全国名校高中数学题库--圆锥曲线2

⎛ 3x − 4 3 y ⎞ ⎛ 3x − 4 ⎞ ⎛ 3 y ⎞ , ⎟ ，代入圆的方程 x2+y2=4 可得 ⎜ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 4， 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4⎞ 4⎞ 16 16 ⎛ ⎛ 即 ⎜ x − ⎟ +y2= （y≠0）. ∴点 R 的轨迹方程为 ⎜ x − ⎟ +y2= （y≠0）. 3⎠ 9 3⎠ 9 ⎝ ⎝ 6、已知动圆过定点 (1, 0 ) ，且与直线 x = −1 相切.(1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程；(2) 是否存 uu u v uuu v 在直线 l ，使 l 过点（0，1） ，并与轨迹 C 交于 P, Q 两点，且满足 OP ⋅ OQ = 0 ？若存在，求出直 线 l 的方程；若不存在，说明理由. 解： （1）如图，设 M 为动圆圆心， F (1, 0 ) ，过点 M 作直线 x = −1 的垂线，垂足为 N ，由题
x +6 ⎧ x= 0 ⎪ ⎪ 2 ，∴ ⎧ x0 = 2 x − 6 ． （2）解：设点 M ( x0 , y0 ), P ( x, y ) ，则 ⎨ ⎨ ⎩ y0 = 2 y ⎪ y = y0 ⎪ ⎩ 2 2 2 代入 y0 = 8 x0 得： y = 4 x − 12 ．此即为点 P 的轨迹方程． 2、 （1） ∆ABC 的底边 BC = 16 ， AC 和 AB 两边上中线长之和为 30，建立适当的坐标系求此三 3 角形重心 G 的轨迹和顶点 A 的轨迹． （2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= sinA,求点 A 5
2
2
[Hale Waihona Puke Baidu
3 ( y1 + y 2 )
]
2
⎡ 3 ⎤ + ⎢ ( x1 + x 2 )⎥ = 10 ⎣ 3 ⎦
2
1 x 2 3y 2 ∴ 3(2 y ) 2 + (2 x ) 2 = 100 ，即 + =1 3 75 25
则 M 的轨迹是中心在原点， 焦点在 x 轴上， 长轴长为 10 3 ， 短轴长为 （III）假设存在满足条件的直线 l
| OP | 1 = ，由角平分线性质可 | OQ | 2
| OP | | PR | 1 1 = ，又∵点 R 在线段 PQ 上，∴|PR|= |RQ|，∴点 R 分有向线段 PQ 的比 = | OQ | | RQ | 2 2
y2 x2 − = 1 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ， 离心率为 2. （I） 求此双曲线的渐近线 l1 、l2 a2 3 的方程； （II）若 A、B 分别为 l1 、l2 上的点，且 2| AB| = 5| F1 F2 | ，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方 程，并说明轨迹是什么曲线； （III）过点 N (1， 0) 能否作出直线 l ，使 l 与双曲线交于 P、Q 两 → → 点，且 OP · OQ = 0 .若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由. 解： （I）∵ e = 2 ， ∴ c 2 = 4a 2
5、已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一个动点，定点 Q 的坐标为（4，0） ． （1）求线段 PQ 的中点的轨迹方程； （2）设∠POQ 的平分线交 PQ 于点 R（O 为原点） ，求点 R 的轨迹方程． 解： （1）设线段 PQ 的中点坐标为 M（x，y） ，由 Q（4，0）可得点 P（2x-4，2y） ，代入圆的方 程 x2+y2=4 可得（2x-4）2+（2y）2=4，整理可得所求轨迹为（x-2）2+y2=1. （2）设点 R（x，y） ，P（m，n） ，由已知|OP|=2，|OQ|=4，∴ 得
圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程：
x2 y2 1、 （1）已知双曲线 C1 与椭圆 C2 ： + = 1 有公共的焦点，并且双曲线的离心率 e1 与椭圆的 36 49 7 离心率 e2 之比为 ，求双曲线 C1 的方程． 3 2 （2）以抛物线 y = 8 x 上的点 M 与定点 A(6, 0) 为端点的线段 MA 的中点为 P，求 P 点的轨迹方 程．
的轨迹方程． 解： （1）以 BC 所在的直线为 x 轴， BC 中点为原点建立直角坐标系．设 G 点坐标为 ( x，y ) ， 由 GC + GB = 20 ， 知 G 点的轨迹是以 B 、 C 为焦点的椭圆， 且除去轴上两点． 因 a = 10 ， c = 8 ， 有 b = 6 ，故其方程为
x2 y 2 x′ 2 y′ 2 + = 1( y ≠ 0 ) ．设 A( x，y ) ， G ( x′，y′) ，则 + = 1( y ′ ≠ 0 ) ． 100 36 100 36
意知： MF = MN ， 即动点 M 到定点 F 与定直线 x = −1 的距离相等，由抛物线的定义 知，点 M 的轨迹为抛物线，其中 F (1, 0 ) 为焦点， x = −1 为准线， ∴ 动点 R 的轨迹方程 为 y = 4x （2）由题可设直线 l 的方程为 x = k ( y − 1)( k ≠ 0) ，
10 3 的椭圆. （9 分） 3
⎩ y = 4x △ = 16k 2 − 16 > 0 ， k < −1或k > 1 设 P ( x1 , y1 ) ， Q( x 2 , y 2 ) ，则 y1 + y 2 = 4k ， y1 y2 = 4k ��� � ���� ��� � ���� 由 OP ⋅ OQ = 0 ，即 OP = ( x1 , y1 ) ， OQ = ( x2 , y2 ) ，于是 x1 x2 + y1 y2 = 0 ，
（ 1 ） 解 ： C1 的 焦 点 坐 标 为 (0, ± 13). e2 =
即 AB − AC = 6
（*）
∴点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为
x2 y2 − = 1 （x>3） 9 16
13 e 7 13 由 1 = 得 e1 = 设双曲线的方程为 7 e2 3 3
即 k 2 ( y1 − 1)( y2 − 1) + y1 y2 = 0 ， ( k 2 + 1) y1 y2 − k 2 ( y1 + y2 ) + k 2 = 0 ，
由⎨
⎧ x = k ( y − 1)
2
得 y 2 − 4ky + 4k = 0
设 l：y = k ( x − 1) ，l与双曲线交于 P ( x1 ，y1 ) 、Q ( x 2 ，y 2 )
点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点 M（-4，1）分别射向直线 y= -2 上两点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2）后，
⎧ a 2 + b 2 = 13 y2 x2 y2 x2 ⎪ 2 2 2 2 − = 1( a , b > 0) 则 解得 a = 9, b = 4 双曲线的方程为 − =1 ⎨ a + b 13 a2 b2 9 4 = ⎪ 2 ⎩ a 9
x2 y2 1 反射光线恰好通过椭圆 C ： 2 + 2 = 1 （a>b>0）的两焦点，已知椭圆的离心率为 ，且 2 a b 6 x2-x1= ，求椭圆 C 的方程. 5 x2 y2 解 ： 设 a =2 k ， c = k ， k ≠ 0 ， 则 b = 3 k ， 其 椭 圆 的 方 程 为 − =1. 4k 2 3k 2 0+2 1 − (−2) 由题设条件得： = ， ① − k − x1 − 4 − x1 0+2 1 − (−2) = ， ② − k − x2 − 4 − x2 6 x2-x1= ， ③ 5 11 x2 y2 由①、②、③解得：k=1，x1= − ，x2=-1，所求椭圆 C 的方程为 + = 1. 5 4 3 1 4、在面积为 1 的 ∆PMN 中， tan M = ， tan N = −2 ，建立适当的坐标系，求出以 M 、 N 为 2 焦点且过 P 点的椭圆方程． 解：以 MN 的中点为原点， MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标 系，设 P ( x , y ) ． 5 ⎧ ⎧ y x= ⎪ x − c = −2, ⎪ 5 2 ⎪ 3c 则 ⎪ ∴ ⎨ 即 P( , ) ∴ 1 ⎪ y = , 2 3 3 ⎨ ⎪y = 4 c且c = 3 2 ⎪x+c ⎪ 2 ⎩ 3 ⎪ cy = 1 .
10、已知椭圆 求∠F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）证法一：设点 P 的坐标为 ( x, y ). 由 P ( x, y ) 在椭圆上，得
7、 设双曲线
∵ c 2 = a 2 + 3， ∴ a = 1，c = 2
1 ⎧ m+ ×4 ⎪ 2m + 4 2 3x − 4 ⎧ = ⎪x = m= 1 3 ⎪ ⎪ 1 ⎪ 1+ 2 ，∴点 P 的坐标为 为 ，由定比分点坐标公式可得 ⎪ ，即 ⎨ 2 ⎨ 2 ⎪n = 3 y 1 ⎪ n + ×0 ⎪ ⎩ 2 2n ⎪y = 2 = ⎪ 1 3 1+ ⎪ ⎩ 2
⎧ ′ x x = ， 2 ⎪ y2 ⎪ 3 代入①，得 的轨迹方程为 x ①由题意有 ⎨ A + = 1( y ≠ 0) ，其轨迹是椭圆（除去 x y 900 324 ⎪ y′ = ⎪ 3 ⎩
轴上两点） ． （2）分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径） ，可 转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=
∴ 双曲线方程为y 2 −
x2 3 = 1 ，渐近线方程为 y = ± x 3 3
4分
（II）设 A ( x1 ， y1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，AB 的中点 M x，y
(
)
∵ 2| AB| = 5| F1 F2 | ∴| AB| = 5 5 | F1 F2 | = × 2c = 10 2 2
∴ 所 求 椭 圆 方 程 为
3 sinA 5
2RsinC-2RsinB=
3 ·2RsinA 5
4x y + =1 15 3
2
2
⎪ ⎩
∴ AB − AC =
3 BC 5
4 ⎧ 25 + 2 = 1, ⎧ 2 15 2 ⎪ ⎪12a 3b ⎪a = , 得⎨ 4 ⎨ 3 2 2 2 ⎪a − b = , ⎪b = 3. ⎩ ⎪ 4 ⎩
→ → ∵ OP · OQ = 0 ∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 ( x1 − 1)( x 2 − 1) = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 [ x1 x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1] = 0 (i )
4k (k + 1) − k i4k + k = 0 ，解得 k = −4 或 k = 0 （舍去） ， 又 k = −4 < −1 ， ∴ 直线 l 存在，其方程为 x + 4 y − 4 = 0
∴k 不存在，即不存在满足条件的直线 l .
x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F1（－c，0） 、F2（c，0） ，Q 是椭圆 a2 b2 外的动点，满足 | F1Q |= 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足 c （Ⅱ）求点 T 的轨 PT ⋅ TF2 = 0, | TF2 |≠ 0. （Ⅰ）设 x 为点 P 的横坐标，证明 | F1 P |= a + x ； a 迹 C 的方程； （Ⅲ）试问： 在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M， 使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在，
2
2
2
∴ ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 = 10 3 3 x1 ，y 2 = − x 2 ， 2 x = x1 + x 2 ， 2 y = y1 + y 2 3 3 3 3 ∴ y1 + y 2 = ( x 1 − x 2 ) ，y 1 − y 2 = ( x1 + x 2 ) 3 3 又y1 = ∴
2 2 2
⎧ y = k ( x − 1) ⎪ 由⎨ 2 x 2 得 (3k − 1) x 2 − 6k 2 x + 3k 2 − 3 = 0 y − =1 ⎪ 由（i） （ii）得 k 2 + 3 = 0 3 ⎩ 6k 2 3k 2 − 3 则x1 + x 2 = 2 ，x1 x 2 = 2 (ii ) 3k − 1 3k − 1