高等数学：6-1 常微分方程的基本概念

一、可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成 g( y)dy f ( x)dx
的形式，则原方程称为 可分离变量的微分方程.
例如
dy
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
可分离变量的微分方程的解法
分离变量法
设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
设函数G( y)和F(x)是依次为 g( y)和 f (x)的原
方程
d2 dt
x
2
k
2
x
0的解.
并求满足初始条件
x
t0
A,
dx dt
t0
0的特解.
解
dx dt
kC1
sin
kt
kC2
cos kt,
d2x dt 2
k 2C1
cos kt
k 2C2
sin
kt ,
将
d2 dt
x
2
和x的表
达式代
入原方
程,
k 2(C1 cos kt C2 sin kt) k 2(C1 cos kt C2 sin kt) 0.
代入微分方程能使方程成为恒等式的 函数 称为 微分方程的 解. 微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y, y y 0,
通解 y ce x ; 通解 y c1 sin x c2 cos x;
初始条件: 用来确定任意常数的条件. y( x0 ) y0 , y( x0 ) y0 , , y(n1) ( x0 ) y0(n1) (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
第六章 常微分方程
已知 y f ( x), 求 y — 不定积分问题 推广
已知含y 及其若干阶导数的方程, 求 y — 常微分方程问题
第一节 常微分方程的基本概念
引例 微分方程的概念 微分方程的解
一、引例
例 1 一 曲线 通过点 (1,2),且 在该曲线 上任 一点
M ( x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.
函数,则 G( y) F ( x) C 为微分方程的通解.
例1. 求微分方程
的通解.
解:分离变量得 d y 3x2 d x 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
两边积分
变形, 因此可能增、 减解.
得 ln y x3 C1
即
令 C eC1
( C 为 任意 常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
解 设所求曲线为 y y( x)
y 2x y 2xdx 即 y x2 C,
其中 x 1时, y 2
求得 C 1,
所求曲线方程为 y x2 1 .
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动
后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
故 x C1 coskt C2 sin kt 是原方程的解.
x t0 A,
dx 0,
dt t0
C1 A, C2 0.
所求特解为 x Acos kt.
内容小结
微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 说明: 通解不一定是方程的全部解.
例如,方程 ( x y) y 0 有解
开始制动到列车完全停住共需 t 20 50(秒), 0.4
列车在这段时间内行驶了
s 0.2 502 20 50 500(米).
二、微分方程的概念
微分方程: 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量 之间的关系的方程叫微分方程.
例如 y xy, y 2 y 3 y e x ,
(t 2 x)dt xdx 0,
解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2 0.4
v
ds dt
0.4t
C1
s 0.2t 2 C1t C2
t 0时, v ds 20, s 0,
dt
代入条件后知
C1 20, C2 0
故 v ds 0.4t 20, dt
s 0.2t 2 20t,
成正比,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解:根据牛顿第二定律列方程 m dv mg kv
初始条件为 v t0 0
引例1
dy dx
2x
y x1 2
初始条件
y x2 C 通解
y x2 1 特解
引例2
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
初始条件
s 0.2 t 2 C1t C2 通解
s 0.2t 2 20t
特解
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt 是微分
方程中所含未知函数导数的 最高阶数 叫做微分方程的 阶
.
y xy, y 2 y 3 y e x ,
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F( x, y, y,, y(n) ) 0 或 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
三、微分方程的解
微分方程的解:
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
解:Biblioteka Baidu据题意,有
dM M ( 0)
dt
M t0 M0 (初始条件)
求在
对方程分离变量,然后积分:
得 ln M t lnC, 即 M C e t M
利用初始条件,得 C M0
M0
故所求铀的变化规律为 M M0 e t . o
t
例4. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
y=–x 及 y=C 后者是通解, 但不包含前一个解.
第二节 一阶微分方程
可分离变量的微分方程 一阶线性微分方程 几类可降阶的高阶微分方程
形如 y f ( x, y) 或 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
的微分方程称为 一阶微分方程。 后者 x 与 y 对称，既可以把 x 看作自变量， 也可把 y 看作自变量.
例2.解初值问题 x yd x ( x2 1) d y 0
y(0) 1
解: 分离变量得
dy
x
y 1 x2 dx
两边积分得
即 y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
1 y
x2 1
例3. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子
的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为