新高一数学衔接课专题一 因式分解

三、十字相乘法
例5 (1)2 x 7 x 3
2
(2)3 x 10 3
2
(3)12 x 5 x 2
2
(4)5 x 6 xy 8 y
2
2
(5)( x 2 x ) 7( x 2 x ) 8 2 (6)x 2 x 15 ax 5a
2 2
四、配方法 【例6】因式分解：
7 6 6 6 3 3 3 3
或a ab a(a b ) a(a b )(a a b b ) 2 2 2 2 2 2 2 a(a b )[(a b ) a b ] 2 2 2 2 a(a b)(a b)(a ab b )(a ab b ).
a1 把 a1 , a2 , c1 , c2 写成 a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

c1 c2 ，这里按斜线交叉相乘，再相
2 a c a c ax bx c 就可以 2 1 ，那么 加，就得到 1 2
分解成 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) ． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式 分解因式的方法，叫做十字相乘法．
三、十字相乘法
1． x2 ( p q) x pq 型的因式分解
x ( p q ) x pq x px qx pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q )
2 2
【例4】因式分解： (1)x 2 13 x 36
a b (a b)(a ab b )
3 3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
3 2 2
两个数的立方和 ( 差 ) ，等于这两个数的和 (差 )乘 以它们的平方和与它们积的差(和)．
【例1】因式分解：
(1) 8 x 3
(2) 125 27b 3
(2)x xy 6 y 2 2 （3）a b 7ab 10 2 2 2 (4)( x x ) 8( x x ) 12
2 2
答案：（4） （x 3)( x 2)( x 2)( x 1).
三、十字相乘法
2．一般二次三项式 ax 2 bx c 型的因式分解
(a1 x c1 )(a2 x c2 ) a1a2 x 2 (a1c2 a2c1 ) x c1c2 ．
2 a a x 反过来， 1 2 (a1c2 a2c1 ) x c1c2 (a1 x c1 )(a2 x c2 )
二次项系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解成 c1c2 ，
7 6 6 6 2 2 4 2 2 4
二、分组分解法
【例2】因式分解 2x2 + 4xy +2y2 -8z2
解 : 2 x 2 4 xy 2 y 2 8z 2 2( x 2 2 xy y 2 4 z 2 ) 2[( x y )2 ( 2 z )2 ] 2( x y 2 z )( x y 2 z ).
2 2
说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法， 配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差 公式分解．
五、拆(添)项法 【例7】因式分解：
3 2
x 3x 4
3 2
3 2
解 : x 3 x 4 ( x 1) (3 x 3)
( x 1)( x x 1) 3( x 1)( x 1)
；
（4）( x2 2x)2 7( x2 2x) 12 .
2．ABC 三边 a, b, c , 满足 a 2 b2 c2 ab bc ca 试判定 ABC 的形状。 3．分解因式：x 2 x a 2 a .


初高中数学衔接课
2014年7月3日星期四
前测 一、完成下列因式分解，思考所用方法：
(1) x 9
2
(2) x 6 x 9 2 (3) 3xy 6 xyz
2
(4)a x a y b x b y
2 2 2 2
(5) x 3x 2
2
一、公式法(立方和、立方差公式)
2
( x 1)[( x x 1) 3( x 1)] 2 ( x 1)( x 4 x 4) 2 ( x 1)( x 2) .
2
后测
1 分解因式： 2 2 x 5xy 6 y ； （ 1） （3）x 5 x 3
2
（ 2） 6 x 2 x 1 ；
【例3】因式分解 ab(c2-d2)-(a2-b2)cd
解 : ab(c 2 d 2 ) (a 2 b 2 )cd abc 2 abd 2 a 2cd b 2cd (abc 2 a 2cd ) (b 2cd abd 2 ) ac(bc ad ) bd (bc ad ) (bc ad )(ac bd ).
4
(3)3a b 81b
3
(4)a ab
7
6
解 : (1) 8 x 3 23 x 3 ( 2 x )( 4 2 x x 2 ). 3 3 3 2 2 ( 2) 125 27b 5 (3b) (5 3b)[5 5 3b (3b) ] (5 3b)( 25 15b 9b 2 ).
(1) x 6 x 16
2
(2)x 4 xy 4 y
2
2
解 : (1)x 2 6 x 16 ( x 3)2 52 ( x 8)( x 2).
(2)x 2 4 xy 4 y 2 ( x 2 4 xy 4 y 2 ) 8 y 2
( x 2 y) 8 y ( x 2 y 2 2 y )( x 2 y 2 2 y ).
一、公式法(立方和、立方差公式)
解 : (3) 3a b 81b 3b(a 27b ) 3b(a 3b)(a 3ab 9b ).
3 4 3 3 2 2
(4) a ab a(a b ) a (a b )(a b ) 2 2 2 2 a(a b)(a ab b )(a b )(a ab b ) 2 2 2 2 a(a b)(a b )(a ab b )(a ab b ).