第三章 一些重要的概率分布

tk F1,k
2
χ2变量除以其自由度m的值接近分子自由度为m，分母
例3.5
两班做同样的经济计量学测试。其中，一个班级共有 100 名 学生，另一班级共有 150名学生，该老师从第一个班级随机 抽取25个学生，从第二个班级随机抽取31个学生，观察得到 两个班级学生考试平均分数的样本方差分别为 100 和 132 。 假设学生考试平均分数这一随机变量服从正态分布，那么两 班级分数平均值同方差的概率大概为多少？
3.2 样本均值的抽样分布
（2）中心极限定理 如果X1, X2, …，Xn是来自均值为u方差为σ2 的任一总体的
随机样本，随着样本容量无限增大，则其样本均值趋于正态
分布，其均值为u, 方差为σ2 /n。
3.3 t分布
3.3 t分布的性质
t分布与正态分布类似具有对称性，其均值为0，
方差为k/(k-2)，但t分布比正态分布略“胖”些。
Sx2 F 2 Sy
2 ( X X ) m 1 i 2 ( Y Y ) n 1 i
F分布的图象
概率密度
x
F分布的性质
斜分布，向右偏，取值范围为0到无穷大；
当自由度k1，k2逐渐增大时，F分布近似正态分布；
自由度为k的t分布变量的平方服从分子自由度为1，分
母自由度为k的F分布，即： 自由度n无限大的F分布。
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从自由度为k 的χ2分布，即
2 2 2 2 2 Z Z Z ... Z (k ) i 1 2 k
χ2 分布的图象
概 率 N=2 N=7 N=11
x N为自由度
χ2分布的性质
χ2 分布只能取正值，（因为它是平方和的分布），取
值范围从0到正无穷大。
χ2 分布是斜分布，其偏度取决于自由度的大小，自由
正态分布的偏度为0，峰度为3。
例3.1
（3）正态分布的标准化
如果 ~ N ,

2
，
，则 ~ N 0,1
任何一个给定均值和方差的正态变量都可转化为标 准正态变量。
例3.2
3.2 样本均值的抽样分布
（1）独立随机变量
如果所有的X独立抽取于从同一概率密度分布(即每个 Xi有相
第三章 一些重要的概率分布
3.1 正态分布 3.2 样本均值的抽样分布
3.3 t分布
3.4 χ2分布 3.5 F分布
3.1 正态分布
（1）正态分布
若连续型随机变量X的概率密度为
x
1 2
e

x
2
2
2
σ , 为常数，σ 0
则X服从正态分布，记为X～N(μ ,σ2 ) 。正态分布的数 学期望和方差分别为μ 和σ2。
度越小，越向右偏，但随着自由度的增大，逐渐呈对 称，接近于正态分布。
χ2分布的期望为k，方差为2k，k为χ2 分布的自由度
如果Z1，Z2分别是自由度为k1和k2的两个独立χ2变量，
则其和（ Z1+Z2 ）也是一个χ2变量，其自由度为
（ k1+k2 ）。
3.5 F分布
如果 x2 ，则 y 2 F值服从分子自由度为（m-1），分母 自由度为（n-1）的F分布。
（2）正态分布的性质
正态分布曲线以均值为中心，对称分布； 正态分布的概率密度函数呈中间高、两边低。
2 正态分布可由两个参数 和 来描述
正态分布曲线下位于一个标准差的面积约为68%;两个标准差
的面积约为95％；三个标准差的面积约为99.7%;
多个正态分布随机变量的线性组合仍为正态分布。
同的概率密度函数)，我们则称X1,X2,…,Xn构成一容量为n的随
机样本。因而称 X为独立同分布随机变量。 知道某一特定的估计量服从某一特定的概率分布将有助于建 立从样本到总体之间的联系。
例3.3：令X代表某一型号汽车每消耗一加伦汽油所行驶的 距离(英里)。已知X～N(20，4)。则对于由一个有25辆 汽车组成的随机样本，求：每消耗一加伦汽油所行驶的 平均距离大于21英里的概率。
若自由度充分大（至少为30），则t分布近似标
准正态分布，因此有
P(1.96 t 1.96) 95%
t分布和正态分布图像
例3.4
在15天内，出售面包的平均数量为74条，样本方差为 16条。假定真实平均销售量为70条，求某天销售面包 数量为74条的概率？
3.3 χ2分布
若Z1, Z2, …，Zk为k个独立的标准正态变量，则其平方和服