07数学分析(一)试题A及答案

2007 ～2008 学年第一学期 《数学分析（一）》课程考试试卷(A 卷)

(闭卷)

院(系) _经济学院___专业班级__________学号_________ 姓名__________

考试日期: 2008-1-17 考试时间: 19：00—21：30

一. 填空题（每小题3分，共30分） 1.

=⎰dx x x

2sin C x x x ++-|sin |ln cot .

2. 曲线233x x y +-=的拐点是 （1，2）.

3. )

11(tan )cos 1(lim

4

2

2

20

-+-→x x x e x x =___2__.

4. 设x x y 44cos sin +=，则)(n y )(+∈N n =)2

4cos(4

1

πn x n +

-. 5. 设1)(2++=x x x f ，在[0,2]上用Lagrange 中值定理，则中值ξ=_1__. 6. Riemann 函数在每个有理点都间断，在每个无理点都连续. 7. 设,021k b b b <<<< 则n n

k n

n

n b b b +++∞

→ 21lim =k b .

8. 设2

211x x x

y -+=， 则=dy dx x x x y )121(

4

-+. 9. 函数x x x u sin 1tan 1)(--+=当0→x 时的无穷小主部是x .

10. 设)(x f 在+

R 内可微且4)]()(2[lim ='++∞

→x f x f x ，则=+∞

→)(lim x f x 2

二. 举例说明下列命题是错误的(每小题3分，共15分. 需要简单说明)

1．非常值周期函数必有最小正周期.

Direchlet 函数. 因为任意正有理数都是它的周期.

2．设函数)(x f 在区间I 上有间断点，则)(x f 在I 上不存在原函数.

⎪⎩⎪⎨⎧

=≠-=0,00

,1cos 21sin 2)(22x x x

x x x x f ，在x=0处间断，但在任何区间)0(I I ∈上有原函数⎪⎩

⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(22

x x x x x F . 3. 设函数)(x f 在),0[+∞上有定义，且在),0(+∞内有0)(>'x f ，则对一切的0>x ，有)0()(f x f >.

只要在x=0处不右连续的函数即可说明.

4. 若()f x 在(,)a b 内可导，且()()f a f b =，则必存在(,)a b ξ∈，使得

()0f ξ'=.

函数)10(,)(<≤=x x x f ，0)1(=f .

5. 若数列}{n x 满足：,,0N ∃>∀ε 当N n >时有ε<-+||1n n x x ，则}

{n x 为基本数列.

发散数列n

x n 1

21

1+

++= ，},1][,1max{,01-=>∀-εεN 取 :N n >∀则 ε<+=

-+1

1

||1n x x n n .

三. 计算题（每小题6分，共18分）

1. 求不定积分⎰

dx e

x x

.

解： 令x t =

，

（1分）则⎰⎰=dt e t dx e x t x

22 （3分）

⎰-=dt te e t t t 422 （4分）C e te e t dt te e t t

t t t t ++-=-=⎰4424222. 6分

2. 求极限()

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡---+∞→1lim 412x e x x x x .

解：原式(

)

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+-

-+++-=--+∞→))(211())(21

11(lim 44

22

2

2

x o x x x o x x x x x 3分

.21

)(21

2121lim 2

2-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=+∞→x o x x x 6分

3．求极限.lim )

1(0

-→+

x

x

x x

解：因为

ln 00

lim(1)ln lim(1)ln x x x

x x x x e x +

+

→→-=-2

)(ln lim x x x +→=20ln lim 01x x

x

+→=== 4分

所以.1lim lim 0ln )1(0)

1(0===-→-→+

+

e e x x

x

x x

x x

x

6分

四. （每小题6分，共12分）

1．用极限的定义证明3

2

121lim 221=---→x x x x .

证：对1≠x ，有

|12|3|

1|)12(31321213

212122+-=++-=-++=----x x x x x x x x x 2分

限制1|1|0<---≥+-=+x x x ， 4分

对0>∀ε，取}3,1m i n

{εδ=，则当δ<-<|1|0x 时，

ε<----3

212122x x x . 由极限的定义，32121lim 221=

---→x x x x . 6分

2. 证明2

sin x 在),0[+∞上不一致连续. 证：取N n n x n x n n ∈=+

=

,2,2

2"'

ππ

π， （3分） 则

0)(lim "

'=-∞

→n n n x x ，但

01))2sin()2

2(sin(lim ))()((lim "

'

≠=-+

=-∞

→∞

→ππ

πn n x f x f n n n n . 5分

故，证明2

sin x 在),0[+∞上不一致连续. 6分 五. 应用题 (7分)

某商店每天向工厂按出厂价每件3元购进一批商品零

售。若零售价定为每件4元，估计销售量为400件；

若一件售价每降低0.05元，则可多销售40件。问每件售价应定为多少和从工厂购进多少件时，才可获得最大利润？最大利润为多少元？（假设销售量等于进货量）

解：设利润为L ，进货量为x 件，售价为P 元/件，则利润为x P L )3(-=. （1分） 据题意进货的增加量与售价的降低量是成比例的，其数量关系如下表：