事件的概率

合集下载

1.2事件的概率

例4 某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.
解：
从10个不同数字中取5个的排列
=0.3024
问：
保持计数法则的一致性！
错在何处？
计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同.
需要注意的是：
1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.
P(A) 55 4 5 5 6 6 9
（2）事件B包含的基本事件数为mB=4×4×2+5×4=52 所以
P(B) 52 13 5 6 6 45
例：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.
2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.
例:
用 0,1,2,3,4,5 这六个数字排成三位数，求
（1）没有相同数字的三位数的概率. （2）没有相同数字的三位偶数的概率.
解：设A=没有相同数字的三位数，B表示没有相同数字的三位偶数，则基本事件总数n=5×6×6=180 （1）事件A包含的基本事件数为mA=5×5×4 所以
NC C C
10 30
10 20
10 10
30! 10! 10! 10!
27! 3! 9! 9! 9! 50 P( A) N 203
3C C C P( B) N
7 27
10 20
10 10

随机事件的概率

古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用. 箱中摸球分球入箱
随机取数是常见的几种模型 .
分组分配
三、概率的几何定义
早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法——几何方法. 请看演示几何概率
n n
第1次选取
第2次选取
B
第3次选取 C 例如：n=4,
D B D B
k =3
A
C D
C
B
P 4 3 2 24
3 4
C
D
……
P4 4 3 2 1 24
从n个不同元素取 k个（允许重复）
（1k n)的不同排列总数为：
n n n n回地摸取3张
这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的基本计数原理 1. 加法原理
设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法, 则完成这件事总共有n1 + n2 + … + nm …；第m种方式有nm种方法, 种方法 . 无论通过哪种方法都可以完成这件事，
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车,
一、概率的统计定义
1、频率
若设n A是n次试验中事件 A发生的次数， nA 则比值称为事件A发生的频率，记为 n n A f n ( A)，即 f ( A)
n
n
nA称为事件A发生的频率。
频率具有下列性质：性质1
性质2 性质3
0 f n ( A) 1
f n ( ) 1
若事件A与事件B互斥，即AB ，则 f n ( A B ) f n ( A) f n ( B )

概率公式大全

概率公式大全概率公式大全（上篇）概率公式在概率论中起着非常重要的作用，它们用于描述随机事件的发生概率以及事件之间的关系。

本文将介绍一些常见的概率公式，帮助读者更好地理解和应用概率论。

1. 基本概率公式1) 事件的概率公式：在概率论中，事件的概率通常用P(A)表示，其中A表示一个事件。

事件A的概率可以用下述公式计算：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间S 中的总次数。

2) 样本空间的概率公式：当样本空间S的每个样本点发生的概率相同且为1/N(S)时，我们可以使用下述公式计算事件A的概率：P(A) = N(A) / N(S)这个公式在实际问题中应用广泛，是基本的概率公式之一。

2. 条件概率公式1) 条件概率的定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A在B 条件下的条件概率，用P(A|B)表示。

条件概率的计算公式如下：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A与事件B同时发生的概率。

2) 乘法公式：乘法公式是条件概率的推广形式，用于计算两个事件同时发生的概率。

根据乘法公式，我们可以得到：P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B)这个公式在计算复杂事件的概率时非常有用。

3. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件发生的总概率，它假设事件发生的样本空间可以划分为若干个互斥事件。

全概率公式如下：P(A) = Σi P(A|Bi) * P(Bi)其中，Bi表示样本空间S的一个划分，P(A|Bi)表示在Bi条件下事件A发生的概率。

这个公式可以在一些复杂问题中计算事件发生的概率，非常实用。

4. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的逆运算，用于通过已知的条件概率反推出相反的条件概率。

根据贝叶斯公式，可以得到：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。

事件的概率

例1 在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任取7张，求其恰好排列成ability的概率。
解
假定字母b及i是可辨的，
事件总数： P ，
有利场合数：P P 4 ,
1 2 2 2
7 11ห้องสมุดไป่ตู้
4 P( A) 7 2.4 10 6 . P11
23
例2 某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.
0.047 0.035 0,029 0.023 W G B V
0.0225 0.021 0.0175 0.012 X J Q Z
0.012 0.011 0.0105 0.008
0.003 0.002 0.001 0.001 0.001
数据引自L.Brillouin, Science and Information Theory, New York, 1956
第二节
1
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.
概率是随机事件发生可能性大小的度量
事件发生的可能性越大，概率就越大！
2
现在，让我们看一个从死亡线上生还的故事
本来，这位犯臣抽到“生”还是“死”是一个随机事件，且抽到“生”和“死”的可能性各占一半，也就是各有1/2概率. 但由于国王一伙“机关算尽”，通过偷换试验条件，想把这种概率只有1/2 的“抽到死签”的随机事件，变为概率为1的必然事件，终于搬起石头砸了自己的脚，反使犯臣得以死里逃生.
13
二、古典概型(概率的古典定义)
假定某个试验有有限个可能的结果

概率事件计算公式

概率事件计算公式一、频率法：频率法是通过观察实验数据的频率来计算概率的一种方法。

其基本思想是在重复进行相同或类似的随机试验中，将事件发生的次数除以总次数，得到事件发生的频率即为事件的概率。

频率法公式如下：P(A)=n(A)/n其中，P(A)表示事件A发生的概率；n(A)表示事件A发生的次数；n表示试验总次数。

例如，如果进行一个抛硬币的实验，我们抛硬币100次，事件A表示抛硬币正面朝上的次数，如果正面朝上的次数为60次，则事件A发生的概率可以计算为：P(A)=60/100=0.6二、古典概型法：古典概型法（也称为等可能概型法）适用于所有试验结果等可能出现的情况。

在古典概型法中，事件的概率等于事件包含的有利结果数除以总的可能结果数。

古典概型法公式如下：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率；n(A)表示事件A包含的有利结果数；n(S)表示总的可能结果数。

例如，如果有一副有52张牌的扑克牌，现在从中抽取一张牌，事件A表示抽到一张黑桃牌的概率，由于一副扑克牌中有13张黑桃牌，总共有52张牌，所以事件A发生的概率可以计算为：P(A)=13/52=0.25三、几何概型法：几何概型法适用于连续性试验的概率计算，其中样本空间可以用几何形状表示。

几何概型法公式如下：P(A)=S(A)/S其中，P(A)表示事件A发生的概率；S(A)表示事件A对应的样本空间区域的面积或体积；S表示整个样本空间对应的面积或体积。

例如，如果在一个圆形领域中随机取一点，事件A表示这个点落在圆形的一半区域内的概率，由于圆形的一半区域的面积为圆形的面积的一半，整个圆形的面积为S，则事件A发生的概率可以计算为：P(A)=S(A)/S=1/2总结：概率事件计算公式有频率法、古典概型法和几何概型法。

频率法适用于观察实验数据的频率计算概率；古典概型法适用于所有试验结果等可能出现的情况；几何概型法适用于连续性试验的概率计算。

通过应用适当的公式，我们可以计算出事件发生的概率，进一步理解和应用概率论。

随机事件的概率

第一节随机事件的概率一.基本知识概要：1.随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，其概率10≤≤P2.如果是必然要发生的事件，则叫必然事件，其概率P=1；3.如果是不可能发生的事件，则叫不可能事件，其概率P=0。

4.事件的概率：在进行n 次重复同一试验中事件A 发生了m 次，随着试验次数的增大，事件A 发生的频率m/n 总是接近于某一常数P ，则P 就叫事件A 发生的概率。

5.基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

6.等可能事件：在一次实验中，所有可能的结果有n 个，则叫事件A 包含有n 个基本事件，如果每个基本事件发生的概率都是等可能的，则叫等可能事件，所以每个基本事件发生的概率是n1。

如果事件A 包含了其中的m 个基本事件，则事件A 发生的概率P （A ）=nm 。

7.概率的计算：事件A 发生的概率P （A ）=种数所有事件发生的可能总发生的可能种数事件A =)()(I card A card （其中I为所有基本事件的集合，A 为事件A 所含基本事件的集合）。

二、例题：例1、（1）给出下列四个命题：①“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是必然事件；②“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是不可能事件；③“当R x ∈时，2cos sin <+x x ”是随机事件；④“当R x ∈时，2cos sin <+x x ”是必然事件；其中正确的命题个数是：A ． 0；B 1；C 2；D 3（2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是90℅，一地区已有9人患此病死亡，则第10个病人必能成活。

”(3) 判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有10万张，中大奖的概率是10万分子1，若已有9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某人包下剩下的1千张彩票，那么此人必能中大奖。

” （4解：（1）B ；（2）否；（3）是；（4）0.8.[思维点拔]：正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的．例2、用数字1，2，3，4，5组成五位数，求其中恰有4个相同数字的概率。

简单事件的概率

简单事件的概率1、简单事件类型：（1）必然事件：有些事件我们事先能肯定它一定会发生，这类事件称为必然事件；（2）不可能事件：有一些事件我们事先能肯定它一定不会发生，这类事件称为不可能事件；必然事件与不可能事件都是确定的。

（3）不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件。

2.概率的定义：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率。

P 必然事件=1， P 不可能事件=0， 0＜P 不确定事件＜13.概率的计算方法（1）用试验估算：此事件出现的次数试验的总次数某事件发生的概率（2）常用的计算方法：① 直接列举； ② 列表法树状图。

4.频率与概率的关系：对一个随机事件做大量实验时会发现，随机事件发生的次数（也称为频数）与试验次数的比（也就是频率人总是在一个固定数值附近摆动，这个固定数值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过实验得到的，它随着实验次数的变化而变化，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率。

练习：1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是( )．A ．让比赛更富有情趣B ．让比赛更具有神秘色彩C ．体现比赛的公平性D ．让比赛更有挑战性2．小张掷一枚硬币，结果是一连9次掷出正面向上，那么他第10次掷硬币时，出现正面向上的概率是( )．A ．0B ．1C ．0.5D ．不能确定3．关于频率与概率的关系，下列说法正确的是( )．A ．频率等于概率B ．当试验次数很多时，频率会稳定在概率附近C ．当试验次数很多时，概率会稳定在频率附近D ．试验得到的频率与概率不可能相等4．下列说法正确的是( )．A ．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点B ．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖C ．天气预报说明天下雨的概率是50％．所以明天将有一半时间在下雨D ．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等5．下列说法正确的是( )．A ．抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B ．“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业C ．一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1％，所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)D ．抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50％，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面6．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是( )．A ．21 B ．31 C ．61 D ．817．在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类、速度类和力量类．其中必测项目为耐力类，抽测项目为：速度类有50m 、100m 、50m × 2往返跑三项，力量类有原地掷实心球、立定跳远、引体向上(男)或仰卧起坐(女)三项．市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50m × 2往返跑、引体向上(男)或仰卧起坐(女)两项的概率是( )．A ．31 B ．32 C ．61 D ．91 8．元旦游园晚会上，有一个闯关活动：将20个大小、重量完全一样的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的．如果任意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，那么一次过关的概率为( )．A ．32 B ．41 C ．51 D ．101 9．下面4个说法中，正确的个数为( )．(1)“从袋中取出一只红球的概率是99％”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红球没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50％”(3)小李说，这次考试我得90分以上的概率是200％(4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小A ．3B ．2C ．1D ．010．下列说法正确的是( )．A ．可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B ．可能性很小的事件在一次试验中一定发生C ．可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D ．不可能事件在一次试验中也可能发生概率的计算（重点）1、等可能事件的概率如果事件发生的各种结果的可能性相同，结果总数为n ，其中事件A 发生的可能的结果总数为m （m≤n），那么事件A 发生的概率为()nm A P =. 2、运用列表格、画树状图等列举方法来统计、计算等可能事件发生的结果总数和某种事件A 发生的可能的结果总数，从而计算简单事件发生的概率．【典例讲解】例1、袋中有1个红球，2个白球和3个黄球，球的质量与大小、外表均相同，搅匀后从中摸出一个球，则： ①任意从袋中摸得一个球，恰好是红球的概率． ②任意从袋中摸得一个球，恰好是白球的概率． ③任意从袋中摸两个球，恰好是红球和黄球的概率．直接列举由于6个球的外质均相同，所以任意摸出一球时，被摸出的球的概率为61，而红球只有一个，白球是2个，黄球是3个． ∴摸红球的概率为61；摸白球的概率为31，黄球为21．而摸出两球时，所有的可能性为n=15种（如红白1，红白2，白1黄1，白1黄2，白1黄3，白2黄1，白2黄2，白2黄3，红黄1，红黄2，红黄3，白1白2，黄1黄2，黄1黄3，黄2黄3）．但事件“任意从袋中摸两个球，恰好是红球和黄球”的总数m=3，∴摸到红球和黄球的概率为51．例2、小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张．计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜．（1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况；（2）请判断该游戏对双方是否公平，并说明理由．列表（1）从表中可看出小明和小亮抽得的数字之和可能为2，3，4，5，6；（2）因为和为偶数有5次，和为奇数有4次，故P （小明胜）=94， P （小亮胜）=95，所以此游戏对双方不公平．画树状图（1）从树状图中可看出小明和小亮抽得的数字之和可能为2，3，4，5，6；（2）因为和为偶数有5次，和为奇数有4次，故P （小明胜）=94， P （小亮胜）=95，所以此游戏对双方不公平．例3、图为红心和梅花两组牌，每组牌面数字都分别是1，2，3．如果从每组牌中各抽一张，并将牌面数字相加，得数字和．求：(1)牌面数字和为奇数的概率；(2)牌面数字和为偶数的概率；(3)牌面数字和为6的概率；(4)牌面数字和为几的概率最大?这个概率是多少?例4.根据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏”的奥秘。

事件与概率计算公式

事件与概率计算公式事件与概率是概率论中的重要概念，它们被广泛应用于统计学、经济学、物理学等领域。

在现实生活中，我们经常需要通过事件与概率来进行决策和预测。

本文将介绍事件与概率的基本概念，以及事件与概率计算公式的应用。

事件与概率的基本概念。

在概率论中，事件是指样本空间中的一个子集，即样本点的集合。

例如，掷一枚硬币，出现正面和出现反面分别是两个事件。

概率是描述事件发生可能性的数值，通常用P(A)表示。

概率的取值范围是0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定发生。

事件与概率的计算公式。

1. 加法法则。

加法法则是指两个事件同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率之和减去两个事件同时发生的概率。

具体公式如下：P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B)。

其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

2. 乘法法则。

乘法法则是指两个事件同时发生的概率等于第一个事件发生的概率乘以在第一个事件发生的条件下，第二个事件发生的概率。

具体公式如下：P(A∩B) = P(A) P(B|A)。

其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

3. 条件概率。

条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

具体公式如下：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。

其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。

事件与概率的应用。

事件与概率在现实生活中有着广泛的应用。

例如，在金融领域，投资者需要通过事件与概率来评估投资风险和收益。

在医学领域，医生需要通过事件与概率来进行疾病诊断和治疗方案选择。

在工程领域，工程师需要通过事件与概率来评估工程项目的可行性和安全性。

概率论-事件的概率

从3个同学选出2个同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有C32个选法。
从3个同学选出2个同学当班长和书记，则有顺序的，可以为：甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙。即有A32个选法。
Anm n(n 1)(n 2)....(n m 1)
Ann n(n 1)(n 2)....3 2 1 n!
则称该试验为等可能概型，也称为古典概型。
概率的古典定义：若古典概型E中基本事件的总数为n,
事件A包含其中的m个，则定义事件A的概率为
P( A)
A包含的基本事件数
=m
E的样本空间中基本事件总数 n
例子：骰子
基本计数方法：加法原理、乘法原理
加法原理：完成一件事，有n类方式，第一类方式中有
m1 种不同的方法，在第二类方式中有 m2 种不同的方法， .....，在第n类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 (m1 m2 ... mn ) 种不同的方法。
组合：从n个不同的元素中取出 m (m n) 个元素成为一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
排列（组合）数：从n个不同的元素中取出m (m n)个元素
的所有的排列（组合）的个数，记为：Anm (Cnm )
例判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：（1）从甲、乙、丙三个学生中选出2个人；组合（2）从甲、乙、丙三个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．排列
则事件A的概率为
P(
A)
( A) ()
说明
当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概型. （因为古典也是等可能的）
例1 某班级为活跃联欢会气氛，设置了一个刻度平均的转盘，刻度区间为[0,100],当转针停止在区间[15,25] 可得一等奖，停止在区间[50,70]可得二等奖，试问：

概率与统计中的事件与概率

概率与统计中的事件与概率概率是概率论的核心概念，是研究随机现象的发生可能性的数学工具。

而统计是对随机现象进行观察、收集数据，并通过对数据进行分析来推断总体的特征和规律的科学方法。

在概率与统计中，事件与概率是两个重要的概念，本文将从它们的定义、性质以及应用等方面进行论述。

一、事件的定义与性质在概率论中，事件是指一个可以在一次试验中发生或不发生的结果。

简单事件指的是只含有一个结果的事件，复合事件则是含有多个结果的事件。

事件的发生与否可用0或1来表示，其中0表示事件不发生，1表示事件发生。

事件具有以下性质：1. 确定性：每个事件在特定情况下必然发生或必然不发生。

2. 互斥性：两个事件不能同时发生。

3. 适应性：事件的发生可能受到其他事件的影响。

4. 完备性：一个试验的所有可能结果构成了一个完全事件。

在概率的计算中，事件通常与样本空间相关联。

样本空间是指一个试验中所有可能结果的集合，而事件是样本空间的子集。

事件的概率则是指事件发生的可能性大小，范围从0到1之间。

二、概率的定义与性质概率是研究随机现象发生可能性的一种数值度量，用于描述事件发生的可能性大小。

概率的计算依赖于事件与样本空间的关系，并且遵循以下几个重要性质：1. 非负性：事件的概率值始终大于等于0。

2. 归一性：样本空间中的所有可能事件的概率之和等于1。

3. 加法法则：对于互斥事件，其概率可通过将每个事件的概率加总得到。

4. 乘法法则：对于独立事件，其概率可通过将每个事件的概率相乘得到。

概率的计算方法有两种主要方式：经典概率和统计概率。

经典概率是基于样本空间中各个事件的等可能性，通过计算事件所占的可能结果数与样本空间大小的比值来确定。

而统计概率则是基于试验数据的分析结果，通过观察事件发生的频率来估计概率值。

三、事件与概率的应用概率与统计是应用广泛的数学工具，在各个领域都有重要的应用。

下面以几个典型的应用场景来说明事件与概率的作用。

1. 生活中的概率：概率论可以用于解决各种与生活有关的概率问题，如扔硬币的正反面、掷骰子的点数等。

事件的概率

优等品频
率
0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
当抽取的球数很多时，抽到优等品的频率接近于常数0.95，在它附近摆动。
频率与概率的关系
(1)联系:
随着试验次数的增加, 频率会在概率的附近摆动,并趋于稳定. 在实际问题中,若事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.
(2)区别:
3、频数与频率
某事件发生的次数称为频数f（n）。某事件发生的次数与实验总次数的比值称为频率。
表一：历史上一些数学家抛掷硬币的数据
姓名
试验次数
正面朝上的频数
正面朝上的频率
徳.摩根 2048
1061
0.5181
蒲丰
4040
2048
0.5069
皮尔逊 12000
6019
0.5016
皮尔逊 24000
一定能击中靶心9次吗？不一定!
练习1：全班同学一起做摸球试验，布袋里的球除了颜色外其它都一样，每次从布袋里摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，一共摸了200次，其中131次摸出红球，69次摸出白球，如果布袋里有3个球，请你估计布袋里红球和白球的个数．
2红1白
2）抛掷100枚质地均匀的硬币，有下列一些说法:
10 20 50 100 200 500
击中靶心的次数 m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率m/n 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
1.计算表中击中靶心的各个频率；
2.随着射击次数的增加，事件A的频率接近常数吗？是多少？ 0.9
3. 这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少? 0.9 4.这个射手击中靶心的概率是0.9，那么他射击10次，

事件的概率

编号：（5）13个人中，至少有两个人出生的月份相同；（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；（7）在装有3个球的布袋里摸出4个球（8）抛出的篮球会下落。

（9）打开电视机，它正在播放动画。

2、下面第一排表示了各袋中球的情况，请你用第二排的语言来描述摸到红球的可能性大小，并用线连起来。

3、某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒。

当人或车随意经过该路口时，遇到哪一种灯的可能性最大，遇到哪一种灯的可能性最小？4、口袋里有10只黑袜子，6只白袜子，8只红袜子，任意摸出一只袜子，什么颜色袜子摸出的可能性最大？4、有一些写着数字的卡片，他们的背面都相同，先将他们背面朝上，从中任意摸出一张：（1）摸到几号卡片的可能性最大？（2）摸到几号卡片的可能性最小？（3）摸到的号码是奇数和摸到的号码是偶数的可能性，哪个大？二．频率的稳定性袋子里有8个红球，m 个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到1 12 2 4 1红球的可能性最大，则m的值不可能是（）A．1 B．3 C． 5 D．10归纳：1、在试验次数很大时，事件发生的频率都会在一个常数附近摆动，即事件的频率具有稳定性。

2、在n次重复试验中，不确定事件发生了m次，则比值mn称为事件发生的频率。

巩固练习1、某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：（1）计算表中进球的频率并填入表中；（2）这位运动员投篮一次，进球概率约是多少？2、抛掷一枚均匀的硬币，硬币落下后，会出现、两种情况，你认为出现这两种情况的可能性相同吗？三．事件的概率必然事件发生的概率为；不可能事件发生的概率为；不确定事件A发生的概率P(A)是之间的一个。

1.某事件发生的可能性如下：请选择：（1）有可能，但不一定发生； ( ) ⑵发生与不发生的可能性一样； ( )⑶发生可能性极少； ( ) ⑷不可能发生。

( )A、0.1%B、50%C、0D、99.992、下列事件发生的可能性为0的是（）A、掷两枚骰子，同时出现数字“6”朝上B、小明从家里到学校用了10分钟，从学校回到家里却用了15分钟C、今天是星期天，昨天必定是星期六D、小明步行的速度是每小时40千米3、口袋中有9个球，其中4个红球，3个蓝球，2个白球，在下列事件中，发生的可能性为1的是（）A、从口袋中拿一个球恰为红球B、从口袋中拿出2个球都是白球C、拿出6个球中至少有一个球是红球D、从口袋中拿出的球恰为3红2白4、给出以下结论，错误的有（）①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生. ②如果一件事发生的机会达到99.5%，那么它就必然发生. ③如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生.④如果一件事不是必然发生的，那么它就不可能发生.A.1个B.2个C.3个D.4个5、在下列说法中，不正确的为（）A、不可能事件一定不会发生；B、必然事件一定会发生；C、抛掷两枚同样大小的硬币，两枚都出现反面的事件是不确定事件；D、抛掷两颗各面均匀的骰子，其点数之和大于2是一个必然事件．6、一个袋中有5个球，分别标有1，2，3，4，5这5个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球。

事件的概率知识点总结

事件的概率知识点总结一、基本概念1.概率的定义概率是一个介于0和1之间的数，用来描述一个事件发生的可能性大小。

当概率为0时，表示事件不可能发生；当概率为1时，表示事件一定会发生。

而在0和1之间的概率则表示事件发生的可能性大小。

2.事件与样本空间在概率论中，首先需要定义一个样本空间，它包括了所有可能发生的结果。

而事件则是样本空间的子集，表示我们关心的特定结果。

比如，抛一枚硬币的样本空间是{"正面", "反面"}，而事件可以是"出现正面"。

3.事件的互斥与独立事件的互斥表示这两个事件不可能同时发生，比如掷骰子出现1和出现2就是互斥事件。

而事件的独立则表示一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，比如抛一枚硬币的正面和掷一次骰子出现6就是独立事件。

4.事件的概率计算概率计算通常有两种方法，一种是古典概率计算，它适用于等可能事件，比如掷骰子；另一种是统计概率计算，它适用于不等可能事件，比如抽奖。

古典概率计算使用概率公式P(E)=n/N，其中n表示事件发生的次数，N表示样本空间的大小。

二、概率的计算方法1.加法法则加法法则用来计算事件A和事件B同时发生的概率，表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，通过减去P(A∩B)可以避免重复计算。

2.乘法法则乘法法则用来计算事件A和事件B依次发生的概率，表示为P(A∩B)=P(A)×P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

3.全概率公式与贝叶斯公式全概率公式用来计算一个事件在发生的各种条件下的概率，表示为P(B)=ΣP(Ai)P(B|Ai)，其中Ai表示样本空间的所有划分，P(B|Ai)表示在Ai发生的条件下，事件B发生的概率。

而贝叶斯公式则是通过已知的条件概率来计算事件的先验概率，表示为P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/P(B)，其中P(Aj|B)表示在事件B发生的条件下，事件Aj发生的概率。

随机事件的概率

随机事件的概率知识要点：1．必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件。

2．不可能事件:在一定的条件下不可能发生的事件。

3．随机事件:在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。

4．随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。

注意:0≤P(A)≤1。

5．基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

6．等可能性事件的概率:如果一次试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率:P(A)= 。

理解随机事件及其概率的意义;理解等可能性事件的概率的意义；会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概念。

典型题目:例1．条件:将一枚五角硬币和壹角硬币同时向上抛,落在有弹性的桌面上(有国徽那一面叫做正面)。

事件A:伍角的正面朝上,壹角的正面朝上；事件B:伍角的正面朝上,壹角的反面朝上；事件C:伍角的正面朝上或反面朝上；事件D:壹角的正面朝上同时反面朝上。

判断事件A、B、C、D是什么事件。

解:可以断定:A和B是随机事件,C是必然事件,D是不可能事件。

例2．指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件:（1）当x≥10时,lgx≥1；（2）数列{a n}是单调递增数列,a2003>a2004；（3）sinα>sinβ时,α<β。

解:（1）根据对数函数y=lgx在（0,+∞）上是增函数及lg10=1,知当x≥10时,lgx≥1是成立的,所以,（1）是必然事件。

（2）因为数列{a n}是单调递增数列,所以对任意的n∈N*,都有a n<a n+1成立,所以，a2003>a2004不可能成立，所以,（2）是不可能事件。

（3）如图（2）,sinα>sinβ时:①取β=β1,这时sinα>sinβ1, α>β1, α<β不成立；②取β=β2, 这时sinα>sinβ2, α<β2, α<β成立。

事件的条件概率和三个基本公式

2 2 4 P( AB ) . P( A B) 3 34 P( B )
3
条件概率的计算公式规定如下：
P( AB ) (P( B) 0) P( A B ) P( B )
例设袋中有7个黑球，3个白球，非还原摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。若改为还原摸取，结果如何？解设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则
一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；
P( A) P( AB1 ) P( AB2 ) P( AB3 )
P( B1 )P( A B1 ) P( B2 )P( A B2 ) P( B3 )P( A B3 )
0.3 0.03 0.2 0.03 0.5 0.01 0.02 .
P( Ω B) 1 ；
(3) 可列可加性设 A1 ,, An 是两两不相容的事件，则
P Ai B P( Ai B) i 1 i 1
并由此推出条件概率的其它性质：
(4) P(Ø B) 0 ；
(5) P( A B) 1 P( A B) ;
13
定义
若事件组 B1 , B2 ,, Bn 满足以下两个条件：
(1) B1 , B2 ,, Bn 两两不相容 (即每次至多发生其中一个)
( 2 ) B1 B2 Bn Ω (即每次至少发生其中一个)
则称 B1 , B2 ,, Bn 为一个完备事件组 .
在上面例1中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式. 在全概率公式的假定下，有
P( ABk ) P( Bk A) P( A)
P( Bk )P( A Bk )

概率与统计中的事件概率与条件概率

概率与统计中的事件概率与条件概率在我们的日常生活和各种科学研究中，概率与统计这门学科发挥着重要的作用。

其中，事件概率和条件概率是两个关键的概念。

理解它们不仅有助于我们更好地分析和解决问题，还能让我们对不确定性有更清晰的认识。

首先，让我们来谈谈事件概率。

简单来说，事件概率就是某个事件在一定条件下发生的可能性大小。

比如说，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率就是 05。

那这个 05 是怎么来的呢？因为硬币只有正反两面，而且是均匀的，所以出现正面和反面的可能性是相等的，总共有两种可能的结果，正面朝上只是其中一种，所以概率就是 1÷2 ＝ 05 。

再举个例子，从一个装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是多少呢？总共有 8 个球，红球有 5 个，所以摸到红球的概率就是 5÷8 ＝ 0625 。

事件概率的计算通常基于古典概型、几何概型等方法。

在古典概型中，假设所有的基本事件都是等可能发生的，那么某个事件 A 包含的基本事件数 n 除以总的基本事件数 m ，就是事件 A 发生的概率 P(A)＝ n ／ m 。

几何概型则通常用于涉及到区域、长度、面积、体积等的概率问题。

接下来，我们说一说条件概率。

条件概率是在给定某些条件的情况下，某个事件发生的概率。

比如说，已知今天下雨，明天晴天的概率是多少，这就是一个条件概率的问题。

为了更好地理解条件概率，我们来看一个例子。

假设一个班级里有男生 20 人，女生 30 人，其中男生数学成绩优秀的有 10 人，女生数学成绩优秀的有 15 人。

现在从班级中随机选取一名学生，如果已知选取的是女生，那么她数学成绩优秀的概率是多少呢？首先，选取的是女生这个条件，把范围缩小到了 30 人。

而在这 30 名女生中，数学成绩优秀的有 15 人。

所以，在已知选取的是女生的条件下，数学成绩优秀的概率就是 15÷30 ＝ 05 。

条件概率的计算公式是 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ，其中 P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 表示事件 A 发生的概率。

第一讲：随机事件的概率

5 21
B.a=105 D.a=210
4 p= 21
4 p= 21
5 p= 21
例5、某人有５把钥匙，但忘记了开房门的那、某人有５把钥匙，一把，于是他逐把不重复地试开，一把，于是他逐把不重复地试开，问： (1)恰好第三次打开房门锁的概率是多少？恰好第三次打开房门锁的概率是多少？恰好第三次打开房门锁的概率是多少（２）三次内打开的概率是多少？三次内打开的概率是多少？如果５把内有２把房门钥匙，（３）如果５把内有２把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？内打开的概率是多少？
1 C. 336
1 D. 420
例3、在袋里装有30个小球，其中彩球有：在袋里装有30个小球，其中彩球有： 30个小球 n个红色、5个蓝色、10个黄色、其余为白色。个红色、个蓝色、10个黄色、其余为白色。个黄色：（1 如果已经从中取定了5个黄球和3 求：（1）如果已经从中取定了5个黄球和3个篮球，并将他们编上不同的号码后排成一排，篮球，并将他们编上不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？如果从袋里取出3个相同颜色彩球（（2）如果从袋里取出3个相同颜色彩球（无白 13 色）的概率是 406 且 n ≥ 2 ，计算红球有几个？计算红球有几个？（3）根据（2）得结论，计算从袋中任取3个根据（得结论，计算从袋中任取3 小球，至少有一个是红球的概率？小球，至少有一个是红球的概率？
（2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是）判断是否正确： 90℅，一地区已有人患此病死亡，则第人患此病死亡，，一地区已有9人患此病死亡 10个病人必能成活。” 个病人必能成活。个病人必能成活 (3) 判断是否正确某次摸彩的彩票共有判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有某次摸彩的彩票共有10 万张，中大奖的概率是10万分子万分子1，万张，中大奖的概率是万分子，若已有 9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某千张彩票已被摸出而且没有大奖，万千张彩票已被摸出而且没有大奖人包下剩下的1千张彩票千张彩票，人包下剩下的千张彩票，那么此人必能中大奖。大奖。”

事件的概率计算

事件的概率计算概率是数学中的一个重要概念，用于描述一个事件发生的可能性大小。

在统计学和概率论中，我们可以利用各种方法来计算事件的概率，从而帮助我们做出合理的决策。

一、事件的概率定义概率指的是某个事件发生的可能性。

在数学上，概率用一个介于0到1之间的数来表示，0表示该事件不可能发生，1表示该事件一定会发生。

在实际应用中，我们一般使用百分比表示概率。

二、经典概率经典概率是指在有限个等可能的情况下，一个事件发生的概率等于该事件发生的种数除以总的可能出现的情况数目。

例如，掷一枚均匀的六面骰子，出现1的概率为1/6，因为每个面的概率都相等。

三、频率概率频率概率是根据统计数据来计算事件发生的概率。

它是通过观察一系列重复的事件发生的次数来估计事件的概率。

例如，我们可以通过统计过去十次投掷骰子中出现1的次数来估计出现1的概率。

四、主观概率主观概率是基于个人对事件发生的主观判断来计算概率。

它是通过基于个人经验、信仰和判断来估计事件发生的可能性。

例如，一个赌徒根据他对赌局的了解和经验来估计某一事件发生的概率。

五、复合事件的概率计算当我们需要计算多个事件同时发生的概率时，可以利用概率的乘法原理来计算。

即将各个事件的概率相乘得到复合事件发生的概率。

例如，投掷一个硬币正面朝上的概率为1/2，再投掷一次也是1/2，那么两次都出现正面的概率为(1/2)*(1/2) = 1/4。

六、事件的互斥和独立性当两个事件不能同时发生时，我们称这两个事件为互斥事件。

对于互斥事件，它们发生的概率相加等于各自事件发生的概率之和。

例如，在掷一枚骰子时，事件A为出现奇数，事件B为出现偶数，那么事件A和事件B是互斥的。

而当两个事件的发生与否不受彼此影响时，我们称这两个事件为独立事件。

对于独立事件，它们发生的概率相乘等于各自事件发生的概率之积。

例如，两次投掷硬币，第一次为正面的概率为1/2，第二次也为正面的概率也为1/2，那么两次都为正面的概率为(1/2)*(1/2) = 1/4。

事件的概率

ห้องสมุดไป่ตู้
考虑到前三场的情况，甲甲、甲乙、考虑到前三场的情况，甲甲、甲乙、乙甲的结果均为甲方胜，则甲、乙最终获胜的可能性大小之比为3 为甲方胜，则甲、乙最终获胜的可能性大小之比为 : 1，即甲应分得，即甲应分得37.5万，乙应分得万乙应分得12.5万，才算公平。万才算公平。此例告诉我们，表面上看来简单合理的东西，此例告诉我们，表面上看来简单合理的东西，经过深入分析可能发现其不合理之处，过深入分析可能发现其不合理之处，这是我们在处理实际问题时必须注意的。另一方面，实际问题时必须注意的。另一方面，在此我们也看到了概率在解决实际问题方面的作用。了概率在解决实际问题方面的作用。例4 超几何概型已知一批产品共N件其中有次品M件从中任取n 已知一批产品共件，其中有次品件。从中任取试求其中恰有m件次品的概率件次品的概率。件，试求其中恰有件次品的概率。
3 7
另一方面，无放回抽样也可这样理解无放回抽取无放回抽取3次另一方面，无放回抽样也可这样理解:无放回抽取次，每次任取一球，相当于从10球中一次取出球中一次取出3球即相当于每次任取一球，相当于从球中一次取出球(即相当于从袋中任取3球。其概率计算与组合数有关， “从袋中任取球”)。其概率计算与组合数有关，即
想一想：两种不同的抽样方式对样本空间有何影响？想一想：两种不同的抽样方式对样本空间有何影响？
所取三球均为白球} 解设 A={所取三球均为白球所取三球均为白球 (1) 有放回抽样由于每次抽取出的小球看过颜色后都放回袋中，由于每次抽取出的小球看过颜色后都放回袋中，因此，每次都是从10个小球中抽取由乘法法则，个小球中抽取。因此，每次都是从个小球中抽取。由乘法法则，样 3 本空间Ω 发生，本空间Ω中的基本事件数 n = 10 = 1000 而A发生，发生次取的小球都是白球，即3次取的小球都是白球，则有利于的基本事件数次取的小球都是白球则有利于A

事件与概率的关联

事件与概率的关联概率论是数学的一个重要分支，研究随机现象的规律。

而事件与概率之间有着密切的关联。

本文将探讨事件与概率的关系，从概率的角度解释事件发生的可能性，并讨论如何利用概率计算确定事件的发生概率。

一、事件的概率定义与性质事件是指某个随机现象的一个结果。

具体来说，事件是样本空间中的一个子集。

样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合。

而事件是样本空间的子集，也就是试验结果的某种组合或范围。

概率是事件发生的可能性的度量，通常用一个介于0和1之间的数值表示。

概率为0表示不可能发生的事件，概率为1表示一定会发生的事件。

而在0和1之间的数值表示事件发生的可能性大小，数值越接近1，事件发生的可能性越大。

概率具有以下性质：1. 非负性：任何事件的概率都不会小于0，即P(A) ≥ 0。

2. 规范性：样本空间的概率为1，即P(S) = 1。

3. 可列可加性：对于互不相容的事件Ai（i=1,2,3,...），它们的并集事件A = A1∪A2∪...，有P(A) = P(A1) + P(A2) + ...二、事件的概率计算方法在概率论中，我们可以通过多种方法来计算事件的概率。

下面介绍几种常用的方法：1. 经典方法：适用于有限样本空间且每个样本点的发生概率相等的情况。

例如，一枚均匀硬币正反面出现的概率都是1/2，一个均匀骰子的点数概率都是1/6。

2. 频率方法：通过频率来估计概率。

即通过多次独立重复试验，统计事件发生的次数与总次数的比值，作为事件发生的概率的估计值。

随着试验次数的增加，频率会逐渐接近概率。

3. 几何方法：适用于几何问题，利用几何形状的性质来计算事件的概率。

例如，在一个单位正方形内随机选择一个点，点在长方形区域内的概率可以通过长方形的面积与正方形的面积之比计算得到。

三、概率与事件的关系概率与事件有着密切的关系，概率可以用来描述事件发生的可能性大小。

事件与概率之间的关系可以通过以下几个概念来进一步理解。

1. 互补事件：对于事件A，其互补事件为A的补集，记为A'。