第三章插值

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插值法(3)

第三章插值法在观察或总结某些现象时，往往会发现所关心变量之间存在着某种联系，但是这种联一般很难用解析式表达。

有时即便找出了其解析表达式，由于表达式过于复杂，使用或计算起来也可能十分困难。

于是就想到能否用形式比较简单的函数去近似原来很困难得到或应用起来不便的函数。

本章所讨论的插值法就是函数近似表达的一种方法。

这里介绍的插值方法本身也是以后介绍的方法如：数值积分，数值微分，以及微分方程的数值解的基础。

本章主要介绍插值函数的构造，误差估计及简单介绍方法的收敛性和稳定性。

§1.插值的基本概念插值定义：设f(x)为定义在[a,b]上的函数，n 10x ,,x ,x 为［a,b ］上n+1个互不相同的点，Ｙ为给定的某一个函数类，若Ｙ上有函数y(x)，满足：n ,,2,1,0i ),x (f )x (y i i ==(3—１)则称y(x)为f(x)关于节点n 10x ,,x ,x 在Ｙ上的插值函数，点n 10x ,,x ,x 称为插值节点,f(x)称为被插值函数。

包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，条件（3—１）称为插值条件。

关于函数插值，我们要回答以下几个问题：(1)给定了被插函数（即f(x)），插值节点n 10x ,,x ,x 及插值函数类Ｙ，那么满足插值条件的插值函数是否存在？若存在，是否唯一？即插值的存在性与唯一性问题。

(2)如若插值函数存在唯一，如何构造插值函数?即采用何种插值方法问题。

(3)y(x)作为f(x)的近似函数，存在误差R(x)=f(x)-y(x)。

如何估计其误差？当不斯地增加插值节点，那么插值函数列是否收敛被插函数。

现在首先回答第一个问题：由于我们这里介绍的插值函数类Ｙ是多项式类。

故要求插值函数是多项式的情况下，来回答存在性与唯一性问题。

定理：设)x (M n 表示次数不超过n 次的多项式的全体，则满足插值条件（3—１）的，属于函数类Ｙ＝)x (M n 的插值多项y(x)存在且唯一。

计算方法第三章(插值法)解答

Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
Ni ,i 1,,k ( x) L( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) Ni 1,i 2,k ( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
容易求出，该函数为：
x x0 x x1 y y0 y1 x0 x1 x1 x0
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),,( xn , yn )
的不超过n次多项式 Ln ( x )。
Ln ( x) yi li ( x )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章插值法
第一节插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi , i 0,1,, n,
即提供了一张数据表
x
y f x
x0
y0
x1
y1
x2

xn
y2

有限元第三章最小势能原理和分片插值

解法２：基函数取正弦函数
1 L P EI (v ) 2 dx P v( ) 20 4
L
2x 1 ( x) sin , 2 ( x) sin L L
x
4 2 2 4 2 1 2 EIL 1 1 P 2 P 2 4 L L 2
第三章最小势能原理和分片插值
(有限单元方法的核心内容之一)
在这一章中我们将介绍： • 最小势能原理及具体应用； • 同一力学问题的几种不同的表达方式及它们之间的联系； • Ritz方法在单元内的应用 • 两种最常用的插值形式（Lagrange型和 Hermite型）； • 协调的位移型单元的收敛条件。
y, v
n
q(x) A
n
D (fx, fy)
P(x)
n
(能量泛函)
T
u f x u p tdxdy tdx f v v q y AD
u∣AB=v∣AB=0 x 1 1 T E T E T E T E 0 2 2 y dxdy dxdy L X ds
LX LY -1 0 0 -1 1 0 0 1
T
T
以及沿边AB：δu=δv=0 则(3-1-5)对任意δu,δv都成立的充分必要条件为：
x 0 y
0 y x
T
x fx y 0 f y yx
u f x u p E tdxdy) tdxdy tdx v f y v q AD (3-1-5) T 0 T x L 0 T x X f u u p x y tdxdy 0 LY y tds tds 0 v q y f y v AD L L Y X yx yx 略去了积分过程 x AB BC CD DA ，外法线 n的方向余弦为

数字信号处理第三章7 序列的抽取与插值

0.5
2 f / f s f ' f / fs
数字信号处理
2019/2/3
数字信号处理
2019/2/3
数字信号处理
序列域直接抽取：
p ( n)
k
(n kD)
时域序列乘脉冲串

x p (n) x(n) p(n)
1 X p (e ) 2
j

2
2019/2/3
s X a ( j jk ) D k
k
X

a
(j
2 k
DT
)
数字信号处理
fs fs / 2
0
fs ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
fs
2 1
f 2 f
s s / 2 0 0 2 1 0.5 0
2019/2/3
s / 2 s
'
1 1 2 k j X (e ) X a ( j jk s ) X a ( j ) T k T k T 1 X d (e j ) ' X a ( j jk s ' ) T k
T
1 DT 1 DT
八、序列的抽取与插值
信号时间尺度变换（抽样频率的变换）
抽取：减小抽样频率
插值：加大抽样频率
2019/2/3
数字信号处理
1、序列的抽取
将x(n)的抽样频率减小D倍每D个抽样中取一个，D为整数，称为抽样因子
2019/2/3
数字信号处理
相当于抽样间隔增加D倍后对时域连续信号的抽样
T DT
'
2 2 s s ' T DT D

第三章 2等距节点插值和差分

§2 等距节点插值和差分摘要：在等距节点情况下，通过使用差分可减少Newton 插值公式的计算量。

本节首先介绍等距节点下的差分公式、差分与差商之间关系，根据待估值点x 的位置不同，引入表初公式、表末公式和Bessel 公式，最后说明在使用差分计算插值时需注意的两点：（1）不宜用高阶差分公式；（2）差分公式是一个不稳定的计算公式。

等距节点：1,1,2,,i i x x h i n +-==，h 称为步长2.2.1 差分概念一阶差分：()()()1i i i f x f x f x +∆=- 二阶差分：()()()21i i i f x f x f x +∆=∆-∆ … … … …k 阶差分：()()()111k k k i i i f x f x f x --+∆=∆-∆()()()()()()()()()123110231(1)(1)ki i k i k i k i k k k i i kk jk j j k k f x f x kf x f x x kf x f x k f x j ++-+-+--+-+=⎛⎫⎛⎫∆=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑2.2.2 差分与差商关系定理2.2.1 在等距节点的情况下 ()()1121,,,,!k k k k f x f x x x x h k +∆=.利用归纳法证明这个公式是在Newton 公式中使用差商的基础 2.2.3 差分表()()()()()()()()()()()()()()()11221233212344321234554321x f x x f x f x x f x f x f x x f x f x f x f x x f x f x f x f x f x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆2.2.4 根据待估值点x 的位置不同选择不同的计算公式给定等距节点组：{}12,,,n x x x● 表初公式：如果x 在节点中最小的那个节点附近节点选取：1213111,,2,,.k x x x h x x h x x kh +=+=+=+x 的表示：1x x ph =+牛顿公式：()(1)(1)(1)2111112!!10.p p p p p k k k kjj P x ph f p f f f p f j --⋅⋅-+=+=+∆+∆++∆⎛⎫=∆ ⎪⎝⎭∑例2.2.1 有函数表x 0.5 0.6 0.7 0.8 f(x) 0.4794 0.5646 0.6442 0.7174 求f(0.54).解：差分表(1)(1)(2)23!0.540.5,0.1,0.4(0.54)0.47940.0852(0.0056)(0.0008)0.5142p p p p p x ph h p P p ---==+===+⨯+-+-=● 表末公式：如果x 在最大节点附近节点选取与编号：010200(max),,2,,.k x x x h x x h x x kh ---=-=-=-x 的表示：0x x ph =-牛顿公式：()()(1)(1)(1)200122!!0()(1)1.p p p p p k kk kk kjjj j P x ph f x p f f f p f j --⋅⋅-+----=-=-∆+∆++-∆⎛⎫=-∆ ⎪⎝⎭∑● 贝塞尔(Bessel)公式：如果x 在中间节点附近节点选取与编号：121012,,,,,,,,k k k x x x x x x x -+-+-第一种组序：01122(1),,,,,,k k x x x x x x x ----，Newton 公式1：()1121200011212k k j jj j j j p j p j P x ph f f f j j --+--==++-⎛⎫⎛⎫+=+∆+∆ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ 第二种组序：()10211,,,,,,k k x x x x x x ---Newton 公式2：()112120110111212k k j jj j j j p j p j P x ph f f f j j --+--+==+-+-⎛⎫⎛⎫+=+∆+∆ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ Bessel 公式：（Newton1+Newton2）/2()12101002211111/222211.22k j j j j jk j j j p j f f p P x ph f j j f f p j j -+-=---+=+-⎛⎫+-+=+∆+ ⎪+⎝⎭∆+∆+-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑Bessel 公式适合计算01,01x x x p <<<<，特别是12p =.()2244011021102132821282f f f f f f P x h ---+∆+∆∆+∆+=-++ 例 2.2.2 表2.10求()f 0.525Bessel 公式的截断误差：取2n 个节点()()22(2)22(1)11111(1),2!2222n n n nf R x n n h n x x ξξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭<< 2.2.5 差分公式的缺点1）高阶差分容易造成有效数字的丢失，见表2.10 原因？2）差分容易扩大传播误差3322321123230012323411012332422110232433201123364x y x y y x y y y x y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y εεεεεεεεεεεεε------------------∆∆∆+∆+∆+∆+∆-∆-∆-∆-∆∆+∆-∆+∆∆-∆∆-。

插值法(拉格朗日插值)讲解

因此, Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).
Taylor展开方法就是一种插值方法.
泰勒插值要求提供 f(x) 在点x0处的各阶导数,这仅仅适用于 f(x) 相当简单的情况.
§1.2 Lagrange插值
• 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有定义，且给出一系列点上的函数值yi=f(xi) (i=0,1,2,…,n)，求作n次多项式pn(x) 使得
定理 (插值多项式的存在唯一性) 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n
的 n 阶插值多项式是唯一存在的。
证明： ( 利用Vandermonde 行列式论证)
a0 a1x0 ... an x0n y0 a0 a1x1 ... an x1n y1 ...
1 xj)
j0
li ( x)
n ji
(x xj) (xi x j )
j0
n
Ln ( x) li ( x) yi i0
插值余项 /* Remainder */
用简单的插值函数L n(x)代替原复杂函数f(x),其精度取决于截断误差,即插值余项.
设节点 a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 Rn( x) f ( x) Ln( x)
Rn(x)
f (n1) ( )
(n 1) !
n
(x xi )
i0
即Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x

x0
)(
x

x1
)(
x

第三章参数多项式的插值与逼近

第三章参数多项式的插值与逼近2009年8月29日10时35分 1本章内容•几何不变性与参数变换•参数多项式插值与逼近的基本概念•参数多项式插值曲线与逼近曲线•张量积曲面•参数双三次曲面片2009年8月29日10时35分 22009年8月29日10时35分 3第一节几何不变性和参数变换 • 一、几何不变性：1、定义：指曲线曲面不依赖于坐标系的选择，或者说在旋转与平移变化下不变的性质。

2、曲线曲面的基表示： 0 n i i i P a j = = å r r 其中：为矢量系数，修改它可以改变曲线曲面的形状i a r i j 为单参数（表示曲线时）或双参数（表示曲面时）的基函数，决定曲线曲面的几何性质2009年8月29日10时35分 43、基表示的分类：（1）规范基表示：即满足Cauchy 条件也称权性。

这种表示下，曲线（面）上的点是矢量系数的一个重心组合，重心坐标是基函数。

其中一、几何不变性：0 1n i i j = º å 我们常见的线性插值就是一种规范基表示。

（2）部分规范基表示：即满足 0 1,0 ki i k n j = º£< å 如： 01 () p u a a u =+ r r r 0 1j =一、几何不变性：（3）非规范基表示：除规范基表示和部分规范基表示以外的其它基表示。

4、基表示与几何不变性的关系：曲线曲面的规范基表示具有仿射不变性，其余两种只具有几何不变性。

5、几何不变性的意义：（1）方便局部坐标与整体坐标之间的转换；（2）便于平移和旋转变换；（3）节省了计算量。

2009年8月29日10时35分 5• 1、概述• 曲线的参数域总是有界的。

• 曲线的参数可能有某种几何意义，也可能没有。

• 曲线的参数化：即确定曲线上的点与参数域中的参数值之间的一种对应关系。

• 这种对应关系可以是一一对应的，也可以不是一一对应的，后者称为奇点（Singularpoint），如曲线的自交点。

第三章多项式插值方法习题

4、经过点(0,1)，(1,2)，(2,5)的插值多项式 P(x) （ D ）
（A） x
（B） x 1
（C） 2x 1 （D） x2 1
x 0 2 51
5、已知函数 y f (x) 的数据表
，
y 3 6 9 0
则 y f (x) 的拉格朗日插值基函数 l2 (x) （ A ）
（A） x(x 2)( x 1) （B） (x 2)( x 5)( x 1)
第三章习题
1、 n 次拉格朗日插值多项式的余项是( A )
(A) Rn (x)
f (n (n
1) ( )
1)!
n1
(
x)
(B) Rn (x)
f
(n)
n
(
!
)
n
(
x)
f (n1) ( )
(C) Rn (x) (n 1)!
(D)
Rn (x)
f (n) ( )
n!
x 0 0.5 1 1.5 2 1 1 x x 1 x 2 1 x3 3 x2 1。
2
2
22
又： R3 x f x px 满足： R0 1, R1 2, R2 3, R0 0 ，
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
2
)
(x
xi
)(x
xi1 )
，
解：对
x
[0,
2
]
，必有某个
x
i
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (

多项式插值方法

第三章多项式插值方法教学目的及要求：要求掌握基本的定理及各种插值方法。

插值方法是数学分析中很古老的一个分支.它有悠久的历史.等距结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544—610年)首先提出的;而不等距结点内插公式是由唐朝数学家张遂(公元683—727年) 提出的.这比西欧学者相应结果早一千年.插值方法在数值分析的许多分支(例如, 数值积分, 数值微分, 微分方程数值解,曲线曲面拟合,函数值近似计算,等等)均有应用.下面仅以近似计算函数值为例来说明设已知某个函数关系()x f y =的列表函数值nn y y y yx x x x110而()n i x x i ,1,0=≠问应该如何估值().x f y =对于函数关系()x f y =,我们所知道仅仅上述的表列值,它们常常是间接求得的.例如是由实验(观测)得来的,或者是从级数或微分方程求得的.我们可以使用插值方法估计y. 插值方法的目的是寻求简单的连续函数()x ϕ,使它在n+1个点n x x x ,,,10 处取给定值()()),,1,0(n i x f y x i i i ===ϕ,而在别处希望它也能近似地代表函数()x f .因为()x ϕ已是有解析表达式的简单函数,所以它在x x =处的值可以按表达式精确地计算出来.这样我们就可以将()x ϕ看成().x f y =的近似值了给定点n x x x ,,,10 为插值结点.称函数()x ϕ为函数()x f 的关于n x x x ,,,10 的插值函数.称()x f y =为被插函数.严格的说,插值方法一词只用于x 落在给定点n x x x ,,,10 之间的情形,所以也称它为内插法.如果x 落在给定点n x x x ,,,10 之外,并且仍以插值函数()x ϕ在x 处近似地代替().x f ,则一般称这种近似计算函数的方法为外插法.本章我只研究多项式插值，亦即()x ϕ是x 的多项式的情形.这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数()x f 容易用多项式近似地表示出来.此外,用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题.特别是数值积分与数值微分的问题.本章讲不涉及三角插值法.其实,只要理解了代数多项式插值方法的实质读者就不难自行导出关于三角多项式插值方法的一系列相应与代数多项式插值方法的理论结果§1. Lagrange 插值公式设()x f y =是实变量x 得单值函数，且已知()x f 在给定的n+1个互异点n x x x ,,,10 处的值n y y y ,,,10 ,即().,,0,n i x f y i i ==插值的基本问题是,寻求多项式()x p ,使得 ()()1.1.,0,n i y x p i i ==设()x p 是一个m 次多项式()0,2210≠++++=m m m a x a x a x a a x p则插值问题是，如何确定()x p 中的系数m a a a ,,,10 ,使得(1.1)式得以满足.所以该问题等价于求解下述的线性方程组:()2.1,,,22101121211000202010⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n m n m n n mm mm y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a上述的线性方程组的系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m n m m nn x x x x x x x x x A1022112111 它是一个(n+1)×（m+1）矩阵.当m>n 时，A 的列数大于行数.不难证明矩阵A 的秩数为n+1.因为A 的前n+1列所组成的行列式为(称为Vandermonde 行列式)()mnmm n n n n x x x x x x x x x defx x x W 10221120010111,.,-我们有()()()3.1,.,10∏>--=ij i j n n x x x x x W为证(1.3),考虑n 次多项式()nnn n n n nn n x x xx x x x x x x x x x x x W2121112110200101111,.,----= 显然110,,,-n x x x 均为它的零点,且它的n x 系数恰为()10.,-n x x W 即 ()()()()101010.,,.,-----=n n n x x x x x x W x x x W 从而有下述递推关系式()()()()101010.,,.,-----=n n n n n n x x W x x x x x x x W运用它即可证明(1.3)式根据(1.3),并注意到诸n x x x ,,,10 互异，从而线性方程组(1.2)的系数矩阵的秩数为n+1 .它表明(1.2)的解是不唯一的，即插值问题(1.1)的解不唯一。

第三章_插值法_牛顿_等距

m
m
牛顿向前插值，向后插值公式
1、公式设有 y f ( x ) 函数表 ( xk , f ( xk )), xk x0 kh, k 0,1,, n, x [a , b] — 被插值点。 x0 , x1 ,, xn （1）当 x 靠近 x0 (表初或差头)时，通常取插值节点：以下推导以x0 , x1 ,, xn 为节点的等距插值公式。 x0 x x1 x0 h, 作变换 x x0 th, t [0,1], 此时，又由 xk x0 kh, 则 x xk (t k )h, (k 0,1,, n) ( x x0 )( x x1 )( x xk 1 ) f x0 , x1 ,, xk
n 并记 f ( x ) f , ( k 0 , 1 , , n ) 。或 xk x0 kh, (k 0,1,, n), k k
h h f k f ( xk ) f ( xk h) f k f k 1 , f k f ( xk ) f ( xk ) f 1 f 1 , k k 2 2 2 2 分别称为 f ( x ) 在 x xk 点的步长为h的一阶向前差分、向后、中心差分.
f ( x) N ( x) R ( x) n n f n 1 t (t 1) 2 2 其中 N ( x ) N ( x th ) f ( x ) t f f ( x ) f f nf n n n n n nn n 2! 2 f n 2 n f0 n n t (t 1) (t n 1) n n k t k k t (1)（k ） f n (1)（）k f n k k f fn n n! k 0 k 0 t t (t 1) (t k 1) k t (t 1) (t k 1) （） ( 1 ) (# ) k k ! k ! f ( n 1) ( ) n 1 h t (t 1) (t n)，（x0，xn） Rn ( x) (n 1)!

数字信号处理第三章7序列的抽取与插值

1、序列的抽取
将x(n)的抽样频率减小D倍每D个抽样中取一个，D为整数，称为抽样因子
2023/12/30
数字信号处理
相当于抽样间隔增加D倍后对时域连续信号的抽样
T ' DT
' s
2
T'
2
DT
s D
X (e j )
1 T
k
Xa(
j
jks )
1 T
k
Xa(
j
2 k )
T
X d (e j )
2023/12/30
数字信号处理
2023/12/30
数字信号处理
2023/12/30
数字信号处理
序列域直接抽取：
p(n) (n kD) k
xp (n) x(n) p(n)
时域序列乘脉冲串
X
p (e
j
)
1
2
2 P(e j ) X (e j( ) )d
0
1
D1
X (e j(ks ) )
1 T'
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
Xa(
j
jks' )
T
1 DT
Xa(
k
j
jk
s D
)
2023/12/30
1 DT
k
Xa(
j
2 k
DT
)
数字信号处理
fs fs /2 0
s s / 2 0
2 0 1 0.5 0
fs /2 fs
s / 2 s
2 0.5 1
f
2 f 2 f / fs f ' f / fs
D k0

第三章(二) 埃尔米特-样条插值法

2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 x x . x1 x 0 1 0
2
设
x x1 g 0 (x) a(x x0 ) , x 0 x1
2
∵g0(x0)=g0(x1)=0, g'0(x1)=0
据用得越多越好，解决这一矛盾的办法就是改用分段低次插值。
所谓分段低次插值就是用分段多项式来代替单个高阶多项式
作插值，即先把整个插值区间分成若干个小区间，然后在每个子区间上分别用低次插值多项式（如线性插值或抛物线插值等），然后再将每个子区间上的插值函数拼接在一起，作为整个插值区间上的插值函数。
• 分段线性插值
2
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 . x1 x 0 x1 x 0
2
2
x x1 x x0 g 0 (x) (x x0 ) , ( x ) ( x x1 ) g1 . x 0 x1 x1 x 0
, [ 1,1]. 0 ( x ) ? x L1
将[−1,1]10等分，步长 h = 2/10 = 0.2, 取节点 xi = −1 + 0.2i, i =
0,1,2,…,10。以 (xi, f(xi))为插值点，构造L10(x)：
Ｌ1 0 ( x )
) f ( x i ) li ( x )
先构造 h0(x), 设
由h0(x0) = 1,
x x1 h0 ( x ) (a bx ) . x 0 x1
2
∵h0(x1)=h'0(x1)=0

计算方法第三章(插值法)

1 , i j li ( x j ) ij , ij 0 , i j
( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) li ( x) ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
( xi ) yi (i 0,1, , n)
Hale Waihona Puke 将φ(x)作为 f (x) 在一定范围内的近似函数，对于这个范围内的某个给定点a，取 f (a)≈ φ(a)。这种近似方法称为插值法。φ(x)称为 f (x)的以{xi} (i=0,1,· · · ,n)为插值节点的插值函数。插值节点上所给的函数值称为样本值。
x[ a ,b ]
M n1 Rn ( x) ( x x0 )( x x1 ) (n 1)!
( x xn )
始
计算程序框图
输入数据 x 及
xi , yi , i 0,1,
y 0, i 0
,n
计算权系数 i 存单元中
y y yi
=
i i 1 i n?
求过n+1个点的不超过n次多项式的插值多项式是唯一的。插值公式的误差为：
f ( n1) ( x ) Rn ( x) f ( x) Ln ( x) ( x x0 )( x x1 ) (n 1)! ( x xn )
M n1 max f ( n 1) ( x)
r0
r1
( x xm )
rm
r0 r1
rm n 1 , xm之间，与x有关
在x0 , x1 ,
证明思路：构造辅助函数，用罗尔定理。

第三章样条插值和曲线拟合

第三章样条插值与曲线拟合学习目标：掌握分段线性插值、分段Hermite插值、样条插值方法以及贝齐尔曲线拟合曲线的方法。

重点是分段线性插值、分段Hermite插值、样条插值。

1901年龙格（Runge ）给出一个例子：，定义在区间[-1,1]上，这是一个很光滑的函数，它的任意阶导数都存在，对它在[-1,1]上作等距节点插值时，插值多项式的情况见图1§1 多项式插值的龙格现象22511)(xx f +=俄罗斯数学家伯恩斯坦（C.H.Bernstein ）在1916年还给出如下定理。

定理1 函数在[-1,1]上取n 个等距节点，构造n-1次插值多项式，当n 增大时，除了-1,0,1三点外，在[-1,1]中任何点处都不收敛于。

x x f =)(1,11=-=n x x )(1x P n -x 上述介绍的现象和定理告诉我们用高次插值多项式是不妥当的，从数值计算上来看也是这样，前一章介绍过的差分的误差传播会随阶数的提高越来越严重，因此，实践上作插值时一般只用一次、二次，最多用三次插值多项式。

而提高插值精度的方法，可采用分段插值：譬如在[a,b]上定义的连续函数，在[a,b]上取节点构造一个分段一次多项式，即在上为由一次插值的余项知在上，)(x f b x x x x a n n =<<<<=-121 )(x L )(x L ],[1+i i x x ii i i i i i i x x x x x f x x x x x f --+--++++1111)()())()(,,()()()(11++--=-=i i i i x x x x x x x f x L x f x R ],[1+i i x x 228)(h M x R ≤§2 样条插值定义1 对于[a ,b ]上给定的分划：，若满足：（1）在中为3次多项式；（2）在(a,b)上的一阶、二阶导数都连续；则称为三次样条函数。

第三章插值法 Hermite插值

(((xxxxxjjj11))222((xx xxjj11))22 ((xx ((xxjj xxjj11))22((xxjj xxjj11))22 ((
xx jj
xxnn
))22 xxnn
))22
(1 c( x x j )) l（2j x）
f ( x)
f1
求次数不超过3的多项式 P3 ( x) 使满足插值条件：
分析

P3 ( p'3
xi ) ( x1
yi ,(i ) f '1

0,1,2)
已知 ( x0 , y0 ), ( x1, y1 ), ( x2 , y2 ) 三点，由牛顿插值多项式，
可确定2次多项式，在此基础上，增加了节点，则增加三次项即
其中C为待定常数, l j ( x) (5.3)式求导，得
n
i0 i j
x xi x j xi
(5.3)

j
(
x)

cl
2 j
(
x)

2[c(
x

x
j
)

1]l
j
(
x)l j
(
x)
由 j ( x j ) 0，得
0

j
(
x
j
)

cl
2 j
(
x
j
)

2l j ( x j
)lj ( x j
(5.8)
mk 1
H3 ( x) ykk ( x) yk1 k1( x) mk k ( x) mk1k1( x) (5.9)
其中
k ( x)

Chapter03第三章空间平滑和空间插值

35第三章空间平滑和空间插值本章介绍基于GIS的空间分析中两个常用操作：空间平滑和空间插值。

空间平滑和空间插值关系密切，它们都可以用于显示空间分布态式及空间分布趋势，二者还共享某些算法（如核密度估计法Find/Replace All）。

空间平滑和空间插值的方法有很多种，本章只介绍其中最常用的几种。

空间平滑与移动平均在概念上类似（移动平均是求一个时间段内的均值），而空间平滑术是一个空间窗口内计算平均值。

第 3.1节介绍空间平滑的概念和方法，第 3.2节是案例分析3A，用空间平滑法研究中国南方/泰语地名(Find/Replace all)分布。

空间插值是用某些点的已知数值来估算其他点的未知数值。

第3.3节介绍了基于点的空间插值，第3.4节为案例3B，演示了一些常用的点插值法。

案例3B所用数据与3A相同，是案例3A工作的延伸。

第3.5节介绍基于面的空间插值，用一套面域数值（一般面单元较小）来估算另一个面域的数值（范围较大）。

面插值可用于数据融合以及不同面域单元的数据整合。

第 3.6节为案例3C，介绍两种简单的面插值法。

第3.7节为小结。

3.1空间平滑与移动平均法计算一个时间段的平均值（例如：五日平均温度）相似，空间平滑是将某点周围地区（定义为一个空间窗口）的平均值作为该点的平滑值，以此减少空间变异。

空间平滑适用面很广。

其中一种应用是处理小样本问题，我们在第八章会详细讨论。

对于那些人口较少的地区，由于小样本事件中随机误差的影响，癌症或谋杀等稀有事件发生率的估算不够可靠。

对于某些地区，这样的事情发生一次就可导致一个高发生率，而对于另外许多地区，没有发生这种事情的结果是零发生率。

另外一种应用是将离散的点数据转化为连续的密度图，从而考察点数据的空间分布模式，可参见下面的第3.2节。

本节介绍两种空间平滑方法（移动搜索法及核密度估计法），附录3介绍经验贝叶斯估计。

3.1.1移动搜索法移动搜索法（FCA）是以某点为中心画一个圆或正方形作为滤波窗口，用窗口内的平均值（或数值密度）作为该点的值。

第三章多项式插值方法

n1 ( x)
(n 1)!
f
(n1) (ξ
)
（3.9）
其中 n1(x) (x x0 )(x x1) (x xn ) 。
34
证明取一点 x [a,b] ，显然当 x x0 , x1,, xn 时，(3.9)式成立。
pn xi yi , i 0,1, , n
(3.4)
称 x0 , x1,, xn 为插值节点， pn x 为插值多项式，（3.4）称为
插值条件。
14
y= pn(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
15
严格的说,插值方法一词只用于 x 落在给定点 x0 , x1,
, xn 之间的情形,所以也称它为内插法。
l2 x
x x2

x0 x0
x x1 x2 x1

1 3
x2
1.
从而：
p2
(x)

1 6
2
x2 3x 2
3
x2 x 2
2
x2
1

1 6
x2 3x 8
.
25
26
2. Lagrange插值多项式
1 x0 x02
1
V x0 , .xn1, xn
x1
x12
1 xn xn2
x0m
x1m
xj xi 0
j i
xnm
(3.3)
12
根据(3.3)，线性方程组(3.2)的系数矩阵的秩数为n+1。所以， (1)当m>n时, (3.2)的解是不唯一的，即插值问题(3.1)

第三章 3重节点差商与埃尔米特插值

§3 重节点差商与埃尔米特插值摘要：本节介绍Hermite 插值的Newton 形式及其余项表示。

这个问题涉及一个重要的概念就是重节点差商，它是一般差商的极限形式。

2.3.1埃尔米特(Hermite)插值设是[a,b]中不同的s 个节点，是s个正整数且，要找一个n 次多项式，对于[a,b]上充分光滑的函数f(x)，满足条件()()()(),0,1,2,,1,1,2,,.k k ii i P y f y k m i s ==-=问题：● 这样的多项式存在且唯一吗？ ● 的表达式怎样求？一、重节点差商A 、重节点差商()00001,,,,n f x x x x +？考虑()102010121lim ,,,,n n n x x x x x x f x x x x ++→→→？假设f(x)存在n 阶连续导数，根据定理2.4知()()(){}{}11!,,,min max ,nf n i i n iif x x x x ξξ+=≤≤当时，有()()()()()0110!!,,,,1,2,,1nnf x f n i n n f x x x x i n ξ+=→→=+。

1,,s y y 12,,,s m m m 11s i i m n ==+∑()P x ()P x ()P x 0,1,2,,1i x x i n →=+定理2.3.1 设f(x)在(a,b)中连续且有直到n 阶连续导数，若()0,x a b ∈,则()102010121lim ,,,,n n n x x x x x x f x x x x ++→→→=()()0!nf x n 。

定义2.3 如果f(x)在x 0的邻域内连续且有n 阶连续导数，则定义()()102010()0001211(),,:lim ,,,,!n n n n x x x x n x x f x f x x f x x x x n ++→→+→==B 、部分重节点差商()000051,,,,,,,n n f x x x x x x x +？分析：差商()121,,,,n n f x x x x +是n+1个节点11,,n x x +上的n 次插值多项式的首项n x 的系数，记()P x()()()()()()211111212222211111121111112221111111111121121212312323111,,,,1111()()()0(,)(,),0(,)(,),n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x f x x x x f x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x l x l x f x l x x l x x f x x l x x l x x f x x ---+++++---+++---==()()()()()1341343415155111111111111211212123123231341341511(,)(,),0()()1()()11()()()0(,)(,),0(,)(,),(,)(,)0()1()1n n n n n n n n n n n n n n l x x l x x f x x l x l x f x l x l x f x l x l x l x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x l x --+-++----+()()()34155111,()()n n n n n n n l x x l x l x l x l x --++()()()()()1111111211212112311231231123411234123415155111111()()()0(,)(,),0(,,)(,,),,(,,,)(,,,),,,0()()1()()1n n n n n n n n n l x l x f x l x x l x x f x x l x x x l x x x f x x x l x x x x l x x x x f x x x x l x l x f x l x l x f x -----+-++=()()()()()1111111211212112311231231123411234123415155111111()()()0(,)(,),0(,,)(,,),,(,,,)(,,,),,,0()()1()()1n n n n n n n n n n n n n n n l x l x l x l x x l x x l x x l x x x l x x x l x x x l x x x x l x x x x l x x x x l x l x l x l x l x l x -----+-++设0i x x ≠，考察下列极限()10203040123451lim ,,,,,,n x x x x x x x x f x x x x x x +→→→→()()()()()101001010010100101001515511111101001011()()()0()()0()/2!()/2!/2!()/3!()/3!/3!0()()1()()11()()()0()n nnn n n n n n n n nl x l x f x l x l x f x l x l x f x l x l x f x l x l x f x l x l x f x l x l x l x l x l -----+-++--''''''''''''''''''=''()()()()()0010100101001515511111()0()/2!()/2!/2!()/3!()/3!/3!0()()1()()1n nn n n n n n n n n n x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x ---+-++''''''''''''''''所以我们定义()000051,,,,,,,n n f x x x x x x x +=：()10203040123451lim ,,,,,,n x x x x x x x x f x x x x x x +→→→→进一步可以定义定义2.4 f(x)在[a,b]上足够光滑，(,),1,2,,,i y a b i s ∈=112(1)(1)()()11221,,1,,(,,,,,,,,,)lim (,,,,,,)s ss s s s k m kk m kk m m m f y y y y y y f x x x x →∞=：1122detdet ,s s B A B A B A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭称为重节点差商。

计算方法答案第三章

第三章插值法与最小二乘法1. 已知下列表值x 10 11 12 13 lnx 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649用线形插值与二次Lagrange 插值计算ln11.75的近似值，并估计误差。

解：（1）线形插值说明：当插值点落在被插区间之内，这种方法称为内插法，此时插值精度较好。

x ],12,11[75.11∈=故选择x 0=11,x 1=12,求线形插值函数。

11001y x l y x l x P ⨯+⨯=∴）（）（）（=10100101y x x x x y x x x x ⨯--+⨯--=4849.21112113979.2121112⨯--+⨯--x x=2.4849（x-11）-2.3979（x-12）)1275.11(3979.2)1175.11(4849.2)75.11(75.11ln 1---=≈∴p =2.46315（2）二次拉格朗日插值选择插值结点：x 12,11,10210===x x P 2211002)()()()(y x l y x l y x l x ++= =212021012101200201021))(())(())(())(())(())((y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x ----+----+----=4849.2)1112)(1012()11)(10(3979.2)1211)(1011()12)(10(3026.2)1210)(1110()12)(11(----+----+----x x x x x x=1.1513（x-11）（x-12）-2.3979（x-10）（x-12）+1.24425（x-10）（x-11）)1175.11)(1011075(24245.1)1275.11)(1075.11(3979.2)1275.11)(1175.11(1513.1)75.11(75.11ln 2--+-----=≈∴P =1.15133125.124245.14375.03979.2)1875.0(⨯+⨯+-⨯ =2.4639282. 已知下列表值求f(x)在[0，2]之间零点近似值。

matlab数值分析第三章插值

• 一个多项式通常不用拉格朗日形式表示，它更常见的写成类似
x 2x 5
3
• 的形式。其中简单的x的次方项称为单项式，而多项式的这种形式称为使用幂形式的多项式。 • 插值多项式使用幂形式表示为
P( x) c1x c2 x ... cn1x cn
n1Βιβλιοθήκη n 2• 其中的系数，原则上可以通过求解下面的线性代数方程组得到。
3.2 分段线性插值
• • • • 通过两步操作可以绘制出一个简单的图形：第一步用圆圈在坐标系中标出个数据点plot(x,y,'o'); ，第二步用直线段依次连接这些数据点plot(x,y'-'); 。下面的语句执行这样的操作，生成图3-3.
• x = 1:6; • y = [16 18 21 17 15 12]; • plot(x,y,'o',x,y,'-');
3.4 保形分段三次插值
• pchip实际是“分段三次埃米特插值多项式”
（piecewise cubic Hermite interpolating polynominal）的
英文首字母缩写。有意思的是，根据这个名字并不能确定它到底是哪一种分段三次埃米特插值多项式，因为样条插值函数实际也是分段三次埃米特插值多项式，只是对斜率的限制条件不同而已。 • 在这里，我们说的pchip实际上是一个最近才引入 MATLAB、保形的（shape-preserving）且看上去不错的特定插值函数。它基于一个由Fritsch和Carlson 编写的旧的Fortran程序，在Kahaner、Moler和 Nash的书【33】中可以找到相关的介绍。
V=vander(x) 生成 V = 0 0 1 1 8 4 27 9 然后，输入命令 c=V\y' 计算出插值系数 c = 1.0000 0.0000 -2.0000 -5.0000

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3.1构造Lagrange 插值多项式p(x)逼近f(x)=3x ,要求（1）取节点1,110=-=x x 作线性插值；（2）取节点10,1210==-=x x x ，作抛物插值；（3）取节点2,10,13210===-=x x x x ，作三次插值；解：(1)将节点代入f(x)=3x 得1y ,100-=-=x ，1,111==y x p(x)=)(001010x x x x y y y ---+代入1y ,100-=-=x ，1,111==y x p(x)=x(2)将节点代入f(x)=3x 得1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x2120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x p ----+----+----=代入1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x 得： p 2(x)=x（3）将节点代入f(x)=3x 得1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x ，8,233==y x32313033102321212310131210132003020103213))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(()(y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x p ------+------+------+------=代入1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x ，8,233==y x 得： p 3(x)= 3x3.2给定三个数据点（0,1），（1,2），（2,4），求过这些点的插值多项式p(x)。

解：由已知点数据有：1y ,000==x ，2,111==y x ,4,222==y x2120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x p ----+----+----=代入 1y ,000==x ，2,111==y x ,4,222==y x 得：p 2(x)=1222++x x 3.3给定节点，，4,31,13210===-=x x x x 试分别对下列函数导出Lagrange 插值余项：（1） f(x)=2x 343+-x （2） f(x)=34x 2-x 解：（1）将节点代入f(x)得1y ,100=-=x ，3,111==y x ,101,322==y x ，246,433==y x32313033102321212310131210132003020103213))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(()(y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x p ------+------+------+------=将1y ,100=-=x ，3,111==y x ,101,322==y x ，246,433==y x 代入上式得： p 3(x)=2x 343+-x所以： Lagrange 插值余项R(x)=f(x)-p 3(x)=0(2)将节点代入f(x)得3y ,100=-=x ，1,111-==y x ,27,322==y x ，128,433==y x32313033102321212310131210132003020103213))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(()(y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x p ------+------+------+------=将3y ,100=-=x ，1,111-==y x ,27,322==y x ，128,433==y x 代入上式得： p 3(x)=12711x 523+--x x 所以： Lagrange 插值余项R(x)=f(x)-p 3(x)=34x 2-x -（12711x 523+--x x ）=127117234-++-x x x x 3.5 依据数据表试用线性插值和抛物插值分别计算的近似值并估计误差。

解：(a)线性插值公式为：1010010()()y y P x y x x x x -=+-- （1）其中01010.32,0.34,0.314567,0.333487x x y y ====，将其代入（1）式，1010010()()0.3334870.3145670.314567(0.32)0.340.32y y y P x y x x x x x -==+---=+--10.3334870.314567(0.3367)0.314567(0.33670.32)0.340.320.3303652y P -==+--= 线性插值误差计算公式为：101''()()()()()2f f x P x x x x x ξ-=-- 011max ''()sin 0.3335x x x f x ξ≤≤==所以估计误差为：6101''()1()()()()0.33350.01670.00339.21022f f x P x x x x x ξ--=--≤⨯⨯⨯=⨯ (b)抛物线插值公式为：2001122020112012010210120001()()()()()()()()()()()()()()()()P x l x y l x y l x y x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x =++------=++------ （2）其中0120120.32,0.34,0.36,0.314567,0.333487,0.352274,x x x y y y ======代入得 012()1250(0.34)(0.36)()2500(0.32)(0.36)()1250(0.32)(0.34)l x x x l x x x l x x x =--=---=--将012012,,,0.314567,0.333487,0.352274l l l y y y ===代入（2）可得：2001122()()()()0.330374P x l x y l x y l x y =++=抛物线插值误差计算公式为：2012'''()()()()()()6f f x P x x x x x x x ξ-=---020max '''()cos 0.949x x x f x ξ≤≤==所以估计误差20127'''()()()()()()610.9490.01670.00330.023362.0310f f x P x x x x x x x ξ--=---≤⨯⨯⨯⨯=⨯3.7 证明：对于以01,x x 为节点的一次插值多项式()P x 。

插值误差满足01210()()()max ''()8x x x x x f x P x f x ≤≤--≤。

证明：由定理3.1.5可知：01010101''()()()()()[,]21max ''()()()2x x x f f x P x x x x x x x f x x x x x ξξ≤≤-=--∈≤--因为：22201010011()((222))x x x x x x x x x x x +--⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ -⎭⎝-⎪⎝⎭= 从几何上解释上式成立！所以：010101012012101()()max ''()()()21max ''()22()max ''()8x x x x x x x x x f x P x f x x x x x x x f x x x f x ≤≤≤≤<<-≤---⎛⎫≤ ⎪⎝⎭-≤3.11 依据数据表用Neville 解：根据Neville 方法迭代公式有：1'1()(0,1,,)()()()nn ii i n ix P n x y x x x ωω+=+=-∑，代入3x = 所以01(0,1)010110()3x x x x P x y y x x x x x --=+==--21(1,2)1212213231()1 1.41421356 1.828427121221x x x x P x y y x x x x ----=+=⨯+⨯=----32(2,3)2323323432() 1.414213562 1.707106782442x x x x P x y y x x x x ----=+=⨯+⨯=----34(3.4)3434433534()2 2.23606798 1.763932024554x x x x P x y y x x x x ----=+=⨯+⨯=----02(0,1,2)(0,1)(1,2)02203230()3 1.82842712=1.242640680220x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯----31(1,2,3)(1,2)(2,3)13313431() 1.82842712 1.70710678=1.7475468931441x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯----42(2,3,4)(2,3)(3,4)24423532() 1.70710678 1.76393202 1.7260485272552x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯=----30(0,1,2,3)(0,1,2)(1,2,3)03303430() 1.24264068 1.747546893=1.621320340440x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯----41(1,2,3,4)(1,2,3)(2,3,4)14413531() 1.747546893 1.726048527 1.736797711551x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯=----04(0,1,2,3,4)(0,1,2,3)(1,2,3,4)04403530() 1.62132034 1.73679771 1.6906067620550x x x x P x P P x x x x ----=+=⨯+⨯=----3.12设f(x)=7x x 323+++x ，试求差商f[1,2,3,4],f[1,2,3,4,5]的值。