单调性PPT课件(1)

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课堂练习
证明函数
f
(x)
k x
(k为负的常数)
在区间（0,+∞）上是增函数.
结
证明函数 y k (k 0)在区间(0,+∞)上是增函数 x
证:设 x1, x2是(0,+∞)上任意两个值且x1 x2 ,
f
(x1)
f
(x2)
kk x1 x2
k
x2 x1 x1x2
设值
∵ 0 x1 x2 , 且 k 0
x2 x
如果对于定义域I内某个区间D上的
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数.
y
如果对于定义域I内某个区间D上的
y=f(x) f(x1) f(x2)
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)
的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一 单调区间上, 函数是增函数还是减函数？
y
3 y f (x)
2
-3 -2 -1 1
-5 -4
-1 O 1 2 3 4 5 x
-2
解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5]. 其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数； 在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.
说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.
例2.利用定义：
证明函数 f (x) 2x 3 在R上是减函数.
证明：设 x1 , x2 是R上任意两个值，且 x1 ，x2
则 f (x1) f (x2)(2x13)(2x2 3) 设值
2(x1 x2 )
作差变形
∵ x1 x2 , ∴ x1 x2 0,
o x1
x2
x
x1、x2的三大特征：①属于同一区间
②任意性 ③有大小: 通常规定 x1＜x2
反比例函数 y 1 ： x
在(-∞,0)上是__减__函数
在(0,+∞)上是_减___函数
y
1 -2 -1
f
( x)
1 x
O 1 2x
-1
问:能否说 y 1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数?
函数 y 1 ： x
如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数.
如果对于定义域I内某个区间D上的
y=f(x) f(x1) f(x2)
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.
4
o
x
1
x
-2 -1 O 1 2
(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小
当x增大时f(x)随着增大 (0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大
函数在R上是增函数 函数在(-∞,0]上是减函数
函数在(0,+∞)上是增函数
y
函数 f(x)=x2 :
f (x2)
在(0,+∞)上任取 x1、x2 ,
f (x1)
判断差符号
2(x1x2)0 , ∴ f (x1) f (x2)0 ,
即 f (x1) f (x2 ).
∴函数 f (x) 2x3在R上是减函数． 下结论
骤
证明函数单调性的步骤：
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2 2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形； 3.判断差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性.
因为 x1、x2 不具有任意性.
y
定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
y=f(x)
f(x1)
o x1 y
f(x2) x2 x
如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数.
如果对于定义域I内某个区间D上的
作差变形
∴ x2 x1 0 , x1x2 0
∴ f (x1) f (x2)0 ,
判断差符号
即 f (x1) f (x2).
下结论
∴
f
(
x)
k x
在区间(0,+∞)上是增函数．
课堂小结 1.增函数、减函数的定义:
定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
y
y=f(x)
f(x2) f(x1)
o x1
在(-∞,0)上是__减__函数
在(0,+∞)上是_减___函数
y
f (x1)
f
(x)
1 x
f (x2)
O x1 x2 x
在 (0,+∞) 上任取 x1、 x2
当x1< x2时，都有f(x1) > f(x2)
取自变量－1< 1，
而 f(－1) < f(1)
y
-1 1
f
(x)
1 x
O1
x
-1
∴不能说 y 1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
枚 中国在近七届奥运
50 会上获得的金牌数
51
情 景
45
引
40
入
35
32
30
28
25
20 15
15
16 16
10
5
5 23 24 25 26 27 28 29 届
德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据
时间间隔 刚刚记忆完毕
20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后
1天后 2天后 6天后 一个月后
…
记忆保持量 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% …
则f(x1)= x12 , f(x2)= x22
x
0 x1 x2
任意x1 x2,都有 x12 x22
任意x1 x2,都有 f (x1) f (x2)
∴函数 f(x)=x2 在(0,+∞)上是增函数.
定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
y
y=f(x)
f(x1) o x1 y
f(x2) x2 x
艾宾浩斯记忆遗忘曲线
记忆保持量 （百分数）
100
80
60
40
20
天数
O
2 34 5 6
学习新课
观察下列函数的图象，回答当自变量 x
的值增大时,函数值 f (x)是如何变化的？
(1) f (x) x1
y
(2) f (x) x2
y4
o 1x
1
-2 -1 0 1 2 x
(1) f (x) x1
y
(2) f (x) x2 y
y=f(x)
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当
f(x1) f(x2)
x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.
o x1 x2 x
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，
那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)
单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.