(完整word版)高等数学辅导讲义

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高等数学教案word版

高等数学教案word版篇一：高等数学上册教案篇二：《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。

函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。

高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。

一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。

2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。

（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。

[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。

（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。

(2)值域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。

例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。

高等数学辅导讲义

第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。

2.求数列极限和函数极限。

3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。

4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、求分段函数的复合函数例1 (1988, 5分) 设2(),[()]1x f x e f x xϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。

解: 由2()x f x e =知2()[()]1x f x e xϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤.例2 (1990, 3分) 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.练习题: (1)设1,1,()0,1,(),1,1,xx f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x ,并作出这两个函数的图形。

(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、求数列的极限方法一利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。

性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。

性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。

性质3(收敛数列的保号性) 如果lim nn xa→∞=,且0a >(或0a <),那么存在0n N+∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim nn n n xa yb →∞→∞==那么(1)()lim nn n xy a b →∞±=±;(2)lim nn n xy a b→∞∙=∙;(3)当0()nyn N +≠∈且0b ≠时,limn n nx a y b→∞=.例3 若 lim nn xa→∞=,则 limn n x a→∞=.注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)nnx =-, 显然1limn n x →∞=,但数列(1)nnx=-没有极限。

(完整word版)《高数专升本讲义》第一至第五章

第一章函数、极限、连续首先请允许我做一个自我介绍.我叫周世国，郑州大学数学系副教授，从事大学数学教学研究十三年,从事《高数》专升本教学五年。

普通高校的专科生,最大的愿望就是希望通过“专升本”来提高自己的学历层次,弥补因高考的一次失误而不能进入本科层次深造的遗憾.由于全国各专科院校专业设置繁杂，没有统一标准，各省市设置的考试方案各不相同。

河南省设置考试两门课程:一门是公共大学英语（150分）；一门是专业基础课程（150分）。

《高数》是大学理工类专业的基础课程，也是河南省普通高校“专升本”理工类专业的必考课程。

但该课程抽象性强,某些内容对于那些高中阶段数学基础薄弱的学生有一定难度。

例如对某些概念理解不透，运算技巧掌握不好等.因此，很多同学都希望通过参加“《高数》专升本”培训班来大力提升自己的数学水平。

在这里我恭喜大家明智地选择了耶鲁外语学校08《高数》专升本培训班，因为它是郑州最具实力和盛名的“《高数》专升本”培训班。

耶鲁自举办《高数》专升本培训班以来，其学员高数科目100分以上的占到80％，历年来全省高数的最高分都出自耶鲁学员,达到140多分.耶鲁外语为什么能取得如此优异的成绩？我想可从以下两个方面找到原因:（一）耶鲁学校有一支教学经验丰富，教学态度认真负责的较为稳定的教师队伍。

这些老师对《高数》专升本考试的考试大纲、每章节重点、难点的分布，题型题量的布局，卷面分值的比例，出题思想及其动态等都了如执掌，做到知己知彼，百战不殆.（二）耶鲁诚实办学的品牌效应，使越来越多的同学们毫不犹豫地作出了正确的选择，并认真地贯彻老师的要求，使自己的《高数》水平有了质的提升。

可以这样说：踏进耶鲁们，美梦定成真。

老师的最大成就莫过于看到自己的学生有进步。

记得去年我教的一个女孩叫梅婷,架着双拐来上课,后来考上了河南中医学院，还特发短信向我报喜.《高数》专升本考试的题型、题量及考察的知识点,分值的分布相对固定,近几年的考卷具有明显的连续性和强烈的可参考性。

高等数学教材讲义

高等数学教材讲义第一章导数与微分1.1 导数的定义与性质在这一节中，我们将介绍导数的定义及其基本性质。

导数是描述函数变化率的重要概念，它与切线的斜率密切相关。

我们将详细解释导数的定义，并通过例题演示如何求取导数。

1.2 常见函数的导数本节将探讨一些常见函数的导数计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及其他一些常见函数。

我们将给出这些函数的导数公式，并通过具体例子进行说明和求解。

1.3 高阶导数在这一节中，我们将讨论高阶导数及其应用。

高阶导数描述了函数变化率变化的速度，它可以帮助我们更全面地理解函数的性质。

我们将介绍高阶导数的定义和计算方法，并通过实例说明如何应用高阶导数解决实际问题。

第二章积分与定积分2.1 不定积分与原函数这一节我们将引入不定积分的概念，并介绍原函数的定义及其计算方法。

不定积分是求解定积分的重要步骤，它可以帮助我们找到函数的原始形式。

我们将详细解释不定积分的定义和性质，并通过实例演示如何求取原函数。

2.2 定积分的概念与性质在这一节中，我们将介绍定积分的概念和性质。

定积分描述了函数在一定区间内的累积变化量，它可以用来计算曲线下的面积、求解平均值等。

我们将详细讲解定积分的定义和性质，并通过例题演示如何求解定积分。

2.3 定积分的计算方法本节将讨论定积分的计算方法，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。

这些方法可以帮助我们解决各种形式的定积分问题。

我们将给出这些方法的具体步骤，并通过实例演示如何应用它们求解定积分。

第三章微分方程3.1 微分方程的基本概念在这一节中，我们将介绍微分方程的基本概念和分类。

微分方程是描述变量之间关系的方程，它在自然科学和工程技术中具有广泛应用。

我们将详细解释微分方程的定义和分类，并通过例题演示如何求解微分方程。

3.2 常微分方程本节将讨论常微分方程的求解方法。

常微分方程是最常见的微分方程类型之一，它描述了未知函数及其导数之间的关系。

(完整版)高等数学工专讲义

接下来我们就开始学习高等数学了，或许在学习的过程中我们会感觉乏味无味，可是我相信只需我们努力，我们必定能达到成功的此岸。

常量与变量变量的定义我们在察看某一现象的过程时，常常会碰到各样不一样的量，此中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是能够取不一样的数值，我们则把其称之为变量。

注：在过程中还有一种量，它固然是变化的，可是它的变化相对于所研究的对象是极其细小的，我们则把它看作常量。

变量的表示假如变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。

在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。

区间的名区间的知足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示称闭区间a≤x≤b[a ， b]开区间a＜ x＜ b（a，b）半开区间a＜x≤b或 a≤x＜ b （ a， b] 或 [a ， b）以上我们所述的都是有限区间，除此以外，还有无穷区间：[a ，+∞) ：表示不小于 a 的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；(- ∞， b) ：表示小于 b 的实数的全体，也可记为：- ∞＜ x＜ b；(- ∞， +∞) ：表示全体实数，也可记为：- ∞＜ x＜+∞注：此中 - ∞和 +∞，分别读作" 负无量大 " 和 " 正无量大 ", 它们不是数 , 只是是记号。

邻域设α与δ是两个实数，且δ＞ 0. 知足不等式│x - α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ 邻域，点α 称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。

函数函数的定义假如当变量x 在其变化范围内随意取定一个数值时，量y 依据必定的法例总有确立的数值与它对应，则称y 是 x 的函数。

变量 x 的变化范围叫做这个函数的定义域。

往常x叫做自变量， y 叫做因变量。

注：为了表示y 是 x 的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示. 这里的字母"f" 、"F" 表示 y 与 x 之间的对应法例即函数关系,它们是能够随意采纳不一样的字母来表示的.注：假如自变量在定义域内任取一个确立的值时，函数只有一个确立的值和它对应，这类函数叫做单值函数，不然叫做多值函数。

《高数讲义》

第一章函数极限连续一．求函数的定义域具体函数求定义域的例子就不举了. 例1.设()()1ln 2,3f x x x=+--求（1）()f x 的定义域；（2）()ln f x 的定义域；（3）()()()0f x a f x a a ++->的定义域。

解：（1）()2,3.D =（2）()23,.e e （3）()12,3,0.2a a a ⎛⎫+-<<⎪⎝⎭练习．设()f x 的定义域为[]01，，求()()()1,ln ,sin f x f x f x -的定义域. 要牢记函数的两个要素：定义域和对应法则. 例2．判断下列两组函数是否是同一函数： ()()21,;xx g x x==（）f x ()()221,sin cos .g x x x ==+（2）f x二．求函数的表达式例3．设241,1x f x x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭求()f x .解：此种题型的常规解法是设元法，即令1,t x x=-反解得到(),x x t =再代入原式，得()....f t =，再将t 的记号全换为.x 但此法只适用于简单函数，要学会直接凑成的方法. 因为222111112f x x x x x x ⎛⎫-== ⎪⎝⎭⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭,所以，()21.2f x x =+例4．设sincos ,2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭求cos .2x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭解：要做此题，要求大家熟记几个三角恒等式。

至少要记住两个倍角公式和三个“1”公式。

因为2sincos 12sin ,22x xf x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以，21cos cos 12cos 1 2.cos .222x x x f x +⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭例5．设()()22,0,,0,2,0.,0.x x x x g x f x x x x x -≤⎧≤⎧==⎨⎨+>->⎩⎩ 求()g f x ⎡⎤⎣⎦.解：首先把()f x 作整体看待()()()()()22,0,2,02,0.2,0.fx f x x x g f x f x f x x x -≤⎧+>⎧⎪==⎡⎤⎨⎨⎣⎦+>+≤⎪⎩⎩，三．关于函数的几种特性（重点是奇偶性的判别）例6．设()f x 在(),l l -上有定义，证明：()()()2fx f x g x +-=为偶；而()()()2fx f x h x --=为奇.要记清两个知识点：（1）函数为奇或偶的必要条件是其定义域关于原点对称；如没有指明定义域，则默认为(),.-∞+∞比如：()()2,1,2f x x x =∈-就是非奇非偶函数；（2）奇偶函数的图形特征.结论：()()()f x g x h x =+，即一个定义在对称区间上的函数必表为奇+偶的形式. 例7．设0x ≥时，()()1,f x x x =-且()f x 在(),.-∞+∞内为奇函数，求()f x . 解：由于()f x 在(),.-∞+∞内为奇函数，所以，()()f x f x -=-，(),.x ∀∈-∞+∞又当0x <时，()()()()()11.f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=+⎣⎦ 所以，()()()1,0,1,0.x x x f x x x x +<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩关于周期函数，请大家记住一个结论。

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第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。

2.求数列极限和函数极限。

3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。

4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、求分段函数的复合函数例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。

解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。

高数辅导讲义

高数辅导讲义引言高等数学作为一门基础学科，对于理工科学生来说具有重要的地位。

然而，由于其抽象、理论性强以及计算方法繁琐等特点，很多学生都觉得高数难以理解和掌握。

因此，本讲义旨在通过系统的学习和辅导，帮助读者掌握高等数学的基本概念、理论和计算方法，提高其对高数的理解和应用能力。

一、基础概念1.1 实数与复数实数是指包括有理数和无理数的全体数。

有理数包括整数、分数和有限小数，无理数包括无限不循环小数，如π和√2等。

复数由实部和虚部组成，形如a+bi，其中a和b均为实数，i为虚数单位。

1.2 函数和极限函数是一种特殊的关系，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。

极限是函数的重要概念，用于描述自变量无限接近某个数值时，函数取值的变化趋势。

1.3 导数和微分导数是描述函数变化快慢的工具，表示函数在某一点处的变化率。

微分是导数的几何意义，用于刻画函数曲线的切线斜率。

二、重要理论2.1 微分中值定理微分中值定理是微分学中的一组重要定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

它们揭示了函数在一定条件下的性质和规律，应用广泛。

2.2 泰勒展开泰勒展开是将函数用无穷多项式逼近的方法，利用一阶导数和高阶导数来描述函数的性质。

泰勒展开在数学分析以及物理、工程等领域都有广泛的应用。

三、计算方法3.1 极限的计算计算极限是高等数学的基本技能之一，有多种方法可以计算极限，如代数运算法、夹逼定理、洛必达法则等。

3.2 导数的计算导数的计算是高数中的重要内容，通过基本导数公式和求导法则，可以计算各种函数的导数，如多项式函数、三角函数、指数函数等。

3.3 积分的计算积分是导数的逆运算，也是高数中的重要概念和计算方法。

凭借基本积分公式和换元积分法、分部积分法等技巧，可以计算各种函数的积分。

四、应用领域4.1 物理学中的应用高等数学在物理学中有广泛的应用，如描述物体运动的微积分、解析几何在力学中的应用等。

4.2 工程学中的应用工程学中的各种应用问题，如电路分析、信号处理、控制系统等，都离不开高等数学的支持和应用。

《高等数学》辅导1

x
x

lim arctan x ,
x
2

lim arctan x .
x
2
定理3 lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A.
x x0
x x0
x x0
几个极限不存在的例子
lim
e
1 x
,
lim
arctan
1
,
而 lim y lim 1 , x1 x1 ln x
x 1是曲线的铅直渐近线.
例12 设函数
f
(x)

lim
n
x2n1 x x2n 1
,
求出 f ( x) 的解析表达式.
重要结果
0,

lim
qn

,
n
1,
不存在,
q 1 q 1 q1 q 1
n
n2 n n
n2 n n 1 1
lim n sin
lim n
lim
n
,
n
n2 1 n
由夹逼定理
n2 1
n
1

1 n2
nlim sin

sin n2 1
sin
n2 2

n2

n

则在U( x0 , )内,有f ( x) 0(或f ( x) 0);

(2)若在U( x0 , )内有f ( x) 0(或f ( x) 0),
则必有A 0(或A 0).
例1
若lim xa
f
(x) f (a) ( x a)2

(完整word版)高等数学复习资料大全(word文档良心出品)

《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

(完整word版)高数上册复习讲义

第一章微积分的基本思想——极限（复习）一、基础知识1. 数列的极限（当n →∞时数列的敛散性态）数列{}n x 收敛，则①极限唯一；②数列整体有界；③数列元素局部保号；④子列也收敛于同一极限。

若数列{},{},{}n n n x y z 从某一项开始满足n n n y x z ≤≤且lim lim n n n n y z a →∞→∞==，则l i m n n x a →∞=（数列的夹逼准则）。

若数列{}n x 单调增加且有上界，或者{}n x 单调减少且有下界，则此数列一定收敛有极限。

（单调有界数列必收敛）。

2．函数的极限（当0 x x x →→∞或时函数的敛散性态）函数0() f x x x x →→∞当（或）收敛于A ，即0lim ()x x f x A →=，则①极限唯一；②函数局部有界；③函数局部保号；④收敛于0x 的任一数列{}n x 构成的函数列{()}n f x 也收敛于同一极限A 。

注意：0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==，所以对于分段函数而言有时需要注意讨论左右极限是否存在且相等。

3. 无穷小无穷小的概念（若0lim ()0x x f x →=，则称0()f x x x →是时的无穷小）lim ()(),lim 0.x x x x f x A f x A αα→→=⇔=+=且有限个无穷小的加、减、乘法是无穷小。

有界函数乘以无穷小是无穷小！若0, ()x x x αβ→→∞都是时的无穷小，则lim 0lim lim (0)lim 1lim (0)k C k C ββααββααββααββααββαα⎧⇔=⎪⎪⎪⇔=∞⎪⎪⎪⇔=≠⎨⎪⎪⇔=⎪⎪⎪⇔=≠⎪⎩是比高阶的无穷小是比低阶的无穷小是的同阶无穷小与等价是的阶无穷小 4. 极限的求法（1）极限的四则运算（注意必须在极限都存在的前提下，且做除法运算时分母极限不为零）（2）无穷小的概念（已知0()f x x x →是时的无穷小，则0lim ()0x x f x →=）（3）无穷小的运算（有界函数乘以无穷小是无穷小，有限个无穷小的加、减、乘法是无穷小）（4）两个重要极限0sin 1lim1, lim(1)e x x x x x x→→∞=+=可以推广到()()0()sin ()1lim 1, lim (1)e ()()x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ→→∞=+=或者10lim(1)e x x x →+= （5）等价无穷小替换乘除法因子： 0x →时的等价无穷小：12sin , arcsin , tan , arctan ,111cos , (1) 1 , ln(1), e 12xn x x x x x x x x xx x x x x xn-+-~+-一定要注意等价无穷小的使用条件（在无穷小的情况下用且只能对乘除法因子使用！）要学会相应的推广！即当()0x ϕ→时有sin ()(), ln(1())()x x x x ϕϕϕϕ+等。

高等数学教材辅导讲义

高等数学教材辅导讲义第一章导数与微分一、导数的定义与运算法则在这一部分，我们将详细介绍导数的定义以及一些常见运算法则。

导数的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，若极限存在，且该极限与 x0 的取值无关，我们称该极限为函数 f(x) 在点 x0 处的导数。

记为：f'(x0) 或 dy/dx |x=x0。

运算法则：1. 基本导数的四则运算法则2. 复合函数的导数3. 高阶导数......二、微分与微分近似在这一部分，我们将介绍微分的概念以及利用微分进行近似计算的方法。

微分的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 处可导，那么称dx=f'(x0) Δx 为函数 f(x) 在点x0 处的微分，记作 dy。

微分近似：对于函数 y=f(x) 在点 x0 处，若已知 f'(x0)，我们可以利用微分进行近似计算。

1. 微分的基本性质2. 一阶微分近似计算3. 高阶微分近似计算......第二章积分与定积分一、定积分的定义与性质在这一部分，我们将介绍定积分的定义以及相关的性质。

定积分的定义：设函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上有界，在该区间上的任意分割为 {x0, x1, ..., xn}，选取分割 {x0, x1, ..., xn} 中的任意样本点{ξ1, ξ2, ..., ξn}，当最大的分割长度max(Δxi)→0 时，若极限存在，且与样本点的选取无关，那么称该极限为函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分。

记为：∫[a,b] f(x)dx 或∫ab f(x)dx。

性质：1. 定积分的可加性2. 定积分的线性性质3. 定积分的性质与区间的变换......二、定积分的计算方法在这一部分，我们将介绍一些常见的定积分计算方法。

1. 分部积分法2. 第一类换元法3. 第二类换元法4. 牛顿-莱布尼茨公式......第三章无穷级数与幂级数一、无穷级数的概念与性质在这一部分，我们将介绍无穷级数的概念以及相关的性质。

(完整word版)高等数学讲义(一)

高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。

用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。

它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。

“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。

时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。

第1讲函数1.2 函数要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。

一、常量与变量先看几个例子：圆的面积公式2πr S =自由活体的下落距离2021gt t v s += 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。

变量可以视为实属集合（不止一个元素）。

二、函数的定义定义1.1 设D 是一个非空数集。

如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为)(x f y =并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。

实数集合},)(;{D x x f y y Z ∈==称为函数f 的值域。

看看下面几个例子中哪些是函数：}6,3,1{=Xf}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ⊂。

}7,6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。

}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。

}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。

由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。

高等数学辅导讲义85页注

高等数学辅导讲义85页注
【原创版】
目录
1.高等数学辅导讲义 85 页注的内容概述
2.高等数学辅导讲义 85 页注的主要知识点
3.高等数学辅导讲义 85 页注的难点解析
正文
一、高等数学辅导讲义 85 页注的内容概述
高等数学辅导讲义 85 页注主要涉及的是高等数学中的微积分部分，包括一元函数的微分和积分，以及多元函数的偏导数、方向导数和梯度等概念。

这些内容是高等数学中的基础，也是理工科专业学生必须掌握的知识点。

二、高等数学辅导讲义 85 页注的主要知识点
1.一元函数的微分和积分：一元函数的微分主要涉及到导数的概念和计算，而积分则是求解导数的逆运算。

这些知识点需要掌握导数的基本性质、求导法则以及定积分的性质和计算方法。

2.多元函数的偏导数：多元函数的偏导数是指对多个变量的函数求导时，对其中某一个变量求导的结果。

需要掌握偏导数的概念、求导法则以及偏导数在空间曲线和曲面上的应用。

3.方向导数和梯度：方向导数是指在给定向量下的函数变化率，而梯度则是方向导数的向量表示。

需要掌握方向导数和梯度的概念、计算方法以及它们在优化问题中的应用。

三、高等数学辅导讲义 85 页注的难点解析
1.导数的概念和计算：导数是高等数学中的一个重要概念，但其抽象的定义和复杂的计算方法往往使学生感到困惑。

需要通过实例和图形来帮
助学生理解和掌握导数的概念和计算方法。

2.偏导数的应用：偏导数在空间曲线和曲面上的应用是高等数学中的一个难点，需要通过大量的实例和练习来帮助学生理解和掌握。

高数辅导讲义

第六章多元函数微分学§6．1 多元函数的概念、极限与连续性甲内容要点一．多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。

二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 221y x z --=，1:22≤+y x D二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数 ()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二．二元函数的极限设()y x f ,在点()00,y x 的邻域内有定义，如果对任意0>ε，存在0>δ，只要()()δ<-+-2020y y x x ，就有()ε<-A y x f , 则记以()A y x f y y xx =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim 00,,称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值为A ，否则，称为极限不存在。

值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

三．二元函数的连续性 1．二元函数连续的概念若()()00,,lim 00y x f y x f y y x x =→→ 则称()y x f ,在点()00,y x 处连续。

高等数学辅导讲义和高等数学基础篇

高等数学辅导讲义和高等数学基础篇
高等数学辅导讲义：
1.函数与极限。

函数的概念，函数的性质，常用初等函数，极限的概念和性质，无穷
小量和无限大量，函数的极限与连续性，中值定理。

2.导数与微分。

导数的概念和性质，常用导数公式，导数的应用，微分的概念和性质，微分的应用。

3.积分。

积分的概念和性质，不定积分和定积分的计算方法，常用积分公式，
积分的应用。

4.微分方程。

微分方程的基本概念，一阶微分方程的解法，高阶微分方程的解法，
常微分方程的初值问题，线性微分方程。

5.多元函数微积分。

多元函数的概念和性质，多元函数的极限和连续性，多元函数的偏导
数和全微分，多元函数的积分和重积分，常用多元函数的积分公式。

高等数学基础篇：
1.数集和数系。

自然数、整数、有理数、实数、复数等数集和数系，数的基本性质和运算，数轴和坐标系。

2.函数与方程。

函数的概念和性质，函数图像和函数关系，函数的单调性和奇偶性，方程的概念和解法，一元二次方程和一元三次方程的根式解法。

3.数列和级数。

数列的概念和性质，等差数列和等比数列，数列极限和收敛性，无穷级数的概念和性质，收敛级数的判定方法。

4.三角函数和三角恒等式。

角度制和弧度制，三角函数的概念和性质，常用三角函数的图像和性质，三角函数和三角恒等式的应用。

5.解析几何和向量代数。

平面和空间直角坐标系，向量的概念和运算，向量的线性运算和向量的数量积、向量积，直线和平面的解析式，球面和圆锥面的解析式。