讲义-多边形及角度计算
多边形及其内角及讲义学生用
多边形内角和第一部分知识点回首定义：由三条或三条以上的线段首位按序连结所构成的关闭图形叫做多边形。
凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
分类2：多边形非正多边形：多边形的定理1、 n 边形的内角和等于180 °（ n-2）。
2 、随意凸形多边形的外角和等于360 °。
3、 n 边形的对角线条数等于1/2·n（ n-3）只用一种正多边形：3、4、 6/ 。
镶嵌拼成360 度的角只用一种非正多边形（全等）：3、 4。
知识点一：多边形及有关观点1、多边形的定义：在同一平面内。
多边形的分类：不叫三边形2、镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完整覆盖，往常把这种问题叫做用多边形覆盖平面 (或平面镶嵌 )。
这里的多边形能够形状同样，也能够形状不同样。
实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰巧等于360°；相邻的多边形有公共边。
3、常有的一些正多边形的镶嵌问题：(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；极点公用；在一个极点处各正多边形的内角之和为360°。
(2)只用一种正多边形镶嵌地面：只有正三角形、正方形、正六边形的地砖能够用。
注意：随意四边形的内角和都等于 360°。
因此用一批形状、大小完整同样但不规则的四边形地砖也能够铺成无缝隙的地板，用随意同样的三角形也能够铺满地面。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上面长相等的正多边形组合成平面图形，重点是有关正多边形“交接处各角之和可否拼成一个周角”的问题。
比如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都能够作平面镶嵌。
第二部分经典习题种类一：多边形内角和及外角和定理应用1．一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍，它是几边形【变式【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为2】一个多边形除了一个内角外，其他各内角和为1800 °，求这个多边形的边数.2750°，求这个多边形的内角和是多少.【变式3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。
四边形和多边形内角和讲义
四边形，多边形的内角和重点：多边形的内角和定理和外角和定理难点：多边形内角和定理的证明；多边形内角和定理和外角和定理的灵活运用1、知识讲解1. 多边形（包括四边形）的定义：在同一平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
这里所说的多边形都是凸多边形，即该多边形完全处在其任何一边所在直线的同侧。
反之就称为凹多边形。
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2. 多边形（包括四边形）的对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
n边形共有条对角线。
连结多边形的对角线是一种常见的辅助线3. 多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）·180°。
定理证明的基本思路是要把问题转化为三角形的内角和问题。
4. 多边形外角和定理：n边形的外角和为360°。
5. n边形的内角中最多有3个是锐角2、例题分析例1已知：四边形的四个内角度数为1：2：3：4，求各内角的度数。
解：设四个内角的度数分别为x，2x，3x，4x，根据题意得：x+2 x+3x+4 x=360°解得：x=36，∴2x=72，3x=108，4x=144答：四边形各内角度数分别为36°，72°，108°，144°例2如图：四边形ABCD中，∠B=90°，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，求∠BAD的度数。
解：连结AC∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1∴设AB=BC=2K，CD=3K，DA=K∵∠B=90°，AB=BC=2K∴AC2=AB2+BC2=8K2（勾股定理）∠BAC=∠BCA=45°（等边对等角）∵AC2+AD2=9K2，CD2=9K2∴AC2+AD2=CD2∴∠CAD=90°（勾股定理的逆定理）∴∠CAD=90°∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=135°例3一个多边形的内角和是720°，求这个多边形的边数。
初二数学经典讲义 多边形(提高)知识讲解
多边形（提高）知识讲解【学习目标】1.理解多边形的概念；2.掌握多边形内角和与外角和公式；3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。
如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为(3)2n n；(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．知识点二、多边形内角和定理n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；凸多边形凹多边形(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nng°；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明．按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝。
初中数学知识归纳多边形内角和外角的性质和计算
初中数学知识归纳多边形内角和外角的性质和计算多边形是初中数学中常见的几何图形之一，它具有许多有趣的性质。
本文将归纳多边形内角和外角的性质，并介绍如何计算它们。
一、多边形内角的性质多边形的内角指的是多边形中任意两条边之间的夹角。
多边形内角的性质如下：1. 三角形内角和为180度三角形是最简单的多边形，它的内角和为180度。
无论是等边三角形、等腰三角形还是普通三角形，它们的内角和都是180度。
2. 正多边形内角和的计算方法对于正多边形，它的每个内角都是相等的。
正n边形的内角和可以通过公式计算：(n - 2) × 180度。
3. 一般多边形内角和的计算方法对于一般多边形，我们可以将其分割成n个三角形，并利用三角形内角和为180度的性质来计算多边形的内角和。
例如，四边形可以分割为2个三角形，五边形可以分割为3个三角形，以此类推。
二、多边形外角的性质多边形的外角指的是在多边形外部、与多边形某一条边相邻但不共线的两条边所形成的角。
多边形外角的性质如下：1. 三角形的外角等于其对应的没有公共顶点的内角对于三角形ABC，它的外角∠D等于角∠BAC。
这是因为∠D和∠BAC互为补角，补角等于180度。
2. 正多边形的外角等于360度除以边数对于正多边形，它的每个外角都是相等的。
正n边形的外角可以通过公式计算：360度/ n。
3. 一般多边形外角和的计算方法一般多边形的外角和为360度。
我们可以通过画出所有边的外角，并将它们相加来验证这一性质。
三、多边形内角和外角的计算在计算多边形的内角和外角时，我们需要注意以下几点：1. 当已知正多边形的内角和时，可以利用公式 (n - 2) × 180度计算n边形的内角和。
2. 当已知正多边形的外角时，可以利用公式 360度/ n 计算n边形的外角。
3. 当已知一般多边形的内角时，可以通过将多边形分割为若干个三角形，利用三角形内角和为180度的性质，相加计算多边形的内角和。
多边形的内角和外角计算
多边形的内角和外角计算多边形是几何学中的重要概念，它由若干条边和相应的顶点组成。
在研究多边形的性质时，我们经常会遇到内角和外角的计算问题。
本文将介绍多边形内角和外角的定义和计算方法。
一、多边形的内角和外角定义多边形的内角是指由多边形的两条边所夹角度，而外角是指多边形内一条边的延长线和下一条边所夹角度。
二、多边形内角和外角的计算方法1. 内角的计算方法：对于n边形，内角和的计算公式为：(n-2)×180°。
例如，三角形的内角和为(3-2)×180°=180°，四边形的内角和为(4-2)×180°=360°。
2. 外角的计算方法：外角和的计算公式为360°。
每个外角可通过360°除以n来得到。
例如，对于正五边形，每个外角为360°/5=72°。
三、多边形内角和外角的举例说明1. 三角形的内角和：三角形是最简单的多边形，由三条边和三个顶点组成。
根据前述计算方法，三角形的内角和为180°。
2. 四边形的内角和：四边形是常见的多边形，例如矩形、正方形和平行四边形等。
根据前述计算方法，四边形的内角和为360°。
3. 五边形的内角和和外角：五边形是一种五边形多边形，常见的有正五边形和不规则五边形。
根据前述计算方法，五边形的内角和为540°，每个外角为72°。
四、多边形内角和外角计算的意义1. 内角和：多边形的内角和是多边形几何性质的重要指标，它能反映出多边形的形状和结构。
通过计算多边形的内角和，我们可以判断多边形是凸多边形还是凹多边形，并进一步研究多边形的各种性质和规律。
2. 外角和：多边形的外角和也是多边形几何性质的重要指标，它与内角和之间存在着一定的数学关系。
通过计算多边形的外角和，我们可以推导出内角和与外角和的关系公式，并应用于解决复杂的多边形计算问题。
北师大版八年级数学下册多边形及其角计算 讲义word版
也。
者未闻有以家待之者国者未闻有以国待之者也，失其家失去家贵者安”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富敢骄人！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则。
失其乎？贫，谓子伏谒。
子击出，遭田子方于道，下车子方不为礼。
子击怒方曰：“富贵者骄人贱者骄人乎？学科：数学专题：多边形及其角度计算xx 主讲教师：重难点易错点解析题一那么这个多边形的边数是多少？140°，题面：题面：已知，一个凸多边形的每一个内角都是内角和是多少？外角和是多少？每一个顶点出发有多少条对角线？共有多少条对角线？边形：n n2) °(内角和=180 °外角和=360n3每一个顶点出发的对角线=??3nn? =对角线总条数2正多边形：边长相等、内角相等金题精讲题一初中生物教案、试题、试卷 - 1 -也。
待之者失其家者未闻有以家者也，大夫而骄人则失去家。
失其国者未闻有以国待之去国；敢骄人亦贫贱贱者骄方曰：子方不遭田子子击出，方于道，下车伏谒。
为礼。
子击怒，谓子“富贵者骄人乎？贫人乎？”子方曰：“者骄人耳！富贵者安！国君而骄人，则失下列拼法中不能镶嵌成一正方形和正六边形纸片若干张，题面：现有边长相同的正三角形、）个平面图案的是（．正方形和正六边形A B．正三角形和正方形 C．正三角形和正六边形．正三角形、正方形和正六边形D镶嵌问题题二题面：下图是为某机器人编制的一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为m.初中生物教案、试题、试卷 - 2 -也。
有以家待之者国待之者也，失其家者未闻失去家！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则。
失其国者未闻有以贵者安曰：“乎？贫，谓子伏谒。
子击出，遭田子方于道，下车子方不为礼。
子击怒方曰：“富贵者骄人贱者骄人乎？”子方亦贫贱者骄人耳！富敢骄人多边形外角和题三题面：. 倍，则这个多边形的内角和是一个多边形对角线的条数等于边数的5(1). 150°，那么这个多边形的对角线数目是(2)一个多边形的每一个内角都等于ppnm则边边形有(3)过边形的一个顶点有4条对角线，边形没有对角线，条对角线，pnm. )数为(+的正多边形每一个内角的度数是初中生物教案、试题、试卷- 3 -也。
多边形的边数与角数的计算
多边形的边数与角数的计算多边形是指由若干条边和角组成的几何图形。
在数学中，我们经常需要计算多边形的边数与角数。
本文将就此问题展开讨论，从计算多边形边数和角数的公式入手，阐述其应用和意义。
一、多边形边数的计算多边形的边数可以通过以下公式计算得出：n = (n - 2) * 180° / α其中n表示多边形的边数，α表示每个内角的度数。
以三角形为例，根据公式可得：n = (3 - 2) * 180° / α = 180° / α在等腰直角三角形中，α = 45°，则n = 180° / 45° = 4，也就是说，等腰直角三角形有4条边。
同样地，四边形的边数可以通过 n = (4 - 2) * 180° / α 计算得出，其中α为每个内角的度数。
对于矩形而言，其所有内角都是直角，即α = 90°，带入公式可得：n = (4 - 2) * 180° / 90° = 4，即矩形有4条边。
以此类推，我们可以根据上述公式计算出多边形的边数。
这对于几何学以及与多边形相关的其他学科具有重要意义，方便了多边形的分类和研究。
二、多边形角数的计算多边形的角数可以通过以下公式计算得出：n = (n - 2) * 180° / β其中n表示多边形的角数，β表示每个外角的度数。
以三角形为例，根据公式可得：n = (3 - 2) * 180° / β = 180° / β在等边三角形中，β = 60°，则n = 180° / 60° = 3，也就是说，等边三角形有3个角。
同样地，四边形的角数可以通过 n = (4 - 2) * 180° / β 计算得出，其中β为每个外角的度数。
对于矩形而言，其每个外角都为直角，即β = 90°，带入公式可得：n = (4 - 2) * 180° / 90° = 4，即矩形有4个角。
多边形的内角和外角
多边形的内角和外角多边形是几何学中常见的图形，由多个直线边构成，每个角由相邻两条边所夹。
本文将介绍多边形的内角和外角的性质和计算方法。
1. 多边形的内角和外角性质内角：指多边形内部两条边所夹的角度。
一般来说，n 边形（n边形是指有n条边的多边形）的内角和为 (n-2) * 180度。
例如，三角形的内角和为 (3-2) * 180 = 180度，四边形的内角和为 (4-2) * 180 = 360度。
外角：指多边形内部一条边的延长线与相邻边所夹的角度。
多边形的外角和等于360度，即各个外角的和等于360度。
这意味着每个外角都相等。
例如，三角形的外角和为360度，四边形的外角和也为360度。
2. 多边形内角和计算方法当已知多边形的边数 n 时，内角和可以通过以下公式计算：内角和= (n-2) * 180度。
举例：- 三角形的内角和 = (3-2) * 180度 = 180度- 四边形的内角和 = (4-2) * 180度 = 360度3. 多边形外角的计算方法多边形的外角和始终等于360度，即每个外角的度数相等。
当已知多边形的边数n 时，每个外角的度数可以通过以下公式计算：外角度数 = 360度 / n。
举例：- 三角形的外角度数 = 360度 / 3 = 120度- 四边形的外角度数 = 360度 / 4 = 90度4. 多边形内角和外角的应用多边形的内角和外角的性质在许多几何问题中有重要的应用。
- 在计算多边形的内角和时，我们可以通过已知内角和求解未知内角的方法来确定多边形内部的角度分布，从而帮助计算各种几何问题。
- 外角和的知识可以帮助我们计算多边形中某个顶点的外角度数，从而在解决几何问题时提供有效的信息。
5. 总结多边形的内角和是 (n-2) * 180度，每个内角的度数与多边形的边数n 有关。
多边形的外角和为360度，每个外角的度数等于 360度 / n。
多边形的内角和外角的性质和计算方法是解决几何问题中重要的基础知识。
多边形的内角和与外角和计算
多边形的内角和与外角和计算多边形是几何学中的重要概念，通常定义为一个有限数量的线段所组成的闭合图形。
多边形的内角和与外角和是计算多边形性质和特征的关键指标之一。
本文将介绍多边形的内角和与外角和的计算方法，并给出详细的推导过程。
1. 多边形的内角和多边形的内角是指多边形内部的角度，而多边形的内角和是指多边形内所有角度的总和。
对于一个n边形而言，它的内角和可以用以下公式来计算：内角和 = (n - 2) × 180度其中，n表示多边形的边数。
例如，一个三角形的内角和为180度，因为3-2=1，再乘以180度即得到结果。
同理，一个四边形的内角和为360度。
2. 多边形的外角和多边形的外角是指多边形每个内角的补角，即与该内角之和为180度的角。
多边形的外角和是指多边形外所有角度的总和。
对于一个n边形而言，它的外角和可以用以下公式来计算：外角和 = n × 180度例如，一个三角形的外角和为360度，因为3乘以180度即得到结果。
同理，一个四边形的外角和为720度。
3. 多边形内角和与外角和的关系多边形的内角和与外角和之间存在一个重要的关系，即它们的和等于多边形的总角和，也即360度：总角和 = 内角和 + 外角和这个关系可以通过代入前面的公式进行验证。
例如，对于一个四边形来说，它的内角和为360度，外角和为720度，两者相加等于1080度，而四边形的总角和也应为360度。
4. 计算实例为了更好地理解多边形的内角和与外角和的计算方法，我们可以通过一些实例进行演示。
例如，考虑一个六边形。
根据前述公式，六边形的内角和可以计算为：内角和 = (6 - 2) × 180度 = 4 × 180度 = 720度六边形的外角和可以计算为：外角和 = 6 × 180度 = 1080度将两者相加，得到总角和：总角和 = 720度 + 1080度 = 1800度验证结果表明，多边形的总角和等于360度，符合我们前面提到的关系。
多边形的内角和与外角和复习提高讲义
多边形的内角和与外角和复习提高讲义一、【基础知识精讲】1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。
2．多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°．3．多边形外角与外角和定理（1）多边形外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角．（2）多边形外角和：在多边形的每一个顶点处取多边形一个外角，它们的和，叫做多边形的外角和．（3）外角和定理：任意多边形的外角和等于360°．4．多边形的对角线(1)从n边形的一个顶点，可以引(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形．(2)n边形共有2)3(nn条对角线.5．多边形边数与内、外角和的关系(1) 多边形内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少；每增加一条边，内角和增加180°，反过来也成立．(2 ) 多边形外角和恒等于360°，与边数多少无关．6．正多边形：在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形．7．平面图形的密铺：（1）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌．（2）密铺需满足的条件是：在一个拼接点处有m个角，这些角的和应为360°（3）任意的正三角形、正四边形、正六边形都可密铺，其他正多边形都不能密铺．二、【例题精讲】例1 从多边形的一个顶点引对角线来探索多边形的内角和三角形（3边）四边形（4边）五边形（5边）六边形（6边）例2 从多边形的一条边上任意一点（除两端点外）与各顶点连线，总结多边形内角和，你会得到什么样的结论？三角形（3边）四边形（4边）五边形（5边）六边形（6边）例3 多边形内任意一点连接各顶点，总结多边形内角和，你会得到什么样的结论？三角形（3边）四边形（4边）五边形（5边）六边形（6边）例3：一个多边形的内角和为2520°，则多边形的边数为例4：一个正方形缺去一个角后内角和为多少度？例5：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？三、【课堂练习】一、选择题：1、若一个多边形的内角和等于7200，那么这个多边形是（）A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 七边形2、随着边数的增加，n边形的外角和的度数( )A. 不变B. 增加C. 减少D. 不一定3、一个多边形内角和是外角好的k倍，那么这个多边形的边数是（）A、kB、2k+1C、2k+2D、2k-2二、填空题1、如果一个多边形的每个内角都相等，且每个内角是它的邻补角的一半，则它的边数是 .2、若一个多边形的每一个外角都等于300，则它的内角和等于 .三、解答题如果一个多边形对角线的总条数是它边数的4倍，求这个多边形对角线的总条数。
多边形的性质与计算知识点总结
多边形的性质与计算知识点总结多边形是几何学中的重要概念，它们在各种数学问题和实际应用中都扮演着重要角色。
本文将总结多边形的性质与计算知识点，帮助读者深入理解和应用多边形的相关概念。
一、多边形的定义与性质1. 定义多边形是由一系列线段所组成的封闭图形，每条线段称为边，相邻两边的端点称为顶点。
2. 性质（1）多边形的内角和公式：任意n边多边形的内角和等于180°×(n-2)，即(180°×(n-2))/n。
（2）对角线的个数与边数的关系：n边多边形的对角线个数为n(n-3)/2。
（3）多边形的对称性：多边形具有旋转对称性和镜像对称性。
（4）多边形的面积：根据不同的多边形类型，面积计算方法也不同，如正多边形的面积可通过边长计算，而不规则多边形的面积需要通过分解为三角形或梯形等进行计算。
二、计算多边形的性质1. 计算多边形的内角和多边形的内角和可以通过下面的步骤计算：（1）设多边形的边数为n。
（2）将多边形分解为n-2个三角形，每个三角形的内角和为180°。
（3）将每个三角形的内角和相加，即可得到多边形的内角和。
2. 计算多边形的外角外角指的是多边形内角与其相邻内角的补角。
计算多边形的外角可以通过下面的公式得到：外角 = 360°/n3. 计算多边形的面积多边形的面积计算方法根据不同的多边形类型而异。
下面以几种常见的多边形为例进行介绍：（1）正多边形的面积：正n边形的面积可通过以下公式计算：面积 = (边长^2 × n) / (4 × tan(π/n))（2）不规则多边形的面积：不规则多边形的面积可以通过将其分解为多个三角形或梯形等进行计算，具体方法需要根据多边形的形状和给定的信息来决定。
4. 计算多边形的周长多边形的周长等于各边长度之和。
三、应用举例多边形的性质和计算方法在实际应用中具有广泛的应用。
以下是几个例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，多边形的概念与计算方法被用于测量和绘制建筑物的平面图，计算建筑物的面积和周长等。
多边形讲义
多边形知识点一：多边形及其有关概念(1)多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、六边形、……由n条线段组成的多边形就叫做n边形．如图，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE.三角形是最简单，边数最少的多边形.(2)多边形的边：组成多边形的线段叫做多边形的边．(3)多边形的内角、外角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，也称为多边形的角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图，∠B，∠C，∠D，…是五边形的内角，∠1是五边形的外角．(4)多边形的对角线：①定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图，AC，AD 就是五边形ABCDE中的两条对角线．②拓展理解：一个n边形从一个顶点可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形．一个n边形一共有n (n －3)2条对角线．(5)凸多边形和凹多边形：①在图(1)中，画出四边形ABCD 的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；②在图(2)中，画出DC (或BC )所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，我们称这个四边形为凹四边形，像这样的多边形称为凹多边形．【例1】 填空：(1)十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(2)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．变式1：过n 边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是( )．A ．8B ．9C ．10D ．11变式3：一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和．知识点二：正多边形(1)定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．如等边三角形、正方形等．(2)特点：不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形．如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形．注：正多边形外角的特征 因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等．【例2】 下列说法正确的个数有( )．(1)由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形； (2)各边都相等的多边形是正多边形； (3)各角都相等的多边形一定是正多边形；(4)正多边形的各个外角都相等．知识点三：多边形的内角和(1)公式：n边形内角和等于(n－2)×180°.(2)探究过程：如图，以五边形、六边形为例．①从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，五边形的内角和等于180°×3＝540°；②从六边形的一个顶点出发，可以画3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，六边形的内角和等于180°×4＝720°；③从n边形的一个顶点出发，可以画(n－3)条对角线，它们将n边形分成(n－2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n－2)．所以多边形内角和等于(n－2)×180°.(3)应用：①运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和；②由多边形内角和公式可知，边数相同的多边形内角和也相等，因此已知多边形内角和也能求出边数．【例3】选择：(1)十边形的内角和为( )．A．1 260° B．1 440°C．1 620° D．1 800°(2)一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有( )．A．6条 B．7条C．8条 D．9条（3）多边形的每一个内角都是150°，则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是( )．A．7 B．8 C．9 D．10变式1：若一个四边形的四个内角度数的比为3∶4∶5∶6，则这个四边形的四个内角的度数分别为__________．变式2：一个多边形的内角和等于1 440°，则它的边数为__________．变式3：一个多边形的内角和不可能是( )．A．1 800° B．540°C．720° D．810°知识点四：多边形的外角和(1)公式：多边形的外角和等于360°.(2)探究过程：如图，以六边形为例．①外角和：在每个顶点处各取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它们的和为外角和．②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°×6＝1 080°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝1 080°－180°×(6－2)＝360°.③n边形外角和＝n×180°－(n－2)×180°＝360°.(3)拓展理解：①多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．②多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和．【例4】填空：(1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度，外角和是__________度；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，外角和增加__________．变式1：如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝__________.变式2：如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且∠B＋∠ADC＝140°，则∠1＋∠2等于( )．A．140° B．40°C．260° D．不能确定变式3：在多边形的内角中，锐角的个数不能多于( )A．2个B．3个C．4个D．5个知识点五：正多边形知识的应用正多边形是特殊的多边形，它特殊在每一个内角、外角、每一条边都相等，所以在正多边形中，只要知道一个角的度数，就能知道所有角的度数，包括每一个外角的度数．知道一边的长度，就能知道每一边的长度．因此它的应用主要包括两个方面：(1)已知内角(或外角)能求边数、内角和；已知边数能求每一个外角(或内角)的度数及内角和，即在内角和、边数、内角度数、外角度数四个量中知道一个量就能求出其他三个量．(2)因为正多边形每一条边都相等，所以知道周长能求边长，知道边长能求周长(因较简单所以考查较少)．【例5】若八边形的每个内角都相等，则其每个内角的度数是__________．变式1：一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是__________，它的内角和是__________．变式2：一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数．知识点六：将多边形截去一个角问题的探讨在多边形问题中，有一类问题是将多边形截去一个角后，探讨多边形边数变化和内角和变化的问题．在这类问题中，因截法不同，会出现不同的变化，现以四边形为例加以说明．如图所示，将正方形的桌面截去一个角，那么余下的多边形的内角和度数将怎样变化？因截法有三种情况，所以内角和也就有三种情况：(1)当是图①所示情况时，不过任何一个顶点，四边形变为五边形，边数增加1，所以内角和为540°.(2)当是图②所示情况时，过一个顶点，四边形边数不变，所以内角和也不变，为360°.(3)当是图③所示情况时，过两个顶点，四边形变为三角形，边数减少1，所以内角和也变为180°.【例6】一个多边形截去一个角后，变为十六边形，则原来的多边形的边数为( )．A．15或17 B．16或17C．16或18 D．15或16或17变式1：一个多边形截去一个角(截线不过顶点)之后，所形成的一个多边形的内角和是2 520°，那么原多边形的边数是( )．A．13 B．15 C．17 D．19变式2：如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2 880°，那么原来的多边形的边数是( )．A．10 B．9 C．8 D．7知识点七：多边形内角和少算或多算一个角类型题目探索因为多边形的边数只能是整数，由多边形内角和公式(n－2)×180°可知，n－2是正整数，所以多边形的内角和必定是180°的整数倍，因此：①当所给内角和是多计算一个角的情况时，用所给内角和除以180°，因为多加的角大于0°小于180°，所以得到的余数部分就是多加角的度数，得到的整数部分加2就是边数；②当所给内角和是少计算一个角的情况时，因为少加了角，所以得到的整数部分加2比实际的角个数少1，所以用所给内角和除以180°，整数部分加3才是边数，180°减余数部分就是少加的角的度数．破疑点多边形内角和与边数的关系内角和除以180°所得到的整数并不是边数(或角的个数)n，而是n－2的值，所以得到的整数加2才是边数，这是易错点，要注意．【例7】一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为2 670°，求这个多边形的边数和少加的内角的大小．变式：若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数及内角和．知识点八：平面镶嵌1.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行________，彼此之间不留空隙、不_______地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌.2. 取一些形状、大小相同的多边形也可以作平面镶嵌，此时要求以其中一个顶点处的各个内角之和为__________.例8：（2009年广州市）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）（A）正十边形（B）正八边形（C）正六边形（D）正五边形注：只用同一种正多边形能够进行密铺的，只有三种正多边形，即正三角形、正方形、正六边形．变式1：如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指钝角）是___度．变式2：（1）如果用三种正多边形地砖镶嵌地面，一个顶点处已有一个正方形和一个正六边形地砖，则还需一个正__________边形地砖．（2）用正三角形与正方形两种图案作平面镶嵌，设在一个顶点周围有a个正三角形和b 个正方形，则a＝__________，b＝__________．【随堂检测】1．若多边形的边数由3增加到n(n是正整数，且大于3)，则其外角和的度数( )(A)增加(B)减少(C)不变(D)不确定2．一个多边形共有5条对角线，这个多边形内角和等于( )(A)360°(B)540°(C)720°(D)900°3.已知一个多边形的内角和与外角和的比为9:2，则它的边数是_____．4．一个凸n边形除了一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个内角等于( ) A．90°B．15°C．120°D．130°5．不能够铺满地面的正多边形的组合是（）Ａ．正三角形与正方形Ｂ．正五边形与正十边形Ｃ．正六边形与正三角形Ｄ．正六边形与正八边形6、一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n表示)及n的值.【课后强化练习】一、选择题1. 一个多边形的每个内角都等于120°，这个多边形的边数为（）条A. 5B. 6C. 7D. 82. 用正四边形一种图形进行平面镶嵌时，它在一个顶点周围的正四边形的个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1260°，那么它的一个外角为（）A. 30°B. 36°C. 40°D. 45°4. 多边形的内角和不可能是（）A. 810°B. 540°C. 1800°D. 180°5. 如果多边形的边数增加1，则多边形的内角和、外角和分别（）A. 增加180°，增加180°B. 不变，增加180°C. 不变，不变D. 增加180°，不变6. 能够铺满地面的正多边形组合是（）A. 正八边形和正方形B. 正五边形和正十边形C. 正四边形和正六边形D. 正四边形和正七边形*7. 在n边形一边上取一点与各顶点相连，可得三角形的个数为（）A. n个B. （n－2）个C. （n－1）个D. （n＋1）个*8. 过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形，这个多边形的边数为（）条A. 9B. 10C. 11D. 12二、填空题9. 在正六边形ABCDEF中，∠A＝120°，AB＝2cm，则∠D＝__________，DE＝__________．10. 一个正多边形的每个外角都是72°，则这个多边形是__________边形．11. n（n为整数，且n≥3）边形的内角和比（n＋1）边形的内角和小__________度．12. 从n边形的一个顶点出发共引出了5条对角线，则这个n边形是__________边形，这5条对角线把n边形分成了__________个三角形．*13. 如果用三种正多边形地砖镶嵌地面，一个顶点处已有一个正方形和一个正六边形地砖，则还需一个正__________边形地砖．**14. 用正三角形与正方形两种图案作平面镶嵌，设在一个顶点周围有a个正三角形和b 个正方形，则a＝__________，b＝__________．三、解答题15. 若一个多边形的各边都相等，周长为63，且内角和为900°，求它的边长．16. 如图所示，（1）四边形共有__________条对角线，五边形共有__________条对角线，六边形共有__________条对角线；（2）你能说出七边形共有多少条对角线吗？（3）由（1）、（2），请猜想n边形的对角线的总条数，说说你的理由．四边形五边形六边形*17. 将五边形截去一个角后所得的多边形有几条对角线？*18. 小军在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现是少加了一个内角，求：（1）这个多边形是几边形？（2）这个内角是多少度？四、拓广探索**19. （1）填表：正多边形3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数…（2）如果限用一种正多边形进行平面镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ （3）从正三角形、正四边（方）形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出这两种不同的正多边形进行平面镶嵌的草图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形，说明你的理由．参考答案一、选择题 1. B2. C二、填空题9. 120°，2cm 10. 正五11. 180三、解答题15. 解：设该多边形有n 条边，则（n －2）×180°＝900°，解得n ＝7．因为63÷7＝9，所以这个多边形的边长为9．16. 解：（1）2，5，9（2）14．因为过七边形的一个顶点可引4条对角线，故过7个顶点可引28条对角线，由于每条对角线均重复计算一次，所以七边形共有14条对角线（3）n 边形共有（n －3）×n2条对角线，理由与（2）类似．17. 解：因为将五边形截去一个角后可能得到四边形、五边形、六边形三种（如图所示）多边形．当得到四边形时，有12×4×（4－3）＝2条对角线；当得到五边形时，有12×5×（5－3）＝5条对角线；当得到六边形时，有12×6×（6－3）＝9条对角线．18. 解：（1）设这是一个n边形，则（n－2）·180°＝1125°，n＝8.25，故这个多边形是九边形；（2）135°．设这个内角为x°，则（9－2）×180°＝1125°＋x°，解得x＝135．。
多边形的角度和公式
多边形的角度和公式多边形，这在咱们的数学世界里可是个常见的“小伙伴”。
从小学开始，咱们就和各种多边形打交道啦。
就说我曾经教过的一个小朋友，叫明明。
有一次上课，我刚提到多边形，他那小眼睛就瞪得溜圆，满是好奇。
我在黑板上画了一个三角形，问大家：“谁知道这个三角形的内角和是多少呀？”明明马上抢答：“老师，我知道，是180 度！”我笑着点点头，接着又画了一个四边形。
这下子，孩子们都有点懵了。
咱们来说说多边形的角度和公式。
对于三角形，内角和就是180 度，这个大家都比较清楚。
那四边形呢？咱们可以把四边形分割成两个三角形，这样就能算出四边形的内角和是 360 度。
再比如五边形，咱们可以通过连接对角线的方法，把五边形分成三个三角形，所以五边形的内角和就是 540 度。
依此类推，咱们就可以总结出多边形内角和的公式啦，那就是：(n - 2)×180°，这里的 n 表示多边形的边数。
这个公式看着简单，可对于刚开始学的小朋友来说，理解起来还真不容易。
就像明明，一开始总是弄混。
有一次做作业，他把六边形的内角和算成了 540 度。
我就问他：“明明，你想想咱们怎么算的呀？”他抓抓脑袋，突然一拍手：“哎呀老师，我忘了把六边形分成三角形啦！”后来，经过反复练习，明明终于熟练掌握了。
在实际生活中，多边形的角度和公式也很有用呢。
比如说建筑师在设计房屋的时候，就得考虑多边形的角度，不然房子的结构可就不稳固啦。
还有咱们常见的地砖，很多也是多边形的，如果不知道角度和，怎么能铺得整整齐齐呢？学习多边形的角度和公式，就像是打开了一扇通往奇妙数学世界的门。
虽然过程中可能会遇到像明明那样的小迷糊时刻，但只要咱们多思考、多练习，就能轻松搞定。
所以呀，同学们，别害怕这些看起来有点复杂的公式，只要用心，咱们都能和多边形成为好朋友，玩转角度和！。
多边形的角度计算
多边形的角度计算一个多边形是由若干个直线边和顶点组成的图形。
在数学中，我们常常需要计算多边形的各个角度，以便进一步研究和解决相关的问题。
本文将介绍多边形的角度计算方法，并以实例进行说明。
一、三角形的角度计算三角形是最简单的多边形，它由三条边和三个顶点组成。
设三角形的三个角分别为A、B、C（以顶点为标记），对应的边长为a、b、c。
根据三角形的性质，我们可以得到以下结论：1. 内角和定理（角度和为180°）：A + B + C = 180°这个结论是三角形的基本性质，对任意三角形都成立。
2. 直角三角形：如果三角形中存在一个角为90°，即直角，那么另外两个角的和为90°。
3. 等腰三角形：如果三角形中两边相等（a = b），那么两个对应角也是相等（A = B）的。
4. 等边三角形：如果三角形的三边都相等（a = b = c），那么三个角也是相等（A = B = C）的。
根据这些性质，我们可以通过给定的边长或已知角度计算三角形的其他角度。
二、四边形的角度计算四边形是由四条边和四个顶点组成的多边形。
常见的四边形有矩形、正方形、平行四边形等。
下面以矩形为例进行讨论。
1. 矩形：矩形是一种特殊的四边形，它的对角线相等且内角都为90°。
其中，相邻角互补（两个相邻角的和为180°），对角互补（两个对角的和为180°）。
2. 平行四边形：平行四边形的对边平行且相等。
其中，对边互补（两对对边的和为180°），相邻角互补（两个相邻角的和为180°）。
三、多边形的角度计算对于边数大于四的多边形，我们可以通过以下公式计算内角和：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n为多边形的边数。
通过这个公式，我们可以得知内角和与边数之间的关系。
同时，我们还可以通过以下公式计算每个内角的度数：每个内角度数 = 内角和 / n其中，n为多边形的边数。
多边形的性质边数和角度的关系
多边形的性质边数和角度的关系多边形是平面几何中的基本图形之一，由若干条边和相应的顶点构成。
在数学中，多边形的边数和角度数是其性质的重要指标，它们之间有着紧密的关系。
本文将深入探讨多边形的性质，并分析边数与角度之间的关系。
一、多边形的基本定义多边形是由若干条边和相应的顶点构成的平面图形。
多边形的边数至少为3条，每个顶点有两条边与之相交，每条边与下一条边构成一个内角。
多边形的边长表示边的长度，而内角表示两条相邻边所夹的角度。
二、正多边形正多边形是指所有边的长度相等且所有内角的度数相等的多边形。
常见的正多边形有正三角形、正四边形、正五边形等。
对于正多边形而言，边数与每个内角的度数之间存在一定的规律。
1. 正三角形（边数为3）正三角形是最简单的多边形，其边数为3。
由于正三角形的所有边长相等且每个内角均为60度，可得以下结论：- 边数为3，每个内角的度数为60度。
2. 正四边形（边数为4）正四边形是具有四个相等边长和四个直角的多边形。
由于正四边形的每个内角均为90度，可得以下结论：- 边数为4，每个内角的度数为90度。
3. 正五边形（边数为5）正五边形是具有五个相等边长和五个相等内角的多边形。
由于正五边形的每个内角为108度，可得以下结论：- 边数为5，每个内角的度数为108度。
三、一般多边形一般多边形指边数大于等于6的多边形，其特点是每个顶点的内角的度数之和为360度。
通过这一特点，我们可以得出一般多边形边数与每个内角度数的关系。
对于一般多边形而言，我们可以运用以下公式计算每个内角的度数：内角度数 = （边数 - 2） × 180度 ÷边数根据上述公式，我们可以得出以下结论：- 对于边数为6的多边形，每个内角的度数为120度。
- 对于边数为7的多边形，每个内角的度数为128.57度。
- 对于边数为8的多边形，每个内角的度数为135度。
- 对于边数为9的多边形，每个内角的度数为140度。
正多边形角度定理讲课稿
正多边形角度定理讲课稿1. 引言大家好，今天我将向大家介绍正多边形角度定理。
正多边形角度定理是几何学中的一个重要定理，它揭示了正多边形内角与边数之间的关系。
在这个讲课稿中，我们将详细介绍这个定理的证明以及它在实际问题中的应用。
2. 正多边形角度定理的定义首先，我们来定义一下正多边形角度定理。
正多边形角度定理是指：在一个正n边形中，每一个内角的度数等于(180°×(n-2))/n。
3. 正多边形角度定理的证明接下来，我们来证明这个定理。
证明方法有很多种，这里我为大家介绍一种较为直观的证明方法。
我们将正n边形分成n个三角形。
由于每个三角形的内角和为180°，所以这n个三角形的内角和总共为180°×n。
在这n个三角形中，有n-2个三角形的顶点位于正多边形的中心，这n-2个三角形的另外两个顶点分别位于正多边形的两个相邻顶点。
这n-2个三角形的内角和为180°×(n-2)。
由于这n-2个三角形的顶点都位于正多边形的中心，所以它们的顶点角都相等。
因此，我们可以得出正多边形中心角的度数为180°×(n-2)/n。
正多边形的每一个内角都可以看作是由一个中心角和一个顶点角组成的。
由于中心角的度数为180°×(n-2)/n，而正多边形的每一个顶点角都相等，所以正多边形的每一个内角的度数也等于180°×(n-2)/n。
4. 正多边形角度定理的应用了解了正多边形角度定理之后，我们来看一下它在实际问题中的应用。
问题1：一个正五边形的内角度数是多少？解答：根据正多边形角度定理，我们可以得出正五边形的内角度数为(180°×(5-2))/5=108°。
问题2：一个正六边形的内角度数是多少？解答：根据正多边形角度定理，我们可以得出正六边形的内角度数为(180°×(6-2))/6=120°。
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第三讲多边形及角度计算
（补充讲义）
Part1 三角形外角
【知识回顾】
1.外角：延长多边形的一边，与邻边的夹角就叫这个多边形的一个外角。
2.三角形的外角等于不相邻两个内角的和。
3.三角形内角和180°，外角和360°。
4.（1）按角分类
直角三角形
三角形锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
（2）按边分类
不等边三角形
三角形等边三角形
等腰三角形
底边和腰不等的等腰三角形
【涉及题型】
1.3个外角模型。
2.利用外角、内角求角度度数。
【精讲例题】
例1.【外角求角度】（1）如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）
A．15° B．20°C．25°D．30°
（2）如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数为（ ）
A ．180°
B ．360°
C ．540°
D ．720°
Part2多边形的认识
【知识回顾】
1.多边形内角和公式：180°·（n-2）。
2.多边形外角和：360°。
3.多边形对角线条数公式： 。
4.正多边形：每个内角都相等，每条边都相等的多边形叫正多边形。
【涉及题型】
1.内角与外角结合（设未知数求解）。
2.求不规则图形的角度（看外角、看内角）。
3.对角线
4.砍去与增加的角度问题
【精讲例题】
例2.【内角与外角结合】五边形中，前四个角的比为1：2：3：4，第五个角比最小角多100°，则五边形的五个内角分别为 °， °， °， °， 度．
例3.【求不规则图形的角度】如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G=（ ）度．
A ．540
B ．720
C ．360
D ．900
例4.【对角线】从n 边形一个顶点出发，可以作（ ）条对角线．
A ．n
B ．n ﹣1
C ．n ﹣2
D ．n ﹣3
例5.【砍去与增加角度问题】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A ．7
B ．7或8
C ．8或9
D ．7或8或9
23-n n ）（。