总 结讲解。
=1(b>0)的一个焦点，则 b=____________.
【答案】 3
【点评】本题考察双曲线离心率计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 1，第三章《圆锥曲线与方程》
有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识 的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有对椭圆的专题讲解。 13.如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D，P（x，y）为 D 中任意一点，则 z=2x+3y 的最大值为 ____________.
sin x 3 cos x 3 2sin(x ) 3
3
故周期为 2π
（2）因为 0 x 2 ，所以 x
3
3
3
所以 f(x)的最小值为 f ( 2 ) 3 3
【难度】中等
【点评】本题考查三角函数的计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 2，第六章《三角函数》中有详
从这次考试成绩看， 甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是
【答案】①乙②按照全年级排名答案为语文靠前，按照班级排名答案为数学靠前； 【难度】中等 【点评】本题考查统计问题。在高二数学（文）下学期程讲座，第五章《统计》有详细讲解，其中第 01 讲， 是统计专题讲解，有完全相似的题目讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对统计相关知识的总 结讲解。
P 300 1 1000 3
（3）同时购买乙的人数为 200 人，同时购买丙的人数为 600 人，同时购买丁的人数为 100 人，从而丙的可 能性更大。 【难度】中等 【点评】本题考查概率、期望、方差的计算。在高二数学（文）强化提高班下学期，第六章《概率》有详 细讲解，其中第 04 讲主要讲解“高考中的概率题”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（文）强 化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。
19.（本小题 13 分）
设函数 f（x）= 2 -k ln ,k>0 2
（I）求 f（x）的单调区间和极值； （II）证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间（1， ）上仅有一个零点。 【答案】
（1）f '(x) x k (x＞0） x
令 f ' (x) 0 得 x k , x k （舍）
三、解答题（共 6 题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
15.（本小题 13 分）
已知函数 f（x）= sin x 2 3 sin2 2
（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求
f（x）在区间
0,
2 3
上的最小值。
【答案】
（1）
f (x) sin x 2 3 1 cos x 2
11.在△ABC 中，a=3,b= , A= ， B=____________.
【答案】 4
【难度】较难 【点评】本题考查三角函数的计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 2，第六章《三角函数》中有详 细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。
12.已知（2，0）是双曲线
20.(本小题 14 分) 已知椭圆
,过点
且不过点
的直线与椭圆 交于 两点，直线 与直
.
（1）求椭圆 的离心率； （II）若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率； （III）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由。 【答案】
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9.复数 i（1+i）的实数为____________. 【答案】-1 【难度】简单 【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（文）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其 中第 02 节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结 讲解。
连结 VO,则 VO 垂直于 AB,AB=平面 VAB
平面 ABC
所以 VO⊥平面 ABC
因为 AB=2，所以VO 3
所以VV ABC
1 .1. 3
3
3 3
【难度】较难
【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及直线与平面所成角的求解。在高一数学强化提高班下学期 课程讲座 2，第四章《立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、寒假特训班中有对立 体几何相关知识的总结讲解。
2015 年北京高考文科数学真题及答案
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.若集合 A=｛x|－5＜x＜2｝，B=｛x|－3＜x＜3｝，则 A B=（ ）. A. 3＜x＜2 B. 5＜x＜2 C. 3＜x＜3 D. 5＜x＜3 【答案】A 【难度】简单 【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第一章《集 合》中有详细讲解，其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（文）强化提高班中有 对集合相关知识的总结讲解.
有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。
4.某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，
青年教师有 320 人，则该样本的老年人数为（ ）.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A.90 B.100 C.180 D.300
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
【答案】7 【难度】较难 【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 1，第五章《不等式》有详细讲 解，其中第 06 讲，是线性规划的专题讲解，有完全相似的题目讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班 中有对线性规划相关知识的总结讲解。 14.高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名 情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。
细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。
16.（本小题 13 分） 已知等差数列{ }满足 + =10， - =2. （Ⅰ）求{ }的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{ }满足
，
；问： 与数列{ }的第几项相等？
【答案】
根据 a1 a2 10, a4 a3 2 得到 2a1 d 10 且 d=2
17.（本小题 13 分）
某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下统计表，其中“√”
表示购买，“×”表示未购买。
商品
甲
乙
丙
丁
顾客人数
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率
可知：x 在 (0, k ) 上单调减 极小值为 f ( k ) k (1 ln k)
2 若 k=e,则 f ( e ) 0
且在 (0, e ) 单调递减，所以只有一个零点
若 k＞e ，则 f ( e) e k ＜0 2
且在 (0，e) 单调递减，当 x 0时，f (x)＞0
所以只有一个零点 【难度】中等 【点评】本题考查函数的性质及其应用的综合性问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第三章《函 数综合》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、寒假特训班中有对函数的单调性和极值相关 知识的总结讲解。
18.（本小题 14 分） 如图，在三棱锥 E-ABC 中，平面 EAB ⊥平面 ABC，三角形 EAB 为等边三角形，AC⊥ BC,且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,EA 的中点。 求证:EB//平面 MOC. 求证：平面 MOC⊥平面 EAB 求三棱锥 E-ABC 的体积。
【答案】 （1）因为 M,O 分别为线段 AV 和 AB 的中点，所以 MO 为△ABV 的中位线，从而有 MO∥BV
在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面
解析几何专题》也有对圆的专题讲解。
3.下列函数中为偶函数的是（ ）.
A.y=x²sinx B.y=x²cosx
C.Y=|ln x|
D.y=2x
【答案】B
【难度】简单
【点评】本题考查判断函数的相关性质、图像。在高一·数学（文）强化提高班下学期，第一章《函数》
青年教师
1600
合计
4300
【答案】C
【难度】中等
【点评】本题考查统计问题。在高二数学（文）下学期程讲座，第五章《统计》有详细讲解，其中第 01 讲，
是统计专题讲解，有完全相似的题目讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对统计相关知识的总
结讲解。
5.执行如果所示的程序框图，输出的 k 值为
A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【难度】较难 【点评】本题考查几何概率的计算方法。在高二数学（文）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详 细讲解，其中第 02 讲有完全相似的题目。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对程序框图题目相关的 总结讲解。 6.设 a，b 是非零向量，“a·b=IaIIbI”是“a//b”的（ ）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】中等 【点评】本题考查常用逻辑用语。在高二数学（文）强化提高班上学期，第五章《常用逻辑用语》有详细 讲解，其中第 01 讲主要讲解“常用逻辑推理基础知识”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（文）
2.圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）.
A.（x－1）2+（y－1）2=1
B.（x+1）2+（y+1）2=1
C.（x+1）2+（y+1）2=2
D.（x－1）2+（y－1）2=2
【答案】D
【难度】简单
【点评】本题考察圆的一般方程式。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 1，第九章《圆》有详细讲解，
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
【答案】
（1）从表格可以得到同时购买乙和丙的人数为 200 人，由于总人数为 1000 人，
所以概率为 P 200 1 1000 5
（2）顾客可能同时购买甲、乙、丙或者同时购买甲、乙、丁或者甲、丙、丁或者乙、丙、丁，从而概率