新高一数学衔接课专题一因式分解

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新高一数学衔接课专题一因式分解教案

专题一因式分解(2课时）教学目标：使学生掌握因式分解的几种典型方法（提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，配方法，求根法）重点：十字相乘法分解因式难点：灵活选择适当方法分解因式教学方法：启发法，讨论法学法指导：带领学生复习初中因式分解的相关知识，为高中知识的学习做好铺垫。

讲练结合。

教具：多媒体教学过程：一、知识前测（通过做题回顾初中所学习的因式分解的方法）1.完成下列因式分解，并思考所用的方法。

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、配方法、拆(添)项法等等．一、公式法我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b ca b c a b b c a c ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b a b b -=-+- 二、分组分解法 2(1)9x -2(2)69x x -+2(3)36xy xyz-+2(5)32x x -+y b x b y a x a 2222)4(+++例1因式分解：33(1) 8 (2) 12527x b +-34(3)381a b b -76(4)a ab -例2. 2222428x xy y z ++-例3. 2222()()ab c d a b cd ---三、十字相乘法（1）2()x p q x pq +++型：（2）型：212122112()a a x a c a c x c c +++例5因式分解四、配方法例6.221x x --五、拆添项法例7.3234x x -+六、求根法若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例8.221x x -- 22(2)6 +-x xy y 107ab b a 322+-）（222(4)812+-++()()x x x x 例4因式分解：2 (1)1336++x x 22222(1)273(2)3103(3)1252(4)568x x x x x x xy y ++-+--+-小结：多项式分解因式的一般步骤:1.如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解;3.如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组来分解;4.分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.作业：A类：导学案习题3,5 5分B类：导学案习题4 6 分C类：导学案习题6 8分板书设计因式分解1.提取公因式法3十字相乘法2.公式法例作业中主要错误;：对于含参数二次方程不会解方程，对于多项式不会合理分组，整体意思不强。

初高中衔接-第2讲、因式分解

第2讲、因式分解知识点1、因式分解基本概念1、定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

例如：注：分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

实质上是多项式运算的逆运算。

2、作用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，广泛地应用于高中数学之中。

①解二次方程、一元二次不等式等需要因式分解转化乘积形式；②定义法、导数法证明函数单调性中变形、符号判定等；③三角形恒等变换对三角式子分解；④比较大小或者不等式证明，做差法因式分解判断符号。

3、分解步骤：（1）提：提负号，提公因数（公因式）①多项式的首项为负，应先提取负号，使括号内第一项系数是正的；②提取公因式，括号内切勿漏掉1；③要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

（2）套：套公式平方差、立方差、完全平方式等；（3）分解：如果用上述方法不能分解，再尝试用十字相乘法、分组、拆项、补项法来分解。

注意：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”；某项提出莫漏1；括号里面分到“底”再看能否套公式，后用十字相乘试一试，分组分解要合适。

4、分解原则：①分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；②每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；③结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；④结果的多项式首项一般为正。

在一个公式内把其公因子抽出，即通过公式重组，然后再抽出公因子；⑤括号内的首项系数一般为正；⑥如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。

如a c b )(+要写成)(c b a +；⑦注意因式分解的范围，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。

知识点2、因式分解常用方法:公式法1、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

2、完全平方式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。

初高中数学衔接知识(因式分解)1

1． x2 ( p q)x pq 型的因式分解
x2 ( p q)x pq x2 px qx pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q)
x2 ( p q)x pq ( x p)( x q)
【例6】因式分解：(1)x2 7x 6 (2)x2 13x 36
一、公式法(立方和、立方差公式)
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．
【例1】因式分解：
(1) 8 x3
(2) 0.125 27b3
解 : (1) 8 x3 23 x3 (2 x)(4 2x x2 ).
如何学好高中数学
全椒慈济中学高一数学备课组
2020年7月18日星期六
高中数学与初中数学的差异
1、内容多进度快； 2、更为抽象； 3、更加强调数学思想方法的应用；
（化归） 4、更加强调自学；
2020年7月18日星期六
学好高中数学还需注意以下几点：
1、培养良好的学习兴趣
孔子说过： “知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”
解 : (1)x2 7 x 6 [x (1)][ x (6)] ( x 1)( x 6). (2)x2 13x 36 ( x 4)( x 9).
【例7】因式分解：(1)x2 xy 6 y2 (2)( x2 x)2 8( x2 x) 12
解 : (1)x2 xy 6 y2 x2 yx 62 ( x 3 y)( x 2 y). (2)( x2 x)2 8( x2 x) 12 ( x2 x 6)( x2 x 2) ( x 3)( x 2)( x 2)( x 1).

高一数学衔接因式分解(教师版)

1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 )243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987+++⨯==⨯=98713681368987 3. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

高一衔接课程(1)乘法公式和因式分解

高一数学导教案时间主备人审查人使用人课题乘法公式和因式分解课型连接课程编号011.知识目标：掌握因式分解的方法；学习目标2. 能力目标：学会带字母的分解；3.德育目标：培育学生研究精神，着重转变与化归思想的训练。

重难点重难点：因式分解预习反应：（1）基础知识：1.平方差公式2.完整平方公式网Z3.立方和（差）公式4．常用的因式分解方法（ 1）十字相乘法：利用mnx 2(mb na)x ab (mx a)(mx b) 来分解因式（ 2）求根法：借助求方程的根的方法分解因式梳理研究：例 1、已知a b 5 ， ab 10求① a 2 b 2② a 3b3的值例 2、分解因式x39 3x23x例 3、已知 a 2b 5 ， ab 2 ，求(a2b)2的值[根源 ZXXK例 4、分解因式①x39x =②3ax 26axy 3ay 2③ c 2 a 22ab b 2④x25x 14⑤ 2x27x3⑥ x 22x 1例 5、已知对于x的多项式3x2px 2 ( x q)(3x1)求 p 、 q 的值例 6、分解因式① x42x2 1 ② x4x 2y 2 2 y4反应：方法总结练习：1、以下四个等式①b a(a b)② (a b) 4(b a)(b a) 3③( a b)3(b a)3④ ( a b) 3(b a)(a b) 2此中恒建立的是（）A、①②③B、①②④C、②③④D、①③④2、无论a、b 为什么实数，a2b22a4b 5 的值必定是（）A 、负数B、0C、正数D、非负数3、多项式a2ab bc c 2分解因式的结果是（）A 、(a c)(a c b)B 、(a c)(a c b)C、( a c)(a c b)D、 ( a c)(a c b)4、已知x 122 ，则 x1）x的值为（B 、2xC、4D、4A 、 25、若多项式36 x2mx25 是完整平方式，则m[根源:]6、分解因式x 22xy y 247、分解因式x37x68、若x1 2 ，则 x21，x 2x x 2x419、已知( a b) 27 ， (a b)2 4 ，求 a 2 b 2的值和ab的值10、分解因式m3mn2m2 n n3讲堂总结：。

高一数学衔接教材分解因式

芯衣州星海市涌泉学校]南江四中高一数学初高中衔接教材：分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应理解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：〔1〕x2－3x ＋2；〔2〕x2＋4x －12；〔3〕22()x a b xy aby -++；〔4〕1xy x y -+-．解：〔1〕如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x2－3x ＋2中的一次项，所以，有 x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示〔如图1．2－2所示〕．〔2〕由图1．2－3，得x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．〔3〕由图1．2－4，得 22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --〔4〕1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1＝(x －1)(y+1)〔如图1．2－5所示〕．练习：把以下各式分解因式：〔1〕=-+652x x __________________________________________________。

－1 －2x x 图1．2－1－1 －2 1 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4－1 1 x y 图1．2－5〔2〕=+-652x x__________________________________________________。

〔3〕=++652x x__________________________________________________。

〔4〕=--652x x __________________________________________________。

高一数学衔接班第3课——因式分解

（初升高）高一数学衔接班第3讲——因式分解一、学习目标：1、掌握因式分解的常用方法：乘法公式法（立方和及立方差公式）、分组分解法、十字相乘法2、了解换元、添项拆项分解因式的方法。

3、能够灵活运用上述方法进行因式分解变形。

二、学习重点：分解因式的常见方法三、课程精讲： 1、知识回顾：（1）a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）；（2）a 2±2ab ＋b 2＝（a±b ）2 2、新知探秘：如何将8＋3x 分解因式呢？知识点一：运用乘法公式法（立方和立方差公式） a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）；a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2）.两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方之和与它们积的差（和）。

例1. 用立方和或立方差公式分解下列各多项式：（1）38x +（2）30.12527b -思路导航：（1）中，382=，（2）中3330.1250.5,27(3)b b ==解：（1）333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ （2）333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++点津：（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号。

例2. 因式分解：34381a b b -思路导航：原式中多项式为两项式，观察有公因式3b ，应先提取公因式，再进一步分解；解：3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++.仿练：76 a ab -思路导航：原式中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看作是3232()()a b -或2323()()a b -。

初高中衔接课程-因式分解

(4) x 2 (a b) xy aby2
(5)(x 2 2 x) 2 7( x 2 2 x) 12
2．一般二次三项式 ax 2 bx c 型的因式分解
大家知道， (a1 x c1 )(a2 x c2 ) a1a2 x2 (a1c2 a2c1 ) x c1c2 ．反过来，就得到： a1a2 x2 (a1c2 a2c1 ) x c1c2 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) 我们发现，二次项系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解成 c1c2 ，把 a1 , a2 , c1 , c2 写成 a1 c1 ，这里按 a2 c2
( 2) 0.125 27b3 0.53 (3b)3 (0.5 3b)[0.52 0.5 3b (3b)2 ] (0.5 3b)(0.25 1.5b 9b 2 ).
(3)3a b 81b
3
4
(4)a ab
7
6
解 : (1) 3a 3b 81b4 3b(a 3 27b 3 ) 3b(a 3b)(a 2 3ab 9b 2 ).
2 斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2 a2 c1 ，那么 ax bx c 就可以分解成 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) ．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
【例5】因式分解：
(1)12x 2 5 x 2 ( 2)5 x 2 6 xy 8 y 2 (3) 4 x 4 13x 2 9
知识梳理
三、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如

初高中数学衔接因式分解

23 March 2017
二、分组分解法
2ax 10ay 5by bx 【例4】因式分解：
解 : ab(c 2 d 2 ) (a 2 b 2 )cd abc 2 abd 2 a 2cd b 2cd (abc 2 a 2cd ) (b 2cd abd 2 ) ac(bc ad ) bd (bc ad ) (bc ad )(ac bd ).
23 March 2017
三、十字相乘法
2．一般二次三项式 ax 2 bx c 型的因式分解
【例8】因式分解：(1)12 x 2 5 x 2
解 : (1)12 x 2 5 x 2 (3 x 2)( 4 x 1). ( 2)5 x 2 6 xy 8 y 2 ( x 2 y )(5 x 4 y ).
23 March 2017
三、十字相乘法
1． x2 ( p q) x pq 型的因式分解
【例6】因式分解：(1) x 2 7 x 6
(2)x 2 13 x 36 ( x 4)( x 9).
(2)x 2 13 x 36
解 : (1)x 2 7 x 6 [ x ( 1)][ x ( 6)] ( x 1)( x 6).

(1)x 2 xy 6 y 2 (2)( x 2 x )2 8( x 2 x ) 12 【例7】因式分解：解 : (1)x 2 xy 6 y 2 x 2 yx 62 ( x 3 y )( x 2 y ). (2)( x 2 x )2 8( x 2 x ) 12 ( x 2 x 6)( x 2 x 2) ( x 3)( x 2)( x 2)( x 1).

高中衔接教案,第一课因式分解

高中衔接教案,第一课因式分解(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高一数学学案（1）因式分解班级_____________ 姓名___________ 学号__________一、知识点因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、分组分解法，求根公式法等．问题：有什么方法将()()n n S n n S n n +--+-22233及n n n n a a a a 12212++--因式分解二、例题例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2 （2）x 2＋4x －12 （3）2273x x -+（4）2672x x -+ （5）22()x a b xy aby -++变式1分解因式：（1）256x x +- （2）256x x -+ （3）256x x ++（4）256x x -- （5）2273x x ++ （6）()21x a x a -++例2 分解因式：（1）32933x x x +++ （2）1xy x y -+- （３）222456x xy y x y +--+-例3 分解因式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-．例4 分解因式:（1）3221x x -+ （2）32231x x -+三、练习1．分解因式：⑴1242-+x x⑵31a + ⑶222x x +-⑷2220y xy x --⑸2244y xy x -- ⑹bc ac ab a -+-2⑺ay ax y x ++-22⑻22865y xy x -+ （9）15)(2)(2-+++b a b a2.分解因式：⑴c b ac ab -+-⑵c b ac ab 6834-+- ⑶25912422-++b ab a⑷ yxy y x 862-+- ⑸22916y xy x -+ ⑹161024+-p p⑺2)1(6)1(75+-++a a ⑻ 222(3)2(3)8x x x x ---- ⑼22()x x a a +--⑽ 3276x x +-⑾ 223x xy x y -++- ⑿2235294x xy y x y +-++-（13）4(1)(2)x y y y x -++- （14） 22222b c ab ac bc ++++（15） 22(1)(1)4a b ab --- （16）2222(1)(1)a a a a ++++附：十字相乘法因式分解学案1．2()x p q x pq +++型的因式分解特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．∵22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++，因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++。

高1数学第1讲：初高中衔接课程：因式分解(学生版)

第1讲初高中衔接课程衔接1因式分解（factorization）一分钟破案1．深夜，一个小偷第一次入室行窃。

这里没有人守卫。

小偷大摇大摆开了灯，坐到办公桌前，打开抽屉，但没翻动里面的东西就关好；接着他又打开了文件柜，拿出重要文件，再把文件柜关好；他还打开了保险柜，取出了钞票，然后关好。

小偷想起师傅嘱咐过他的话，在出门之前，把所有用手摸过的地方都用手绢擦了一遍。

临出门时，他又将墙上的电灯开关也擦了一遍。

最后，用腿把门带上。

“除非有人取文件或打开保险柜，否则没人知道我来过吧！”小偷得意地想。

可是，第二天，第一个进房间的人就发现了昨晚这里有人来过。

那小偷的破绽究竟出在哪里呢？2．某市发生了一起凶杀案,残忍的凶手将被害人杀死后刚逃跑,就有人发现了尸体,打110报警.刑警中心立即出动,将犯罪嫌疑人抓获归案.预审员在审问犯罪嫌疑人时,发现他是一个聋哑人,便对他进行书面盘问,书面盘问结束后,预审员沉思了一会儿,对这个聋哑人说了一句话,便立即发现聋哑人是作案者,是个伪装成聋哑人的罪犯.预审员说了一句什么话使罪犯马上露出了马脚?定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

10种常用方法归纳：1．提公因法：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式2．应用公式法：由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式3．分组分解法：要把多项式bn bm an am +++分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到)()(n m b n m a +++,又可以提出公因式n m +，从而得到))((n m b a ++4．十字相乘法：对于q px mx ++2形式的多项式，如果m b a =⨯，q d c =⨯且p bc ad =+，则多项式可因式分解为))((d bx c ax ++5．配方法：对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解6．拆、添项法：可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解7．换元法：有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来8．求根法：令多项式0)(=x f ,求出其根为1x ，2x ，3x ……n x ,则多项式可因式分解为)).......()()(()(321n x x x x x x x x x f ----=9．主元法：先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解10．待定系数法：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

衔接教材第01课时-因式分解

衔接教材第01课时-因式分解因式分解因式分解（Factorization ），是指把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法为相反变形。

时也是分解因式解一元二次方程中公式法的重要步骤。

在高等数学上因式分解有一些重要结论，在初等数学层面上证明很困难，但是理解很容易。

1 、因式分解与解高次方程有密切的关系。

对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。

在数学上可以证明，对于一元三次和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。

只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。

对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。

对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。

2、所有的三次和三次以上多项式都可以因式分解。

这看起来或许有点不可思议。

比如14+x ,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。

但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。

如果有兴趣，你也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。

3、因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。

因式分解很多时候就是用来提公因式的。

寻找公因式可以用辗转相除法来求得。

标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以比较笨，但是有效地解决找公因式的问题。

初高中数学衔接教程因式分解

第一讲因式分解一、知识概括1、公式法分解因式：用公式法因式分解，要掌握以下公式：〔 1〕a2b2(a b)(a b) ；〔 2〕a22ab b2 (a b)2；〔 3〕a33a2b 3ab2b3( a b) 3；〔 4〕a2b2c22ab2bc2ac(a b c)2；〔 5〕a3b3c33abc( a b c)(a2b2c2ab bc ac) ；〔 6〕a n b n(a b)( a n 1a n2b ab n2b n 1); ??n N *；〔 7〕当 n 为正奇数时a n b n( a b)( a n 1a n 2b ab n2b n 1 )当 n 为正偶数时a n b n(a b)(a n 1a n 2 b ab n 2b n1 )2、十字相乘法因式分解3、待定系数法因式分解4、添项与拆项法因式分解5、长除法二、例题解说例 1：因式分解：6x27 x3例 2：因式分解：x42( a2b2 ) x2(a2b2 ) 2例 3：因式分解4x24xy 3 y24x10 y3例 4：利用待定系数法因式分解〔 1〕2x23xy 9 y214 x 3y 20〔 2〕4x2 4 xy 3 y24x 10 y 3例 5：利用添项法、拆项法因式分解〔 1〕x36x 7〔2〕x5x 1例 6：3x2x 1 0 ，求 6x37x25x1987 的值。

三、讲堂练习1、分解因式〔 1〕x 6 (x y)y6(z y x)z〔 2〕(a2b21)24a2b2〔 3〕4m4m332m 8分解因式（1〕x44（2〕x39x 83、分解因式〔 1〕x 22xy3y23y2x〔 2〕2x25xy 3 y23x 5 y24、多项式3x3ax bx 1 能被 x21整除，且商式是3x 1那么( a)b。

5、多项式2x43x 2ax 27x b 能被 x 2x 2 整除，求a的值。

b第一讲因式分解例 1：解：由多项式的乘法法那么易得acx2(ad bc) x bd( ax b)(cx d ) 31∴ 3×〔－ 3〕 +2× 1＝－ 7∴∴ 6x22-37 x 3 (3x1)(2x3)例 2：解：x2－(a－b)2x2－(a－b)2∴原式＝ [ x2(a b)2 ][ x2( a b)2 ]＝ ( x a b)( x a b)( x a b)( x a b)例 3：解：原式＝4x2(4y4)x(3 y210 y 3)＝ 4x2(4 y4) x(3y 1)( y3)＝ [ 2x(3y1)][ 2x( y3)]2x－(3y－1)2x －3＝ (2x 3y 1)( 2x y 3)y评论：以上三例均是利用十字相乘来因式分解，此中例 3 中有 x、y，而我们将其整理x 的二次三项式。

四川省南江四中高一数学初高中衔接教材分解因式

四川省南江四中高一数学初高中衔接教材分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）错误!未找到引用源。

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．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．2－4，得错误!未找到引用源。

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＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．练习：把下列各式分解因式：（1）错误!未找到引用源。

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__________________________________（6）错误!未找到引用源。

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(七)分解因式（二）2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）错误!未找到引用源。

新高一衔接第2讲因式分解(含答案)

第二讲因式分解知己知彼因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233+-+=+(立方和公式)()()a b a ab b a b2233-++=-(立方差公式)a b a ab b a b()()由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322+=+-+()()a b a b a ab b3322-=-++a b a b a ab b()()这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．龙争虎斗【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 3-0.12527b+(2) 38x例2】分解因式：(1) 34-(2) 76-a ab381a b b二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb+++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式【例3】把2105-+-分解因式．ax ay by bx．【例4】把2222---分解因式．ab c d a b cd()()百战百胜1．把下列各式分解因式：(1) 327a + (2) 38m - (3) 3278x -+ (4) 3311864p q -- (5) 3318125x y - (6) 3331121627x y c +2．把下列各式分解因式：(1) 34xy x +(2) 33n n x x y +- (3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+第二讲因式分解知己知彼2．分组后能直接运用公式【例1】把22x y ax ay-++分解因式．【例2】把222++-分解因式．2428x xy y z龙争虎斗十字相乘法1．2()x p q x pq+++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22+++=+++=+++=++()()()()() x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q因此，2()()()+++=++x p q x pq x p x q运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．【例3】把下列各式因式分解：(1) 276++x x-+(2) 21336x x【例4】把下列各式因式分解： (1) 2524x x +-(2) 2215x x --【例5】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +- (2) 222()8()12x x x x +-++百战百胜3．把下列各式分解因式：(1) 232x x -+ (2) 23736x x ++ (3)21126x x +-(4) 2627x x -- (5) 2245m mn n --(6) 2()11()28a b a b -+-+第二讲因式分解知己知彼因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233+-+=+(立方和公式)()()a b a ab b a b2233-++=-(立方差公式)a b a ab b a b()()由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322+=+-+()()a b a b a ab b3322-=-++a b a b a ab b()()这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．龙争虎斗【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 3-0.12527b+(2) 38x分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==．解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+ 2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．例2】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+- 22222222()()()()()()()()a a b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式．分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样可以继续提取公因式．解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．【例4】把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+- ()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．百战百胜1．把下列各式分解因式：(1) 327a + (2) 38m - (3) 3278x -+ (4) 3311864p q -- (5) 3318125x y - (6)3331121627x y c + 解．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++ 222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．把下列各式分解因式：(1) 34xy x + (2) 33n n x x y +- (3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+解．2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++第二讲因式分解知己知彼2．分组后能直接运用公式【例1】把22x y ax ay -++分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+【例2】把2222428x xy y z ++-分解因式．分析：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++- 说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．龙争虎斗十字相乘法1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．【例3】把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-2 76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--．(2) 3649,4913=⨯+=2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．【例4】把下列各式因式分解： (1) 2524x x +- (2) 2215x x --2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．【例5】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +- (2) 222()8()12x x x x +-++分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-(2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+- (3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-百战百胜3．把下列各式分解因式：(1) 232x x -+ (2) 23736x x ++ (3)21126x x +- (4) 2627x x -- (5) 2245m mn n --(6) 2()11()28a b a b -+-+ 解 (2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+ (9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+。

新高一数学衔接课专题一 因式分解