全国名校高中数学题库--圆锥曲线2
高二级数学圆锥曲线测试及答案.doc
（12）圆锥曲线一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．231y x -=所表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分2．椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线距离是（ ）A ．558 B ．545C ．338 D ．334 3．已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．74．连接双曲线12222=-b y a x 与12222=-ax b y 的四个顶点构成的四边形的面积为S 1，连接它们的的四个焦点构成的四边形的面积为S 2，则S 1：S 2的最大值是 （ ）A ．2B ． 1C ．21D ．41 5．与椭圆1251622=+y x 共焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为 （ ）A ．14522=-x yB ．14522=-y xC ．13522=-x yD ．13522=-y x 6．设k>1，则关于x ，y 的方程(1-k) x 2+ y 2=k 2-1所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线7．双曲线12222=-ay b x 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．238．动点P 到直线x +4=0的距离减去它到M （2，0）的距离之差等于2，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线OA BC xy 9．抛物线y =-x 2 的焦点坐标为 （ ）A ．(0,41) B ． (0, -41) C ．(41, 0) D ． (-41, 0) 10．过抛物线x y 42=的焦点F 作倾斜角为3π的弦AB ，则|AB|的值为 （ ）A ．738 B ．316 C ．38 D ．7316二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．椭圆1422=+y m x 的一个焦点坐标是（0，1），则m= ． 12．双曲线x 2-42y =1截直线y =x +1所得弦长是 ． 13．已知抛物线y 2=2x ，则抛物线上的点P 到直线l ：x-y +4=0的最小距离是 ． 14．已知直线x - y =2与抛物线交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．求两焦点的坐标分别为（-2，0），（2，0），且经过点P （2，35）的椭圆方程．（12分）16．已知抛物线C 的准线为x =4p-（p>0），顶点在原点，抛物线C 与直线l :y =x -1相交所得弦的长为32，求p 的值和抛物线方程．（12分）17．已知椭圆：13422=+y x 上的两点A （0，3）和点B ，若以AB 为边作正△ABC ，当B 变动时，计算△ABC 的最大面积及其条件．（12分）18．已知双曲线经过点M （6,6），且以直线x = 1为右准线． （1）如果F （3，0）为此双曲线的右焦点，求双曲线方程； （2）如果离心率e=2，求双曲线方程．（12分）19．设F 1，F 2为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|||||,|||2121PF PF PF PF 求>的值．（14分）20．已知动圆过定点P （1，0），且与定直线1:-=x l 相切，点C 在l 上． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（Ⅱ）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点．（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由；（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围． （14分）参考答案（12）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDDCACCDBB二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．3 12．23813．427 14．（4，2）三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）[解析]：由题意可知，c=2，设椭圆方程为12222=+by a x ，则2222=-b a ①又点P （2，35）在椭圆上，所以13522222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ba ②，联立①②解得，52=b 或9202-=b （舍去），92=a 故所求椭圆方程是15922=+y x 16．（12分）[解析]：由题意，可设C 的方程为)0(2>=p px y ，C 与直线l :y =x -1相交于A 、B 两点，由此可得01)2()1-x (1-x y 222=++-⇒=⇒⎩⎨⎧==x p x px pxy)2(21p x x +=+，121=x x所以，2212212)()(y y x x AB -+-== 221221)]1()1[()(---+-x x x x=221)(2x x - ]4)[(221221x x x x -+= 8)2(22-+=p p p 822+== 2)23(因为p>0，所以解得132+-=p ， 故抛物线方程为x y )132(2+-=．17．（12分）[解析]：由题意可设B （2cos θ, 3sin θ），则7sin 6sin )sin 1(3cos 42222+--=-+=θθθθAB因为S △ABC=212AB ·60sin =3·42AB =3·416)3(sin 2++-θ所以当θsin =-1时，即B 点移动到（0，-3）时，△ABC 的面积最大，且最大值为33．18．（12分）[解析]：（1）设P （x ，y ）为所求曲线上任意一点，由双曲线定义得16)06()36(161)0()3(12222--+-=-=--+-=-=MF x y x x PFe =3化简整理得16322=-y x （2）a b b a c a c ace 3,,22222=∴+==⇒==又 因此，不妨设双曲线方程为132222=-ay a x ， 因为点M （6,6）在双曲线上，所以136622=-aa ，得42=a ，122=b 故所求双曲线方程为112422=-y x 19．（14分）[解析]：由已知得52||,6||||2121==+F F PF PF ． 根据直角的不同位置，分两种情况若20|)|6(||,||||||,902121221222112+-=+==∠PF PF F F PF PF F PF 即则解得27||||34||,314||2121=∴==PF PF PF PF 若2121222122121|)|6(||20.||||||,90PF PF PF PF F F PF F -+=+==∠即则解得2||||2||4||2121=∴==PF PF PF PF ． 20．（14分）[解析]：（Ⅰ）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为x y 42=．OA BC xy（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=xy x y x y 4)1(3)1(32由消y 得.3,31,03103212===+-x x x x 解得所以A 点坐标为)332,31(，B 点坐标为（3，32-），.3162||21=++=x x AB假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形， 则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++222222)316()32()131(,)316()32()13(y y 由①－②得,)332()34()32(42222-+=++y y.9314-=y 解得 但9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解．因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形． （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 得，即当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，故32≠y ．又2222334928)332()311(||y yy AC +-=-+--=，22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9256)316(||22==AB ． 当222||||||AB AC BC +>，即9256334928342822++->++y y y y ， 即CAB y∠>,392时为钝角． 当222||||||AB BC AC +>，即9256342833492822+++>+-y y y y ， 即CBA y ∠-<时3310为钝角．又222||||||BC AC AB +>，即2234283349289256y y y y ++++->， 即0)32(,03433422<+<++y y y ． 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角． 因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或． 解法二：以AB 为直径的圆的方程为222)38()332()35(=++-y x ．① ②圆心)332,35(-到直线1:-=x l 的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G )332,1(--． 当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G点不重合，且A ，B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角． 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角． 过点A 且与AB 垂直的直线方程为9321).31(33332=-=-=-y x x y 得令． 过点B 且与AB 垂直的直线方程为)3(3332-=+x y ． 令33101-=-=y x 得． 又由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 解得，所以，当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共 线，不构成三角形．因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵y 的取值范围是).32(9323310≠>-<y y y 或。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L:y=-2相切.求动圆圆心的轨迹C的方程。
【答案】【解析】动圆圆心到定点的距离与到定直线（切线）的距离相等（等于半径），由抛物线的定义可知动点的轨迹是抛物线，易得方程为.试题解析：依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L:y=-2为准线的抛物线上因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹方程是x2=8y.【考点】抛物线的定义与方程2.已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线交椭圆于两点，若轴上一点满足，求直线的斜率的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据与离心率可求得a，b，c的值，从而就得到椭圆的方程；（2）设出直线的方程，并与椭圆方程联立消去y可得到关于x的一元二次方程，然后利用中点坐标公式与分类讨论的思想进行解决．试题解析：（1），∴，，∴，∴，椭圆的标准方程为．（2）已知,设直线的方程为，-，联立直线与椭圆的方程，化简得：，∴，，∴的中点坐标为．①当时，的中垂线方程为，∵，∴点在的中垂线上，将点的坐标代入直线方程得：，即，解得或．②当时，的中垂线方程为，满足题意，∴斜率的取值为.【考点】1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．3.已知曲线，求曲线过点的切线方程。
【答案】【解析】因为点不在曲线上，故先设所求切线的切点为，再求的导数则，由点斜式写出所求切线方程，再将切线上的已知点代入切线方程可求出，从而所求出切线方程.试题解析：，点不在曲线上，设所求切线的切点为，则切线的斜率，故所求的切线方程为.将及代入上式得解得：所以切点为或.从而所求切线方程为【考点】1、过曲线外一点求曲线的切线方程；2、导数的几何意义.4.已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点（x,y）,直线方程为，与联立方程组，并且有，，解得双曲线的离心率是，故选D.【考点】双曲线的性质点评：主要是考查了双曲线与抛物线的几何性质的运用，属于基础题。
{高中试卷}圆锥曲线综合(二)[仅供参考]
![{高中试卷}圆锥曲线综合(二)[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/64bbe7c16edb6f1afe001f59.png)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：圆锥曲线综合（二） 班级学号姓名一、目标要点：掌握求曲线方程的常用方法：直接法、定义法、转移法、参数法等。
二、目标训练：1.在直角坐标系中，和两坐标轴都相切的圆的圆心轨迹方程是( )(A)y=x (B)y=|x|(x≠0) (C)x 2-y 2=0 (D)x 2-y 2=0(x≠0)2.如果点(a,b)在曲线y=x 2+3x+1上,那么点(a+1,b+2)所在的曲线方程是( )(A)y=x 2+5x+3 (B)y=x 2+x-3 (C)y=x 2+x+1 (D)y=x 2-x+1 3．过椭圆22194x y +=内一点P (1, 0)作动弦AB ，则AB 的中点M 的轨迹方程是 ( )（A ）4x 2+9y 2－4x =0（B ）4x 2+9y 2+4x =0 （C ）4x 2+9y 2－4y =0 （D ）4x 2+9y 2+4y =04．过点A (2, 1)的直线与双曲线2x 2－y 2=2交于P , Q 两点，则线段PQ 中点M 的轨迹方程是( )（A ）2x 2－y 2－4x +y =0（B ）2x 2－y 2+4x +y =0（C ）2x 2－y 2+4x －y =0（D ）2x 2－y 2－4x －y =05．过抛物线y 2=4x 的顶点O 的两弦OA , OB 互相垂直，则AB 中点M 的轨迹方程是( )（A ）y 2=2x （B ）y 2=2x +4（C ）y 2=2x －4（D ）y 2=2(x －4)6．已知点F (41, 0)，直线l : x =－41，点B 是l 上的动点，若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线相交于点M ，则点M 的轨迹是 （ ）（A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）圆 （D ）抛物线7．若将曲线y=f （x ）向左平移，使原曲线上的点P （2，3）变为P ′（1，3），则这时曲线的方程变为（ ）(A) y=f(x)+1 (B) y=f(x)-1 (C) y=f(x+1) (D)y=f(x-1)8．已知双曲线过坐标原点O ，它的一个焦点是F (4, 0)，实轴长为2，则它的中心的轨迹方程是 ()（A ）(x －2)2+y 2=9 (x ≠5)（B ）(x －2)2+y 2=1 (x ≠3)（C ）(x －2)2+y 2=9或(x －2)2+y 2=1（D ）(x －2)2+y 2=9(x ≠5)或(x －2)2+y 2=1(x ≠3)9．过原点的椭圆的一个焦点为F (1, 0)，其长轴长为4，则另一个焦点的轨迹方程是( )（A ）x 2+y 2=9 （B ）x 2+y 2=9(x ≠－3)（C ）x 2+y 2=9(x ≠3)（D ）x 2+y 2=9(x ≠±3)10．已知△ABC 两顶点坐标分别为A(－2,0)、B(0,－2),第三个顶点C 在曲线y=3x 2－1上移动, 则△ABC 重心的轨迹方程为________。
高中数学圆锥曲线练习题及参考答案2023
高中数学圆锥曲线练习题及参考答案2023一、选择题1. 下列不是圆锥曲线的是：A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线2. 椭圆的离心率范围是：A. 0 < e < 1B. e = 1C. e > 1D. e = 03. 若双曲线的离心率为1.5，焦点到准线的距离为6，则双曲线的方程为：A. $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$B. $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$C. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1$D. $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1$4. 抛物线的焦点位于：A. 抛物线的顶点处B. 抛物线的准线上C. 抛物线的对称轴上D. 抛物线的焦点处5. 设双曲线的离心率为2，焦点到准线的距离为10，则双曲线的方程为：A. $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1$B. $\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1$C. $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$D. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$二、填空题1. 椭圆的离心率等于：答案：$\sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$2. 双曲线的焦点间距离等于：答案：$2ae$3. 抛物线的焦距等于：答案：$p = \frac{1}{4a}$4. 椭圆的离心率范围是：答案：$0 < e < 1$5. 双曲线的准线称为：答案：对称轴三、计算题1. 求椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的焦点坐标。
解答：椭圆的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a = 4$，$b = 3$。
高考数学总复习：圆锥曲线2(含答案)
高考数学总复习：圆锥曲线2（含答案）1．（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，右焦点F 也是抛物线24y x=的焦点． （1）求椭圆方程；（2）若直线l 与C 相交于A 、B 两点． ①若2AF FB =u u u r u u u r，求直线l 的方程；②若动点P 满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，问动点P 的轨迹能否与椭圆C 存在公共点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2．（12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，右准线l 交x 轴于点A ，且122AF AF =u u u r u u u u r．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值．3．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，点2F 在线段1PF 的中垂线上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于M 、N 两点，直线2F M 与2F N 的倾斜角分别为α，β，且αβπ+=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．4．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭圆的上顶点，且满足1MF FB =u u u u r u u u rg ．（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为PQM ∆的垂心．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．5．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且23OA OB =u u u r u u u r g ，23AOB S ∆=，求直线l 的方程．参考答案1.解：（1）根据(1,0)F ，即1c =，据c a=得a =b =， 所以所求的椭圆方程是22132x y +=．（2）①当直线l 的斜率为0时，检验知2AF FB ≠u u u r u u u r．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．， 根据2AF FB =u u u r u u u r得1(1x -，12)2(1y x -=-，2)y 得122y y =-．设直线:1l x my =+，代入椭圆方程得22(23)440m y my ++-=， 故12122244,2323m y y y y m m +=-=-++，得1222842323m my y m m =-=++， 代入122423y y m =-+得222844()()232323m m m m m -=-+++，即228123m m =+，解得m =l 的方程是1x y =+． ②问题等价于是不是在椭圆上存在点P 使得OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r成立．当直线l 是斜率为0时，可以验证不存在这样的点， 故设直线方程为:1l x my =+．用①的设法，点P 点的坐标为12(x x +，12)y y +， 若点P 在椭圆C 上，则221212()()132x x y y +++=，即22221122112222132x x x x y y y y +++++=，又点A ，B 在椭圆上，故222211221,13232x y x y +=+=，上式即12122103x xy y ++=，即12122330x x y y ++=，由①知222212121212222448(1)(1)()111232323m m m x x my my m y y m y y m m m =++=+++=--+=-++++， 代入12122330x x y y ++=得22216122302323m m m -+-+=++，解得212m =，即m =当m =122423m y y m +=-=+121213()2222x x m y y +=++=-+=；当m =122423m y y m +=-+，121213()2222x x m y y +=++=-+=． 故C上存在点3(,2P 使OP OA OB =+成立，即动点P 的轨迹与椭圆C 存在公共点，公共点的坐标是3(,2．2.解：（Ⅰ）由题意，12||22F F c ==u u u u r，2(A a ∴，0)， Q 1222AF AF F =∴u u u r u u u u r为1AF 的中点23a ∴=，22b =即椭圆方程为22132x y +=．（Ⅱ）当直线DE 与x轴垂直时，2||2b DE a ==，此时||2MN a ==，四边形DMEN 的面积为||||42DE MN =g ． 同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为||||42DE MN =g ． 当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设:(1)DE y k x =+，代入椭圆方程，消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=．设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以，12||x x -所以，12|||DE x x =-=，同理，222211)1)1)||1323()2k k MN k k-++==+-+． 所以，四边形的面积222222113(1)24(2)||||1312226()13k DE MN k k S k k k+++===+++g g ，令221u k k =+，得24(2)44136136u S u u +==-++ 因为2212u k k =+…， 当1k =±时，962,25u S ==，且S 是以u 为自变量的增函数， 所以96425S <„． 综上可知，96425S 剟．即四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为9625．3.解：（1）由椭圆C的离心率e得c a =c ， 椭圆C 的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c 又点2F 在线段1PF 的中垂线上 122||||F F PF ∴=，∴222(2)(2)c c =+-解得1c =，22a =，21b =，∴2212x y +=椭圆的方程为．（2）由题意，知直线MN 存在斜率，设其方程为y kx m =+．由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得222(21)4220k x kmx m +++-=．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则△222(4)4(21)(22)0km k m =-+-… 即22210k m -+…则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++，且221212,11F M F N kx m kx m k k x x ++==-- 由已知αβπ+=，得2212120,011F M F N kx m kx m k k x x +++=+=--即． 化简，得12122()()20kx x m k x x m +-+-=∴222224()2202121m km m k k m k k ----=++g 整理得2m k =-． ∴直线MN 的方程为(2)y k x =-，因此直线MN 过定点，该定点的坐标为(2,0)4.解：（1）根据题意得，(,0)F c ，(,0)A a -，(,0)B a ，(0,)M b∴(,),(,0)MF c b FB a c =-=-u u u u r u u u r∴21MF FB ac c =-=-u u u u r u u u rg （2分）又c e a ==∴a∴221c -=21c ∴=，22a =，21b =∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（4分） （2）假设存在直线l 满足条件，使F 是三角形MPQ 的垂心． 因为1MF K =-，且FM l ⊥， 所以11k =，所以设PQ 直线y x m =+， 且设1(P x ，1)y ，2()Q x ，2y 由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y ，得2234220x mx m ++-=△221612(22)0m m =-->，2212124223,33m m m x x x x -<+=-=． 22222121212122242()()()333m m m y y x m x m x x m x x m m --=++=+++=-+=．（8分） 又F 为MPQ ∆的垂心， PF MQ ∴⊥，∴0PF MQ =u u u r u u u u rg又1122(1,),(,1)PF x y MQ x y --=-u u u r u u u u r∴2221121221121242220333m m PF MQ x y x x y y x x m x x y y m m --=+--=++--=-+--=u u u r u u u u r g ∴24033m m --+=， ∴24340,,13m m m m +-==-=（10分）经检验满足23m <（11分）∴存在满足条件直线l 方程为：10x y -+=，3340x y --=（12分）10x y -+=Q 过M 点 即MP 重合 不构成三角形，3340x y ∴--=满足题意．5.解：（1）短轴长22b =，1b =，ce a ==又222a b c =+，所以1a c ==，所以椭圆的方程为2212x y +=（2）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，222)22y kx my x y =+⎧⎨+=⎩， 消去y 得，1222222122412(12)42202212mk x x k k x mkx m m x x k -⎧+=⎪⎪++++-=⎨-⎪=⎪+⎩g ，121223OA OB x x y y =+=u u u r u u u r g 即2223222123m k k --=+即2212129108||||23AOBm k S m x x ∆=+=-== 即222229(12)(12)m k m k +-=+ 22222229(12)(12)9108m k m k m k ⎧+-=+⎨=+⎩， 解得21k =，22m =，所以y x =±±。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.设函数分别在、处取得极小值、极大值．平面上点、的坐标分别为、，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点．（Ⅰ）求点、的坐标；（Ⅱ）求动点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解决类似的问题时，要先求函数在区间内使的点，再判断导函数在各区间上的正负，由此得出函数的极大值和极小值.（2）第二问关键是理清思路，要求谁的方程，那就在这个曲线上任意选取一个点设为，然后根据条件寻找X与Y间的关系式即可. 试题解析：（Ⅰ）令解得当x＜﹣1时，，当﹣1＜x＜1时，，当x＞1时，所以，函数在处取得极小值，在取得极大值，故所以，点A、B的坐标为．（Ⅱ）设Q（x，y），①又点Q是点P关于直线y=x的对称点代入①得：，即为Q的轨迹方程【考点】（1）函数导数以及极值问题；（2）求点的轨迹方程问题.2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线的焦点坐标为，而椭圆的右焦点坐标为即，依题意可得，故选D.【考点】1.椭圆的几何性质；2.抛物线的几何性质.3.已知离心率的椭圆一个焦点为.(1)求椭圆的方程；(2) 若斜率为1的直线交椭圆于两点,且，求直线方程.【答案】(1)；【解析】(2) 或.(1)由焦点坐标、离心率及解方程即可；(2)可以联立直线L与椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，然后利用弦长公式建立方程求出斜率截距m即可.试题解析：解：(1)由题知，，∴，3分∴椭圆.4分(2) 设直线方程为，点，由方程组6分化简得:,.8分∴,9分，解得.11分∴直线方程或.12分【考点】1.椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线相交；3.弦长公式.4.（1）已知点和，过点的直线与过点的直线相交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，如果，求点的轨迹；（2）用正弦定理证明三角形外角平分线定理：如果在中，的外角平分线与边的延长线相交于点，则.【答案】（1）的轨迹是以为顶点，焦点在轴的椭圆（除长轴端点）；（2）证明详见解析.【解析】（1）本题属直接法求轨迹方程，即根据题意设动点的坐标，求出，列出方程，化简整理即可；（2）设，在中，由正弦定理得，同时在在中，由正弦定理得，然后根据，进而得到，最后将得到的两等式相除即可证明.试题解析：（1）设点坐标为，则 2分整理得 4分所以点的轨迹是以为顶点，焦点在轴的椭圆（除长轴端点） 6分（2）证明：设在中，由正弦定理得① 8分在中，由正弦定理得，而所以② 10分①②两式相比得 12分.【考点】1.轨迹方程的求法；2.正弦定理的应用.5.如图，已知椭圆：的离心率为，点为其下焦点，点为坐标原点，过的直线：（其中）与椭圆相交于两点，且满足：.（1）试用表示；（2）求的最大值；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）离心率的最大值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）设，联立椭圆与直线的方程，消去得到，应用二次方程根与系数的关系得到，，然后计算得，将其代入化简即可得到；（2）利用（1）中得到的，即（注意），结合，化简求解即可得出的最大值；（3）利用与先求出的取值范围，最后根据（1）中，求出的取值范围即可.试题解析：（1）联立方程消去，化简得 1分设，则有， 3分∵∴ 5分∴即 6分（2）由（1）知∴，∴ 8分∴∴离心率的最大值为 10分(3)∵∴∴ 12分解得∴即∴的取值范围是 14分【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.二次方程根与系数的关系.6.已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为；为椭圆上的四个点。
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即A、B的坐标分别为(－1,0)和(3，4)
由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2，即 y＝3－x ，代入双曲线方程，整理，
得 x2＋6x－11＝0②
记C(x3,y3),D(x4,y4)，以及CD中点为M(x0,y0)，则x3、x4是方程②的两个的实数根，所以
A. B. C. D.
6．双曲线 离心率为2，有一个焦点与抛物线 的焦点重合，则mn的值为（）
A． B． C． D．
7.若双曲线 的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为 ()
(A)2(B)3(C)4(D)4
8．如果椭圆 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A B C D
9、无论 为何值，方程 所表示的曲线必不是（ ）
20在平面直角坐标系 中，点P到两点 ， 的距离之和等于4，设点P的轨迹为 ．（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线 与C交于A，B两点．k为何值时 ？此时 的值是多少？
21.A、B是双曲线x2－ ＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
（Ⅱ）设 ，其坐标满足
消去y并整理得 ， 故 ．
，即 ． 而 ，
于是 ．
所以 时， ，故 ．
当 时， ， ．
，
而 ，
所以 ．
21A、B是双曲线x2－ ＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
圆锥曲线高考题全国卷真题汇总
2 0 1 8 ( 新 课 标 全 国 卷 2 理 科 )5．双曲线 x 2 y 2= 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为a 2b 22 3A ． y = 士 2xB ． y = 士 3xC ． y = 士 xD ． y = 士 x2 212．已知 F 1， F 2 是椭圆 C ：a x 22 +b y 22=1 (a > b > 0) 的左，右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 63的直线上， △PF 1F 2 为等腰三角形， 三 1F F 2 P = 120O ，则 C 的离心率为2A ．3 1 B ．21 C ．31 D ．419．(12 分)设抛物线 C ： y 2 = 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k > 0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， | AB| = 8． (1)求 l 的方程；(2)求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．2018 (新课标全国卷 2 文科)6．双曲线x 2 y 2= 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 a 2 b 2A ． y = 士 2xB ． y = 士 3x2C ． y = 士 x23D ． y = 士 x211．已知 F ， F 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 PF 」PF ， 且 三PF F = 60O ， 则 C 的离心率为3A ． 12B ． 2 3C ． 3 12D ． 3 120． ( 12 分) 设抛物线 C ： y 2 = 4x 的焦点为 F ， 过 F 且斜率为 k(k > 0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，| AB | = 8．(1)求 l 的方程；(2)求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．2018 (新课标全国卷 1 理科)28．设抛物线 C ： y 2=4x 的焦点为 F ，过点( –2， 0)且斜率为 的直线与 C 交于 M ， N 两点，则FM . FN =3A ． 5B ． 6C ． 7D ． 823为 M 、N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|=3A ．B ． 3C ． 2 3D ． 4219． (12 分) 设椭圆 C : x 2+ y 2 = 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A, B 两点，点 M 的坐标为 (2,0) .2x 11．已知双曲线 C ： y 2 = 1， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别 1 2 1 2 2 1(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明： 三OMA = 三OMB .2018 (新课标全国卷 1 文科)4．已知椭圆 C ： x 2 + y 2= 1的一个焦点为(2，0) ，则 C 的离心率为a 2 41 A ．31 B ．2C ．2 22 2 D ．315．直线 y = x +1 与圆 x 2 + y 2 + 2y - 3 = 0 交于 A ， B 两点，则 AB = ________． 20．(12 分)设抛物线 C ： y 2 = 2x ，点 A (2， 0)， B (-2， 0) ，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M ， N 两点． (1)当 l 与x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明： ∠ABM = ∠ABN ．2018 (新课标全国卷 3 理科)6．直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆 (x - 2)2 + y 2 = 2 上，则 △ABP 面积的取值范围是A ． [2， 6]B ． [4， 8]C ． 2，3 2D ． 2 2，3 2 11． 设 1F ， F 2 是双曲线 C ： a x 22 - b y 22= 1 ( a > 0，b > 0 ) 的左 、右焦点， O 是坐标原点． 过 F 2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若 PF = 6 OP ，则 C 的离心率为1A ． 5B ． 2C ． 3D ． 2 20．(12 分)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆C ：x 2+ y 2= 1交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 M (1， m)(m > 0)． 4 3(1)证明： k < - 1；2(2) 设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点,且 FP+ FA+ FB = 0 ．证明： FA ， FP ， FB 成等差数列，并 求该数列的公差．2018 (新课标全国卷 3 文科)8． 直线 x + y +2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点， 点 P 在圆 (x - 2)2 + y 2 = 2 上， 则 △ABP 面积的取值范围是A ． [2,6]B ． [4,8]C ． [ 2, 3 2]D ． [2 2 ,3 2 ]10．已知双曲线 C ： x 2 一 y 2= 1(a > 0，b > 0) 的离心率为 2 ，则点 (4,0) 到C 的渐近线的距离为a 2b 23 2A ． 2B ． 2C ．D ． 2 2220．(12 分)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆C ： x 2 + y 2= 1 交于 A ， B 两点．线段 AB 的中点 为 M (1, m)(m > 0)．4 3 1(1)证明： k 想 一 ；2(2)设 F 为C 的右焦点， P 为C 上一点，且 FP + FA + FB = 0．证明： 2 | FP |=| FA |+ | FB |．2017 (新课标全国卷 2 理科)9.若双曲线 C : x 22一 1(a > 0,b > 0) 的一条渐近线被圆 (x 一 2)2 + y 2 = 4所截得的弦长为 2， 则 C 的离心率为( ) .2 3A ． 2B ． 3C ． 2D ．316.已知 F 是抛物线 C : y 2 = 8x 的焦点， M 是C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N ．若 M 为 FN 的中点，则 FN = ．20. 设 O 为 坐 标 原 点， 动 点 M 在 椭 圆 C : x 2 + y 2= 1 上， 过 M 做 x 轴 的 垂 线， 垂 足 为 N ， 点 P 满 足2NP = 2NM .(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x = 一3 上，且OP . PQ = 1 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F .2017 (新课标全国卷 2 文科)x 2 2A. ( 2，+w)B. ( 2，2)C. (1, 2)D. (1，2)12.过抛物线 C : y 2 = 4x 的焦点 F ，且斜率为 3 的直线交 C 于点 M ( M 在 x 轴上方)， l 为 C 的准线，点N 在 l 上且 MN 」l ，则 M 到直线 NF 的距离为( ) .A. 5B. 2 2C. 2 3D. 3 320.设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C :x 2+ y 2 = 1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N ， 25.若 a >1 ，则双曲线 a2 一 y = 1 的离心率的取值范围是( ) .a b点 P 满足 NP = 2NM . (1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x = 一3 上，且 OP . PQ = 1 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F .2017 (新课标全国卷 1 理科)10.已知 F 为抛物线C ： y 2 = 4x 的焦点， 过 F 作两条互相垂直的直线l 1， l 2， 直线l 1 与 C 交于 A ， B 两点， 直线 l 2 与 C 交于 D ， E 两点，则 AB + DE 的最小值为( ) .A ． 16B ． 14C ． 12D ． 10 15.已知双曲线 C :x 2 一 y 2= 1(a > 0,b > 0) 的右顶点为 A ， 以 A 为圆心， b 为半径做圆 A ， 圆 A 与双曲线 C a 2 b 2的一条渐近线交于 M ， N 两点.若 三MAN = 60 ，则 C 的离心率为________.20.已知椭圆 C : a x 22 + b y 22=1(a > b > 0)， 四点 1P (1，1)， 2P (0，1)， 3P (||( – 1， 23 ))||， 4P (||(1， 23 ))|| 中恰有三点在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程；(2) 设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ， B 两点.若直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜率的和为 – 1， 证明： l 过定.2017 (新课标全国卷 1 文科)5.已知 F 是双曲线 C : x 2一 y 2= 1 的右焦点， P 是 C 上一点， 且 PE 与 x 轴垂直， 点 A 的坐标是(1, 3)， 则3△APF 的面积为( ) .1 12 3A ．B ．C ．D ．3 2 3 2x 2 y 2围是( ) .A 20.设 A ，B 为曲线C : y = x 2上两点， A 与 B 的横坐标之和为 4.4(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点， C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM 」BM ，求直线 AB 的方程. . (0,1] [9, +w ) B. (0, 3 [9, +w ) C. (0,1] [4, +w) D. (0, 3 [4, +w )点 12.设 A ， B 是椭圆C : + = 1 长轴的两个端点， 若C 上存在点 M 满足三AMB = 120 ， 则 m 的取值范3 m2017 (新课标全国卷 3 理科)5.已知双曲线 C ： C :x 2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程为 y = 5x ，且与椭圆 a 2 b 2 2x 2 y 2+ = 1 有公共焦点，则 C 的方程为( 12 3) .x 2 y 2A ． = 18 10x 2 y 2B ． = 14 5x 2 y 2C ． = 15 4x 2 y 2D ． = 14 310. 已知椭圆 C : a x 22 + b y 22= 1(a > b > 0) 的左 、 右顶点分别为 A 1， A 2， 且以线段 A 1A 2 为直径的圆与直线bx ay + 2ab = 0 相切，则 C 的离心率为( ) .A ．6 3 B ．3 3 C ．2 31 D ．320．已知抛物线 C ： y 2 = 2x ，过点(2，0) 的直线 l 交 C 与A ， B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆． (1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上； (2)设圆 M 过点 P(4，2) ，求直线 l 与圆 M 的方程．2017 (新课标全国卷 3 文科)11.已知椭圆 C : a x 22 + b y 22= 1(a > b > 0) 的左 、 右顶点分别为 A 1， A 2， 且以线段 A 1A 2 为直径的圆与直线bx ay + 2ab = 0 相切，则 C 的离心率为( ) .2 313x 2 y 2 3a 2 9 520． 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 y = x 2 + mx – 2 与 x 轴交于 A ， B 两点， 点 C 的坐标为(0，1) . 当 m 变化 时，解答下列问题：(1)能否出现 AC 」BC 的情况？说明理由；(2)证明过 A ， B ， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 .2016 (新课标全国卷 2 理科)(4)圆 x 2 + y 2 2x 8y +13 = 0 的圆心到直线 ax + y 1 = 0 的距离为 1，则 a= ( )3 36 314.双曲线 = 1(a > 0) 的一条渐近线方程为 y = x ，则 a = .D ． C ．B ． A ．|DE|= 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为(C ) 3 (D ) 24x 2 y 2a bsin 三MF 2 F 1 = 3, 则 E 的离心率为( )3220. (本小题满分 12 分)已知椭圆 E: x 2 + y 2= 1 的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左顶点， 斜率为 k (k > 0) 的直线交 E 于 A , M 两点， 点t 3N 在 E 上， MA 」NA ．(Ⅰ)当 t = 4,| AM |=| AN | 时，求 编AMN 的面积； (Ⅱ)当 2 AM = AN 时，求 k 的取值范围．2016 (新课标全国卷 2 文科)(5) 设 F 为抛物线 C ： y 2=4x 的焦点，曲线 y= (k> 0)与 C 交于点 P ， PF ⊥x 轴，则 k= ( )x1 3(A) (B) 1 (C) (D) 22 2(6) 圆 x 2+y 2?2x?8y+13=0 的圆心到直线 ax+y?1=0 的距离为 1，则 a= ( )4(A) ?3 3(B) ?4(C)3(D) 2(21)(本小题满分 12 分)已知 A 是椭圆 E ： + = 1 的左顶点，斜率为 k (k ＞0) 的直线交 E 与 A ， M 两点，点 N 在 E 上，4 3MA 」NA .(Ⅰ)当 AM = AN 时，求 编AMN 的面积； (Ⅱ)当 AM = AN 时，证明： 3 < k < 2 .2016 (新课标全国卷 1 理科)(5)已知方程–3m yn =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是(A) ( – 1,3) (B) ( – 1, 3) (C) (0,3) (D) (0, 3)(10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A 、B 两点， 交 C 的标准线于 D 、E 两点 . 已知|AB|= 4 2 ， (11) 已知 F 1 , F 2 是双曲线 E : 2 _ 2= 1 的左， 右焦点， 点 M 在 E 上， MF 1 与 x 轴垂直，(A ) 2 (B ) (C ) 3 (D ) 2 (A ) _(B ) _x 2 y 2 k 4331(A)2 (B)4 (C)6 (D)820. (本小题满分 12 分)理科设圆x2 + y2 + 2x 15 = 0 的圆心为 A，直线 l 过点 B (1,0) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C， D 两点，过 B 作AC 的平行线交 AD 于点 E.(I)证明EA + EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(II)设点 E 的轨迹为曲线 C1 ，直线 l 交 C1 于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 .2016 (新课标全国卷 1 文科)1(5)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的4，则该椭圆的离心率为1 12 3(A) (B) (C) (D)(15)设直线 y=x+2a 与圆 C： x2+y2-2ay-2=0 相交于 A， B 两点，若，则圆 C 的面积为 . (20)(本小题满分 12 分)在直角坐标系xOy 中，直线l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y2 = 2px(p > 0) 于点 P， M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H.OH(I)求；ON(II)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由 .2016 (新课标全国卷 3 理科)(11)已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C：x2a2+y2b2= 1(a > b > 0) 的左焦点， A， B 分别为 C 的左，右顶点 .P 为 C上一点，且PF 」x 轴.过点 A 的直线 l 与线段PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为1 (A)31(B)22(C)33(D)4(16)已知直线l：mx + y + 3m 3 = 0 与圆x2 + y2 = 12 交于A, B 两点，过A, B 分别做l 的垂线与x 轴交于C, D 两点，若AB = 2 3 ，则| CD |= __________________.(20)(本小题满分 12 分)已知抛物线C：y2 = 2x 的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l1 , l2 分别交C 于A， B 两点，交C 的准线于P， Q 两点．(I)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ；(II)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程 .2016 (新课标全国卷 3 文科)3 2 3 4(12)已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ： x 2 + y 2= 1(a > b > 0) 的左焦点， A ， B 分别为 C 的左，右顶点 .P 为a 2b 2C 上一点，且 PF 」x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ， 与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中 点，则 C 的离心率为1 (A)31 (B)22 (C)33 (D)4( 15) 已知直线 l ： x 3y + 6 = 0 与圆x 2 + y 2 = 12 交于 A, B 两点， 过 A, B 分别作l 的垂线与x 轴交于C, D 两点，则 | CD |= _____________ .(20)(本小题满分 12 分)已知抛物线 C ： y 2 = 2x 的焦点为 F ， 平行于 x 轴的两条直线 l 1 , l 2 分别交 C 于 A ， B 两点， 交 C 的准线 于 P ， Q 两点．(I)若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ ； (II)若PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 .2015 (新课标全国卷 2)(11) 已知 A ， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， ?ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心 率为(A ) √ 5 (B) 2 (C ) √3 (D ) √2(15)已知双曲线过点(4， ,3)，且渐近线方程为 y = 士 x ，则该双曲线的标准方程为 2。
圆锥曲线全国卷高考真题综合2(解析版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练
A．16
B．14
C．12
D．10
【答案】A
【解析】
设 A(x1, y1), B(x2, y2 ), D(x3, y3), E(x4, y4 ) ，直线 l1 的方程为 y k1(x 1) ，联立方程
y y
2 4x k1(x
1)
，得
k12
x
2
2k12 x 4x k12
0 ，∴ x1
x2
2k12 4 k12
2k12 k12
4
，同理
直线 l2 与抛物线的交点满足
x3
x4
2k22 4 k22
，由抛物线定义可知
AB DE x1 x2 x3 x4 2 p
2k12 4 k12
2k22 4 k22
4
4 k12
4 k22
8
2
16 k12k22
8 16 ，当且仅当 k1
4．2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国卷 3 正式版）
x2
已知椭圆 C：
a2
y2 b2
1，（a>b>0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆
与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为
A． 6 3
B． 3 3
【答案】A
C． 2 3
D． 1 3
专题 20：圆锥曲线全国卷高考真题综合 2（解析版）
一，选择题
1，2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 1 卷）
已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、
B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为
圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)
圆锥曲线练习题21．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ） A ．25 B ．5 C ．215 D ．10 2．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ ）。
A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-±3．以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对 4．21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积（ ） A ．7 B ．47 C ．27 D ．257 5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=6．若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ）A ．1(,44± B ．1(,)84± C ．1(44 D ．1(,84 7．椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为（ ） A ．20 B ．22 C ．28 D ．248．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21C ．()2,1 D ．()2,2 9．与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ）A ．1222=-y xB ．1422=-y xC ．13322=-y xD ．1222=-y x10．若椭圆221x my +=_______________. 11．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为______________。
全国名校2024届高三年级专项(圆锥曲线小题)练习卷(附答案)
全国名校2024届高三年级专项（圆锥曲线小题）练习卷 一、单选题4条二、多选题PF上的切点为的内切圆在边1)的左右焦点，O为坐标原点，以FO 在第二象限），射线1F A与双曲线的另一条渐近，则双曲线的离心率为．参考答案离心率为5的双曲线2C以A，∵,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，∴()1,0C x -，10,2y D ⎛⎫⎪⎝⎭y易知△PEH ≅△2PEF ，即112OE F H a ==， 故可得cos cos F OE FOE ∠=-∠【名师点评】关键点名师点评：解决本题关键是利用双曲线的定义以及三角形内切圆的相关性质，结合图形详细分析得出相应关系，运算整理17．BCD【详细分析】由C在准线上，OC=点纵坐标，由此得直线AB方程，从而求得由双曲线方程和圆D 方程可知，3,4,5a b c ===， 所以左焦点为0()5,D -，右焦点2(5,0)F ；对于A ，由于P 在双曲线左支上，根据焦半径公式可知对于B ，由过点M 的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，设直线斜率为k ，则直线l 的方程为2(1)y k x -=-，所以||3PF PF PF ''+==由余弦定理可得2(2)|c PF =11.23．AC【详细分析】对于A ，利用椭圆与=y kx 得到8AF BF +=；对于B ，利用A 中的结论及基本不等式.对于B ，()1418AF BF AF BF ⎛+=+ ⎝419BF AF ⎛⎫25．32【详细分析】由抛物线与圆的对称性可得由抛物线的定义求得2 d=26．4【详细分析】先由AB AD ⊥，CB CD ⊥判断出表示出圆的方程，将()0,b 代入椭圆及圆的方程，可求出【答案详解】由题意得()0,A b ，(0,C -【名师点评】关键点名师点评：由此得到A，B，C，27．328．2【详细分析】由题干条件得到1F 1OB OF c ==，由焦点到渐近线距离及勾股定理得到故答案为：2。
(完整版)全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全,推荐文档
高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集1.如图，直线 l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是 A，点 B、D 在直线 l1上(B、D 位于点 A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是 N，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹 C 的方程．(Ⅱ)过点 D 且不与 l1、l2垂直的直线 l 交(Ⅰ)中的轨迹 C 于E、F 两点；另外平面上的点G、H 满足：①AG =AD(∈ R); ②GE +GF ③求点 G 的横坐标的取值范围．e =2.设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率上的点的最远距离是 4，求这个椭圆的方程. ，已知点P(0,3) 到这个椭圆x 2 y 2 253.已知椭圆C1 :2+2= 1(a >b > 0) x =的一条准线方程是,4 其左、右顶点分别3l2MA D NB l1a b是A、B；双曲线x 2 y 2C2 :a 2-b 2= 1的一条渐近线方程为 3x－5y=0.（Ⅰ）求椭圆 C1的方程及双曲线 C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP 交椭圆C1于点M，连结PB 并延长交椭圆C1于点 N，若 AM =MP . 求证： MN •AB = 0.4.椭圆的中心在坐标原点 O,右焦点 F（c,0）到相应准线的距离为 1，倾斜角为45°的直线交椭圆于 A，B 两点.设 AB 中点为 M，直线 AB 与OM 的夹角为 a.（1）用半焦距 c 表示椭圆的方程及 tan;（2）若2<tan<3，求椭圆率心率 e 的取值范围.x2 +y2 e =65.已知椭圆a2b2 （a＞b＞0）的离心率 3 ，过点 A（0，-b）和 B（a，0）的直3线与原点的距离为2（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D 两点问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由6. 在直角坐标平面中， ∆ABC 的两个顶点 A , B 的坐标分别为 A (-1,0) ， B (1,0) ，平面内两点G , M 同时满足下列条件：① GA + GB + GC = 0 ；② == ；③ GM ∥ AB （1） 求∆ABC 的顶点C 的轨迹方程； （2） 过点P (3,0) 的直线l 与（1）中轨迹交于 E , F 两点，求 PE ⋅ PF 的取值范围x , y ∈ Ri , j7.设，为直角坐标平面内 x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若= a = xi + ( y + 2) j , bxi + ( y - 2) j | a ，且 | +| b |= 8 （Ⅰ）求动点 M(x,y)的轨迹 C 的方程；（Ⅱ）设曲线 C 上两点 A ．B ，满足(1)直线 AB 过点（0，3），(2)若OP = OA + OB ，则 OAPB为矩形，试求 AB 方程．yD CEAO A 1 xD 1C 1y 2= m (x + n ),(m ≠ 0, n > 0) 8. 已知抛物线 C ：的焦点为原点，C 的准线与直线l : kx - y + 2k = 0(k ≠ 0) 的交点 M 在x 轴上， l 与 C 交于不同的两点 A 、B ，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N （p ，0）．（Ⅰ）求抛物线 C 的方程； （Ⅱ）求实数 p 的取值范围；（Ⅲ）若 C 的焦点和准线为椭圆 Q 的一个焦点和一条准线，试求 Q 的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴 AA 1 在x 轴上.以 A 、A 1 为焦点的双曲线交椭圆于1 AE =C 、D 、D 1、C 1 四点，且|CD|＝ 2 |AA 1|.椭圆的一条弦 AC 交双曲线于E ，设 EC ，当 2 ≤ ≤ 334 时，求双曲线的离心率 e 的取值范围.4x 2+ 5 y =2 80 10. 已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆点（点 A 在 y 轴正半轴上）.上，且点 A 是椭圆短轴的一个端 若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程; 若角 A 为900，AD 垂直 BC 于 D ，试求点 D 的轨迹方程.x 2 = 4 yP (0, m ) (m > 0)11.如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于A ,B 两点，点Q 是点 P 关于原点的对称点.(1) 设点 P 分有向线段 AB 所成的比为，证明:QP ⊥ (QA -QB ) ;(2) 设直线 AB 的方程是 x - 2 y +12 = 0 ，过 A , B 两点的圆C 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆C 的方程.1 +p 2 p12. 已知动点 P （p ，-1），Q （p ， 2 ），过 Q 作斜率为 2 的直线 l ，P Q 中点 M 的轨迹为曲线 C.（1） 证明：l 经过一个定点而且与曲线 C 一定有两个公共点； （2） 若（1）中的其中一个公共点为 A ，证明：AP 是曲线 C 的切线； （3） 设直线 AP 的倾斜角为，AP 与l 的夹角为，证明：+ 或- 是定值.7 3 113.在平面直角坐标系内有两个定点F 1、F 2 和动点 P ， F 1、F 2 坐标分别为 F 1 (-1,0) 、| PF 1 | =F 2 (1,0) ，动点 P 满足| PF 2 | 2 ，动点 P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线 y = x 的对称曲线为曲线C ' ，直线 y = x + m - 3 与曲线C' 交于 A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的 面积为 ，（1）求曲线 C 的方程；（2）求m 的值。
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→ → ∵ OP · OQ = 0 ∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 ( x1 − 1)( x 2 − 1) = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 [ x1 x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1] = 0 (i )
4k (k + 1) − k i4k + k = 0 ，解得 k = −4 或 k = 0 （舍去） ， 又 k = −4 < −1 ， ∴ 直线 l 存在，其方程为 x + 4 y − 4 = 0
10 3 的椭圆. （9 分） 3
⎩ y = 4x △ = 16k 2 − 16 > 0 ， k < −1或k > 1 设 P ( x1 , y1 ) ， Q( x 2 , y 2 ) ，则 y1 + y 2 = 4k ， y1 y2 = 4k ��� � ���� ��� � ���� 由 OP ⋅ OQ = 0 ，即 OP = ( x1 , y1 ) ， OQ = ( x2 , y2 ) ，于是 x1 x2 + y1 y2 = 0 ，
圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程：
x2 y2 1、 （1）已知双曲线 C1 与椭圆 C2 ： + = 1 有公共的焦点，并且双曲线的离心率 e1 与椭圆的 36 49 7 离心率 e2 之比为 ，求双曲线 C1 的方程． 3 2 （2）以抛物线 y = 8 x 上的点 M 与定点 A(6, 0) 为端点的线段 MA 的中点为 P，求 P 点的轨迹方 程．
即 k 2 ( y1 − 1)( y2 − 1) + y1 y2 = 0 ， ( k 2 + 1) y1 y2 − k 2 ( y1 + y2 ) + k 2 = 0 ，
由⎨
⎧ x = k ( y − 1)
2
得 y 2 − 4ky + 4k = 0
设 l：y = k ( x − 1) ，l与双曲线交于 P ( x1 ，y1 ) 、Q ( x 2 ，y 2 )
意知： MF = MN ， 即动点 M 到定点 F 与定直线 x = −1 的距离相等，由抛物线的定义 知，点 M 的轨迹为抛物线，其中 F (1, 0 ) 为焦点， x = −1 为准线， ∴ 动点 R 的轨迹方程 为 y = 4x （2）由题可设直线 l 的方程为 x = k ( y − 1)( k ≠ 0) ，
x2 y2 1 反射光线恰好通过椭圆 C ： 2 + 2 = 1 （a>b>0）的两焦点，已知椭圆的离心率为 ，且 2 a b 6 x2-x1= ，求椭圆 C 的方程. 5 x2 y2 解 ： 设 a =2 k ， c = k ， k ≠ 0 ， 则 b = 3 k ， 其 椭 圆 的 方 程 为 − =1. 4k 2 3k 2 0+2 1 − (−2) 由题设条件得： = ， ① − k − x1 − 4 − x1 0+2 1 − (−2) = ， ② − k − x2 − 4 − x2 6 x2-x1= ， ③ 5 11 x2 y2 由①、②、③解得：k=1，x1= − ，x2=-1，所求椭圆 C 的方程为 + = 1. 5 4 3 1 4、在面积为 1 的 ∆PMN 中， tan M = ， tan N = −2 ，建立适当的坐标系，求出以 M 、 N 为 2 焦点且过 P 点的椭圆方程． 解：以 MN 的中点为原点， MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标 系，设 P ( x , y ) ． 5 ⎧ ⎧ y x= ⎪ x − c = −2, ⎪ 5 2 ⎪ 3c 则 ⎪ ∴ ⎨ 即 P( , ) ∴ 1 ⎪ y = , 2 3 3 ⎨ ⎪y = 4 c且c = 3 2 ⎪x+c ⎪ 2 ⎩ 3 ⎪ cy = 1 .
7、 设双曲线
∵ c 2 = a 2 + 3， ∴ a = 1，c = 2
1 ⎧ m+ ×4 ⎪ 2m + 4 2 3x − 4 ⎧ = ⎪x = m= 1 3 ⎪ ⎪ 1 ⎪ 1+ 2 ，∴点 P 的坐标为 为 ，由定比分点坐标公式可得 ⎪ ，即 ⎨ 2 ⎨ 2 ⎪n = 3 y 1 ⎪ n + ×0 ⎪ ⎩ 2 2n ⎪y = 2 = ⎪ 1 3 1+ ⎪ ⎩ 2
x +6 ⎧ x= 0 ⎪ ⎪ 2 ，∴ ⎧ x0 = 2 x − 6 ． （2）解：设点 M ( x0 , y0 ), P ( x, y ) ，则 ⎨ ⎨ ⎩ y0 = 2 y ⎪ y = y0 ⎪ ⎩ 2 2 2 代入 y0 = 8 x0 得： y = 4 x − 12 ．此即为点 P 的轨迹方程． 2、 （1） ∆ABC 的底边 BC = 16 ， AC 和 AB 两边上中线长之和为 30，建立适当的坐标系求此三 3 角形重心 G 的轨迹和顶点 A 的轨迹． （2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= sinA,求点 A 5
∴ 双曲线方程为y y = ± x 3 3
4分
（II）设 A ( x1 ， y1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，AB 的中点 M x，y
(
)
∵ 2| AB| = 5| F1 F2 | ∴| AB| = 5 5 | F1 F2 | = × 2c = 10 2 2
点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点 M（-4，1）分别射向直线 y= -2 上两点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2）后，
⎧ a 2 + b 2 = 13 y2 x2 y2 x2 ⎪ 2 2 2 2 − = 1( a , b > 0) 则 解得 a = 9, b = 4 双曲线的方程为 − =1 ⎨ a + b 13 a2 b2 9 4 = ⎪ 2 ⎩ a 9
2
2
2
∴ ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 = 10 3 3 x1 ，y 2 = − x 2 ， 2 x = x1 + x 2 ， 2 y = y1 + y 2 3 3 3 3 ∴ y1 + y 2 = ( x 1 − x 2 ) ，y 1 − y 2 = ( x1 + x 2 ) 3 3 又y1 = ∴
∴ 所 求 椭 圆 方 程 为
3 sinA 5
2RsinC-2RsinB=
3 ·2RsinA 5
4x y + =1 15 3
2
2
⎪ ⎩
∴ AB − AC =
3 BC 5
4 ⎧ 25 + 2 = 1, ⎧ 2 15 2 ⎪ ⎪12a 3b ⎪a = , 得⎨ 4 ⎨ 3 2 2 2 ⎪a − b = , ⎪b = 3. ⎩ ⎪ 4 ⎩
2 2 2
⎧ y = k ( x − 1) ⎪ 由⎨ 2 x 2 得 (3k − 1) x 2 − 6k 2 x + 3k 2 − 3 = 0 y − =1 ⎪ 由（i） （ii）得 k 2 + 3 = 0 3 ⎩ 6k 2 3k 2 − 3 则x1 + x 2 = 2 ，x1 x 2 = 2 (ii ) 3k − 1 3k − 1
∴k 不存在，即不存在满足条件的直线 l .
x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F1（－c，0） 、F2（c，0） ，Q 是椭圆 a2 b2 外的动点，满足 | F1Q |= 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足 c （Ⅱ）求点 T 的轨 PT ⋅ TF2 = 0, | TF2 |≠ 0. （Ⅰ）设 x 为点 P 的横坐标，证明 | F1 P |= a + x ； a 迹 C 的方程； （Ⅲ）试问： 在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M， 使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在，
| OP | 1 = ，由角平分线性质可 | OQ | 2
| OP | | PR | 1 1 = ，又∵点 R 在线段 PQ 上，∴|PR|= |RQ|，∴点 R 分有向线段 PQ 的比 = | OQ | | RQ | 2 2
y2 x2 − = 1 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ， 离心率为 2. （I） 求此双曲线的渐近线 l1 、l2 a2 3 的方程； （II）若 A、B 分别为 l1 、l2 上的点，且 2| AB| = 5| F1 F2 | ，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方 程，并说明轨迹是什么曲线； （III）过点 N (1， 0) 能否作出直线 l ，使 l 与双曲线交于 P、Q 两 → → 点，且 OP · OQ = 0 .若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由. 解： （I）∵ e = 2 ， ∴ c 2 = 4a 2
⎧ ′ x x = ， 2 ⎪ y2 ⎪ 3 代入①，得 的轨迹方程为 x ①由题意有 ⎨ A + = 1( y ≠ 0) ，其轨迹是椭圆（除去 x y 900 324 ⎪ y′ = ⎪ 3 ⎩
轴上两点） ． （2）分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径） ，可 转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=
⎛ 3x − 4 3 y ⎞ ⎛ 3x − 4 ⎞ ⎛ 3 y ⎞ , ⎟ ，代入圆的方程 x2+y2=4 可得 ⎜ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 4， 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4⎞ 4⎞ 16 16 ⎛ ⎛ 即 ⎜ x − ⎟ +y2= （y≠0）. ∴点 R 的轨迹方程为 ⎜ x − ⎟ +y2= （y≠0）. 3⎠ 9 3⎠ 9 ⎝ ⎝ 6、已知动圆过定点 (1, 0 ) ，且与直线 x = −1 相切.(1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程；(2) 是否存 uu u v uuu v 在直线 l ，使 l 过点（0，1） ，并与轨迹 C 交于 P, Q 两点，且满足 OP ⋅ OQ = 0 ？若存在，求出直 线 l 的方程；若不存在，说明理由. 解： （1）如图，设 M 为动圆圆心， F (1, 0 ) ，过点 M 作直线 x = −1 的垂线，垂足为 N ，由题