《圆的一般方程》教学设计

《圆的一般方程》教学设计

●教学目标

1．掌握圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化；

2．掌握二元二次方程表示圆的充要条件；

3．进一步熟悉并掌握待定系数法.

●教学重点

圆的一般方程应用

●教学难点

待定系数法

教学过程

一、设置情境：

1、求下列各圆的标准方程

⑴圆心在直线y ＝－x 上，且过两点(2,0),(0,－4)；

⑵圆心在直线2x ＋y ＝0上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点(2，－1)； ⑶圆心在直线5x －3y ＝8上，且与坐标轴相切。

⑴(x －3)2＋(y ＋3)2＝10；⑵(x －1)2＋(y ＋2)2＝2；⑶(x －4)2＋(y －4)2＝16

2、已知圆x 2＋y 2＝25，求：

⑴过点A(4，－3)的切线方程； 4x －3y －25＝0

⑵过点B(－5，2)的切线方程。 21x －20y ＋145＝0或x ＝－5

2、圆的标准方程及其应用回顾：

(x ―a)2＋(y ―b)2＝r 2 其中圆心坐标为（a,b ），半径为r

变形圆的标准方程

x 2＋y 2―2ax ―2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0

由此可见，任一个圆的方程都可以写成下面的形式：

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ①

反过来，我们研究形如①的方程的曲线是不是圆。

将①的左边配方，整理得

4

4)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② ⑴当D 2+E 2－4F ＞0时，比较方程②和圆的标准方程，可以看出方程①表示以(―D/2,―E/2)为圆心，半径为F E D 42

122-+的圆； ⑵当D 2+E 2－4F ＝0时，方程①只有实数解x ＝―D/2,y ＝―E/2，所以表示一个点(―D/2,―E/2)；

⑶当D 2+E 2－4F ＜0时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。

二、解决问题

1、圆的一般方程：

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0(D 2+E 2－4F ＞0)，其中圆心(―D/2,―E/2)，半径为F E D 42

122-+。 2、二元二次方程表示圆的充要条件：

由二元二次方程的一般形式：

Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0

和圆的一般方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0的系数比较，

（1）x 2和y 2的系数相同，且不等于0，即A=C ≠0；

（2）没有xy 项，即B=0；

（3）D 2+E 2－4AF ＞0.

练习：

1、下列方程各表示什么图形？

⑴x 2 + y 2 = 0

⑵x 2 + y 2 －2x + 4y －6 = 0

⑶x 2 + y 2 + 2ax －b 2 = 0

2、求下列各圆的圆心与半径

⑴x 2 + y 2 －6y = 0

⑵x 2 + y 2 + 2by = 0

⑶x 2 + y 2 －4x + 6y －12= 0

三、反思应用

例1 求过三点O （0，0）、M 1（1，1）、M 2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.

解：设所求圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

用待定系数法，根据所给条件来确定D 、E 、F 、

因为O 、M 1、M 2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得

⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F 解得⎪⎩

⎪⎨⎧==-=068F E D

于是所求圆方程为：x 2+y 2－8x +6y =0

化成标准方程为：（x －4）2+[y －(－3)]2=52

所以圆半径r =5,圆心坐标为（4，－3）

说明：例4要求学生进一步熟悉待定系数法，并能将圆的一般方程化成标准形式，并求出相应半径与圆心半径.

例2 已知一曲线是与两个定点O （0，0）、A （3，0）距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.

解：在给定的坐标系里，设点M （x,y ）是曲线上的任意一点，也就是点M 属于集合. }.2

1|||||{==AM OM M P 由两点间的距离公式，点M 所适合的条件可以表示为

2

1)3(222

2=+-+y x y x ， ① 将①式两边平方，得41)3(2222=+-+y

x y x

化简得x2+y2+2x－3=0 ②

化为标准形式得：(x+1)2+y2 = 4

所以方程②表示的曲线是以C（－1，0）为圆心，2为半径的圆，它的图形如图7—35所示.

例3求过原点及点A(1,1)且在x轴上截得的线段长为3的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，则

又圆被x轴上截得的线段长为3，即|D|＝3

∴D＝±3，当D＝3时，E＝－5，F＝0；当D＝－3时，E＝1，F＝0

故所求的圆的方程为：x2 + y2 + 3x －5y = 0或x2 + y2－3x ＋y = 0

●课堂小结

圆的一般方程，能化成标准方程，进一步熟悉待定系数法思路，熟练求解曲线方程.

●课后作业

习题7.7 5，6，7，8