机器人概论第三章
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推而广之，对于n自由度机器人，关节变量可用广义 关节变量q表示，当关节为转动关节时qi=θi；当关节为 移动关节时qi=di.
dX=J(q)dq 式中：J(q)是6×n维偏导数矩阵，称为n自由度机器人 速度雅可比，可表示为
∂X ∂q 1 ∂Y ∂q 1 ∂Z ∂q 1 ∂X = = ∂qT ∂ϕX ∂q 1 ∂ϕY ∂q 1 ∂ϕ Z ∂q 1 ∂X ∂q2 ∂Y ∂q 2 ∂Z ∂q2 ∂ϕX ∂q2 ∂ϕY ∂q2 ∂ϕZ ∂q2 ⋯ ∂X ∂qn ∂Y ∂qn ∂Z ∂qn ∂ϕX ∂qn ∂ϕY ∂qn ∂ϕZ ∂qn
例 下图所示为一个二自由度平面关节机械手， 已知手部端点力F=[FX，FY]T，忽略摩擦，求θ1=0°、 θ2=90°时的关节力矩。
解 该机械手的速度雅可比为
−l1sθ1 − l2s12 −l2s12 J = l1cθ1 + l2c12 l2c12
则该机械手的力雅可比为
−l1sθ1 − l2s12 l1cθ1 + l2c12 J = l2c12 −l2s12
∂X ∂θ J = 1 ∂Y ∂θ 1
∂X ∂θ2 ∂Y ∂θ2
dθ1 dθ = dθ2
dX=Jdθ
dX dX = dY
J称为速度雅可比，它反映了关节空间微小运动dθ与手 部作业空间微小位移dX的关系。
−l1sθ1 − l2s12 −l2s12 J = l1cθ1 + l2c12 l2c12
…
⋯
J(q)
⋯
⋯
⋯
利用机器人速度雅可比可对机器人进行速度分析。
ɺ ɺ v = X = J(q)q
式中：v为机器人末端在操作空间中的广义速度；
ɺ q
为机器人关节在关节空间中的关节速度；
J(q)为确定关节空间速度
ɺBiblioteka Baiduq
与操作空间速度v之间关系的雅可比矩阵。
二自由度机器人手部的速度为
vX v= vY • − l2s12 θ1 −l1sθ1 − l2s12 = l1cθ1 + l2c12 l2c12 • θ 2 ɺ ɺ −(l1sθ1 + l1s12 )θ1 − l2s12θ2 = ɺ +l c θ ɺ (l1cθ1 + l2c12 )θ1 2 12 2
ɺ ɺ 假如已知 θ1 及 θ2 则可求出该机器人手部在某一时刻 的速度v=f (t)，即手部瞬时速度。
，
反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节 速度为 −1
ɺ q=J v
式中：J–1称为机器人逆速度雅可比。
机器人静力分析
机器人在工作状态下会与环境之间引起相互作用的 力和力矩。机器人各关节的驱动装置提供关节力和力矩， 通过连杆传递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。关 节驱动力和力矩与末端执行器施加的力和力矩之间的关系 是机器人操作臂力控制的基础。 连杆的静力平衡条件为其上所受的合力和合力矩为零。
机器人动力学主要解决动力学正问题和逆问题两类 问题：动力学正问题是根据各关节的驱动力(或力矩)， 求解机器人的运动(关节位移、速度和加速度)，主要用 于机器人的仿真；动力学逆问题是已知机器人关节的位 移、速度和加速度，求解所需要的关节力(或力矩)，是 实时控制的需要。 本章首先介绍与机器人速度和静力有关的雅可比矩 阵，在机器人雅可比矩阵分析的基础上进行机器人的静 力分析，讨论动力学的基本问题，对机器人的动态特性 作简要论述，以便为机器人编程、控制等打下基础。
T
根据τ =JT F得
τ1 −l1sθ1 − l2s12 l1cθ1 + l2c12 FX τ = = F l2c12 Y τ2 −l2s12
τ1 = −( l1sθ1 + l2s12 ) FX + ( l1cθ1 + l2c12 ) F Y
机器人雅可比矩阵
在机器人学中，雅可比是一个把关节速度向量
ɺ q
变换为手爪相对基坐标的广义速度向量v的变换矩阵， 在机器人速度分析和静力分析中都将用到雅可比。
X = l1cθ1 + l2c12 Y = l1sθ1 + l2s12
X = X (θ1,θ2 ) Y = Y(θ1,θ2 )
机器人静力分析与动力学
稳态下研究的机器人运动学分析只限于静态位置问 题的讨论，未涉及机器人运动的力、速度、加速度等动 态过程。实际上，机器人是一个复杂的动力学系统，在 关节驱动力矩(驱动力)的作用下将发生运动变化。
机器人动力学主要研究机器人运动和受力之间的关系， 目的是对机器人进行控制、优化设计和仿真。
将其微分得
∂X ∂X dX = ∂θ dθ1 + ∂θ dθ2 1 2 dY = ∂Y dθ + ∂Y dθ 1 2 ∂θ1 ∂θ2
将其写成矩阵形式为
∂X dX ∂θ1 dY = ∂Y ∂θ 1 ∂X ∂θ2 dθ1 ∂Y dθ2 ∂θ2
τ2 = −l2s12 FX + l2c12 F Y
在某一瞬时θ1=0°、θ2=90°，则与手部端点力 相对应的关节力矩为
τ1 = −l2 FX + l1F Y
τ2 = −l2 FX
作业：学了本课程后对机器人技术有什么 样新的认识？ 写一篇论文，字数1000左右。 第17周上课时，把作业带来。
τ =J F
T
表示了在静态平衡状态下，手部端点力F和广义关节 力矩τ之间的线性映射关系。式中JT与手部端点力F和广 义关节力矩τ之间的力传递有关，称为机器人力雅可比。 显然，机器人力雅可比JT是速度雅可比J的转置矩阵。
机器人操作臂静力计算可分为两类问题： (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F，(即手部端 点力F-F′)，利用上式求相应的满足静力平衡条件的关 节驱动力矩τ。 (2) 已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部对外界环境 的作用力或负载的 质量。 第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为 F =(JT)–1τ 机器人的自由度不是6时，例如n>6时，力雅可比矩阵 就不是方阵，则JT就没有逆解。所以，对第二类问题的 求解就困难得多，一般情况不一定能得到惟一的解。
dX=J(q)dq 式中：J(q)是6×n维偏导数矩阵，称为n自由度机器人 速度雅可比，可表示为
∂X ∂q 1 ∂Y ∂q 1 ∂Z ∂q 1 ∂X = = ∂qT ∂ϕX ∂q 1 ∂ϕY ∂q 1 ∂ϕ Z ∂q 1 ∂X ∂q2 ∂Y ∂q 2 ∂Z ∂q2 ∂ϕX ∂q2 ∂ϕY ∂q2 ∂ϕZ ∂q2 ⋯ ∂X ∂qn ∂Y ∂qn ∂Z ∂qn ∂ϕX ∂qn ∂ϕY ∂qn ∂ϕZ ∂qn
例 下图所示为一个二自由度平面关节机械手， 已知手部端点力F=[FX，FY]T，忽略摩擦，求θ1=0°、 θ2=90°时的关节力矩。
解 该机械手的速度雅可比为
−l1sθ1 − l2s12 −l2s12 J = l1cθ1 + l2c12 l2c12
则该机械手的力雅可比为
−l1sθ1 − l2s12 l1cθ1 + l2c12 J = l2c12 −l2s12
∂X ∂θ J = 1 ∂Y ∂θ 1
∂X ∂θ2 ∂Y ∂θ2
dθ1 dθ = dθ2
dX=Jdθ
dX dX = dY
J称为速度雅可比，它反映了关节空间微小运动dθ与手 部作业空间微小位移dX的关系。
−l1sθ1 − l2s12 −l2s12 J = l1cθ1 + l2c12 l2c12
…
⋯
J(q)
⋯
⋯
⋯
利用机器人速度雅可比可对机器人进行速度分析。
ɺ ɺ v = X = J(q)q
式中：v为机器人末端在操作空间中的广义速度；
ɺ q
为机器人关节在关节空间中的关节速度；
J(q)为确定关节空间速度
ɺBiblioteka Baiduq
与操作空间速度v之间关系的雅可比矩阵。
二自由度机器人手部的速度为
vX v= vY • − l2s12 θ1 −l1sθ1 − l2s12 = l1cθ1 + l2c12 l2c12 • θ 2 ɺ ɺ −(l1sθ1 + l1s12 )θ1 − l2s12θ2 = ɺ +l c θ ɺ (l1cθ1 + l2c12 )θ1 2 12 2
ɺ ɺ 假如已知 θ1 及 θ2 则可求出该机器人手部在某一时刻 的速度v=f (t)，即手部瞬时速度。
，
反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节 速度为 −1
ɺ q=J v
式中：J–1称为机器人逆速度雅可比。
机器人静力分析
机器人在工作状态下会与环境之间引起相互作用的 力和力矩。机器人各关节的驱动装置提供关节力和力矩， 通过连杆传递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。关 节驱动力和力矩与末端执行器施加的力和力矩之间的关系 是机器人操作臂力控制的基础。 连杆的静力平衡条件为其上所受的合力和合力矩为零。
机器人动力学主要解决动力学正问题和逆问题两类 问题：动力学正问题是根据各关节的驱动力(或力矩)， 求解机器人的运动(关节位移、速度和加速度)，主要用 于机器人的仿真；动力学逆问题是已知机器人关节的位 移、速度和加速度，求解所需要的关节力(或力矩)，是 实时控制的需要。 本章首先介绍与机器人速度和静力有关的雅可比矩 阵，在机器人雅可比矩阵分析的基础上进行机器人的静 力分析，讨论动力学的基本问题，对机器人的动态特性 作简要论述，以便为机器人编程、控制等打下基础。
T
根据τ =JT F得
τ1 −l1sθ1 − l2s12 l1cθ1 + l2c12 FX τ = = F l2c12 Y τ2 −l2s12
τ1 = −( l1sθ1 + l2s12 ) FX + ( l1cθ1 + l2c12 ) F Y
机器人雅可比矩阵
在机器人学中，雅可比是一个把关节速度向量
ɺ q
变换为手爪相对基坐标的广义速度向量v的变换矩阵， 在机器人速度分析和静力分析中都将用到雅可比。
X = l1cθ1 + l2c12 Y = l1sθ1 + l2s12
X = X (θ1,θ2 ) Y = Y(θ1,θ2 )
机器人静力分析与动力学
稳态下研究的机器人运动学分析只限于静态位置问 题的讨论，未涉及机器人运动的力、速度、加速度等动 态过程。实际上，机器人是一个复杂的动力学系统，在 关节驱动力矩(驱动力)的作用下将发生运动变化。
机器人动力学主要研究机器人运动和受力之间的关系， 目的是对机器人进行控制、优化设计和仿真。
将其微分得
∂X ∂X dX = ∂θ dθ1 + ∂θ dθ2 1 2 dY = ∂Y dθ + ∂Y dθ 1 2 ∂θ1 ∂θ2
将其写成矩阵形式为
∂X dX ∂θ1 dY = ∂Y ∂θ 1 ∂X ∂θ2 dθ1 ∂Y dθ2 ∂θ2
τ2 = −l2s12 FX + l2c12 F Y
在某一瞬时θ1=0°、θ2=90°，则与手部端点力 相对应的关节力矩为
τ1 = −l2 FX + l1F Y
τ2 = −l2 FX
作业：学了本课程后对机器人技术有什么 样新的认识？ 写一篇论文，字数1000左右。 第17周上课时，把作业带来。
τ =J F
T
表示了在静态平衡状态下，手部端点力F和广义关节 力矩τ之间的线性映射关系。式中JT与手部端点力F和广 义关节力矩τ之间的力传递有关，称为机器人力雅可比。 显然，机器人力雅可比JT是速度雅可比J的转置矩阵。
机器人操作臂静力计算可分为两类问题： (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F，(即手部端 点力F-F′)，利用上式求相应的满足静力平衡条件的关 节驱动力矩τ。 (2) 已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部对外界环境 的作用力或负载的 质量。 第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为 F =(JT)–1τ 机器人的自由度不是6时，例如n>6时，力雅可比矩阵 就不是方阵，则JT就没有逆解。所以，对第二类问题的 求解就困难得多，一般情况不一定能得到惟一的解。