第三章 插值
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3.1构造Lagrange 插值多项式p(x)逼近f(x)=3
x ,要求 （1） 取节点1,110=-=x x 作线性插值； （2） 取节点10,1210==-=x x x ，作抛物插值； （3） 取节点2,10,13210===-=x x x x ，作三次插值； 解：(1)将节点代入f(x)=3
x 得1y ,100-=-=x ，1,111==y x p(x)=)(00
10
10x x x x y y y ---+
代入1y ,100-=-=x ，1,111==y x p(x)=x
(2)将节点代入f(x)=3
x 得1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x
2120210121012002010212)
)(())(())(())(())(()
)(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x p ----+----+----=
代入1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x 得： p 2(x)=x
（3）将节点代入f(x)=3
x 得1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x ，8,233==y x
323130331023212123101
31210132003020103213)
)()(())()(())()(())()(()
)()(()
)()(())()(())()(()(y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x p ------+------+------+------=
代入1y ,100-=-=x ，0,011==y x ,1,122==y x ，8,233==y x 得： p 3(x)= 3
x
3.2给定三个数据点（0,1），（1,2），（2,4），求过这些点的插值多项式p(x)。 解：由已知点数据有：1y ,000==x ，2,111==y x ,4,222==y x
2120210121012002010212)
)(())(())(())(())(()
)(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x p ----+----+----=
代入 1y ,000==x ，2,111==y x ,4,222==y x 得：
p 2(x)=
12
22++x x 3.3给定节点，
，4,31,13210===-=x x x x 试分别对下列函数导出Lagrange 插值余项： （1） f(x)=2x 343
+-x （2） f(x)=3
4
x 2-x 解：
（1）将节点代入f(x)得1y ,100=-=x ，3,111==y x ,101,322==y x ，246,433==y x
3
23130331023212123101
31210132003020103213)
)()(()
)()(())()(())()(()
)()(()
)()(())()(())()(()(y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x p ------+------+
------+------=
将1y ,100=-=x ，3,111==y x ,101,322==y x ，246,433==y x 代入上式得： p 3(x)=2x 343
+-x
所以： Lagrange 插值余项R(x)=f(x)-p 3(x)=0
(2)将节点代入f(x)得3y ,100=-=x ，1,111-==y x ,27,322==y x ，128,433==y x
3
23130331023212123101
31210132003020103213)
)()(()
)()(())()(())()(()
)()(()
)()(())()(())()(()(y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x p ------+------+
------+------=
将3y ,100=-=x ，1,111-==y x ,27,322==y x ，128,433==y x 代入上式得： p 3(x)=12711x 52
3
+--x x 所以： Lagrange 插值余项
R(x)=f(x)-p 3(x)=3
4
x 2-x -（12711x 52
3
+--x x ）=1271172
3
4
-++-x x x x 3.5 依据数据表
试用线性插值和抛物插值分别计算的近似值并估计误差。
解：(a)线性插值公式为：10
10010
()()y y P x y x x x x -=+
-- （1）
其中01010.32,0.34,0.314567,0.333487x x y y ====，将其代入（1）式，
10
10010
()()0.3334870.314567
0.314567(0.32)
0.340.32
y y y P x y x x x x x -==+
---=+--
10.3334870.314567
(0.3367)0.314567(0.33670.32)
0.340.32
0.3303652
y P -==+
--= 线性插值误差计算公式为：101''()
()()()()2
f f x P x x x x x ξ-=
-- 01
1max ''()sin 0.3335x x x f x ξ≤≤==
所以估计误差为：
6101''()1
()()()()0.33350.01670.00339.21022
f f x P x x x x x ξ--=
--≤⨯⨯⨯=⨯ (b)
抛
物
线
插
值
公式
为：
2001
1
2
2
020
1
12012010210120001()()()()()()()()()()()()()()()()
P x l x y l x y l x y x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x =++------=
++------ （2） 其中0120120.32,0.34,0.36,0.314567,0.333487,0.352274,x x x y y y ======
代入得 012()1250(0.34)(0.36)
()2500(0.32)(0.36)()1250(0.32)(0.34)
l x x x l x x x l x x x =--=---=--
将012012,,,0.314567,0.333487,0.352274l l l y y y ===代入（2）可得：
2001122()()()()0.330374P x l x y l x y l x y =++=
抛物线插值误差计算公式为：2012'''()
()()()()()6
f f x P x x x x x x x ξ-=
---
02
0max '''()cos 0.949x x x f x ξ≤≤==