第11章 弯曲应力
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然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了一 个角度，这就是弯曲变形的平面假设。
3.单向受力假设：
假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单 向受拉或受压的状态。
平面假设
梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后
的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴
转动。
中性轴
中性层
Oz y
t,max
Myt,max Iz
c,max
Myc,max Iz
Ⅱ .纯弯曲理论的推广
横力弯曲时：
1、由于切应力的 存在梁的横截面发 生翘曲；
(2)横线仍为直线，并与 变形后的纵线保持正 交，只是横线间相对 转动。
mn aa
bb mn mn aa
bb mn
mn
aa
bb
C
mn
}
d
O1 dx O2
O1O2 d x d AB ( y)d
A
B1 B
——中性层的曲率半径
B1B B1B y AB1 O1O2
（二）物理方面——单轴应力状态下的胡克定律
1.梁的上下边缘处，弯曲正应力达到最大值，分别为：
Lmax
My1 ，
Iz
y m ax
My2 Iz
，|
|max
(Iz
M / ymax)
M Wz
式中：Wz——抗弯截面模量 对矩形和圆形截面的抗弯截面模量。
矩形： 圆形：
bh3
Wz
Iz h
12 h
bh2 6
2 d2 4
Wz
Iz d
64 d
d 3
32
正应力，因此我们还有必要考虑静力平衡关系。如图所示：横 截面上的微内力可组成一个与横截面垂直的空间平行力系，这 样的平行力系可简化成三个内力的分量：
N ——平行于x轴的轴力N
MZ——对Z轴的力偶矩
My——对y轴的力偶 矩
其中：
FN
dA
A
M y
z dA
A
M z
y dA
A
图6—6
第11章 弯曲应力
§11-1 平面弯曲的概念及实例
1.弯曲：
举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下 去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根 铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都 喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些 绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它 的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去 之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这 种形式的变形我们就称为弯曲变形。
E
A y dA 0 Sz 0
中性层通过截面形心。
z dA E
A
A yz dA 0 I yz 0
由于y轴是横截面的 对称轴，故自然满足。
由
1
M EIz
E y
M y Iz
(6—3)
其中： 1
是梁轴线变形后的曲率，EIz是梁的抗弯刚度。
上式即是纯弯曲时，梁横截面上正应力的计算公式。 （四）讨论：
(6—4) (6—5)
22
[注：各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到]
若梁的横截面对中性轴不对称，其最大拉压应力并不相等， 这时应分别进行计算。
2.横截面上正应力的分布规律：
min M
min M
3.公式适用范围： max
max
①适用于线弹性范围——正应力小于比例极限p； ②适用于平面弯曲下的纯弯曲梁；
称梁
4、平面弯曲（对称弯曲）
一般情况下，工程中受弯杆件的横截面都至少有一个通 过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵 向对称面。如下图，当作用于杆件的外力都在这个纵向对称 平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个 对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲 变形，简称为平面弯曲。 q
F
纵向对称面
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§11-2 弯曲正应力
F
F
a
l
a
FS
F
F Fa
x
纯弯曲
FS 0 M 常量
0 0
M
x
横力弯曲
FS 0
0
M M (x) 0
11-2-1 实验现象的观察与分析
纵向对称面
a
z(中性轴)
dA
y
由左半部分平衡可得：
FN
dA 0
A
A
dA
E
A y dA 0 Sz 0
M y
z dA 0
A
z
A
dA
E
A yz dA 0 I yz 0
M z
y dA
A
A
y
dA
E
y2 dA M 1 M
A
EIz
A
源自文库A
根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一 侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区， 中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为中 性层 。
中性层
中性轴
中性轴 中性层与横截面的交线就是中性轴。
11-2-2 正应力公式的推导
（一）几何方面
表面变形情况
(1)纵线弯成弧线，靠近 顶面的纵线缩短，而 靠近底面的纵线则伸 长；
③横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公式 的误差不大，但此时公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即 ：
M (x) y
Iz
目录
中性轴 z 为横截面的对称轴时 b
h
z
z
y
y
max
My m a x Iz
M Iz ymax
M Wz
称为弯曲截面系数
中性轴 z 不是横截面的对称轴时
yt，max yc，max
c
b
d
M
a
c
b
d
1、梁的纯弯曲实验
①横向线(a b、c d）变形
后仍为直线，但有转动； ②纵向线变为曲线，且上 缩下伸； M ③横向线与纵向线变形后 仍正交。 ④横截面高度不变。
对上面的实验结果进行判断和推理，我们就可以得出如下 的结论：
2.平面假设： 梁在变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，并仍
再如我们书中所举的火车轮轴的例子，也是一样的 情况。
2、定义： 当通过杆件轴线的纵向平面内作用一对等值、反 向的力偶时，杆件的轴线由原来的直线变为曲线，这种形式 的变形就称为弯曲。
3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对
不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状态。
当 <p，且拉、压弹性模量相同时，有
y
E E y
O z
x dA dA
z y
y
即直梁的横截面 上的正应力沿垂 直于中性轴的方 向按直线规律变 化。
（三）静力关系： 从式 E y 可知：我们虽然知道了正应力的分布规律，
但因曲率半径 和中性轴的位置尚未确定，所以仍不能求出
3.单向受力假设：
假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单 向受拉或受压的状态。
平面假设
梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后
的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴
转动。
中性轴
中性层
Oz y
t,max
Myt,max Iz
c,max
Myc,max Iz
Ⅱ .纯弯曲理论的推广
横力弯曲时：
1、由于切应力的 存在梁的横截面发 生翘曲；
(2)横线仍为直线，并与 变形后的纵线保持正 交，只是横线间相对 转动。
mn aa
bb mn mn aa
bb mn
mn
aa
bb
C
mn
}
d
O1 dx O2
O1O2 d x d AB ( y)d
A
B1 B
——中性层的曲率半径
B1B B1B y AB1 O1O2
（二）物理方面——单轴应力状态下的胡克定律
1.梁的上下边缘处，弯曲正应力达到最大值，分别为：
Lmax
My1 ，
Iz
y m ax
My2 Iz
，|
|max
(Iz
M / ymax)
M Wz
式中：Wz——抗弯截面模量 对矩形和圆形截面的抗弯截面模量。
矩形： 圆形：
bh3
Wz
Iz h
12 h
bh2 6
2 d2 4
Wz
Iz d
64 d
d 3
32
正应力，因此我们还有必要考虑静力平衡关系。如图所示：横 截面上的微内力可组成一个与横截面垂直的空间平行力系，这 样的平行力系可简化成三个内力的分量：
N ——平行于x轴的轴力N
MZ——对Z轴的力偶矩
My——对y轴的力偶 矩
其中：
FN
dA
A
M y
z dA
A
M z
y dA
A
图6—6
第11章 弯曲应力
§11-1 平面弯曲的概念及实例
1.弯曲：
举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下 去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根 铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都 喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些 绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它 的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去 之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这 种形式的变形我们就称为弯曲变形。
E
A y dA 0 Sz 0
中性层通过截面形心。
z dA E
A
A yz dA 0 I yz 0
由于y轴是横截面的 对称轴，故自然满足。
由
1
M EIz
E y
M y Iz
(6—3)
其中： 1
是梁轴线变形后的曲率，EIz是梁的抗弯刚度。
上式即是纯弯曲时，梁横截面上正应力的计算公式。 （四）讨论：
(6—4) (6—5)
22
[注：各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到]
若梁的横截面对中性轴不对称，其最大拉压应力并不相等， 这时应分别进行计算。
2.横截面上正应力的分布规律：
min M
min M
3.公式适用范围： max
max
①适用于线弹性范围——正应力小于比例极限p； ②适用于平面弯曲下的纯弯曲梁；
称梁
4、平面弯曲（对称弯曲）
一般情况下，工程中受弯杆件的横截面都至少有一个通 过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵 向对称面。如下图，当作用于杆件的外力都在这个纵向对称 平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个 对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲 变形，简称为平面弯曲。 q
F
纵向对称面
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§11-2 弯曲正应力
F
F
a
l
a
FS
F
F Fa
x
纯弯曲
FS 0 M 常量
0 0
M
x
横力弯曲
FS 0
0
M M (x) 0
11-2-1 实验现象的观察与分析
纵向对称面
a
z(中性轴)
dA
y
由左半部分平衡可得：
FN
dA 0
A
A
dA
E
A y dA 0 Sz 0
M y
z dA 0
A
z
A
dA
E
A yz dA 0 I yz 0
M z
y dA
A
A
y
dA
E
y2 dA M 1 M
A
EIz
A
源自文库A
根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一 侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区， 中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为中 性层 。
中性层
中性轴
中性轴 中性层与横截面的交线就是中性轴。
11-2-2 正应力公式的推导
（一）几何方面
表面变形情况
(1)纵线弯成弧线，靠近 顶面的纵线缩短，而 靠近底面的纵线则伸 长；
③横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公式 的误差不大，但此时公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即 ：
M (x) y
Iz
目录
中性轴 z 为横截面的对称轴时 b
h
z
z
y
y
max
My m a x Iz
M Iz ymax
M Wz
称为弯曲截面系数
中性轴 z 不是横截面的对称轴时
yt，max yc，max
c
b
d
M
a
c
b
d
1、梁的纯弯曲实验
①横向线(a b、c d）变形
后仍为直线，但有转动； ②纵向线变为曲线，且上 缩下伸； M ③横向线与纵向线变形后 仍正交。 ④横截面高度不变。
对上面的实验结果进行判断和推理，我们就可以得出如下 的结论：
2.平面假设： 梁在变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，并仍
再如我们书中所举的火车轮轴的例子，也是一样的 情况。
2、定义： 当通过杆件轴线的纵向平面内作用一对等值、反 向的力偶时，杆件的轴线由原来的直线变为曲线，这种形式 的变形就称为弯曲。
3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对
不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状态。
当 <p，且拉、压弹性模量相同时，有
y
E E y
O z
x dA dA
z y
y
即直梁的横截面 上的正应力沿垂 直于中性轴的方 向按直线规律变 化。
（三）静力关系： 从式 E y 可知：我们虽然知道了正应力的分布规律，
但因曲率半径 和中性轴的位置尚未确定，所以仍不能求出