圆锥曲线的综合问题(答案版)讲课教案

圆锥曲线的综合问题

【考纲要求】

1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入 和设而不求的思想．

2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向 量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】

本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 【基础梳理】

1．直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时 为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或 变量y )的一元方程． 即⎩⎨

⎧==++0

),(0y x F c By Ax ,消去y 后得02

=++c bx ax

(1)当0≠a 时，设方程02

=++c bx ax 的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．

(2)当0=a ，0≠b 时，即得一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点， 此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线， 则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长

(1)定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算

设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |

＝1＋k 2

|x 1－x 2|＝]4))[(1(212212x x x x k -++=a

k ∆

⋅

+2

1=1＋1

k

2·|y 1－y 2|.

(抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p

sin 2

θ

，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 3、一种方法

点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，

然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数． 4、一条规律

“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”

双基自测

1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2

4

＝1的位置关系为( )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．不确定

解：y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，点在椭圆内部，故线与椭圆相交．答案A 2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 解析：与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点． 答案 A

3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．

A ．3 2

B ．2 6

C ．27

D ．4 2

解析：根据题意设椭圆方程为x 2

b 2＋4＋y 2

b

2＝1(b ＞0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得

4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2

＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ

＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)·(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2

＝3，

长轴长为2b 2

＋4＝27. 答案 C

4．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )．

A.x 23－y 26＝1

B.x 24－y 25＝1

C.x 26－y 23＝1

D.x 25－y 2

4

＝1

解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b

2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2

＝9，设A (x 1，

y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-112

2222222

12

21b y a x b

y a x ，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2

＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2

＝5，所以双曲线的

标准方程是x 24－y 2

5

＝1. 答案 B

5．y ＝kx ＋2与y 2

＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．

解析:由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋2，

y 2

＝8x ，得ky 2

－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64

－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1.答案 0或1