6.2定积分性质

第六章 定积分及其应用

第2节定积分的性质

定积分性质

定积分性质

一、定积分性质1-5

证

[()()]d b a

f x

g x x

±⎰

i

i i n

i x g f ∆±=∑=→)]()([lim 1

0ξξλi i n

i x f ∆=∑=→)(lim 1

0ξλi

i n

i x g ∆±∑=→)(lim 1

0ξλ()d b a

f x x =

⎰

()d .

b

a

g x x ±⎰（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况）

性质1

证

()d b a

kf x x ⎰

i

i n

i x kf ∆=∑=→)(lim 1

0ξλi i n

i x f k ∆=∑=→)(lim 1

ξλi

i n

i x f k ∆=∑=→)(lim 1

0ξλ()d .

b

a

k f x x =⎰性质2

补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.c b a ,,例 若,

c b a <<()

d c a

f x x ⎰

()d ()d b c

a

b

f x x f x x

=

+⎰

⎰()d b a

f x x ⎰

()d ()d c c

a b

f x x f x x

=

-⎰⎰()d ()d .

c

b

a

c

f x x f x x =

+⎰

⎰（定积分对于积分区间具有可加性）

则

假设b

c a <<性质3

证

,0)(≥x f ,0)(≥ξ∴i f ),,2,1(n i =,

0≥∆i x ,

0)(1

≥∆ξ∴

∑=i i n

i x f }

,,,max{21n x x x ∆∆∆= λi i n

i x f ∆∴∑=→)(lim 1

0ξλ()d 0.

b

a

f x x =≥⎰性质4

性质5如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，

解

令,

)(x e x f x

-=]

0,2[-∈x ,0)(>x f 02

()d 0,

x

e x x -∴

->⎰

02

d x

e x -∴

⎰

02

d ,

x x ->⎰于是

20

d x

e x -⎰

20

d .

x x -<

⎰

性质5的推论：

证

),()(x g x f ≤ ,

0)()(≥-∴x f x g [()()]d 0,b

a g x f x x ∴

-≥⎰()d ()d 0,

b

b

a

a g x x f x x -≥⎰

⎰如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，

（1）

)

(b a <证,

)()

()(x f x f x f ≤≤- ()d ()d ()d ,

b b b

a

a

a

f x x f x x f x x ∴-≤≤⎰⎰⎰说明： 可积性是显然的.

|)(x f |在区间],[b a 上的性质5的推论：（2）

定积分性质

二、定积分性质6-7

设M 及m 分别是函数

证,

)(M x f m ≤≤ d ()d d ,b

b b a a a

m x f x x M x ∴≤≤⎰⎰⎰()()d ().

b

a m

b a f x x M b a -≤≤-⎰

（此性质可用于估计积分值的大致范围）

)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，性质6

解,sin 31)(3x

x f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x 3000111d d ,4

33sin x x x x π

ππ≤≤+⎰⎰⎰301d .433sin x x

π

ππ∴≤≤+⎰

解,sin )(x x x f =2sin cos )(x x x x x f -='2)tan (cos x

x x x -=]2

,4[ππ∈x ,0<)(x f 在]2

,4[ππ上单调下降,故4π=x 为极大点，2

π=x 为极小点,

,22)4(π=π=f M ,2)2(π

=π=f m ,4

42π=π-π=-a b 242sin 22d ,4

4x x x ππππππ∴⋅≤≤⋅⎰241sin 2d .22

x x x ππ

∴≤≤⎰

如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，证

1()d b a

m f x x M b a ∴≤≤-⎰()()d ()

b

a m

b a f x x M b a -≤≤-⎰ 由闭区间上连续函数的介值定理知

则在积分区间],[b a 上至少存在一个点 ξ，

性质7（定积分中值定理）

积分中值公式