平面几何习题大全

平面几何习题大全

下面得平面几何习题均就是我两年来收集得,属竞赛范围。共分为五种类型,１，几何计算；２,几何证明;３,共点线与共线点;4,几何不等式；5，经典几何。

几何计算－1

命题设点Ｄ就是Rt△ＡBC斜边AＢ上得一点,DE⊥BC于点E,DF⊥AＣ于点Ｆ.若AF=１5,BＥ=1０,则四边形ＤECF得面积就是多少？

解：设DＦ=CE=x,DE=ＣF=ｙ、∵Ｒt△BEＤ∽Rt△ＤFA，∴BE/DＥ=DF/AF

<=＝> 10/y＝x/15 〈==> xy=150、ﻩ

所以，矩形ＤECF得面积１5０、

几何证明—1

命题在圆内接四边形ＡBCＤ中，O为圆心,己知∠ＡOB+∠COD=１80、求证:由O向四边形ＡBCD所作得垂线段之与等于四边形ABCD得周长得一半。ﻫ证明（一）连OA，OB，OC,OD,过圆心O点分别作AＢ，ＢC，ＣD，DA得垂线，垂足依次为Ｐ,Q，Ｒ,S。易证ΔAPO≌ΔORD，所以DR＝OP，AＰ=OR,

故OＰ+OＲ=DＲ+AP＝(CD+AB)/2。

同理可得：OＱ＋OS=（DA+BＣ)/２.

因此有ＯＰ+OＱ+ＯR+OS=（ＡB+BC＋CD+ＤＡ)／２。

证明（二）连OＡ,OＢ,ＯＣ，ＯD，因为∠AOB+∠CＯD＝１80°,ＯA=OD,所以易证

RtΔＡPO≌RtΔＯＲD，故得ＤR=OP,AP=OＲ，

即OP＋ＯR=DR+AP=（CD＋AＢ)/２。

同理可得：OQ+ＯＳ=（DＡ＋BC)/２。

因此有OP+OQ＋OR+OＳ＝(ＡＢ+BC+CＤ+DA）/2.

几何不等式－1

命题设P就是正△AＢC内任意一点，△DEF就是P点关于正△ABC得内接三角形[AP，BＰ,CＰ延长分别交BＣ，ＣA,ＡB于D,Ｅ，F］,记面积为Ｓ１;△ＫNM就是Ｐ点关于正△ABC得垂足三角形［过Ｐ点分别作BC,ＣA，AＢ垂线交于K，Ｎ,M］,记面积为S2.求证：S2≥Ｓ１ . ﻫ证明设Ｐ点关于正△AＢC得重心坐标为Ｐ（x，y，z),a为正△ＡBＣ得边长,则正△ABC得面积为S=(ａ^２√3）／4. ﻫ由三角形重心坐标定义易求得：ﻫAＤ=za/（y+z），ＣD=ｙa/(ｙ+z)，CＥ=xa/(ｚ+ｘ)，AE＝za／（z＋x)，AＦ=ya／（x+ｙ），BF=xａ/(ｘ+y)、

故得:

△ＡＥＦ得面积X＝AE＊AF*ｓｉn60°/2=Syｚ/（z+ｘ)(ｘ+y）;

△BFD得面积Y=ＢF＊BD＊ｓin6０°／２＝Ｓzx/（x+ｙ）(y＋z)；ﻫ△CDE得面积

Z=CD*CE＊sｉn60°／2＝Ｓxy／（y+ｚ)(ｚ+x)、

从而有S1=Ｓ—Ｘ—Y-Ｚ＝2xｙzS／（ｙ+z)（z+x)（x+y)。

因为P点就是△KＮM得费马点,从而易求得：

PＫ=（xa√3)/［２(x+y＋z)]，

PN＝(ya√３)/[2(x+y+z）]，ﻫPM＝(za√3）/[2（x+ｙ+z）］、

故得:

Ｓ2=(PＮ*ＰM+ＰM＊ＰK＋ＰK＊PＮ)＊siｎ1２0/2=3S(ｙz+ｚx+xｙ)/[4(x+y+z)^２］。

3/4)*(yz+zx+xy）/(x＋y＋ｚ）＾2≥2xｙz/（y+z)(ｚ+x)所以待证不等式Ｓ2≥S1等价于: ﻫ(

（x＋y)；ﻫ＜＝===〉３（y+z）（z＋x)(ｘ+y）(ｙz＋ｚｘ+xy）≥8xyｚ（x+ｙ+ｚ)^2;

上式展开等价于

3ｘ＾3(y^2＋z^2)+3y^3(z^2+ｘ＾2)+3z^3(x＾２＋ｙ^２)-2xyｚ（x^2+ｙ＾2+z^2)-4xyz（yz ＋zx＋xｙ）≥0；ﻫ上式化简等价于

ｘ^2(ｘ＋2ｙ+２z)(y-z）^2＋y＾２（y+2ｚ+２x)(z－x)^2+z^2(ｚ＋2x+２y)（x-y)^２≥0、ﻫ因为P点在正△ＡBC内,故x＞0，ｙ＞０,z〉0，所以上式显然成立。命题得证。

几何不等式—２

命题设Ｐ就是三角形ＡBC内一点,直线AP，BP,CＰ与三边得交点分别为D，E，F。则三角形DＥF叫做点P得塞瓦三角形。试证点P得塞瓦三角形DEF得面积不超过三角形ABC面积得四分之一。

证明设三角形AＢＣ得面积为S, 塞瓦三角形DEＦ得面积为S1, 三角形ＡEF得面积为Sa，三角形BＦD得面积为Sｂ，三角形CDＥ得面积为Ｓc。令BD＝xＢC，CE=yCA,AF=zAB，则CD=(1-x)ＢC，AE=（1-y）CA，BF=(1-z）AＢ.那么

Sa=(AＥ＊ＡF＊ｓiｎＡ)/2＝z＊(1—y)*S,

Ｓb=(BD＊BF＊sinB)/2＝ｘ*（１－z)＊Ｓ,

Sc=(CD*ＣE*sinC)／２=y＊(１-x)*S。

所以有

S1=Ｓ-Sａ-Ｓb－Sc＝S＊[１—z*(1-y）—x＊(1—ｚ）-y*（１-x)］

=Ｓ*[1—（x+y＋z）＋yｚ+zｘ+xy] ,

据此命题[S≥4S１］转化为证明

4＊[１—(x＋y+z)＋yｚ＋ｚｘ＋xy]≤１

根据塞瓦定理得:

ｘyz=（1－ｘ)*（1－ｙ)＊（１—z）

上述恒等式展开等价于

１+ｙz+zx+xｙ=2xyｚ+x＋y＋z

将其代入得：8xyｚ≤1、

由算术-－几何平均不等式得：

2√［ｘ(1-x)］≤1，

2√［y(1—y）］≤1，

2√［z（1－z)］≤1，

上述三式相乘得：

８√[xyｚ(１-x）＊(1－y）＊(1—z)］≤1，〈==＞8xyz≤1 、

几何不等式-3

命题设Ｐ就是三角形ABC内一点，点P在三边ＢC，CA，ＡB上得射影分别为D,Ｅ，F。则三角形ＤＥF叫做点P得垂足三角形.试证点P得垂足三角形DEＦ得面积不超过三角形ＡBC面积得四分之一。

证明设P点垂足ΔDEF面积为F,ΔABＣ面积为Δ，

令ＰD＝r１，PＥ=r2,PC=r3，BC=a,CA=b，AB＝ｃ，R表示三角形AＢＣ得外接圆半径。则有

F=[r２＊r3＊siｎＡ+ｒ３＊ｒ1＊siｎＢ+ｒ1*r２＊sinC］／2

=[a*r2*ｒ３+b*r3*r1+c*ｒ1＊ｒ２]/(4Ｒ）.

故命题转化为求证

a＊r2＊r３+b*r3＊r1+c＊ｒ1＊r2≤ＲΔ (1）

据恒等式：ａｂc=4ＲΔ,则上式为

a＊r2*r3+ｂ＊r3*r1+c*r1＊r２≤ａbc/4(2)