高二第一学期数学试题
高二数学试卷附答案解析
高二数学试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线近似地刻画其相关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ）A ．线性相关关系较强，的值为3.25B ．线性相关关系较强，的值为0.83C ．线性相关关系较强，的值为-0.87 D．线性相关关系太弱，无研究价值 2.已知函数在上满足，则曲线在处的切线方程是( )A ．B ．C ．D ．3.关于复数，给出下列判断： ①；②；③；④.其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.直线被圆截得的弦长等于（ ）A ．B ．C ．D ．5.已知函数的导数为，（）A． B． C． D．6.7.设椭圆与函数的图象相交于两点，点为椭圆上异于的动点，若直线的斜率取值范围是，则直线的斜率取值范围是（）A． B． C． D．8.已知实数、满足约束条件,则的最大值为( ) A．24 B．20 C．16 D．129.设满足约束条件，则目标函数的取值范围为（）A． B． C． D．10.设，，则是成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11.数列的通项公式，则该数列的前（）项之和等于。
A． B． C． D．12.已知等差数列的公差为，且成等比数列，则等于（）A．-4 B．-6 C．-8 D．813.下列命题中，真命题是（）A．B．C．的充要条件是D．是的充分条件14..已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,f(x)=a x×g(x)，(a>0且a¹1),,在有穷数列{}(n=1,2,¼,10)中,任取正整数k(1£k£10),则数列{}前k项和大于的概率是( )A． B． C． D．15.函数的图象在点处的切线的斜率等于（）A． B．1 C． D．16.设等差数列的前项和为，若，则（）A．63B．45C．36D．2717.设，，则的大小关系（）A． B． C． D．18.若a，b在区间［0，］上取值，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的概率是()A． B． C． D．1-19.“有些指数函数是减函数，是指数函数，所以是减函数”上述推理（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．以上都不是20.（）A． B． C． D．二、填空题21.设n 为正整数，f (n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)> ，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为_________________．22.若函数存在有零点，则m的取值范围是__________；23.200辆汽车经过某一雷达测速地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于的汽车数量为_________.24.已知数列的前项和，则数列的通项公式为___________.25.下列几个命题：①方程有一个正实根，一个负实根，则；②和表示相同函数;③ 函数是非奇非偶函数; ④方程有两解，则其中正确的有___________________. 26. 双曲线上的点P 到点（5，0）的距离为8．5，则点P 到左准线的距离为___ ____．27.函数的图象如图2所示，则。
高二数学试卷带答案解析
高二数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知变量和满足关系，变量与正相关.下列结论中正确的是（ ）A ．与正相关，与负相关B ．与正相关，与正相关C ．与负相关，与负相关D ．与负相关，与正相关2..若椭圆交于A ，B 两点,过原点与线段AB中点的连线的斜率为，则的值是( )3.关于空间两条直线、与平面，下列命题正确的是（ ） A ．若，则 B ．若，则 C ．，则 D ．若则4. 抛物线的准线方程是A ．B ．C ．D ．5.如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角等于（ ） A ．B ．C ．D ．6.已知在R上开导，且，若，则不等式的解集为（）A． B． C． D．7.函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8.若，则下列结论一定正确的是A． B． C． D．9.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）A．B．C．D．10.下表是之间的一组数据，则的线性回归直线必过点A．B．C．D．11.已知函数，则（）A．32 B．16 C． D．12.给出函数的一条性质：“存在常数，使得对于定义域中的一切实数均成立”，则下列函数中具有这条性质的函数是（）A． B． C． D．13.已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于A．4 B．3 C．2 D．14.下列命题中错误的是A．如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面D．如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面15.如右图的流程图，若输出的结果，则判断框中应填A． B． C． D．16.已知直线与椭圆相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（）A． B． C． D．217.已知各项为正数的等比数列中，，，则等于（）A．B．7C．6D．18.用数学归纳法证明由到时，不等式左边应添加的项是（）A．B．C．D．19.a,b,c成等比数列是b=的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件20.现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（）A．1 m B．1.5 m C．0.75 m D．0.5 m二、填空题21.对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是；22.已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是________(填所有真命题的序号)．①(¬p)∨q；②p∧q；③p∨q；④(¬p)∨(¬q)．23.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________．24.设f(x)是定义在R上的函数.且满足，如果25.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为________．26.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 *** .（用数字回答）K^S*5U.C#O27.已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为 cm3．28.如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)．如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法的种数共有种.29.已知有限集．如果中元素满足，就称为“复活集”，给出下列结论：①集合是“复活集”；②若，且是“复活集”，则；③若，则不可能是“复活集”；④若，则“复合集”有且只有一个，且．其中正确的结论是．（填上你认为所有正确的结论序号）．30.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则直线的倾斜角。
河南省高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 50x +=A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线可化为 50x +=y x =则斜率，满足， tan k α==α0180α≤<︒所以倾斜角为. 150︒故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（ ）A ．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 1-2-2-1-B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误； 对于选项C ，当时，，故C 错误；1n =120a =≠对于选项D ，因为123a a a =====4a ==…，所以数列的一个通项公式为D 正确. n a =故选：D3．已知直线l 过点且方向向量为，则l 在x 轴上的截距为（ ） ()3,4-()1,2-A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即2k =-0y =可得到本题答案.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， l ()1,2-2k =-又直线过点，所以直线方程为，即， l ()3,4-42(3)y x -=-+220x y ++=令，得，所以在x 轴上的截距为-1. 0y ==1x -l 故选：A4．已知，“直线与平行”是“”的（ ）m ∈R 1:0l mx y +=22:910l x my m +--=3m =±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线与平行1:0l mx y +=22:910l x my m +--=则， 210=91m m m ≠--所以， 29m =解得，3m =±经检验，均符合题意， 3m =±故选：C.5．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则{}n a 5a 14a 232()=--x x x f 381116a a a a +++=（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， 232()=--x x x f 2320x x --=1x 2x ∴， 51412331a a x x -+=+=-=∵数列为等差数列， {}n a ∴， 3168115143a a a a a a +=+=+=∴. 3811166a a a a +++=故选：B.6．已知圆关于y 轴对称的圆与直线相切，则m 的值为（ ）221:230C x y x ++-=2C x m =A ．B ．3C ．或3D ．1或1-1-3-【答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方2C 程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆，可得标准方程，圆心为，半径， 221:230C x y x ++-=22(1)4x y ++=(1,0)-2r =故关于轴对称的圆的圆心为，半径，则其标准方程为， y 2C (1,0)2r =22(1)4x y -+=又因为圆与直线相切，所以圆心到切线的距离等于半径， 2C x m =即，解得或. 12m -=1m =-3m =故选：C7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） {}n a 13n n a a +=11a =-{}2n a n +5A ． B ． C ． D ．151-91-91151【答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可. {}n a 【详解】∵数列满足，且， {}n a 13n n a a +=11a =-∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 1-3∴，11133n n n a --=-⨯=-∴数列的前项和为，{}2n a n +5()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+.91=-故选：B.8．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率22221(0)x y a b a b +=>>()3,2-22132x y -=为（ ）A B C D 【答案】C【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即225a b -=22941a b +=22,a b e =可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为22132x y -=12(F F ，则①， 2225c a b =-=又椭圆过点，所以②， ()3,2P -22941a b +=结合①，②得，，2215,10a b ==所以， e ==故选：C9．已知圆与圆的公共弦长为2，则m 的值为221:2220C x y x y +-+-=222:20(0)C x y mx m +-=>（ ）A B ．C D ．332【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解. 【详解】联立和, 222220x y x y +-+-=2220x y mx +-=得，由题得两圆公共弦长，(1)10m x y -+-=2l =圆的圆心为，半径， 221:2220C x y x y +-+-=(1,1)-r 2=圆心到直线(1,1)-(1)10m x y -+-=，===平方后整理得,， 2230m -=所以 m m =故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列满足，，设其前n 项和为，若，则{}n a 121a a ==21++=+n n n a a a n S 2021S m =2023a =（ ） A ． B ．mC ．D ．1m -1m +2m 【答案】C【分析】由斐波那契数列满足，归纳可得，令{}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+21m m a S +=+2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列满足， {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以，321a a a =+， 432211a a a a a =+=++， 5433211a a a a a a =+=+++……， 21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 则. 2023202111a S m =+=+故选：C11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，M ，N 分1111ABCD A B C D -13D D =别是，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（ ）11B CA B C D 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值P MP 域，即可得到本题答案.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z 间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，，所以， 13D D =(1,2,3)M ∵点在平面上，∴设点的坐标为，P xOy P ()[],,0,0,1x y y ∈∵在上运动，∴，∴，∴点的坐标为， P DN 2AD x y AN==2x y =P (2,,0)y y==∵，∴当时， 取得最小值. []0,1y ∈45y =MP 故选：D12．已知双曲线C ：l 与C 相交于A ，B 两2221(0)y x b b-=>点，若线段的中点为，则直线l 的斜率为（ ） AB ()1,2NA ．B ．1CD ．21-【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.l 【详解】因为双曲线的标准方程为，2221(0)y x b b-=>所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， (,0)c 0bx y -=所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，d =2222(1)b c b =+22b =所以双曲线的标准方程为，2212y x -=设，所以①，②， 1122(,),(,)A x y B x y 221112y x -=222212y x -=①-②得，，222212121()()02x x y y ---=化简得③，121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=因为线段的中点为，所以， AB ()1,2N 12122,4x x y y +=+=代入③，整理得， 1212x x y y -=-显然，所以直线的斜率. 1212,x x y y ≠≠l 12121y y k x x -==-故选：B二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，AB AC ABk AC = (3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，解得，，∴． 124348x y -+==-12x =-4y =-2xy =【解析】空间三点共线．14．已知抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于点M ，且，则22(0)x py p =>2x =2MF =p =_______. 【答案】2【分析】先求点的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得的值.M p 【详解】把代入抛物线标准方程，得，2x =22(0)x py p =>2(2,)M p 根据抛物线的定义有，，化简得，，解得. 222p MF MH p==+=244p p +=2p =故答案为：215．已知点，点为圆上的任意一点，点在直线上，其中为坐标原(1,1)--P M 22:1C x y +=N OP O点，若恒成立，则点的坐标为______.|||MP MN =N【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设和的坐标，由，列等式，利用点在圆上，点在直线上，NM |||MP MN =M N OP 化简得恒成立的条件，求得点的坐标.N 【详解】易知直线的方程为，由题意可设，OP 0x y -=00(,)N x x 设，则可得，由，可得(,)M x y ''221x y ''+=||||MP MN 22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-， 2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++则，化简得，2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦200(24)()41x x y x ''++=-即，[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=若恒成立，则，解得，故.|||MP MN =0120x +=012x =-11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 2F 28y x =焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若，且，则的面积为122PF PF -=1260F PF ∠=︒12F PF △_______. 【答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式12PF PF ⋅，即可得到本题答案. 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠A 【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以， 2F 28y x =2(2,0)F 124F F =设，则，1122,PF r PF r ==122r r -=因为，所以， 22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠22121212162r r r r +-⨯=则，解得，21212()16r r r r -+=1212r r =所以，. 12121sin 602F PF S r r =︒=A故答案为：三、解答题17．已知数列满足，且点在直线上.{}n a 11a =111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭2y x =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和. 1n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1) 121n a n =-(2) 21nn + 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得到数列的通项公式；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）根据（1）中数列的通项公式，可写出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法即可{}n a {}n b 求得前n 项和.n T 【详解】（1）由题意得，即， 1112n n a a +=+1112n n a a +-=所以数列是首项为，公差为2的等差数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =故，即. 1112(1)21n n n a a =+-=-121n a n =-（2）由（1）知，11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭. 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+18．已知的顶点坐标分别是，，. ABC A ()3,0A ()1,2B ()1,0C -(1)求外接圆的方程；ABC A (2)若直线l ：与的外接圆相交于M ，N 两点，求. 3480x y +-=ABC A MCN ∠【答案】(1) 22(1)4x y -+=(2) 60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点，求出方程组的解，即可得到本题答案； ,,A B C （2）先求出圆心到直线的距离，即可得到，然后求出，即可得到本题答MN 30PMN ∠=︒MPN ∠案.【详解】（1）设圆的一般方程为：，， 220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->代入点得，(3,0),(1,2),(1,0)A B C -，解得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆的一般方程为：， 22230x y x +--=标准方程为：.22(1)4x y -+=（2）圆心到直线的距离，(1,0)P :3480l x y +-=d 又因为，在等腰中，， 2PM =PMN A 30PMN ∠=︒所以圆心角，则.260120MPN ∠=⨯︒=︒60MCN ∠=︒19．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD ，，，且P ABCD -PA ⊥AD BC ∥AB BC ⊥，.1AB AP BC ===2AD =(1)求证：平面；CD ⊥PAC (2)若E 为PC 的中点，求与平面所成角的正弦值.PD AED 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证，，由此即可证得平面； AC CD ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAC （2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公(0,2,1)PD =- AED ()1,0,1n =- 式，即可求得本题答案. sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ 【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.CF AD ⊥F ABCF 所以，又1CF AF DF ===CD ==AC ==因为，所以.222AC CD AD +=AC CD ⊥因为平面，平面，所以.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，平面，平面，所以平面.AC PA A ⋂=AC ⊂PAC PA ⊂PAC CD ⊥PAC（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间A ,,AB AD AP 直角坐标系，则，，，，. ()0,0,0A ()0,0,1P ()1,1,0C ()0,2,0D 111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，. (0,2,0)AD = (0,2,1)PD =- 111(,,)222AE = 设平面的法向量为，AED (),,n x y z = 由，得， 00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令，可得平面的一个法向量为.1z =AED ()1,0,1n =- 设与平面所成角为，PD AED θ则sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅====⋅ 20．已知抛物线：（）的焦点为，过上一点向抛物线的准线作垂线，垂足C 22y px =0p >F C P 为，是面积为.Q PQF △(1)求抛物线的方程；C (2)过点作直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：()1,0M -l C A B FA FB 1k 2k .120k k +=【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边的长，再求出中的长，即可求出QF Rt FQN A FN 的值，从而求出抛物线的标准方程；p （2）设过的直线方程，与抛物线方程联立，借助，坐标表示，化简证明即可.M A B 12k k +【详解】（1）如图所示，的面积 PQF △1sin 602PQF S PQ PF =︒A ∴， 4PF PQ QF ===设准线与轴交于点，则在中，， x N Rt FQN A 906030FQN ∠=︒-︒=︒∴， 122p FN QF ===∴抛物线的方程为.C 24y x =（2）由题意知，过点的直线l 的斜率存在且不为，()1,0M -0∴设直线的方程为：（），l l ()1y k x =+0k ≠直线的方程与抛物线的方程联立，得，消去y 整理得， l C 2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，()2222240k x k x k +-+=当，即时，设，， ()2242440k k ∆=-->()()1,00,1k ∈-⋃()11,A x y ()22,B x y 则，， 212224k x x k =-+-121=x x 由第（1）问知，，()1,0F ∴直线的斜率，直线的斜率， FA 1111y k x =-FB 2221y k x =-∴. ()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+∴原命题得证.21．已知数列满足，且.{}n a 12n n a a +=12314++=a a a (1)求的通项公式；{}n a (2)设，数列的前n 项和为，若对任意的，不等式2n n b n a =⋅{}n b n T n *∈N ()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)2n n a =(2) 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出12n n a a +={}n a 2q =12314++=a a a ，即可得到本题答案；1a （2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为n T ()2224844n n T n n λ++-≥-，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案. 2112n n λ-≥2112n nn c -=【详解】（1）因为，所以是公比为2的等比数列， 12n n a a +={}n a 所以，故，1231112414a a a a a a ++=++=12a =故.2n n a =（2），1222n n n b n n +=⋅=⋅则，23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= 两式相减得，，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 因此. 2(1)24n n T n +=-⋅+由，可得，所以， ()2224844n n T n n λ++-≥-222844n n n n λ+⋅≥-2112nn λ-≥该式对任意的恒成立，则. n *∈N max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，则， 2112n n n c -=()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，6n ≤10n n c c +->{}n c 7n ≥10n n c c +-<{}n c所以当时，， 7n =()max 3128n c =所以实数λ的取值范围是. 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．已知椭圆M ：的短轴长为. 22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且共线，求直线AB 的()1,1Q -,AB CD 斜率.【答案】(1)22193x y +=(2) 13【分析】（1）由短轴长可求出可求出，由此即可求得本题答案； 23b =29a =（2）设点，因为共线，可设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ== ，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案. 13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩24241(1)xx y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩【详解】（1）因为短轴长为，b =23b =因为离心率，所以，可得， e 2222213c b a a =-=2213b a =29a =所以椭圆M 的方程为. 22193x y +=（2）设.()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 设，则，即， AQ QC λ= 13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩代入椭圆方程，得， ()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=即① ()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭同理可得② ()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭由②-①，得， 11229393x y x y -=-所以，()12123y y x x -=-所以直线AB 的斜率. 121213y y k x x -==-【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键. ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ==。
北京市顺义区2023-2024学年高二上学期10月考试数学试题含解析
顺义2023-2024学年度第一学期高二年级10月考试数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一.单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知向量()1,2,1a = ，()1,0,4b =- ，则2a b +=（）A.()1,2,9- B.()1,4,5- C.()1,2,7- D.()1,4,9【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解.【详解】∵()1,2,1a =，()1,0,4b =- ∴()21,2,9a b +=-故选：A.2.空间四边形ABCD 中，AB a = ，BC b =，AD c =uuu r r，则CD等于（）A.a b c +-B.c a b--C.a b c-- D.b a c-+【答案】B 【解析】【分析】根据向量的三角形法则，即可求解.【详解】如图所示，根据向量的运算，可得()CD BD BC AD AB BC a b c =-=--=--+.故选：B.3.已知空间向量(,1,2),(,1,1)a b λλ=-= ，则“1λ=”是“a b ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当1λ=时，(1,1,2),(1,1,1)a b =-= ，所以0a b ⋅= ，即a b ⊥，故充分；当a b ⊥时，0a b ⋅= ，即2120λ+-=解得1λ=±，故不必要；故选：A【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及空间向量的数量积运算，属于基础题.4.已知向量(1,2,1),(3,,)a b x y =-=，且//a b，那么||b =（）A. B.6C.9D.18【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设b ka =，即(3，x ，)(1y k =-，2，1)，分析可得x 、y 的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，向量(1a =- ，2，1)，(3b = ，x ，)y ，且//a b ，则设b ka =，即(3，x ，)(1y k =-，2，1)，则有3k =-，则6x =-，3y =-，则(3b = ，6-，3)-，故||b =故选：A ．5.已知{},,a b c 是空间的一个基底，在下列向量中，与向量a b + ，a b -一定可以构成空间的另一个基底的是（）A.aB.bC.cD.23a b- 【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.【详解】解：对于A 选项，()()1122a ab a b =++-，故不能构成空间的另一个基底；对于B 选项，()()1122b a b a b =+--，故不能构成空间的另一个基底；对于C 选项，不存在,R x y ∈使得()()c x a b y a b =++-成立，故能构成空间的另一个基底；对于D 选项，假设存在,R x y ∈使得()()23a b x a b y a b -=++- ，则23x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得1252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()()152322a b a b a b -=-++-，故不能构成空间的另一个基底；故选：C6.在空间直角坐标系中，点(2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点为B ，则OA OB ⋅=A.10-B.10C.12- D.12【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据点 (2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点(2,1,3)B ，求得,OA OB的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解.【详解】由题意，空间直角坐标系中，点(2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点(2,1,3)B ，所以 =(2,1,3),(2,1,3)OA OB -= ,则22(1)13312OA OB ⋅=⨯+-⨯+⨯=，故选D.【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是()A.()1,1- B.()(),11,∞∞--⋃+C.[]1,1- D.][(),11,∞∞--⋃+【答案】D 【解析】【详解】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031---=﹣1，PB 的斜率为2031--=1，∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.8.正方体不在同一表面上的两顶点()1,2,1A --，()3,2,3B -，则正方体的体积是（）A.4B.C.64D.【答案】C 【解析】【分析】先根据题意可知AB 是正方体的体对角线，利用空间两点的距离公式求出AB ，再根据正方体的棱长求出体积．【详解】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点()1,2,1A --，()3,2,3B -，∴AB 是正方体的体对角线，AB ==，∴正方体的棱长为4，正方体的体积为64．故选：C ．9.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，已知PA a = ，PB b = ，PC c = ，12PE PD =，则BE = （）A.131222a b c -+ B.111222a b c ++C.131222a b c--+ D.113222a b c--+ 【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA a = ，PB b = ，PC c = ，12PE PD =，所以()()111222BE BP BD PB BA BC =+=-++()()111111222222PB BA BC PB PA PB PC PB=-++=-+-+-131131222222PA PB PC a b c =-+=-+．故选：A ．10.在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为线段AC 的中点，点E 在线段11A C 上，则直线OE 与平面11A BC 所成角的正弦值的范围是（）A.33,43⎣⎦B.23,33⎣⎦C.11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.11,32⎡⎤⎢⎣⎦【答案】B【解析】【分析】设正方体边长为2，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，后由空间向量知识可得OE 与平面11A BC 所成角的正弦值的表达式，即可得答案.【详解】设正方体边长为2，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系.则()()()()()110,0,0,2,0,2,0,2,2,2,2,0,1,1,0D A C B O .因点E 在线段11A C 上，设111A E A C λ=，[]0,1λ∈.则()()()()11112,0,2,2,2,0,0,2,2,1,1,0DA A C A B DO ==-=-=，()1111122,2,2DE DA A E DA A C λλλ=+=+=- ，()12,21,2OE λλ=--.设平面11A BC 法向量为(),,n x y z =，则111220220n A C x y n A B y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取()1,1,1n = .设OE 与平面11A BC 所成角为θ，则sin cos ,OE n θ===.注意到()221443422f λλλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()()(){}1max 0,12f f f f λ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭()[]2,3sin ,33f λθ⇒∈⇒∈⎣⎦.故选：B二.填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.与向量()1,2,2a =-方向相同的单位向量是______．【答案】122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由与a方向相同的单位向量是a a可计算求得结果.【详解】3a ==，122,,333a a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，即与向量()1,2,2a =-方向相同的单位向量是122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭.12.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC的坐标为________【答案】(4,3,2)-【解析】【详解】如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为1DB的坐标为(4,3,2)，所以()()14,0,0,0,3,2A C ,所以1(4,3,2)AC =-.13.若过点P (1－a,1＋a )与点Q (3,2a )的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－2,1)【解析】【详解】试题分析：由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a 的取值范围．解：∵过点P （1-a ，1+a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0，210(1)(2)02131a a a a a a--∴<⇔-+<⇔-<<-+，故答案为21a -<<考点：直线的斜率公式点评：本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系．14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点B 到直线1AC 的距离为_________．【答案】3【解析】【分析】连接1AC ，过B 作1BH AC ⊥，则BH 即为所求，由三角形等面积计算求解.【详解】解：如图，连接1AC ，过B 作1BH AC ⊥，则BH 即为点B 到直线1AC 的距离，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面1BC ，1AB BC ∴⊥，在直角1ABC 中，11⨯=⨯AB BC AC BH ，且11=1,AB BC AC ，所以=3BH ，点B 到直线1AC 的距离为3.故答案为：63.15.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别是正方形ABCD 和11BB C C 的中心，点P 为正方体表面上及内部的点，若点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，则满足条件的所有点P 构成的图形的面积是______．【答案】2【解析】【分析】因为点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，所以点A ，M ，N 三点共面，只需要找到平面AMN 与正方体表面的交线即可．【详解】因为点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，所以点A ，M ，N 三点共面，又因为M 和N 分别是矩形ABCD 和11BB C C 的中心，所以1CN B N =，AM MC =，连接MN ，1AB ，则1//MN AB ，所以1AB C V 即为经过A ，M ，N 三点的平面与正方体的截面，故P 点可以是正方体表面上线段1AB ，1B C ，AC 上的点．所以所有点P 构成的图形的面积为1sin 6022︒=．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知直线l 1过点A (1，1)，B (3，a )，直线l 2过点M (2，2)，N (3+a ，4).（1）若l 1//l 2，求a 的值；（2）若l 1⊥l 2，求a 的值.【答案】（1）（2）0a =.【解析】【分析】（1）由直线平行知斜率相等，建立等量关系得解.（2）由直线垂直知斜率积为-1，建立等量关系得解.【详解】解：设直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2.（1）因为111312a a k --==-，所以2k 存在且2422321k a a -==+-+.因为12l l //，所以12k k =，即1221a a -=+，解得5a =±.当5a =±时，AM BM k k =，所以A，B ，M 不共线，则5a =±符合题意.（2）112a k -=，①当1a =时，12120,1,0k k k k ===，不符合题意；②当1a ≠时，10k ≠，因为12l l ⊥，所以2k 存在且()2211k a a =≠-+，则121k k =-，即12121a a -⋅=-+，解得0a =.17.如图，在平行六面体.1111,ABCD A B C D -中11,AB AD AA ===1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，设向量1,,.AB a AD b AA c === （1）用a b c、、表示向量1,;DB A C （2）求1.A C 【答案】（1）DB a b =- ，1AC a b c =+-（2）12A C =【解析】【分析】（1）利用空间向量的基本定理与空间向量的线性运算可得出1AC 关于a b c、、的表达式；（2）由（1）知1AC a b c =+- ，利用空间向量数量积的运算可求得.【小问1详解】DB AB AD a b =-=- ，111A C AC AA AB AD AA a b c =-=+-=+- ；【小问2详解】由（1）知1AC a b c =+- ，由已知可得1a b c === ，211cos 602a b b c c a ︒⋅=⋅=⋅=⨯=所以1A C == 18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，1PD AB ==，E 是PB 的中点.（1）求直线BD 与直线PC 所成角的余弦值；（2）求证：PC ⊥平面ADE（3）求点B 到平面ADE 的距离.【答案】（1）12（2）证明见解析（3）2【解析】【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值；（2）利用数量积坐标运算得线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直；（3）利用点到平面距离向量公式直接计算即可.【小问1详解】以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系.由题意()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1P ，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线BD 与直线PC 所成的角为θ，因为(1,1,0)BD =-- ，(0,1,1)PC =- ，所以1cos 222BD PC BD PCθ⋅==⨯⋅ ，所以直线BD 与直线PC 所成角的余弦值为12；【小问2详解】因为(1,0,0)DA = ，(0,1,1)PC =- ，111(,,)222DE = ，所以10010(1)0DA PC ⋅=⨯+⨯+⨯-= ，11101(1)0222DE PC ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以,PC DA PC DE ⊥⊥，又,,DA DE D DA DE ⋂=⊂平面ADE ，所以PC ⊥平面ADE ；【小问3详解】由（2）知，(0,1,1)PC =- 为平面ADE 的一个法向量，设点B 到平面ADE 的距离为d ，则d 为向量DB 在向量(0,1,1)PC =- 上的投影的绝对值，由(1,1,0)DB = ，得1222DB PC d PC⋅=== ，所以点B 到平面ADE 的距离为22.19.在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为矩形，AC ⊥平面11BCC B ，D ，E 分别是棱11,AA BB 的中点.（1）求证：//AE 平面11B C D ；（2）若12AC BC AA ===，求直线AB 与平面11B C D 所成角的正弦值.【答案】（1）答案见详解（2）1010【解析】【分析】（1）由棱柱的性质证得四边形1AEB D 是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求直线AB 与平面11B C D 所成角的正弦值.【小问1详解】在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，且11AA BB =，因为D ，E 分别是棱11,AA BB 的中点，所以1//AD B E ，且1AD B E =,所以四边形1AEB D 是平行四边形，所以1//AE DB ,又AE ⊄平面11B C D ，1DB ⊂平面11B C D ，所以//AE 平面11B C D .【小问2详解】分别以1,,CA CB CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，由题意得()()()12,0,0,0,2,0,0,2,2A B B ，()()10,0,2,2,0,1C D ，所以()2,2,0AB =- ，()110,2,0C B = ，()12,0,1C D =- ，设平面11B C D 的法向量为(,,)n x y z =，则11100n C B n C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020y x z =⎧⎨-=⎩，令1x =，则0y =，2z =，于是(1,0,2)n =，所以()cos ,10n AB n AB n AB ⋅==- ，所以直线AB 与平面11B C D所成角的正弦值10.20.如图1，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E 分别是AC，AB 上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2．(1)求证：A 1C⊥平面BCDE；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．【答案】（1）略（2）4π(3)见解析【考点定位】此题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答．第三问的创新式问法，难度非常大【解析】【详解】试题分析：（1）证明A 1C ⊥平面BCDE ，因为A 1C ⊥CD ，只需证明A 1C ⊥DE ，即证明DE ⊥平面A 1CD ；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE=D∴A1C⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）∴，设平面A1BE法向量为则∴∴∴又∵M（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）∴∴CM与平面A1BE所成角的大小45°（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]∴，设平面A1DP法向量为则∴∴假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，,,60AC AD AB BC BCA ∠⊥⊥=︒，2AP AD AC ===，E 为CD 的中点，M 在AB 上，且2AM MB = ，（1）求证：//EM 平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；（3）点F 是线段PD 上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF 与AC 所成角为45︒，求AF 的长．【答案】（1）证明见解析（2）7（3【解析】【分析】（1）由已知可得,,AD AC AP 两两垂直，所以以A 为坐标原点，以,,AD AC AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，通过向量证明线线平行，再证明线面平行即可；（2）分别求出相关平面的法向量后，再运用夹角公式计算即可；（3）根据已知条件求出点F 的坐标，再计算长度即可．【小问1详解】证明：因为PA ⊥平面ABCD ，,AD AC ⊂平面ABCD ，所以,PA AD PA AC ⊥⊥，因为AC AD ⊥，所以,,AD AC AP 两两垂直，所以以A 为坐标原点，以,,AD AC AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为,,60AC AD AB BC BCA ∠⊥⊥=︒，2AP AD AC ===，E 为CD 的中点，M 在AB 上，且2AM MB = ，所以3(0,0,0),(0,2,0),(,0),(,1,0),223A CB M --(0,0,2),(1,1,0),(2,0,0)P E D ．所以(1,0,0),(0,2,0),EM AC == 所以0EM AC ⋅= ，所以AC EM ⊥，又AC AD ⊥，所以//EM AD ，又EM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//EM 平面PAD ．【小问2详解】3(0,2,2),(,2)2PC PB =-=-- ．设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则有2200320022y z PC n x y z PB n -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+-=⋅=⎪⎪⎩⎩，可取(n = ，由题意，平面PAD 的一个法向量可取(0,1,0)m = ，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，则cos |cos ,|7m n θ=〈〉= ，所以平面PAD 与平面PBC所成锐二面角的余弦值为7．【小问3详解】设000(,,)F x y z ，PF PD λ= (01)λ<<，即000(,,2)(2,0,2)x y z λ-=-，可得(2,0,22)F λλ-，所以(21,1,22)EF λλ=--- ，又(0,2,0)AC = ，由题意有2cos ,2EF AC == ，化简得22310λλ-+=，解得12λ=或1λ=（舍），所以(1,0,1)F ，所以||AF =.。
浙江名校协作体2024年高二上学期开学考试数学试题+答案
2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合2{|4}A x x =<，{}|41B x x =−<≤，则A B = （ ▲ ）A.{|2}x x <B.{|21}x x −<≤C.{|41}x x −<≤D.{|42}x x −<< 2．记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（ ▲ ）A ．1BC ．2D．3．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7， 且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ▲ ）A ．两人都中靶的概率为0.12B ．两人都不中靶的概率为0.42C ．恰有一人中靶的概率为0.46D ．至少一人中靶的概率为0.74 4．已知向量12a =，b = ，若()()//a b a b λµ++，则（ ▲ ） A. 1λµ= B. 1λµ=− C.1λµ+=− D. 1λµ+= 5．已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ= 则“//n m ”是“//n α”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6. 设函数()f x x x = ，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（ ▲ ）A ．1,2727B ．1027，C ．()270，D ．()27+∞，7．已知函数()4f x x π=+ 的定义域为[],a b ，值域为，则b a −的取值范围是（ ▲ ） A ．π4π,23B ．π5π,23C ．5π5π,63D ．2π4π,33 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点， 且1A F //平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（ ▲ ） ①二面角1F AD E −−的大小为常数 ②二面角1F D E A −−的大小为常数 ③二面角1F AE D −−的大小为常数A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差 22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ▲ ） A ．极差变大 B ．中位数不变11．四面体ABCD 中,3AC BC AB ===，5BD =，4CD =，记四面体ABCD 外接球的表面积为S ， 当AD 变化时，则（ ▲ ） A. 当3AD =时，32411S=π B. 当四面体ABCD 体积最大时，28S =π C. S 可以是16π D. S 可以是100π非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数()2()57m f x mm x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是 ▲ .13．已知1,1x y >>且3log 4log 3y x =，则xxxx 的最小值为 ▲ .14．在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是 ▲ .四、解答题：(共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）．15．已知a R ∈,()(){}|20A x a x a x =++>,102x B xx −=≤ −． (Ⅰ)当0a <时求集合A ；(Ⅱ)若B A ⊆，求a 的取值范围.16．为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (Ⅰ) 估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；(Ⅱ) 估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (Ⅲ) 估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．17．已知函数()sin()cos()sin +632f x x x x πππ=+−++. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间；(Ⅱ)将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位， 得到函数()g x 的图象，若6()5g α=−，且5,612αππ∈−，求cos 2α的值.18．如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD ∠=∠=°，且PB PD ⊥， (Ⅰ)求证：BD PA ⊥；(Ⅱ)求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；(Ⅲ)若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积．19．已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数()0k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x =，则称()f x 是“反比例对称函数”.设()2816log log f x x x =⋅，()16g x ax m ax =+−.(Ⅰ)判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (Ⅱ)当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图象恰有一个交点，求m 的值；(Ⅲ)当1a >时,设()()()hx f x g x =−，已知()h x 在(0,)+∞上有两个零点12,x x ，证明：1216x x <.命题： 学军中学 温岭中学（审校） 审核：春晖中学2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分 （Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分 由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分 （Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ， 则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分 因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分 故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分 由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分 由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分 下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。
浙江名校协作体2024年高二上学期开学考试数学试题参考答案
2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分 （Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分 由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分 （Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ， 则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分 因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分 故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分 由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分 由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分 下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。
高二数学试卷带答案解析
高二数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则E 的值为（ ） A ．B ．C ．D ．2 2.根据，判定方程的一个根所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ．3.某班主任对全班50名学生进行了作业量调查，数据如下表： 总数262450根据表中数据得到，因为，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（ ） A ．B ．C ．D ．无充分根据 4.已知命题，则命题是（ ）A ．B ．C ．D ．5.如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且//平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是 ( ▲ ) A ．B ．C ．D．6.设是函数的导函数，的图象如右图所示，则的图象最有可能的是A B C D7.已知正四棱锥的各棱棱长都为，则正四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．8.将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A．66 B．48 C．36 D．309.设，若，则=（）A． B． C． D．10.执行下面的程序框图，输出的结果为( )A．9 B．27 C．18 D．3611.一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A． B． C．与所成的角为 D．与相交12.“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13.不等式的解集是( )A．B．C．D．14.已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有（）①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D的比可以是1∶2∶3∶4A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15.已知随机变量X服从正态分布，且，则（）A．0.9 B．0.1 C．0.6 D．0.416.已知椭圆的左焦点到右准线的距离为，中心到准线的距离为，则椭圆方程为 ( ）A．B．C．D．17.“”是“”的（ )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要18.函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最小值为（）A． B． C． D．19.极坐标方程表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线20.已知函数，则函数的图象是（）二、填空题21.若数列满足：则22.已知正整数满足，使得取最小值时，实数对(是23.函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的条件。
高二数学试卷带答案解析
高二数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知圆:，点是直线上一点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2.i 为虚数单位，若，则=（ ）A ．1B ．C ．D ．23.抛物线的焦点坐标是 （ ） A ．B ．C ．D ．4.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5.若是虚数单位，则乘积的值是A ．B ．C ．D ．6.已知，则下列命题为真命题的是（ ） A ．B ．C ．D ．7.在等差数列中，已知则等于（ ）A ．15B ．33C ．51D ．638.若DABC 中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，那么cosC=（ ） A ． B ． C ．D ．9.在等差数列｛｝中，已知，，则等于（ ）A ．40B ．42C ．43D ．4510.三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为（ ） A ．720 B ．144 C ．36 D ．12 11.在区间上随机取两个数，则事件“≤”的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12.数列1,2,4,8,16,32，…的一个通项公式是（ ） A ．a n =2n-1 B ．a n = C ．a n = D ．a n =13.设，若是的等比中项，则的最小值为（ ）A ．8B ．C ．1D ．414.若，则A． B． C． D．15.方程表示的曲线是（）A．一个椭圆 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆16.的值是( )A． B． C． D．17.若向量，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件18.椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（）A 8B9 C10 D1219.下列推理正确的是（）A．把与类比，则有B．把与类比，则有C．把与类比，则有D．把与类比，则有20.在中，，则的周长为（）A．B．C．D．二、填空题21.如图，在三棱柱中，侧面，且与底面成角，，则该棱柱体积的最小值为．22.设、分别为具有公共焦点、的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公共点，且满足，则的值为．23.平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．24.对于四面体ABCD，①相对棱AB与DC所在的直线是异面直线；②若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；③分别作三组对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积。
西城区2023-2024学年第一学期期末高二数学试题及答案
北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学 2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y -+=不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（ ） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz -中，点()4,2,8A -到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（ ） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（ ）C.136.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（ ）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（ ）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（ ）A.5B.C.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y -+-=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.⎡⎣B.44⎡--⎣C.22⎡--+⎣D.2⎡-+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+-m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；①不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；①异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ①三棱锥1F A DE -的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A --的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y -+=上.（1）求C 的方程；（2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y -+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：PB BD =；条件①：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学参考答案 2024.1一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩ 令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB mAB m AB m ⋅−===−⨯， 由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ， 则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C 的离心率c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=.所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x =时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,5⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD ====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩ 取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP n d n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈， 则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BMn BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=， 即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ， 得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AM k x y k x x x x +−==−−， 同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−− ()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()1212010220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立， 所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++， 解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。
福建省泉州市高二上学期期末教学质量监测数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线，则直线的倾斜角为（ ） :l y =l A ． B ．C ．D ．30 60 120 150 【答案】B【分析】设直线l 的倾斜角为，，可得，即可得出． θ0θ180<< tan θ=【详解】设直线l 的倾斜角为，． θ0θ180<<则tan θ=．60θ∴= 故选：B2．已知点P 为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则22142x y +=1F 2F 21=3PF PF 1PF =（ ）A ．BC ．1D ．312【答案】C【分析】利用椭圆的定义进行求解.【详解】因为点P 为椭圆上的一点，所以，因为，所以22142x y +=12+=4PF PF 21=3PF PF .1=1PF 故选：C.3．已知数列为等比数列，若，则数列的公比为（ ） {}n a 26182a a a a ={}n a A ．B ．C ．2D ．41412【答案】B【分析】根据给定条件，利用等比数列通项列式计算作答.【详解】设等比数列的公比为，由，得，而，解得{}n a q 26182a a a a =7111512a q a a q q a =⋅⋅10a q ≠， 12q =所以数列的公比为. {}n a 12故选：B4．三棱锥中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若，则=O ABC -OA a,OB b,OC c === OE（ ）A ．B ．1122a b c --+ 1122-++a b c C ． D ．111244a b c --+ 111244a b c ++ 【答案】D【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算表示作答.OE【详解】三棱锥中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，且，如图，O ABC -OA a,OB b,OC c ===.11111111()22222244OE OA OD OA OB OC a b c =+=+⋅+=++故选：D5．已知O （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，2），则点O 到直线BC的距离为（ ） A BCD【答案】A【分析】先求得，得到向量在方向上的投影为(2,0,0),(2,2,2)OB BC ==- OB BC ||OB BC BC ⋅=，进而求得点O 到直线的距离．BC 【详解】由O （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，2），，可得， (2,0,0),(2,2,2)OB BC ==-则向量在方向上的投影为OB BC||OB BC BC⋅==所以点O 到直线 BC =故选：A.6．已知双曲线C 的右顶点为A ，左、右焦点分别为，，以为直径22221(0,0)x y a b a b -=>>：1F 2F 12F F 的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，且，则该双曲线的离心率为（ ）1||2MFMA =A BC ．2 D1【答案】C【分析】设出双曲线半焦距，由双曲线渐近线斜率求出，再由余弦定理求出，判断cos MOA ∠||MA 形状即可求解作答.MOA A 【详解】设双曲线的半焦距为c ，直线的方程为，有，如图 C OM by x a =tan b MOA a∠=即有，而，解得， sin cos bMOA MOA a ∠=∠22sin cos 1MOA MOA ∠+∠=cos a MOA c∠==在中，由余弦定理得：MOA A ||MA b ===，因此，即有，而，则，222||||||MA OA OM +=90OAM ∠= 1||2MF MA =130MF A ∠=又，于是，1||||OM OF c ==1260MOA MF A ∠=∠=所以双曲线的离心率. ||112||cos cos 60c OM e a OA MOA =====∠故选：C7．数列满足，∀，则实数的取值范围是（ ）{}n a 114,32n n a a a +==-()*N 128n n n a a λ∈-<-，λA ． B ． (,9)-∞-(,8)-∞-C ． D ．(12,9)--(12,7)--【答案】B【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出数列的通项，再分离参数，借助数列单调性求{}n a 解作答.【详解】因为数列满足，则，而， {}n a 132n n a a +=-113(1)n n a a +-=-113a -=因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，则，即，{1}n a -11333n n n a --=⨯=31n n a =+又∀，因此对恒成立，即， ()*N 128n n n a a λ∈-<-，3327n n λ<-N n *∈2713nλ<-而数列是递增数列，则当时，，有， 27{1}3n -1n =min 27(183n-=-8λ<-所以实数的取值范围是.λ(,8)-∞-故选：B8．已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这A B P PBPAλ=0λ>1λ≠P种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线()0,0O Q ⎛ ⎝1:230l kx y k -++=，若为，的交点，则的最小值为（ ） 2:320l x ky k +++=P 1l 2l 32PO PQ +A ．B ．C ．D ．6-9-3【答案】A【分析】由直线方程可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程12l l ⊥P CD D P为，即，取()()22293x y y ++=≠-()22453x y x y ++=≠-)3y ≠-，则，结合，可得，进而求解.5,02A ⎛⎫⎪⎝⎭32PQ PA =()3222PO PQ PA PQ AQ +=+≥【详解】由已知过定点，1:230l kx y k -++=()2,3C -过定点，2:320l x ky k +++=()2,3D --因为，，所以，即，1l k k =21l k k=-121l l k k ⋅=-12l l ⊥所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，故圆心为，半径为3，P CD D ()2,0-则的轨迹方程为，即，易知O 、Q 在该圆内，P ()()22293x y y ++=≠-()22453x y x y ++=≠-又32PO ===即， )332PO y ==≠-取，则，又 5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭32PO PA ==所以()3322222PO PQ PO PQ PA PQ AQ ⎛⎫+=+=+≥= ⎪⎝⎭所以的最小值为32PO PQ +故选：A.二、多选题9．记是数列的前n 项和，且，则下列说法正确的有（ ） n S {}n a 112n a n =-A ．数列是等差数列 B ．数列是递减数列 {}n a {}n S C ． D ．当 时，取得最大值46S S =5n =n S 【答案】ACD【分析】由等差数列的定义可判断A ；求出可判断B 、C ；根据的表达式结合二次函数的46,S S n S 性质可判断D.【详解】∵，∴数列是等差数列，故A 正确；1112(1)(112)2n n a a n n +-=-+--=-{}n a ， 21()(9112)1022n n n a a n n S n n ++-===-+∵，从而，可知数列不是递减数列，故B 错误，C 正确；4624,24S S ==46S S ={}n S ∵，，∴当 时，取得最大值，故D 正确.2210(5)25n S n n n =-+=--+*N n ∈5n =n S 故选：ACD.10．已知点P 为圆上的动点，直线l 过点，过l 上一点Q 作圆O 的229O x y +=：(6,0),(0,6)A B --切线QC ，QD ，切点分别为C ，D ，则下列说法正确的有( )A ．当∠PAB 最大时，PA =B ．点P 到l 的距离的最大值为 3C ．四边形CQDO 的面积的最小值为9D ．四边形CQDO 的面积最小时，直线OQ 的方程为 220x y -+=【答案】BC【分析】选项A ，当PA 与圆相切时，∠PAB 最大；选项B ，点P 到l 最大距离为圆心到直线l O O 的距离加上半径；选项C ，D ，当时，四边形CQDO 的面积最小.OQ AB ⊥【详解】对于A ，如图1，当PA 与圆相切时，∠PAB 最大，设圆半径为，229O x y +=：O r,，A 错误；OP PA ⊥6OA =3OP r ==对于B ，由已知直线l 的方程为，当点P 到l 的距离最大时，最大距离为圆心到直线60x y ++=Ol 的距离加上半径，即为，故B 正确； 33d r +==对于C ，如图2，QC ，QD 是圆O 的切线，则，， OC CQ ⊥OD DQ ⊥四边形CQDO 的面积， 1232S OC CQ OC CQ CQ =⨯==四边形CQDO 的面积最小时，即为取最小，又，即， CQ 222OC CQ OQ +=229CQ OQ =-所以当最小时，取最小，即当时， OQ CQ OQ AB ⊥OQ d ==则，四边形CQDO 的面积的最小值为9，故C 正确；3CQ =对于D ，四边形CQDO 的面积最小时，，直线OQ 的斜率为，方程为，故OQ AB ⊥1k =0x y -=D 错误；故答案为：BC.11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过下顶点A 和右焦点的直线与E 交于2212x E y +=：1F 2F 2F 另一点B ，与y 轴交于点P ，则（ ） 1BFA ．B ． 12AF AF ⊥2BF =C ．△D ．1ABF 1430F P PB -= 【答案】ABD【分析】根据给定条件，求出焦点及下顶点坐标，画出图形，再逐项分析计算、判断作答.【详解】依题意，椭圆的焦点，下顶点，如图，22:12+=x E y 12(1,0),(1,0)F F -(0,1)A -对于A ，，因此，A 正确；12||||||OF OF OA ==12AF AF ⊥对于B ，直线，由消去y 得：，则点， 2:1AF y x =-22122y x x y =-⎧⎨+=⎩2340x x -=41(,)33B于是，B 正确；2||BF ==对于C ，的周长为，， 1ABF A r ()1121141233ABF S F F =⋅--=A因此，解得C 错误；1423⨯=r =对于D ，，设点，则，而，即有，41(,)33B 0(0,)P y 10041(1,),(,)33F P y PB y ==- 1//F P PB 143F P PB = 因此，D 正确. 1430F P PB -=故选：ABD12．正方体的棱长为2，H 为线段AB 中点，P 在正方体的内部及其表面运动，若1111ABCD A B C D -，则（ ）1HP DB ⊥A ．三棱锥的体积为定值 11P A BC -B ．若P DP =C ．正方体的每个面与P 的轨迹所在平面所成角都相等D ．正方体的每条棱与P 的轨迹所在平面所成角不都相等 【答案】ABC【分析】根据给定条件，作出点P 的轨迹所在平面截正方体所得截面，再逐项分析、计算判断作答.【详解】点O 为正方体的中心，连接，过AB 的中点H 作交BC 1111ABCD A B C D -,BD AC //HI AC 于I ，则I 为的中点，如图，BC平面，平面，有，而，1BB ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1BB AC ⊥1,BD AC BD BB B ⊥= 平面，则平面，又平面，即有，1,BD BB ⊂1BB D AC ⊥1BB D 1DB ⊂1BB D 1AC DB ⊥连接，同理，而平面，则1111,,A B BC A C 1111,A B DB BC DB ⊥⊥1111,,A B BC B A B BC =⊂ 11A BC 1DB ⊥平面，11A BC 令点P 的轨迹所在平面与正方体的棱所在直线交于点， 1111ABCD A B C D -,,,,,H I J K L M 平面平面，平面平面，而平面平面HIJKLM ABCD HI =HIJKLM 1111A B C D KL =//ABCD ，1111D C B A 于是，同理，依题意，平面，因此平面平面//KL HI //,//IJ LM HM JK 1DB ⊥HIJKLM 11//A BC ，HIJKLM 平面平面，平面平面，于是， 11A BC ⋂111BCC B BC =HIJKLM 11BCC B IJ =1//IJ BC 又为棱中点，则为棱中点，同理点分别为棱中点， I BC J 1CC ,,K L M 11111,,C D A D AA 因此点P 的轨迹为正六边形及内部，HIJKLM 对于A ，因为平面平面，则点P 到平面的距离为定值，又的面积为11//A BC HIJKLM 11A BC 11A BC V 定值，于是三棱锥的体积为定值，A 正确； 11P A BC -对于B ，P 在以点D 为半径的球面上，而点D 到正六边形DP =HIJKLM 则点P 的轨迹是该球截正六边形所得截面小圆，而点D 到平面距离HIJKLM HIJKLM112DO DB ==因此这个截面小圆半径，B 正确； r ===对于C ，由于平面平面，则正方体的每个面与平面所成角等于正方体该11//A BC HIJKLM HIJKLM 面与平面所成角，11A BC 又三棱锥是正三棱锥，即正方体的侧面，侧面，上底面与平面111B A BC -11ABB A 11BCC B 1111D C B A 所成角都相等，11A BC 又正方体的相对面平行，所以正方体的每个面与P 的轨迹所在平面所成角都相等，C 正确； 对于D ，正三棱锥的侧棱与平面所成角都相等， 111B A BC -11111,,A B B C BB 11A BC 即正三棱锥的侧棱与P 的轨迹所在平面所成角都相等，111B A BC -11111,,A B B C BB而，，， 1111/////AB CD C D A B 1111//////BC AD A D B C 1111//////AA DD CC BB 所以正方体的每条棱与P 的轨迹所在平面所成角都相等，D 错误. 故选：ABC【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题13．已知空间向量，若，则x =___________. (1,2,),(3,2,1)a x b x =-= a b ⊥【答案】1【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】空间向量，由，得，解得， (1,2,),(3,2,1)a x b x =-= a b ⊥ 340a b x x ⋅=-+=1x =所以. 1x =故答案为：114．若圆M 的圆心在直线上，且与两坐标轴都相切，则圆M 的标准方程可以为___________.y x =（写出满足条件的一个答案即可）【答案】（答案不唯一）22(1)(1)1x y -+-=【分析】由题意可设圆心为，与两坐标轴都相切可得出半径为， (,)a a ||a 列出圆的标准方程，取一个特殊值即可得出结果.【详解】因为圆的圆心在直线上，所以可设圆心坐标为， M y x =(,)a a 又因为与两坐标轴都相切，所以圆的半径为，即圆的标准方程为||a ，取，得， 222()()x a y a a -+-=1a =22(1)(1)1x y -+-=故答案为：（答案不唯一）22(1)(1)1x y -+-=15．已知P 是圆上任一点，，线段PA 的垂直平分线l 和半径CP 交于点()22:116C x y -+=(1,0)A -Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为___________.【答案】22143x y +=【分析】根据给定条件，结合图形的几何性质探求点Q 满足的关系等式，再借助椭圆的定义求出方程作答.【详解】圆的圆心，半径，点Q 在线段PA 的中垂线l 上，如图，22:(1)16C x y -+=(1,0)C 4r=有，则，||||QP QA =||||||||4||QA QC QP QC r AC +=+==>因此点Q 的轨迹是以A ，C 为焦点，实轴长的椭圆，则虚半轴长，24a=b ==所以点Q 的轨迹方程为.22143x y +=故答案为：22143x y +=16．对于数列，记：…，（其中），并称{}n a ()()()()()()()1212311112n n n nn n n n n a a +++∆∆∆=∆=∆=∆∆，，()()()111k k n n k n-+-∆∆=∆*n ∈N 数列为数列的k 阶商分数列.特殊地，当为非零常数数列时，称数列是k 阶等(){}k n ∆{}n a (){}kn ∆{}n a 比数列.已知数列是2阶等比数列，且，若，则{}n a 20123220482a a a ===，，n m n a a -=m =___________. 【答案】23【分析】根据给定的定义，计算，进而求出数列的公比及通项，再借助累乘法求出数(1)(1)12,∆∆(1){}n ∆列的通项即可推理计算作答.{}n a 【详解】由数列是2阶等比数列，得，即， {}n a (2)(0)nq q ∆=≠(1)(2)1(1)n nnq +∆∆==∆且，即数列是首项为，公比为的等比数列， (1)(1)10(1)932212(1)12112,2,2a a q a a ∆∆==∆====∆(1){}n ∆10212则有，即，当时， (1)10111112()()22n n n --∆=⨯=1111(2n n n a a -+=2n ≥，22320109121(10)(9)(12)3221121111112(((()()22222nn n n n n n a a a a a a a a -+----+-+-++--=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯== 而满足上式，因此，12a =22320212n n n a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭由得：，即，n m n a a -=222320()23()202211()()22n n m n m n -+---+=222320()23()20n n m n m n -+=---+整理得，又为小于的任意正整数，所以. (2)23(2)m n m n m -=-n m 23m =故答案为：23【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.四、解答题17．已知抛物线经过点（），焦点为F ，且. 2:2(0)C y px p =>()2,A t 0t >52AF =(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点A 且斜率为2的直线交C 于另一点B ，求|AB |. 【答案】(1) 22y x =【分析】（1）由抛物线定义得，解得，得到抛物线方程．5222p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1p =（2）求得，得到直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，弦长公式求解. ()2,2A AB 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，准线为， 2:2(0)C y px p =>F 2p x =-点是抛物线上一点，且， ()2,A t C 52AF =所以由抛物线定义得，解得，5222p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1p =因此抛物线的方程为．C 22y x =（2）点在抛物线上，则，又，可得，． ()2,A t 222t =⨯0t >2t =()2,2A 直线的方程：，即，AB 22(2)y x -=-22y x =-联立方程，整理得：，2222y x y x=-⎧⎨=⎩22520x x -+=设，则，1122(,),(,)A x y B x y 12125,12x x x x +==AB ∴==18．设等差数列的前n 项和为，已知 {}n a n S 452439.a S a ==+，(1)求数列{}的通项公式；n a (2)若，求数列{}的前n 项和.2n an n b a =+n b n T 【答案】(1)；n a n =(2).21112222n n T n n +=+-+【分析】（1）设出等差数列的公差，利用给定条件列出方程组，解方程组作答. {}n a （2）由（1）的结论，利用分组求和法及等差等比数列前n 项和公式求解作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意，，解得，{}n a d 111345103()9a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩111a d =⎧⎨=⎩所以数列{}的通项公式是.n a 1(1)n a a n d n =+-=（2）由（1）知，，2nn b n =+所以. 2321(1)2(12)11(123)(2222)2221222n n n n n n T n n n ++-=+++++++++=+=+-+- 19．四棱锥中，底面ABCD 为菱形，，.P ABCD -60BAD ∠= BDP CDP ∠∠=(1)求证：：DP BC ⊥(2)若，平面PBC ⊥平面ABCD ，且，求平面与平面PBC 的夹角大小. 2AB =PB PC ⊥PAD 【答案】(1)证明见解析； (2). π3【分析】（1）根据给定条件，利用三角形全等证明，再取中点，借助线面垂直的判定PB PC =BC 性质推理作答.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算二面角大小作答.【详解】（1）四边形为菱形，，则为正三角形，即， ABCD 60BAD ∠= BDC A BD CD =在与中，，而为公共边，则≌， PDB △PDC △BDP CDP ∠=∠PD PDB △PDC △有，取的中点O ，如图，连接，则有，PB PC =BC ,PO DO ,PO BC DO BC ⊥⊥而平面，则平面，又平面， ,,PO DO O PO DO =⊂POD BC ⊥POD DP ⊂POD 所以.DP BC ⊥（2）由（1）知，，因为平面平面，平面平面,OD BC OP BC ⊥⊥PBC ⊥ABCD PBC ⋂，ABCD BC =平面，于是平面，又平面，则，OP ⊂PBC OP ⊥ABCD OD ⊂ABCD OP OD ⊥以O 为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系， ,,OD OB OP ,,x y z 因为，，则由（1）得，，PB PC ⊥2BC AB ==1OP=(0,0,1),2,0)D P A ，令平面的一个法向量，(0,2,0),1)DA PD ==- PAD (,,)n x y z =则，令，得，200n DA y n PD z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩1x=n = 显然平面的一个法向量为，设平面与平面PBC 的夹角为PBC OD =PAD θ因此，则，||1cos |cos ,|2||||n OD n OD n OD θ⋅=〈〉===π3θ=所以平面与平面PBC 的夹角大小为. PAD π320．设为数列的前项和，，，，令. n S {}n a n 123n n n a a S +=-11a =0n a ≠21n n b a -=(1)求，，及数列的通项公式；2b 3b {}n b (2)令，求数列的前项和.2n bn n c b =⋅{}n C n n T 【答案】(1)，， 23b =35b =21n b n =-(2)()21106529n n n T ++-⋅=【分析】（1）利用和的关系，可得，进而求解；n a n S ()1122n n a a n +--=≥（2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由， 123n n n a a S +=-所以时，，2n ≥1123n n n a a S --=-两式相减，可得， ()11123232n n n n n n n a a a a S S a +----=--=由，所以， 0n a ≠112n n a a +--=当时，，即，1n =21123a a a =-21a =-所以当为奇数时，数列是以1为首项，2为公差的等差数列， n {}n a 当为偶数时，数列是以为首项，2为公差的等差数列. n {}n a 1-所以，， 23123b a a ==+=351225b a a ==+⨯=.()2111221n n b a a n n -==+-⨯=-（2）由，()212122n b n n n n c b --⋅==⋅所以，()13521123123252212n n n T c c c c n -=++++=⨯+⨯+⨯+-⋅ 则，()2357212123252212n n T n +⋅=⨯+⨯+⨯+-⋅两式相减可得，，()()352121322222212n n n T n -+-=+⋅+++--⋅ 即， ()()21321221232221212n n n T n -+⎡⎤⋅-⎣⎦-=+⋅--⋅-即， 2110532233n n T n +⎛⎫-=-+-⋅ ⎪⎝⎭即.()21106529n n n T ++-⋅=21．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B 为底面圆周上异于12O O 11A ACC 111224AC AA A C ===A ，C 的点.(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；1BCC 1C 1A AB(2)设平面∩平面，与平面QAC 所成角为，当四棱锥的体积1A AB 1C CB l Q l =∈，1BC α11B A ACC -最大时，求的取值范围. sin α【答案】(1)作图及理由见解析；(2).【分析】（1）取中点P ，作直线，再利用线面平行的判定推理作答.BC 1C P （2）延长交于点O ，作直线，再确定四棱锥体积最大时，点B 的位置，然后建立空间11,AA CC BO 直角坐标系，利用空间向量建立线面角正弦的函数关系，求出其范围作答. 【详解】（1）取中点P ，作直线，则直线即为所求， BC 1C P 1C P 取中点H ，连接，则有，如图， AB 1,A H PH 1//,2PH AC PH AC =在等腰梯形中，，有，则四边形为平行四边形， 11A ACC 1112AC AC =1111//,HP A C HP A C =11A C PH 即有，又平面，平面， 11//C P A H 1A H ⊂1A AB 1C P ⊄1A AB 所以平面.1//C P 1A AB （2）延长交于点O ，作直线，则直线即为直线，如图，11,AA CC BO BO l过点B 作于，因为平面平面，平面平面，BO AC '⊥O '11A ACC ⊥ABC 11A ACC ⋂ABC AC =BO '⊂平面，ABC 因此平面，即为四棱锥的高，在中，，BO '⊥11A ACC BO '11B A ACC -Rt ABC △90ABC ∠= ，当且仅当时取等号，此时点与重合，22122BA BC BA BC BO AC AC AC ⋅+'=≤=BA BC =O '2O 梯形的面积为定值，四棱锥的体积，11A ACC S 11B A ACC -1113B A ACC V S BO -'=⋅于是当最大，即点与重合时四棱锥的体积最大，， BO 'O '2O 11B A ACC -22,2BO AC BO ⊥=以为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系， 2O 2221,,O A O B O O ,,x y z 在等腰梯形中，，此梯形的高11A ACC 111224AC AA A C ===h ==显然为的中位线，则，11A C OACA 1(0,0,(2,0,0),(0,2,0),(O ABC -， 12(1,(2,2,0),(0,2,(2,0,0)BC AB BO O A =--=-=-=设，则,R BQ BO λλ=∈ (2,22,)AQ AB BQ AB BO λλ=+=+=--设平面的一个法向量，则，令，得QAC (,,)n x y z = 2202(22)0n O A x n AQ xy z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩y =，,1)n λ=-则有111||sin |cos ,|||||n BC n BC n BC α⋅=〈〉===，令，则时，，1t λ=+sin α=0=t sin 0α=当时，，即时取0t≠0sin α<==≤75t =2=5λ等号，综上得， 0sin α≤≤所以的取值范围是. sin α【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起选定变量的函数，求出函数最值即可.22．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C ：的阿22(0)y px p =>基米德三角形为例，经探究发现：若AB 为过焦点的弦，则：①点P 在定直线上；②PAB ；③.已知△PAB 为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB 过PF AB ⊥PA PB ⊥220x y λλΓ-=>：（）Γ的右焦点F .(1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可）(2)若，弦AB 的中点为Q ，，求点P 的坐标.2λ=3AB FP FQ =（注：双曲线的以为切点的切线方程为 22221x y a b -=00(,)x y 0022 1.x x y y a b -=）【答案】(1)条件选择，答案见解析； (2)，. (1,(1,【分析】（1）选①②③，设出点A ，B ，P 的坐标，借助切线方程求出直线AB 的方程，代入焦点坐标，求出点P 的横坐标，再利用斜率计算判断作答.（2）设出直线AB 的方程，与双曲线方程联立，借助弦长公式及已知等式求解作答.【详解】（1）选①，设点，双曲线的焦点， 112200(,),(,),(,)A x y B x y P x yΓF 依题意，过点A 的切线方程为，过点B 的切线方程为， 11x x y y λ-=22x x y y λ-=而两切线交于点，于是，且，00(,)P x y 1010x x y y λ-=2020x x y y λ-=因此是方程的两组实数解，即点在直线1122(,),(,)x y x y 00x x y y λ-=1122(,),(,)A x y B x y 00x x y y λ-=上，则直线AB 的方程为，又直线AB 过点，解得， 00x x y y λ-=F 0λ=0x =所以点P 在定直线P 在定直线上成立. x =选②，设点，双曲线的焦点，112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ΓF 依题意，过点A 的切线方程为，过点B 的切线方程为， 11x x y y λ-=22x x y y λ-=而两切线交于点，于是，且，00(,)P x y 1010x x y y λ-=2020x x y y λ-=因此是方程的两组实数解，即点在直线1122(,),(,)x y x y 00x x y y λ-=1122(,),(,)A x y B x y 00x x y yλ-=上，则直线AB 的方程为，又直线AB 过点，解得， 00x x y y λ-=F 0λ=0x =当时，点，直线AB 垂直于x 轴，显然有，00y =P PF AB ⊥当时，直线AB 的斜率PF 的斜率00y ≠00AB x k y ==PF k ==则有，即， 1AB PF k k ⋅=-PF AB ⊥所以成立.PFAB ⊥选③，设点，双曲线的焦点，112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ΓF 依题意，过点A 的切线方程为，过点B 的切线方程为， 11x x y y λ-=22x x y y λ-=而两切线交于点，于是，且，00(,)P x y 1010x x y y λ-=2020x x y y λ-=因此是方程的两组实数解，即点在直线1122(,),(,)x y x y 00x x y y λ-=1122(,),(,)A xy B x y 00x x y yλ-=上，则直线AB 的方程为，又直线AB 过点，解得， 00x x y y λ-=F 0λ=0x =当时，点，直线AB 垂直于x 轴，直线00y =P :AB x =由得， 22x x yλ⎧⎪⎨-=⎪⎩||y =A B直线PA 的斜率PB 的斜率PA k ==PB k ==有，显然不垂直于， 2PA PB k k ⋅=-PA PB 所以不成立.PA PB ⊥（2）当时，双曲线，，由（1）知，，直线AB 的方程为：2λ=22:2x y Γ-=()2,0F 0(1,)P y ，02x y y -=由消去x 整理得：，显然， 02222x y y x y -=⎧⎨-=⎩2200(1)420y y y y -++=20201Δ8(1)0y y ⎧≠⎨=+>⎩，弦AB 的中点Q 的纵坐标为， 0121222042,11y y y y y y y -+==--01220221y y y y -+=-，||AB =，而，12||||2y y FQ +=||FP =3AB FP FQ =，解得=200)3||y y +=0y =0y =所以点P 的坐标是，. (1,(1,【点睛】结论点睛：直线l ：y =kx +b 上两点间的距离； 1122(,),(,)A x y B x y 12||||AB x x =-直线l ：x =my +t 上两点间的距离.1122(,),(,)A x y B x y 12||||AB y y =-。
高二数学试题及答案
数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（题型注释）1、圆C：与圆：位置关系是（）A．内含 B, 内切 C .相交 D.外切2、函数的图象是（）3、抛物线上点P的纵坐标是4，则其焦点F到点P的距离为( )A．3B．4C．5D．64、若函数的图象过第一二三象限，则有（）A．B．,C．,D．5、已知奇函数f (x)满足f(x+3)＝f (x), 当x∈[1，2]时，f (x)＝－1则的值为A．3B．－3C．D．6、设成等比数列，其公比为2，则的值为（）A．B．C．D．17、数列{a n}的通项公式是，若前n项和为10，则项数n为（）A．120B．99C．110D．1218、若，则=（）A．B．C．D．9、有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有A．12种B．24种C．48种D．120种10、为不重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．，则B．，则C．，则D．，则11、已知函数，，当时，方程的根的个数是（）A．8B．6C．4D．212、抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．13、已知对任意恒成立，则a的最大值为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（题型注释）14、已知函数，若时恒成立，则实数的取值范围是．15、已知直线与曲线相切于点，则实数的值为______．16、展开式中的常数项是．17、若函数有三个零点，则正数的范围是 .三、解答题（题型注释）18、（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）已知向量，且.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）设的内角的对边分别为，，且，求函数的值域.19、（本小题满分14分）如图，已知四棱锥的底面是矩形，、分别是、的中点，底面，，（1）求证：平面（2）求二面角的余弦值20、如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接，设中点为．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．（3）求直线与平面所成角的正弦值．21、经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：罗非鱼的汞含量（ppm）《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过ppm．（1）检查人员从这条鱼中，随机抽出条，求条中恰有条汞含量超标的概率；（2）若从这批数量很大的鱼中任选条鱼，记表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求的分布列及数学期望．22、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当＜时，求实数取值范围．23、选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线过点，倾斜角，再以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线分别交于、两点，求的值．24、选修4-4：坐标系与参数方程已知圆的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中，，）．（1）直线过原点，且它的倾斜角，求与圆的交点的极坐标（点不是坐标原点）；（2）直线过线段中点，且直线交圆于，两点，求的最大值．25、已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求证：，不等式恒成立．26、已知函数在x=1处的切线与直线平行。
福建省莆田第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题
第 1 页共 4 页莆田一中2022-2023学年第一学期期末试卷高二数学第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知f (x )=alnx −12x 2+x ，且f ′(1)=3，则a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．直线l 1:ax +y −1=0，l 2:(a −2)x −ay +1=0，则“a =−2”是“12//l l ”的（ ）条件 A ．必要不充分 B ．充分不必要 C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．已知圆的方程为2260x y x +−=，过点(1,2)的直线被该圆所截得的最短弦长为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．等差数列{a n }中，公差12d =，且1359960a a a a ++⋅⋅⋅+=，则123100a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．145B ．150C ．170D ．1205．在正项等比数列{a n }中，a 3、a 7是函数f (x )=13x 3−4x 2+4x −1的极值点，则a 5＝（ ） A ．2−或2B ．2−C．D ．26．已知1F 、2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．47．已知8ln 6a =，7ln 7b =，6ln 8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>第 2 页 共 4 页8．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相切的两条互相垂直的直线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆2222x y a b +=+，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若圆()22:()()4R C x a y a −+=∈上存在点P ，使得过点P 可作两条互相垂直的直线与椭圆2213x y +=相切，则实数a 的取值范围为（ ）A ． []0,4B ．[]4,4−C ．[]0,2D ． []22−,二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知数列{}n a 的通项公式为a n =(−1)n ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列数列一定成等比的有（ ） A ．数列{}1n n a a ++ B ．数列{}2n a C ．232,,n n n n n S S S S S −−D ．数列{}1n n a a +⋅10．任取一个正整数，若是奇数，将该数乘以3再加上1；若是偶数，将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）. 如：取正整数6m =，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：数列{a n }满足：1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时.若a 2=m （m 为正整数），a 6=1，则m 所有可能的取值为（ ） A ．2B ．5C ．16D ．3211．椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，O 为坐标原点，则下列说法错误．．的是（ ）A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为4 B ．椭圆C 的离心率为12C ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3D ．椭圆C 上不存在点P ，使得120PF PF ⋅=第 3 页共 4 页12．已知函数()2ln 2f x x x mx =−，则下列说法正确．．的是（ ） A ．当0m ≤或12em =时，()f x 有且仅有一个零点 B ．当0m ≤或14m =时，()f x 有且仅有一个极值点 C ．若()f x 为单调递减函数，则14m > D ．若()f x 与x 轴相切，则12em =第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线l 经过点P (2,−2)，其纵截距为正，且纵截距比橫截距大1，则直线l 的方程为 ．14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线与过2F 的直线2l 交于P 点，1290F PF ∠=，且点P 在椭圆上．则椭圆C 的离心率=e __________．15．点P 是曲线x x y ln 2−=上任意一点,且点P 到直线y =x +a 的距离的最小值是√2，则实数a 的值是 ．16．已知点(,)P m n 在圆22:(2)(2)9C x y −+−=上运动，则m +n 的最大值为 ，的取值范围为 ．四､解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(1) 已知圆22110C x y +=：与圆22222140C x y x y +++−=：．证明圆1C 与圆2C 相交；并求两圆公共弦所在直线的方程；(2) 求圆心既在第一象限又在直线3x −y =0上，与x 轴相切，且被直线x −y =0截得的弦长为2√7的圆的方程．第 4 页 共 4 页18．(12分) 设函数f(x)=x +ax 2+blnx ，曲线y =f(x)过点P(1,0)，且在P 点处的切线斜率为2．(1) 求a 、b 的值； (2) 证明：f(x)≤2x －2．19．(12分) 设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a 、3a 的等差中项．(1) 求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．20． (12分) 设首项为2的数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足_________． 条件①：111n n a a n n +=++； 条件②：23n nn S a +=； 条件③：12n n n n T a T n ++=． 请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题： （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：数列13n n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和34nM <． （参考公式．．．．：22221123(1)(21)6n n n n ++++=++）21．(12分) 已知点A(−2,0)、B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为43−．记M 的轨迹为曲线C ．(1) 求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2) 经过点P(−1,0)的直线l 与曲线C 交于C 、D 两点. 记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1−S 2|的最大值．22．(12分) 已知函数()e 1,R x f x ax a =−−∈． (1)求函数()f x 的极值；(2)若1是关于x 的方程()()2R f x bx b =∈的根，且方程2()f x bx =在(0,1)上有实根，求b 的取值范围．莆田一中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学姓名： 班级： 考场/座位号：正确填涂缺考标记注意事项1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。
上海市高二第一学期数学期末考试试卷含答案
上海市高二第一学期数学期末考试试卷注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅.2. 本试卷共有21道试题，满分100分，练习时间90分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 过平面外一点与该平面平行的平面有 个.2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_ _．（用“观测数据”或“实验数据”填空）3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表 胆固醇降低的人数没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73则使用药物后胆固醇降低的经验概率为 ．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为 ． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____ __人.6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 ．7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为 ． 8. 已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 ．9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为 ．10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()P B = . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱 ，每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采AB 用 .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1.则以上结论中，正确结论是 . （请填写序号）二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（ ）A ．条形图B ．茎叶图C ．散点图D ．扇形图14．下列说法正确的是（ ） A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（ ）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C . 甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为8916. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14以上结论中，正确的个数为（ ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1） 求异面直线1BD 与1CC 所成的角；（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）如图,在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆锥底面圆周上一点，且π2BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1） 求a 的值；（2） 根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3） 为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.（1）求证：AC CD ⊥；（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC 与面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最小长度；（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小.【教师版】高二数学练习卷答案一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 过平面外一点与该平面平行的平面有 1 个.2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_“实验数据”_．（用“观测数据”或“实验数据”填空）3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表 胆固醇降低的人数没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73则使用药物后胆固醇降低的经验概率为 0.614 ．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为 36π ． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的600名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____68___人.6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 0.7 ．7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为2 ． 8. 已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 3 ． 9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为 56． 10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()P B = 45 . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱 ，AB 每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采用 “三局两胜制” .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1. 则以上结论中，正确结论是 ① ② ③ . （请填写序号） 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（ C ）A ．条形图B ．茎叶图C ．散点图D ．扇形图14．下列说法正确的是（ B ）A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（ D ）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C . 甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为8916. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14以上结论中，正确的个数为（ C ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1） 求异面直线1BD 与1CC 所成的角；（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.解 （1）因为11//BB CC ，所以11B BD ∠就是异面直线1BD 与1CC所成的角或其补角. ……………………………………………………………………2分设1BB a =，则112B D a =，13BD a =，所以11tan 2B BD ∠.……………1分所以异面直线1BD 与1CC 所成的角为arc 263arcsinarccos 33=）……1分 （2）连接BD ，交AC 于O ，在1BDD 中，O 、E 分别为BD 、1DD 中点，OE 为1BDD 的中位线，所以1//OE BD .……………………………………………………………2分因为OE 在平面AEC 上，而1BD 不在平面AEC 上，…………………………1分由直线与平面平行的判定定理得，1BD //平面AEC .18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.解 （1）甲摸出的球编号为奇数的概率是12,…………………………………2分乙摸出的球编号为奇数的概率是12,……………………………………………2分 所以两球编号均为奇数的概率是14.………………………………………1分 （2）()3616P m n +==,………………………………………………………1分 ()2716P m n +==,………………………………………………………………1分 ()1816P m n +==………………………………………………………………1分 所以甲赢的概率为32131616168++=，乙赢的概率为58.……………………1分 所以这种游戏规则不公平. ……………………………………………………1分（也可直接写出样本空间，写出答案，酌情给分）19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）如图,在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将锥底面圆直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆周上一点，且π2BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.解 （1）由题，4,3OB OA ==1分 所以圆锥的体积为221164ππ4433π333V OB OA =⋅⋅=⋅⋅=.……………………2分 圆锥的侧面积为32πS rl π==侧.……………………………………………………2分（2）取BO 中点BH ，在AOB 中，中位线//DH AO ，可得DH ⊥平面BOC ，所以DCH ∠即直线CD 与平面BOC 所成的角. …………………………………2分222315tan 542DH DCH HC ∠===+.……………………………………………2分 所以直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值为155.……………………………1分 20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1） 求a 的值；（2） 根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3） 为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率． 解 （1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=，……………………………2分得0.02a =，…………………………………………………………………2分（2） 各区间的中点值为55、65、75、85、95 ……………………………1分对应的频数分别为10、20、45、20、5…………………………………………1分这100名大一新生每天阅读时间的平均数为551065207545852095574.0100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………………1分所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟. …………………1分（3）由题意，阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生数分别为10人、20人、20人，因此每组中抽取的人数分别为1人、2人、2人. ………………2分因此，再从中任选2人进行调查，其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率为323P=105⨯=.………………………………………………………………………2分21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.（1）求证：AC CD ⊥（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉与臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC小面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最长度.（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小（1）证明 因为AB BCD ⊥面，所以AB CD ⊥，…………………………………1分又BC CD ⊥，所以CD ABC ⊥面………………………………………………………2分所以AC CD ⊥……………………………………………………………………………1分（2）将面ABC 与面ACD 沿AC 展开成如图所示的平 面图形，由题，3π4BCD ∠=，……………………1分 所以彩带的最小长度为此平面图中BD 长. 又22311211cos π224BD =+-⨯⨯⨯=+…………2分 22+…………………………1分（3） 由题，151153P ==…………………………1分 23162P ==……………………………………………1分 321126P ==……………………………………………1分 所以312P P P <<.………………………………………1分【附加题】单选题1．过坐标原点O 作直线:(2)(1)60l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，则22m n +的取值范围是（ ）A ．0,⎡⎣B ．(0,C ．[]0,8D ．(]0,8 【提示】求出直线直线()():2160l a x a y -+++=过的定点A ，由题意可知垂足是落在以OA 为直径的圆上，由此可利用22m n +的几何意义求得答案；【答案】D【解析】直线()():2160l a x a y -+++=，即()260a x y x y +-++= ， 令0260x y x y +=⎧⎨-++=⎩ ，解得22x y =⎧⎨=-⎩ ， 即直线()():2160l a x a y -+++=过定点(2,2)A - ,由过坐标原点O 作直线()():2160l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，可知：(,)H m n 落在以OA 为直径的圆上，而以OA 为直径的圆为22(1)(1)2x y ++-= ，如图示：故22m n +可看作是圆上的点(,)H m n 到原点距离的平方， 而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为||22OA = ，但将原点坐标代入直线:(2)(1)60l a x a y -+++=中，60= 不成立，即直线l 不过原点，所以(,)H m n 不可能和原点重合，故22(0,8]m n +∈，故选：D2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 为平面上两点，且0OA OB ⋅=，M 为线段AB 中点，其坐标为(),a b 524a b =+-，则OM 的最小值为（ ） A 5 B 25 C ．33D 5【提示】由已知可得以AB 为直径的圆过点O ，对条件变形得到245a b OM +-=圆M 与直线240x y +-=相切，从而得到圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，利用点到直线距离公式进行求解.【答案】B【解析】因为0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥，即以AB 为直径的圆过点O ，因为M 为线段AB 中点，坐标为(),a b 524a b =+-， 则245a b OM +-=几何意义为圆M 的半径与点M 到直线240x y +-=的距离相等， 即圆M 与直线240x y +-=相切，则圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，125=.故选：B。
高二数学试卷带答案解析
高二数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.若点到双曲线 的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（） A ． B ．C ．D ．2.在中，已知，则A ．B ．C ．1D ．23.已知是等比数列，,则（ ）A ．B ．C ．D ．4.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若△是正三角形，则这个椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．5.若样本的平均数是，方差是，则对样本，下列结论正确的是 ( )A ．平均数为10，方差为2B ．平均数为11，方差为3C ．平均数为11，方差为2D ．平均数为12，方差为46.假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．7.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果 ( )A ．4B ．5C ．2D ．38.球O 为边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的内切球，P 为球O 的球面上动点，M 为B 1C 1中点，，则点P 的轨迹周长为( ). A ．B ．C ．D ．9.抛物线的准线方程是 （ ）A ．B ．C ．D ．10..曲线在点（－1，－3）处的切线方程是 （ ） ABCD11.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．A ．B ．C ．D ．12.已知函数关于直线对称，且周期为2，当时，，则（ ） A ．0 B ． C ． D ．1 13.已知，，，( )A ．B ．C ．D ．14.设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ．5 C ．D ．15.一只骰子掷次，至少出现一次1点的概率大于，则的最小值为( )A．6 B．5 C．4 D．316.在复平面内，复数对应的点位于（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17.若，则k=" " （）A．1 B．0 C．0或1 D．以上都不对18.可能值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．419.如图所示，在单位正方体的面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为A． B． C． D．20.已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（）A． B． C． D．二、填空题21.某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则该种使用寿命超过1年的元件还能继续使用1年的概率为；22.已知为离散型随机变量，的取值为，则的取值为23.圆柱的侧面展开图是边长为和的矩形，则圆柱的表面积为________．24.如右图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形“，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥２），其余每个数是它下一行左右相邻两个数的和，如：．．．．．．，则第7行第4个数（从左往右数）为25.设函数的图象关于直线对称，则实数的值为__________________. 26.观察下列等式： （1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为 ． 27.已知的图像与的图像的两相邻交点间的距离为，要得到的图像，最少需要把的图像向左平移________个单位28.特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定为______________________________．29.已知，，，，且∥，则＝ ．30.当时，的最小值是 ．三、解答题31.已知函数与函数在点处有公共的切线，设.（1） 求的值 （2）求在区间上的最小值.32.如图，在棱长都相等的正三棱柱中，分别为，的中点. ⑴求证：；⑵求证：.33.(本题满分10分)设圆内有一点，为过点的直线。
湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
湖南2024—2025学年意高二第一学期第一次大徐习数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知z=，则z=（）A.1i33-B.1i33+ C.12i33- D.12i33+【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求出答案.【详解】由题意得11i333z-===-，故选：A2.设集合{}(){}212,ln1A x xB y y x=+≤==+，则A B=（）A.[]0,1B.[]3,0- C.[)3,∞-+ D.[)0,+∞【答案】C【解析】【分析】由绝对值不等式解出集合A，再由对数的单调性得到集合B，最后求并集即可；【详解】由题意可得21231x x-≤+≤⇒-≤≤，所以{}3|1A x x=-≤≤，因为211x+≥，所以()2ln10y x=+≥，所以{}|0B y y=≥，所以[)3,A B=-+∞，故选：C.3.）A.2π B.3πC. D.【答案】B【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，根据轴截面面积求出r，结合圆锥侧面积公式，即可求得答案.【详解】设圆锥的底面半径为r，，母线长为2r，1212r r⨯=∴=，则该圆锥的表面积为2π1π123π⨯+⨯⨯=，故选：B4.若角α满足ππcos()2cos()36αα+=-，则πcos(23α-=（）A.45- B.35- C.45 D.35【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式求出t n(aπ6α-，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式法求值.【详解】由ππcos()2cos()36αα+=-，得πππcos[()]2cos()266αα+-=-，即ππsin(2cos()66αα--=-，则πtan(26α-=-所以2222ππcos()sin()ππ66cos(2)cos2()ππ36cos()sin()66αααααα----=-=-+-2222π1tan()1(2)36π1(2)51tan()6αα----===-+-+-.故选：B5.已知平面上三个单位向量,,a b c满足()2ac b=+，则a c⋅=（）A.12B.2C.14D.34【答案】C【解析】【分析】将()2ac b=+平方后求出78a b⋅=-，再根据数量积的运算律，即可求得答案.【详解】由题意知平面上三个单位向量,,a b c满足()2ac b=+，则()2214a bc==+，即22148488a a b b a b +⋅=++=⋅ ，则78a b ⋅=- ，故()2712222284a c a ab a a b =⋅=⋅++⋅=-⨯=，故选：C6.若函数()f x 在定义域[],a b 上的值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦，则称()f x 为“Ω函数”．已知函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，则实数m 的取值范围是（）A.[]4,10 B.[]4,14 C.[]10,14 D.[)10,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据“Ω函数”的定义确定()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩的值域为[0,]m ，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意可知()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩的定义域为[0,4]，又因为函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，故其值域为()()[0,4]f f ；而()()00,4f f m ==，则值域为[0,]m ；当02x ≤≤时，()5[0,10]f x x =∈，当24x <≤时，()24f x x x m =-+，此时函数在(2,4]上单调递增，则()(4,]f x m m ∈-，故由函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”可得041010m m ≤-≤⎧⎨≥⎩，解得1014m ≤≤，即实数m 的取值范围是[]10,14，故选：C7.已知,A B 两点的坐标分别为()()0,1,1,0A B ，两条直线1:10l mx y -+=和()2:10l x my m +-=∈R 的交点为P ，则AP BP +的最大值为（）A.2B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由直线所过定点和两直线垂直得到点P 的轨迹，再设ABP θ∠=，结合辅助角公式求出即可；【详解】由题意可得直线1:10l mx y -+=恒过定点()0,1A ，2:10l x my +-=恒过定点()1,0B ，且两直线的斜率之积为1-，所以两直线相互垂直，所以点P 在以线段AB 为直径的圆上运动，AB =，设ABP θ∠=，则,AP BP θθ==，所以π2sin 4AP BP θθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以当π4θ=时，即0m =时，AP BP +取得最大值2，此时点P 的坐标为()1,1.故选：D.8.已知点P 在椭圆τ：22221x y a b +=(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设3,4PD PQ →→=直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（）A.12B.2C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设P 的坐标，由题意可得,A Q 的坐标，再由向量的关系求出D 的坐标，求出,AD PA 的斜率，设B 坐标，,P B 在椭圆上，将,P B 的坐标代入椭圆的方程，两式相减所以可得224 PA PB b k k a⋅=-，再由PA PB ⊥可得,a b 的关系，进而求出离心率．【详解】设()11,P x y ，则()()1111,,,A x y Q x y ---，3,4PD PQ →→=，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则2211222222221 ,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212,,PBAD AB y y x x b k k k x x a y y -+==-⋅=-+即()1211211121124 ,4PA y y y y y y k x x x x x x ++===++，,PA PB ⊥故 1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故3 2e =.故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若圆()22260x y x y a a +--+=∈R 上至多存在一点，使得该点到直线3450x y ++=的距离为2，则实数a 可能为（）A.5B.6C.7D.8【答案】BCD 【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心和半径以及10a <，再结合题意列出相应不等式，即可求得答案.【详解】圆()22260x y x y a a +--+=∈R 即圆()()()221310x y a a -+-=-∈R ,需满足10a <，则圆心为()1,3圆心()1,3到直线3450x y ++=的距离为312545d ++==，要使圆()22260x y x y a a +--+=∈R 上至多存在一点，使得该点到直线3450x y ++=的距离为2，需满足42≥，解得610a ≤<，结合选项可知6，7，8符合题意，故选：BCD10.已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为偶函数，()1f x +为奇函数，则下列选项正确的是（）A.()f x 的图象关于直线1x =-对称B.()f x 的图象关于点()1,0对称C.()31f -=D.()f x 的一个周期为8【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断AB ；利用赋值法求出()1f 的值，结合对称性可求()3f ，判断C ；结合函数奇偶性、对称性可推出函数的周期，判断D.【详解】由于函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为偶函数，则()()11f x f x --=-，即()()2f x f x --=，则()f x 的图象关于直线1x =-对称，A 正确；又()1f x +为奇函数，则()()11f x f x -+=-+，即()()2f x f x -+=-，故()f x 的图象关于点()1,0对称，B 正确；由于()()11f x f x -+=-+，令0x =，则()()()11,10f f f =-∴=，又()f x 的图象关于直线1x =-对称，故()()310f f -==，C 错误；又()()2f x f x --=，()()2f x f x -+=-，则()()22f x f x --=--+，故()()22f x f x -=-+，即()()4f x f x +=-，则()()8f x f x +=，即()f x 的一个周期为8，D 正确，故选：ABD11.在棱长均为1的三棱柱111ABC A B C -中，1160A AB A AC BAC ∠=∠=∠=，点T 满足1AT xAB y AC z AA =++，其中[],,0,1x y z ∈，则下列说法一定正确的有（）A.当点T 为三角形111A B C 的重心时，2x y z ++=B.当1x y z ++=时，AT 的最小值为3C.当点T 在平面11BB C C 内时，x y z ++的最大值为2D.当1x y +=时，点T 到1AA 的距离的最小值为2【答案】BCD 【解析】【分析】将AT 用1,,AB AC AA 表示，再结合1AT xAB y AC z AA =++ 求出,,x y z ，即可判断A ；将AT平方，将()1z x y =-+代入，再结合基本不等式即可判断B ；当点T 在平面11BB C C 内时，则存在唯一实数对(),λμ使得()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+- ，再根据1AT xAB y AC z AA =++ ，求出,,x y z ，再根据[],,0,1x y z ∈即可判断C ；求出AT 在1AA方向上的投影，再利用勾股定理结合基本不等式即可判断D.【详解】对于A ，当点T 为三角形111A B C 的重心时，()()11111211323AT A B A C AB AC =⨯+=+，所以1111133A AA A T AB AC A T A =++=+ ，又因为1AT xAB y AC z AA =++ ，所以1,13x y z ===，所以53x y z ++=，故A 错误；对于B ，2222211221222xy AB AC xz AB AA yz AC AA AT x AB y AC z AA +⋅+⋅+++⋅=+222x y z xy xz yz =+++++()()()21x y z xy xz yz xy xz yz =++-++=-++，因为1x y z ++=，所以()1z x y =-+，则()()()1xy xz yz xy x y z xy x y x y ⎡⎤++=++=++-+⎣⎦()()()()()2224x y xy x y x y x y x y +=++-+≤++-+()()223321144333x y x y x y ⎛⎫=-+++=-+-+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当23x y +=时取等号，所以()2121133AT xy xz yz =-++≥-= ，所以3AT ≥，所以AT 的最小值为63，故B 正确；对于C ，当点T 在平面11BB C C 内时，则存在唯一实数对(),λμ使得()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+-，则()11AT AB BT AB AC AA μμλ=+=-++ ，又因为1AT xAB y AC z AA =++ ，所以1,,x y z μμλ=-==，所以11x y z μμλλ++=-++=+，因为[]0,1z λ=∈，所以[]11,2λ+∈，所以x y z ++的最大值为2，故C 正确；对于D ，当1x y +=时，由A 选项知，()()22222221AT x y z xy xz yz x y z xy x y z z xy z =+++++=++-++=+-+ ，AT 在1AA 方向上的投影为111111AT AA xAB AA y AC AA z AA AA AA ⋅=⋅+⋅+⋅111222x y z z =++=+，所以点T 到1AA的距离d ==因为()2144x y xy +≤=，所以2d =≥=，当且仅当12x y ==时，取等号，所以点T 到1AA的距离的最小值为2，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：当点T 在平面11BB C C 内时，则存在唯一实数对(),λμ使得()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+- ，再根据1AT xAB y AC z AA =++，求出,,x y z ，是解决C选项的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机事件,A B 满足()()()111,,342P A P B P A B ==+=，则()P AB =____________．【答案】112【解析】【分析】根据随机事件的和事件的概率计算公式，即可求得答案.【详解】由题意可知()()()111,,342P A P B P A B ==+=，故()()()()P A B P A P B P AB +=+-,则()()()()111134212P AB P A P B P A B =+-+=+-=，故答案为：11213.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为积为__________．【答案】100π【解析】【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得结果．【详解】由题意设三棱台为111ABC A B C -，如图，上底面111A B C所在平面截球所得圆的半径是112332O A =⨯⨯，1(O 为上底面截面圆的圆心)下底面222A B C所在平面截球所得圆的半径是2223432O A =⨯⨯，2(O 为下底面截面圆的圆心)由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O 在直线12O O 上，当O 在线段12O O1=，无解；当O 在12O O1=，解得225R =，因此球的表面积是24π4π25100πS R ==⨯=．故答案为：100π14.已知2024是不等式()22log 2321log x x a a+->+的最小整数解，则a 的取值范围为____________．【答案】2021202222a ≤<【解析】【分析】结合分式不等式和对数函数与指数函数互换的性质变形不等式，再分21log a +大于零和小于零时分类讨论即可；【详解】由题意可得012230xa a a >⎧⎪⎪≠⎨⎪->⎪⎩，变形不等式可得()()222222223log 2log 2321log 01log 1log 1log xx a x x a a a a a a-+-+-+-=>+++，当211log 02a a +>⇒>时，有2223log 20x a x a-+->，由指数函数和对数函数的互化并整理可得2223240x x a a -⋅->，即()()2420xxaa -+>，解得24x a >或2x a <-（舍去），从而2log 4x a >，又12a >时2log 41a >，所以要使2024是不等式()22log 2321log x x aa+->+的最小整数解，有22023log42024a ≤<，解得2021202222a ≤<，所以2021202222a ≤<，当211log 002a a +<⇒<<时，注意到20242024323212a ->->，此时，不等式的分子大于零，不符合题意，综上，a 的取值范围为2021202222a ≤<.故答案为：2021202222a ≤<.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布．（1）当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图（图2），临界值99c =，从样本中该医学指标在[]95,105上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？【答案】（1）97.5c =，() 3.5%q c =（2）815【解析】【分析】（1）由图1，根据漏诊率()0.5%p c =列式求出c ，再由图2求出误诊率()q c ；（2）根据图2求出100个未患病者中，该项医学指标在[]95,105中的人数以及被误诊者的人数，再利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.【小问1详解】依题可知，图1第一个小矩形的面积为50.0020.5%⨯>，所以95100c <<，所以()950.0020.5%c -⨯=，解得97.5c =，()()0.0110097.550.0020.035 3.5%q c =⨯-+⨯==．【小问2详解】由题可知，100个未患病者中，该项医学指标在[]95,105中的有100(0.0100.002)56⨯+⨯=人，其中被误诊者有100(10099)0.0110050.0022⨯-⨯+⨯⨯=人，记随机抽取的2人恰有一人为被误诊者为事件A ．分别用a ，b ，c ，d ，E ，F 表示这6人，E ，F 代表被误诊的2人，样本空间{},,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aE aF bc bd bE bF cd cE cF dE dF EF Ω=，事件{},,,,,,,A aE aF bE bF cE cF dE dF =，故()15n Ω=，()8n A =，()()()815n A P A n ==Ω，故2人中恰有一人为被误诊者的概率是815．16.已知圆22:80C x y y +-=，过点()2,2P 的直线l 与圆C 交于,A B 两点，点M 满足2OM OA OB =+，其中O 为坐标原点．（1）求点M 的轨迹方程；（2）若CMP !的面积为2，求AB ．【答案】（1）()()22132x y -+-=（2）【解析】【分析】（1）设s ，求出圆心坐标，利用CM MP ⊥的数量积为零求出轨迹方程即可；（2）设圆心到直线的距离为d ，由三角形面积公式求出2d ，再利用弦长公式求解即可；【小问1详解】由2OM OA OB =+可得点M 为线段AB 的中点，设s ，圆方程化为标准方程为()22416x y +-=，所以圆心()0,4C ，半径4r=，所以()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--，因为CM MP ⊥，所以()(),42,20x y x y -⋅--=，整理可得()()22132x y -+-=，所以点M 的轨迹方程为()()22132x y -+-=，【小问2详解】设圆心到直线的距离为d ，因为M 为AB 的中点，且CM AB ⊥，CMP !的面积为2，CP =所以122d =，即4d =，解得24d =，由弦长公式可得AB ===17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是矩形，PA PD ==，PB PC ==90APB CPD ∠=∠=︒，点M ，N 分别是棱BC ，PD 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）69【解析】【分析】（1）取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，由平面几何知识可得//NQ BM 且NQ BM =，进而可得//MN BQ ，由线面平行的判定即可得证；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ，取EF 的中点为O ，连接OP ，建立空间直角坐标系后，求出平面PCD 的一个法向量为n 、直线MN 的方向向量MN，利用sin cos n MN n MN n MNθ⋅=⋅=⋅即可得解.【详解】（1）证明：取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，如图：又点N 是PD 的中点，则//NQ AD 且12NQ AD =，又点M 是BC 的中点，底面ABCD 是矩形，则12BM AD =且//BM AD ，∴//NQ BM 且NQ BM =，∴四边形MNQB 是平行四边形，∴//MN BQ ，又MN ⊄平面PAB ，BQ ⊂平面PAB ，∴//MN 平面PAB ；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ，则PF AB ⊥，PE PF P = ，∴AB ⊥平面PEF ，又AB ⊂平面ABCD ，∴平面PEF ⊥平面ABCD ，∵3PA PD ==，6PB PC ==90APB CPD ∠=∠=︒，∴3AB CD ==，2PE PF ==2BE CF ==，1AE DF ==.设平面PAB ⋂平面PCD l =，可知////l CD AB ，∵平面PAB ⊥平面PCD ，∴90EPF ∠=︒，∴2EF =，取EF 的中点为O ，连接OP 、OM ，则OP ⊥平面ABCD ，1OP =，∴OM 、OF 、OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OM ，OF ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,O xyz -，如图所示，则()0,0,1P ，()2,1,0C ，()1,1,0D -，()2,0,0M ，111,,222N ⎛⎫-⎪⎝⎭，∴()2,1,1PC =- ，()1,1,1PD =--，511,,222MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则由020n PD x y z n PC x y z ⎧⋅=-+-=⎨⋅=+-=⎩ ，令1y =可得()0,1,1n =r .设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，则6sin cos 9n MN n MN n MNθ⋅=⋅===⋅∴直线MN 与平面PCD所成角的正弦值为9.【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.18.已知P是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)上一点，以点P 及椭圆的左、右焦点F 1，F 2为顶点的三角形面积为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 2作斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，M 是l 1与C 两交点的中点，N 是l 2与C 两交点的中点，求△MNF 2面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=；（2）49﹒【解析】【分析】(1)由椭圆过的点的坐标及三角形的面积可得a ，b ，c 之间的关系，求出a ，b 的值，进而求出椭圆的标准方程；(2)由题意设直线1l 的方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出交点的中点M 的纵坐标，同理求出N 的纵坐标，进而求出2MNF 面积的表达式，换元由函数的单调性求出其最大值．【小问1详解】由题意可得22222231122a b c c a b ⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得：28a =，24b =，∴椭圆的标准方程为：22184x y +=；【小问2详解】由(1)可得右焦点2(2,0)F ，由题意设直线1l 的方程为：2x my =+，设直线与椭圆的交点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则中点M 的纵坐标为122M y y y +=，联立直线1l 与椭圆的方程222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：22(2)480m y my ++-=，12242m y y m -+=+，∴222Mmy m -=+，同理可得直线2l 与椭圆的交点的纵坐标2212()21122()N m m y m m-⋅-==++-，∴2221|||||||2MNF M N S MF NF y y =⋅=⋅△22422222(1)2(1)||||2522(1)m m m m m m m m ++==++++222||121m mm m =+⋅++，设0m >，令212m t m+=，则2212MNF S t t=+△，令1()2f t t t =+，2t ，21()2f t t '=-，2t ，()0f t '>恒成立，∴()f t 在[2，)+∞单调递增，∴22241192222MNF S t t ==+⨯+△．∴2MNF 面积的最大值为：49．19.基本不等式是最基本的重要不等式之一，二元基本不等式为122a a +≥．由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．基本不等式可以推广到一般的情形：对于n 个正数12,,...,n a a a ，它们的算术平均数121...1nn n i i a a a A a n n =+++==∑（注：121...nin i aa a a ==+++∑）不小于它们的几何平均数()11121...nnnn ni i G a a a a =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏（注：121...ni n i a a a a ==∏），即)12...n n n a a a A G n+++≥≥，当且仅当12...n a a a ===时，等号成立．（1）已知0x y >>，求()1x y x y +-的最小值；（2）已知12,,...,0n a a a >且12...1n a a a +++=．（ⅰ）求证：()()2221111nnniii i a na==-≥-∏∏；（ⅱ）当2024n ≥，求3111nii i i a n a a =++-∑的最小值，其中11n a a +=．【答案】（1）3（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）421n n -【解析】【分析】（1）直接使用均值不等式即可证明()13x y x y +≥-，再构造取到等号的例子即可；（2）（ⅰ）使用适当的1n +元和1n -元均值不等式，再将所得结果相乘即可；（ⅱ）先研究函数()()()ln 1ln 1f x x x =---+的性质，再利用相应性质得到结果.【小问1详解】由均值不等式得()()()1133x y x y y x y y x y +=+-+≥⋅--.而当2x =，1y =时，有0x y >>，()112321x y x y +=+=--.所以()1x y x y +-的最小值是3.【小问2详解】（ⅰ）由于12,,...,0n a a a >，12...1n a a a +++=，故对1,2,...,i n =，由均值不等式有()()11121112111......1......n i i i i i n i i i i n a a a a a a a a n a a a a a a a +-+-++=++++++++≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，()()11121112111......1......n i i i n i i n a a a a a a n a a a a a --+-+-=++++++≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅.将二者相乘，得()()2222211121111......nn nii i nia n a a a a a a+--+-≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.再将该不等式对1,2,...,i n =相乘，即得()()()()()22212112222211111111n n n nn n n n nnn i i i i i i i i a n a n a n a -⋅++-====⎛⎫⎛⎫-≥-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∏∏∏.（ⅱ）对01x <<，设()()()ln 1ln 1f x x x =---+.则()1111f x x x'=--+，()()()2211011f x x x ''=+>-+.对01a b <<<，设()()()()()h u f u f b u b f b '=---，01u <<.则()()()h u f u f b '''=-，()()0h u f u ''''=>，所以()h u '在()0,1上递增.所以对0u b <<有()()()0h u f u f b '''=-<，对1b u <<有()()()0h u f u f b '''=->.这表明()h u 在()0,b 上递减，在(),1b 上递增，所以由a b ≠有()()()()()()0f a f b a b f b h a h b '---=>=.这就得到()()()()0f a f b a b f b '--->，同理有()()()()0f b f a b a f a '--->，即()()()()0f a f b a b f a '---<.再设()()()()()()11g t tf a t f b f ta t b =+--+-，01t ≤≤.则()()()()()()1g t f a f b a b f ta t b ''=---+-，()()()()210g t a b f ta t b ''''=--+-<.所以()g t '在[]0,1上递减.而()()()()()00g f a f b a b f b ''=--->，()()()()()10g f a f b a b f a ''=---<.所以一定存在01η<<，使得对0t η<<有()0g t '>，对1t η<<有()0g t '<.故()g t 在[]0,η上递增，在[],1η上递减，而()()010g g ==，结合()g t 的单调性，知对任意01t <<有()0g t >.特别地，有102g ⎛⎫>⎪⎝⎭，即()()022f a f b a b f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭，此即()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.对01b a <<<，同理有()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.而对01a b <=<，显然有()()22f a f b a b f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭.综上，对任意(),0,1a b ∈，有()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.先证明一个引理：设()12,,...,0,1n a a a ∈，则()()()1212......n nf a f a f a a a a f nn ++++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.用数学归纳法证明.①当1n =时，结论显然成立.②若结论对n k =成立，则对()122,,...,0,1k a a a ∈，有()()()()()()()()()12212122.........222k k k k k f a f a f a f a f a f a f a f a f a k k k+++++++++++=+1212212122 (1)11222k k k k kk k k a a a a a a a a a a a a f f f f k k k k ++++++++++⎛++++++⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212212122............22k k k kk k k k a a a a a a a a a a a a k k f f k ++++++++++⎛⎫+ ⎪+++++++⎛⎫≥=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭.从而结论对2n k =也成立.结合①②，可知原结论对无穷多个正整数n 成立.③若结论对1n k =+成立，则对()12,,...,0,1k a a a ∈，有()()()()()()12121212 (1)kk k k a a a f a f a f a f f a f a f a a a a k f k kk k +++⎛⎫++++ ⎪++++++⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎝⎭()()()121212.........111k k k a a a f a f a f a f a a a k k f k k k k +++⎛⎫++++ ⎪++++⎛⎫⎝⎭≥⋅ ⎪+⎝⎭1221212.........111k k k k k a a a a a a a a a k k f f k k k k +++++⎛⎫++++ ⎪++++⎛⎫≥⋅-⎪ ⎪+⎝⎭⎪⎝⎭121212 (1)1k kka a a a a a a a a k f f f k k k k k ++++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.从而结论对n k =也成立.由于原结论对无穷多个正整数n 成立，再结合③，即知原结论对任意的正整数n 成立.引理证毕，回到原题.由于我们有()()()21ln 1ln 1ln1f x x x x =---+=-，故1211111ln 122223332111111111e 1nn i i n n nna nnni i i i i i i i i i i i i i a a a n n n n n a a a a a a a =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭====++++∏⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥===⋅ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏∏∏()221111ln1111114ln11222222221eeeee111n nni i k i k k f a f a f n n n a n n n n n n n n n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑=⋅=⋅≥⋅=⋅=⋅=⋅=-⎛⎫- ⎪⎝⎭.而当121...n a a a n ====时，有2343222111113111111nnni i i i i i a n n n nn n n n a a n n n n n===++===⋅=-----∑∑∑.所以3111ni i i i a n a a =++-∑的最小值是421nn -.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对全新知识和工具的运用，适当运用工具方可解决问题.。
江西省高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 20x -=A ．B ．C ．D ．6π4π3π5π6【答案】D【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为，倾斜角为， k α∵∴，． y =tan k α==56πα=故选：D ．2．过点（2，－3）、斜率为的直线在y 轴上的截距为（ ）12-A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4【答案】B【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令，可得答案. 0x =【详解】由题意得直线方程为，令x =0，解得y ＝－2． ()1322y x +=--故选：B ．3．直线与圆的位置关系是（ ） 34120x y ++=()()22119-++=x y A ．相交且过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.【详解】圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离()11-，3r =34120x y ++=，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心． 115d r <故选:D4．在平面直角坐标系内，一束光线从点A （1，2）出发，被直线反射后到达点B （3，6），则y x =这束光线从A 到B 所经过的距离为（ ）A ．BC ．4D ．5【答案】B【分析】作出点A 关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为y x =()2,1C CB CB光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】作出点A 关于直线的对称点， y x =()2,1C 连接，交直线于点， CB y x =M 则即为光线经过路程的最小值，CB=此即光线从A 到B . 故选：B ．5．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是1:2l y kx k =++2:24l y x =-+（ ） A ．B ． 23k >-2k <C ． D ．或223k -<<23k <-2k >【答案】C【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.【详解】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标1l 2l 2k ≠-224y kx k y x =++⎧⎨=-+⎩22642k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩为．又交点在第一象限内，所以，解得． 264,22k k k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭202642kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩223k -<<方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k ，直线与x 轴、y 轴分别交于1:2(1)l y k x -=+(1,2)P -2l 点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB 上的点（不包括点A ，(2,0)A (0,4)B 1l 2l 1l B ）．因为，，所以．故A ，B ，D 错误.23PA k =-2PB k =223k -<<故选：C ．6．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） 2260x y x +-=()1,2A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】整理圆的方程，写出圆心坐标，利用圆的性质，以及两点之间距离公式，结合勾股定理，可得答案.【详解】整理为，故圆心为，半径为， 2260x y x +-=22(3)9x y -+=()3,0A 3r =设，故当与圆的弦垂直时，弦最短， ()1,2B AB=由垂径定理得：. 22==故选：B7．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为()()22124x y +++=10ax by ++=0a >0b >12a b+（ ） A ．B ．9C ．4D ．852【答案】B【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.()210,0a b a b +=>>【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，()()22124x y +++=()1,2--()1,2--10ax by ++=因此，即，210a b --+=()210,0a b a b +=>>∴， ()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取“=”， 22b a a b =13a b ==所以的最小值为9. 12a b+故选：B.8．若圆上至少有3个点到直线的距离为，则k 的取值范226:80M x y x y +-+=():13l y k x -=-52围是（ ）A ．B ．)(⎡⋃⎣[]3,3-C ．D ．(),-∞⋃+∞(),-∞+∞【答案】C【分析】圆M 先成化标准方程求得圆心，半径为5，则至少有3个点到直线l 的距离为()3,4M -52等价于圆心到直线l 的距离不超过，用点线距离公式列式求解即可 52【详解】圆M 的标准方程为，则圆心，半径为5， ()()222345x y -++=()3,4M -由题意及圆的几何性质得，圆心到直线的距离不超过， ()3,4M -():13l y k x -=-52，解得，即 52≤23k ≥k ≥k ≤故选：C二、多选题9．使方程表示圆的实数a 的可能取值为（ ） 2222210x y ax ay a a +-+++-=A ． B ．0 C ． D ．2-1-34【答案】BC【分析】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a 的取值范围. 【详解】，配方得： 2222210x y ax ay a a +-+++-=，()2223124a x y a a a ⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭要想表示圆，则，23140a a -->+解得：， 223a -<<故选：BC10．已知圆，下列结论中正确的有（ ） ()()224x a y b -+-=A ．若圆过原点，则 B ．若圆心在轴上，则224a b +=y 0b =C ．若圆与轴相切，则 D ．若圆与轴均相切，则y 2a =±,x y 2a b ==【答案】ACD【分析】将原点代入圆方程可知A 正确；由圆心为可知B 错误；由圆心坐标和半径可确定(),a b CD 正确.【详解】对于A ，若圆过原点，则，即，A 正确；()()22004a b -+-=224a b +=对于B ，由圆的方程知其圆心为，若圆心在轴上，则，B 错误； (),a b y 0a =对于C ，由圆的方程知其圆心为，半径；若圆与轴相切，则，(),a b 2r =y 2a r ==，C 正确；2a ∴=±对于D ，若圆与轴均相切，由C 知：，D 正确. ,x y 2a b ==故选：ACD.11．下列结论正确的有（ ）A ．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 ()()1,1,4,2AB ():2l y k x =-AB k []1,1-B ．点关于的对称点为()0,21yx =+()1,1C ．直线方向向量为，则此直线倾斜角为(30︒D ．若直线与直线平行，则或2 :210l x ay ++=2:210l ax y ++=2a =-【答案】BC【分析】易得直线过定点，作出图象，结合图象即可判断A ；设点关于的对l ()2,0C ()0,21y x =+称点为，则，从而可判断B ；根据直线的方向向量求得直线的斜率，即可得直线(),a b 2112122b ab a -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩的倾斜角，即可判断C ；根据两直线平行的公式即可判断D. 【详解】选项A ，作图如下：直线过定点，若与线段相交，则， l ()2,0C AB 20011,14221BC AC k k --====---直线的斜率，故A 错误；l ()(),11,k ∈-∞-+∞ 选项B ，设点关于的对称点为，()0,21y x =+(),a b则，解得，2112122b ab a -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩1a b ==所以点关于的对称点为，故B 正确；()0,21y x =+()1,1选项C ，因为方向向量为，倾斜角的正切为，又，(tan α=[)0,πα∈所以倾斜角为，故C 正确；30︒选项D ，由两直线平行可得，则，故D 错误；2222a a ⎧=⎨≠⎩2a =-故选：BC.12．已知实数x ，y 满足方程，则下列说法正确的是（ ） 224240x y x y +--+=A ．的最大值为 B ．的最小值为0 yx 43yxC ．D ．的最大值为22xy+1+x y ＋3【答案】ABD 【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A ，B ，根据的几何意义y x y x22x y +求其最值，判断C ，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.【详解】由实数x ，y 满足方程可得点在圆上，作其224240x y x y +--+=(,)x y ()()22211x y -+-=图象如下，因为表示点与坐标原点连线的斜率， yx(,)x y设过坐标原点的圆的切线方程为，解得：或， y kx =10k =43k =，，，A ，B 正确； 40,3y x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦max 43y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭min0y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为22x y +(,)x y (,)x y ，+1OC所以最大值为22x y +()21OC+所以的最大值为C 错，22xy +6+因为可化为， 224240x y x y +--+=()()22211x y -+-=故可设，，2cos x θ=+1sin y θ=+所以，2cos 1sin 34x y πθθθ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭＋所以当时，即取最大值，最大值为，D 对， 4πθ=21x y ==x y ＋3故选：ABD.三、填空题13．已知、和三点共线，则实数______． ()1,3A ()4,1B ()1,3C a +-=a 【答案】9【分析】利用直线斜率的定义列方程即可求得实数a 的值. 【详解】由题意可得，即 AB AC k k =313(3)141(1)a ---=--+解之得 9a =故答案为：914．已知两直线与，则与间的距离为______．1:60l x y -+=2:3320l x y -+-=1l 2l 【分析】先将两平行直线方程x 的系数化成相等，然后由平行直线的距离公式直接可得. 【详解】将直线的方程化为， 1l 33180x y -+-=则与间的距离1l 2ld15．已知点是直线上的点，点是圆上的点，则的最小值P 3420x y +-=Q 22(1)(1)1x y +++=PQ 是___________. 【答案】## 450.8【分析】由题意可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可 PQ 【详解】圆的圆心为，半径为1， 22(1)(1)1x y +++=(1,1)--则圆心到直线的距离为3420x y +-=， 95d 所以的最小值为，PQ 94155-=故答案为：4516．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.:420l kx y k -++=y =k 【答案】31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】先求出直线所过定点，再将曲线，可知其为l (2,4)A -y =224(0)x y y +=≥半圆，结合图像，即可求出的取值范围.k 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， l (2)40x k y +-+=l (2,4)A -又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如y =224(0)x y y +=≥(0,0)图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，l (0,0)2d 34k =-设，则， (2,0)B 40122AB k -==---由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即.l y =314k -≤<-31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭故答案为：.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭四、解答题17．已知直线l 经过直线x ＋3y -4＝0与直线3x ＋4y -2＝0的交点P ，且垂直于直线x -2y -1＝0． (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； 220x y ++=(2)1.【分析】（1）解方程组求出点P 的坐标，由垂直条件求出直线l 的斜率，并由点斜式写出方程作答. （2）求出直线l 与二坐标轴的交点坐标即可求出三角形面积作答.【详解】（1）依题意，由，解得，则，3403420x y x y +-=⎧⎨+-=⎩22x y =-⎧⎨=⎩(2,2)P -因为直线l 与直线x -2y -1＝0垂直，设直线l 的斜率为k ，则，解得k ＝-2， 112k ⨯=-所以直线l 的方程为，即2x ＋y ＋2＝0.()222y x -=-+（2）直线l ：2x ＋y ＋2＝0与x 轴的交点为，与y 轴的交点为， (1,0)-(0,2)-所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．11212S =⨯⨯=18．求适合下列条件的直线的方程：l (1)直线在两坐标轴上的截距相等，且经过点；l ()4,3P (2)直线经过点且与点和点的距离之比为. l ()2,5P -()3,2A -()1,6B -1:2【答案】(1)或 340x y -=70x y +-=(2)或 30x y ++=17290x y +-=【分析】（1）分别讨论截距存在和不存在两种情况，利用正比例函数和直线的截距式方程，带点求参即可得到直线方程；（2）分别讨论斜率存在和不存在两种情况，利用点斜式方程和点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）若直线过原点，设直线的方程为，代入点，可得， l l y kx =()4,3P 34k =则直线的方程为， l 340x y -=若直线不过原点，可设直线的方程为，代入点，可得， l l ()10x ya a a+=≠()4,3P 7a =则直线的方程为，l 70x y +-=综上所述，直线的方程为或； l 340x y -=70x y +-=（2）若直线的斜率不存在，直线的方程为， l l 2x =此时，点到直线的距离分别为，不合乎题意；A B ､l 13､若直线的斜率存在，设直线的方程为，即.l l ()52y k x +=-250kx y k ---=，整理得，解得或. 12218170k k ++=1k =-17k =-综上所述，直线的方程为或，即或.l 30x y ---=173450x y --+-=30x y ++=17290x y +-=19．已知方程表示圆，其圆心为.()2222410621190x y kx k y k k +++++++=C (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围；r (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方2k =-AB A ()0,4B C AB M 程.【答案】(1)()5,25,0,2k k ⎛⎤--- ⎥⎝⎦(2)223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】（1）利用配方法，整理圆的一般方程为标准方程，根据标准方程的成立条件，可得答案； （2）设出动点坐标，利用中点坐标公式，表示点的坐标，代入圆方程，可得答案.B 【详解】（1）方程可变为：()2222410621190x y kx k y k k +++++++=由方程表示圆， 222()(25)6x k y k k k ++++=--+所以，即得，260k k --+>32k -<<.圆心坐标为. 50,2r ⎛⎤∴== ⎥⎝⎦(),25k k ---（2）当时，圆方程为：，2k =-C 22(2)(1)4x y -++=设，又为线段的中点，的坐标为则，(),M x y M AB A ()0,4()2,24B x y -由端点在圆上运动，B C 即 22(22)(23)4x y ∴-+-=223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭线段中点的轨迹方程为. ∴AB M 223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭20．已知圆C 的圆心在直线x +y ﹣2＝0上，且经过点A （4，0），B （2，2）．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l 过点P （3，4）与圆交于M ，N 两点，且弦长l 的方程．||MN =【答案】(1)()2224x y -+=(2)x ﹣3＝0或15x ﹣8y ﹣13＝0【分析】（1）求得圆心和半径，由此求得圆的方程.（2）根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，结合弦长来求得直线的方程.l l 【详解】（1）由题意可得：，AB 中点坐标为M （3，1），则直线AB 的垂直平分线20124AB k -==--方程为y ﹣1＝x ﹣3，与直线x +y ﹣2＝0联立可得两直线的交点坐标为（2，0），即所求圆的圆心坐标为（2，0），圆的半径r ＝4﹣2＝2，圆的方程为：．()2224x y -+=（2）设圆心到直线的距离为d ，则，解得d ＝1，很明显直线斜率不存在时，直线=x ﹣3＝0满足题意，当直线斜率存在时，设直线方程为：y ﹣4＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k +4＝0，，解得，则直线方程为，即15x ﹣8y ﹣13＝0， 1=158k =151534088x y --⨯+=综上可得，直线方程为x ﹣3＝0或15x ﹣8y ﹣13＝0．21．如图，某海面上有O ，A ，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处．以O 为坐标原点，O的正东方向为x 轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C 经过O ，A ，B 三点．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?【答案】(1)；2220600x y x y +--=(2)该船有触礁的危险．【分析】（1）根据给定条件，求出点A ，B 的坐标，设出圆C 的一般方程，利用待定系数法求解作答.（2）求出船D 的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.【详解】（1）依题意，因A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛， ()40,40A 又B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处，则，()20,0B 设过O ，A ，B 三点的圆C 的方程为，220x y Dx Ey F ++++=则，解得，222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩20600D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以圆C 的方程为．2220600x y x y +--=（2）因船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，则，(20,D --而船D 沿着北偏东45°方向行驶，则船D 的航线所在直线l 的斜率为1，直线l的方程为， 200x y -+-=由（1）知，圆C 的圆心为，半径()10,30C r =则圆心C 到直线l 的距离，d d r <所以该船有触礁的危险. 22．已知直线与圆.:(2)(12)630l m x m y m ++-+-=22:40C x y x +-=(1)求证：直线l 过定点，并求出此定点坐标；(2)设O 为坐标原点，若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，ON 的斜率分别为，，则1k 2k 是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．12k k +【答案】(1)证明见解析，定点(0,3)(2)是定值，定值为43【分析】（1）由已知可得根据过定点(2)(12)630,m x m y m ++-+-=(23)(26)0.x y m x y +-+-+=的直线系方程计算方法可得l 恒过定点(0,3).（2）设出直线的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.l 【详解】（1）由直线得， :(2)(12)630l m x m y m ++-+-=(26)(23)0m x y x y -+++-=联立，解得， 260230x y x y -+=⎧⎨+-=⎩03x y =⎧⎨=⎩直线l 恒过定点.∴(0,3)（2）圆的圆心为，半径为，直线过点，22:40C x y x +-=()2,02l ()0,3直线l 与圆C 交于M ，N 两点，则直线l 的斜率存在，设直线l 方程为，3y kx =+联立，得， 22340y kx x y x =+⎧⎨+-=⎩22(1)(64)90k x k x ++-+=设，，则，， 11(,)M x y 22(,)N x y 122641k x x k -+=-+12291x x k =+ 12121212121212333()3(46)422.93y y kx kx x x k k k k k x x x x x x +++-+=+=+=+=+=是定值，定值为 12k k ∴+4.3。
高二数学试卷带答案解析
高二数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知下列命题： ①命题“存在”的否定是“任意”；②已知为两个命题，若“或”为假命题，则“非且非为真命题”； ③“”是“”的充分不必要条件； ④“若，则且”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．②D ．④ 2.已知函数，若是函数的一条对称轴，且，则点所在的直线为（ ）A ．B ．C ．D ．3.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为( )A ．B ．C ．D ．4.设，，，则（ ） A ．B ．C ．D ．5.下列命题中正确的有．（ ） ①若,则函数在取得极值；②直线与函数的图像不相切；③若（为复数集），且的最小值是；④定积分．A．①④ B．③④ C．②④ D．②③④6.在中，内角所对的边分别为，其中，且面积为,则( )A． B． C． D．7.已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为 ( )A． B． C． D．8.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ( )．A．60件B．80件C．100件D．120件9.已知圆的半径为6.5 cm，圆心到直线l的距离为4.5 cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是A．0 B．1 C．2 D．不能确定10.为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记为10个同学的得分总和，则的数学期望为（）A．30 B．40 C．60 D．8011.设集合，则等于（）A． B． C． D．12.函数的图象大致是（）13.若,使不等式在上的解集不是空集的的取值是( )A． B． C． D．以上均不对14.抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且它们的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为 ( ) A． B． C．3 D．15.数列的前项和为，若，点在直线上.(Ⅰ)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和；16.圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．π B．2π C．π D．π17.已知全集U为实数集R，集合M＝{x|＜0}，N＝{x||x|≤1}，则右图中阴影部分表示的集合是()A．[－1,1]B．(－3,1]C．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)18.已知，则（）A．1 B．9 C．1或2 D．1或319.若集合，则集合A∩B的元素个数为( )A．0 B．2 C．5 D．820.已知命题P：n∈N，2n＞1000，则p为A．n∈N，2n＞1000B．n∈N，2n≤1000C．n∈N，2n≤1000D．n∈N，2n＜1000二、填空题21.设，且（为虚数单位）为正实数，则；22.已知：中，于，三边分别是，则有；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体中，，的面积分别是，二面角的度数分别是，则．23.当∈{－1，，1,3}时，幂函数的图象不可能经过第象限．24.命题：，的否定是 .25.已知函数f (x )=x (x －c )2在x =2处有极大值，则实数c = ▲ . 26.命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为__________________． 27.已知函数，则导数．28.已知集合，，若，则实数的值为 .29.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ∈N *)，给出下列说法：①数列{a n }中的最大项和最小项分别是a 10，a 9； ②数列{a n }中的最大项和最小项分别是a 9，a 10； ③数列{a n }中的最大项和最小项分别是a 1，a 9； ④数列{a n }中的最大项和最小项分别是a 1，a 10. 其中，说法正确的是________．(填序号) 30.已知向量，若，则 ；三、解答题31.已知过点的直线交抛物线于两点，直线交轴于点．（1）设直线的斜率分别为，求的值；（2）点为抛物线上异于的任意一点，直线交直线于两点，，求抛物线的方程．32.已知(＋x 2)2n 的展开式中各项系数的和比(3x －1)n 的展开式中二项式系数的和大992，求2n的展开式中： （1）第10项(2) 常数项；(3) 系数的绝对值最大的项．33.（本小题满分12分）如图，多面体中，底面是菱形，，四边形是正方形，且平面．（1）求证：平面；（2）若，求多面体的体积． 34.记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.（1）求①；②；（2）若,且,求实数的取值范围.35.设函数，（1）若在上存在单调增区间，求实数的取值范围；（2）当时在上的最小值为，求在该区间上的最大值.参考答案1 .C【解析】试题分析：对于①中，命题“存在”的否定是“任意”，所以是不正确的；对于②中，已知为两个命题，若“或”为假命题，则命题都是假命题，则非且非都是真命题，所以“非且非为真命题”，所以是正确的；对于③中，“”是“”的必要不充分条件，所以是不正确的；对于④中，“若，则且”是假命题，所以它的逆否命题也假命题，所以是不正确的，综上所述，只有②是正确的，故选C．考点：命题的真假判定．2 .A【解析】试题分析：由题意得，，由，得，即函数的对称轴为，∵是函数的一条对称轴，∴,则，即，即，则点所在的直线为，故本题正确答案为A.考点：两角和与差的正弦函数.【方法点睛】本题主要考查的是三角函数的化简，以及三角函数的图象与性质，利用辅助角公式将函数进行化简，属于中档题，首先本题要利用辅助角公式构造出新的三角函数，因此可得到函数的对称轴为，通过对对称轴的处理可得到，进而可得到点所在的直线为，因此利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键.3 .D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，且底面积为，其高为，所以该几何体的体积，故选D.考点：三视图.4 .C【解析】试题分析：因为，所以．考点：1．对数；2．大小比较．5 .D【解析】试题分析：由导数的图像，①是该点处有极值的必要条件，反例如；。
浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。
广东省佛山市2023-2024学年高二上学期开学考试 数学含解析
佛山市2023~2024学年第一学期开学考试高二数学试题（答案在最后）第I 卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.若1i 1i z=-+，则复数z 的共轭复数为（）A.0B.1C.2D.－22.圆锥的表面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为（）A.2B.3C.1D.3.已知6a =，向量e 为单位向量，π,3a e <>=，则向量a 在向量e方向上的投影向量为（）A.3B.3eC.3e -D.4.某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（）A.10B.15C.20D.305.已知m ，n 为两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，下列为真命题的是（）A.,//m n m n αα⊥⇒⊥B.//,n n ββαα⊥⇒⊥C.//,m n m n ββ⊥⇒⊥ D.//,//m n m nαα⊂⇒6.如图，在下列四个正方体中，A ，B ，C ，D 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A ，B ，C ，D 四点共面的是（）．A. B.C. D.7.直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若2AB AE =，3AD AF = ，AC AK λ=uuu r uuu r（R λ∈），则λ=（）A.2B.52C.3D.58.如图，在平面四边形ABCD 中，△BCD 是边长为7的等边三角形，3120AD BAD ∠== ，，则△ABC 的面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若向量()0,1a = ，()2,1b =-r ，()1,1c =，则（）A.()//a b c- B.()a b c-⊥ C.()a b c -⋅> D.2a b c-= 10.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论中正确的是（）A.()g x 的最小正周期为πB.直线6x π=是()g x 图象的一条对称轴C.()g x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()g x 图像关于原点对称11.小赵于2021年10月1日投资了一款理财产品，2021年10月1日至14日每日收益（单位：元）如折线图所示，则下列说法正确的是（）A.10月6日与10月9日的收益相等B.10月2日至10月5日的每日收益递增C.10月1日至10月14日每日收益的中位数为103.5元D.与前一日相比，10月5日的收益增加最多12.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 是边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE （点A 1不落在底面BCDE 内），连接A 1B 、A 1C ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 的翻折过程中，以下结论正确的是（）A.BM ∥平面A 1DE 恒成立B.1A A DE V -：1A BCDE V -=1：3C.存在某个位置，使DE ⊥A 1CD.线段BM 的长为定值第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 与b的夹角为120°，且4a b == ，那么()3b a b ⋅+ 的值为______.14.正三棱台上下底面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台的体积为______.15.一半径为4m 的水车，水车圆心O 距离水面2m ，已知水车每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水车上P 点从水中浮现时开始计时，即从图中0P 点开始计算时间，当10t =秒时，点P 离水面的高度是______m.16.在ABC 中，60,2,6BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==．（1）若3AB AC = ，求AB CD ⋅的值；（2）若AP AB AD =+，求AP 的最大值．18.已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()()sin sin sin sin .a c A C b A B +-=-（1）求角C ；（2）若ABC 为锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围.19.设向量)3sin ,sin a x x =，()cos ,sin b x x = ，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）若a b =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值．20.如图，在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ，AC ＝BC ，O 为AB 的中点，SO ⊥平面ABC ，AB ＝4，OC ＝2，N 是SA 的中点，CN 与SO 所成的角为α，且tanα＝2.(1)证明：OC ⊥ON ；(2)求三棱锥S —ABC 的体积．21.2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺､不可违.某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄统计如下表：年龄[)25,35[)35,45[)45,55[)55,65[)65,75[)75,85人数510a35b 15频率0.050.100.150.35c0.15（1）求,,a b c 的值，并作出调查群众年龄的频率分布直方图；（2）求这100名受访群众年龄的平均数x 和中位数(同一组数据用该区间的中点值代替)；（3）该记者为了感谢参与调查的群众，根据不同年龄阶段的人群发放不同的礼品，其中对年龄大于m 岁的人奖励紫砂杯，为了使30%的群众得到该奖励，试求m 的值.22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC ==，AC =E ，F 为线段1BB ，1AC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面11A ACC ；（2）若直线EA 与平面ABC 所成的角大小为6π，求点C 到平面1AEC 的距离．佛山市2023~2024学年第一学期开学考试高二数学试题第I 卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.若1i 1i z=-+，则复数z 的共轭复数为（）A.0B.1C.2D.－2【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法运算求出复数z ，再求出其共轭复数作答.【详解】依题意，(1i)(1i)=2z =-+，所以复数z 的共轭复数为2.故选：C2.圆锥的表面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为（）A.2B.3C.1D.【答案】A 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，根据圆锥的表面积为12π，母线长为4，由212S r rl πππ=+=求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，因为圆锥的表面积为12π，母线长为4，所以212S r rl πππ=+=，即24120r r +-=，解得2r =或6r =-（舍去）故选：A3.已知6a =，向量e 为单位向量，π,3a e <>=，则向量a 在向量e方向上的投影向量为（）A.3B.3eC.3e -D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为6a = ，向量e为单位向量，π,3a e <>= ，则π1cos 61332a e a e ⋅=⋅=⨯⨯= ，则向量a 在向量e方向上的投影向量为3a e e e e⋅⋅=.故选：B4.某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（）A.10 B.15C.20D.30【答案】C 【解析】【分析】先求得中学中的女生人数，然后根据样本容量，按照比例求解.【详解】因为共有学生2500人，其中男生1500人，所以女生有1000人，所以样本中女生的人数为100050202500⨯=人故选：C【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.5.已知m ，n 为两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，下列为真命题的是（）A.,//m n m n αα⊥⇒⊥B.//,n n ββαα⊥⇒⊥C.//,m n m n ββ⊥⇒⊥D.//,//m n m nαα⊂⇒【答案】C 【解析】【分析】ABD 项均可举出反例，C 项可用线面垂直的判定定理说明【详解】A.,//m n m α⊥，则n 也可在平面α内，故选项A 不正确.B.//,n ββα⊥，则n 也可在平面α内,故选项B 不正确.C.//,m n m n ββ⊥⇒⊥成立两平行线,m n ，m ⊥平面β，m 必垂直于β内的两条相交直线，则n 必定垂直于β内那两条相交直线，故n β⊥,故C 正确.D.//,m n αα⊂，则,m n 也可是异面直线的关系.故选项D 不正确.故选：C6.如图，在下列四个正方体中，A ，B ，C ，D 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A ，B ，C ，D 四点共面的是（）．A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断.【详解】由正方体性质，选项A ，B ，C 中，A ，B ，C ，D 四点显然不共面．对于D 选项，如下图取E ，F 为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF ，易知ADCEBF 为平面正六边形，所以A ，B ，C ，D 四点共面．故选：D7.直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若2AB AE =，3AD AF = ，AC AK λ=uuu r uuu r（R λ∈），则λ=（）A.2 B.52C.3D.5【答案】D 【解析】【分析】根据题意将AK用,AE AF表示出来，然后结合三点共线定理，即可求得结果.【详解】∵2AB AE = ，3AD AF =，AC AK λ=uuu r uuu r ∴11123()(23)AK AC AB AD AE AF AE AF λλλλλ==+=+=+uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ，由E ，F ，K 三点共线可得231λλ+=,∴5λ=.故选:D8.如图，在平面四边形ABCD 中，△BCD 是边长为7的等边三角形，3120AD BAD ∠== ，，则△ABC 的面积为（）A.B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】先利用余弦定理求得AB 的长度，再去求sin ABC ∠的值，进而可求得△ABC 的面积.【详解】由2222cos120BD AD AB AD AB =+-⋅ ，可得222733AB AB =++，解之得5AB =或8AB =-（舍）则22257313cos 25714ABD +-∠==⨯⨯，又()0,πABD ∠∈，则sin ABD ∠=则π113sin sin 31421427ABC ABD ⎛⎫∠=∠+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭则△ABC 的面积为157sin 2ABC ⨯⨯∠=故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若向量()0,1a = ，()2,1b =-r ，()1,1c =，则（）A.()//a b c- B.()a b c-⊥ C.()a b c -⋅> D.2a b c-= 【答案】BD 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示，数量积和向量的模的坐标，逐项判定，即可求解.【详解】由题向量()()()2,0,1,1,1,1a b c -===，可得()2,2a b -=-，可得21210-⨯+⨯=，所以()a b c -⊥ ，所以AC 错误，B 正确；又由a b -= ，2c = 2a b c -=，所以D 正确.故选：BD.10.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论中正确的是（）A.()g x 的最小正周期为πB.直线6x π=是()g x 图象的一条对称轴C.()g x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()g x 图像关于原点对称【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角函数图象变换规律得出()sin 2g x x =，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项；计算6g π⎛⎫⎪⎝⎭的值可判断B 选项；由()sin 2g x x =，在352,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调性可判断C 选项；利用奇函数的定义可判断D 选项.【详解】将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得到函数()sin 2sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象.对于A 选项，函数()sin 2g x x =的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确；对于B 选项，3sin 1632g ππ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，35,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则352,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()sin 2g x x =，在352,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 选项正确；对于D 选项，函数()sin 2g x x =的定义域为R ，()()()sin 2sin 2g x x x g x -=-=-=-，所以，函数()sin 2g x x =为奇函数，D 选项正确.故选：ACD.11.小赵于2021年10月1日投资了一款理财产品，2021年10月1日至14日每日收益（单位：元）如折线图所示，则下列说法正确的是（）A.10月6日与10月9日的收益相等B.10月2日至10月5日的每日收益递增C.10月1日至10月14日每日收益的中位数为103.5元D.与前一日相比，10月5日的收益增加最多【答案】ABC【解析】【分析】根据折线图上的数据可直接得到AB 是正确的，10月1日至10月14日每日收益的中位数为86121103.52+=故C 也正确，10月8日和前一日比较收益增加最多，故D 错误.【详解】由题中折线图可知，10月6日与10月9日的收益均为160元，故A 正确；由题中折线图可以看出，10月2日至10月5日的每日收益递增，故B 正确；10月1日至10月14日每日收益的中位数为86121103.52+=（元），故C 正确；10月8日比前一日收益增加21740177-=（元），而10月5日比前一日收益增加22014377-=（元），10月8日和前一日比较收益增加177元，故D 错误．故选：ABC ．12.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 是边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE （点A 1不落在底面BCDE 内），连接A 1B 、A 1C ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 的翻折过程中，以下结论正确的是（）A.BM ∥平面A 1DE 恒成立B.1A A DE V -：1A BCDE V -=1：3C.存在某个位置，使DE ⊥A 1CD.线段BM 的长为定值【答案】ABD【解析】【分析】对A ，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，即可证明；对B ，分别计算1A A DE V -，1A BCDE V -证明即可；对C ，由A 1C 在平面ABCD 中的射影在AC 上，再判断即可；对D ，在MFB 中利用余弦定理证明即可【详解】解：取CD 中点F ，连接MF ，BF ，如图所示，则MF ∥A 1D ，FB ∥DE ，则可得平面MBF ∥平面A 1DE ，∵BM ⊂平面MBF ，BM ⊄平面A 1DE ，∴BM ∥A 1DE ，故A 选项正确，设A 1到平面EBCD 的距离为h ，D 到AB 的距离为h '，则1111××33A A DE A BCDE ADE EBCD V V S h S h --⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭四边形：：1'2ADE EBCD S S AE h ==⨯⨯ 四边形：：()1×+×'132CD BE h ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦：，故B 选项正确，A 1C 在平面ABCD 中的射影在AC 上，∵AC 与DE 不垂直，∴DE 与A 1C 不垂直，故C 选项错误，∵∠MFB ＝∠A 1DE ＝45°，又∵由余弦定理，可得MB 2＝MF 2+FB 2﹣2MF •FB •cos ∠MFB ，且MF ，FB 为定值，∴MB 为定值．故选：ABD ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 与b 的夹角为120°，且4a b == ，那么()3b a b ⋅+ 的值为______.【答案】－8【解析】【分析】先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.【详解】解：()2233344cos12048b a b a b b ⋅+=⋅+=⨯⨯⨯︒+=- .故答案为：-8.【点睛】本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基础题.14.正三棱台上下底面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台的体积为______.【答案】2134【解析】【分析】将正三棱台补全为三棱锥，有正三棱台的体积P A B C P ABC V V V '''--=-，即可求体积.【详解】如下图，正三棱台ABC A B C '''-，将其补全为三棱锥P A B C '''-，PO 为其高，∴正三棱台的体积P A B C P ABC V V V '''--=-，由题设易知4,33,7PC A D PD ''===，∴设PO x =2271633x x -+-=，即三棱锥P A B C '''-的高2PO =，故-P ABC 的高为1，∴1111213266sin 60133sin 6032324V =⨯⨯⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯⨯⨯︒=.故答案为：213415.一半径为4m 的水车，水车圆心O 距离水面2m ，已知水车每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水车上P 点从水中浮现时开始计时，即从图中0P 点开始计算时间，当10t =秒时，点P 离水面的高度是______m.【答案】4【解析】【分析】根据匀速圆周运动的数学模型进行求解.【详解】因为0OP =4，圆心O 到水面的距离为2，所以0P 到x 轴的距离为2，所以x 轴与0OP 所成角为6π，由题知水车转动的角速度为6= /6010rad s ππ因为水车的半径为4，设P 点到水面的距离为y ，根据匀速圆周运动的数学模型有：4sin()2106y t ππ=-+当t =10秒时，y =4，所以点P 离水面的高度是4m .故答案为：4.16.在ABC中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =+由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：1212AD b +==+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b=+由正弦定理可得，2sin 60sin sin b B C==，解得：sin 4B =，sin 2C=，因为1+>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==．（1）若3AB AC = ，求AB CD ⋅ 的值；（2）若AP AB AD =+ ，求AP 的最大值．【答案】（1）34-（2）2【解析】【分析】（1）根据向量的几何意义做出图形，然后根据向量的线性运算及数量积运算法则进行计算即可；（2）令N 为BD 的中点，则2,AP AB AD AN =+= 结合当,,B C D 三点共线时，DB 最大，即可求解.【小问1详解】如图①，因为3AB AC = ，所以12AC CB = ，且1CB =，则1122AC CB == ，332AB AC == ，又AB AD ⊥，则0AB AD ⋅=uu u r uuu r ，又因为()AB CD AB AD AC ⋅=⋅- =AB AD AB AC⋅-⋅ 0|cos 0AB AC =-⋅ 313;224=-⨯=-【小问2详解】如图②，令N 为BD 的中点，则2,AP AB AD AN =+=所以,,A N P 三点共线，若,,B C D 形成三角形，则有CD CB BD +>,故2,DB <所以当,,B C D 三点共线时，DB 最大，为2，此时1AN =,故AP 的最大值为2 2.AN = 18.已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()()sin sin sin sin .a c A C b A B +-=-（1）求角C ；（2）若ABC 为锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围.【答案】（1）3π；（2）(.【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得222a b c ab +-=，利用余弦定理，求得1cos 2C =，即可求解；（2）由（1）得3C π=，根据ABC 为锐角三角形，求得62B ππ<<，利用正弦定理和面积公式，以及三角恒等变换的公式化简得到6tan S B =+，进而求得面积的取值范围.【详解】（1）因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，由正弦定理，可得()()()a c a c b a b +-=-，整理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c C ab a ab b +-===，又因为(0,)C π∈，所以3C π=.（2）由（1）知：3C π=，所以23A B π+=，因为ABC 为锐角三角形，所以022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，又由正弦定理知sin sin b c B C =，可得23sin c B =，所以ABC的面积为112sin 4sin()22sin 3S bc A B B π==⨯⨯⨯-2sin()3sin B Bπ-=1cos sin 6cos 6222sin sin tan B B B B B B B++===+因为62B ππ<<，所以tan 3B >，可得60tan B <<，所以6tan B <+<，即S <<，所以ABC的面积的取值范围是(.【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.19.设向量),sin a x x = ，()cos ,sin b x x = ，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）若a b = ，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅ ，求()f x 的最大值．【答案】（1）π6（2）32【解析】【分析】（1）由向量模长的坐标表示，结合同角平方关系即可求解.（2）由数量积的坐标表示，及三角恒等变换即可求解.【小问1详解】∵a b =，),sin a x x = ，()cos ,sin b x x = ，∴22a b = ，即22223sin sin cos sin x x x x +=+，得21sin 4x =，又∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则sin 0x >，∴1sin 2x =，解得π6x =.【小问2详解】()2cos sin f x a b x x x=⋅=+31sin 2(1cos 2)22x x =+-11sin 2cos 2222x x =-+π1sin 262x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,666x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()max 32f x =20.如图，在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ，AC ＝BC ，O 为AB 的中点，SO ⊥平面ABC ，AB ＝4，OC ＝2，N 是SA 的中点，CN 与SO 所成的角为α，且tanα＝2.(1)证明：OC ⊥ON ；(2)求三棱锥S —ABC 的体积．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得OC ⊥AB ，再根据线面垂直性质得OC ⊥SO ，最后根据线面垂直判定定理得OC ⊥平面SAB ，即得结果，（2）先确定线面角，解得高SO ，再根据锥体体积公式求结果.【详解】(1)证明∵AC ＝BC ，O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，又SO ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥SO ，又AB ∩SO ＝O ，AB ，SO ⊂平面SAB ，∴OC ⊥平面SAB ，又∵ON ⊂平面SAB ，∴OC ⊥ON .(2)解设OA 的中点为M ，连接MN ，MC ，则MN ∥SO ，故∠CNM 即为CN 与SO 所成的角α，又MC ⊥MN 且tanα＝2，∴MC ＝2MN ＝SO ，又MC ＝即SO ∴三棱锥S —ABC 的体积V ＝13Sh ＝13⨯12⨯2⨯4⨯＝453.【点睛】本题考查线面垂直判定与性质以及锥体体积公式，考查基本分析论证求解能力，属中档题.21.2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺､不可违.某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄统计如下表：年龄[)25,35[)35,45[)45,55[)55,65[)65,75[)75,85人数510a 35b 15频率0.050.100.150.35c 0.15（1）求,,a b c 的值，并作出调查群众年龄的频率分布直方图；（2）求这100名受访群众年龄的平均数x 和中位数(同一组数据用该区间的中点值代替)；（3）该记者为了感谢参与调查的群众，根据不同年龄阶段的人群发放不同的礼品，其中对年龄大于m 岁的人奖励紫砂杯，为了使30%的群众得到该奖励，试求m 的值.【答案】（1）15,20,0.2a b c ===，图见解析；（2）平均数为60，中位数为60.714；（3）67.5m =.【解析】【分析】（1）根据频率分布表中的数据求得a ，b ，c ，再作出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，利用平均数和中位数公式求解；（3）根据年龄在[65,85]的频率为0.350.3>，由(75)0.020.150.3m -⨯+=求解.【详解】（1）由题可知，0.15100a =，所以15a =，10051015351520b =-----=，从而200.2100c ==.作出频率直方图如下：（2）平均数300.05400.1500.15600.35700.20800.1560x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，中位数=0.50.050.10.155560.7140.035---+≈.（3）由题意知，年龄在[65,85]的频率为0.350.3>，所以(75)0.020.150.3m -⨯+=，解得67.5m =.22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC ==，AC =E ，F 为线段1BB ，1AC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面11A ACC ；（2）若直线EA 与平面ABC 所成的角大小为6π，求点C 到平面1AEC 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取BC 的中点M ，连结,FM BM ，可得EF BM ∥，通过证明BM ⊥平面11A ACC 可得；（2）利用等体积关系11E ACC C AEC V V --=可得.【小问1详解】证明：取BC 的中点M ，连结,FM BM ，∵在1ACC △中，F 、M 分别为1AC 、AC 的中点，∴112FM CC =且1FM CC ∥，又在直三棱柱111ABC A B C -中，E 是1BB 的中心，∴112BE CC =且1BE CC ∥，∴BE FM =且BE FM ∥，∴四边形BEFM 为平行四边形，∴EF BM ∥，∵在ABC 中，M 为AC 的中点，且1,AB BC AC ===，∴BM AC ⊥，且2BM =，∵1CC ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴1CC BM ⊥，又1CC AC C =I ，∴BM ⊥平面11A ACC ，∴EF ⊥平面11A ACC ；【小问2详解】由（1）知，2EF BM ==，1EF AC ⊥，因为直线EA 与平面ABC 所成的角大小为π6，π6EAB ∠=∴，因为R t EAB 中，1AB =，tan 3BE AB EAB =⋅∠=∴，113CC BB ==∴，13AC ==∴，111111,2623EAC ACC S EF AC S AC CC =⋅==⋅= ∴，设点C 到平面1AEC 的距离为d ，11E ACC C AEC V V --= ，111133ACC AEC S EF S d ⋅=⋅ ∴，即11=33236d ⋅⋅⋅⋅，解得5d =.。