第3章正交多项式系
正交多项式
k = 1, 2 , L , n 。
其中系数 ckj = −
( x ,ϕ j )
k
j =0
(ϕ j , ϕ j )
, ( j = 0,L , k − 1)，
正交性
证明： 递推构造法证明 证明：用递推构造法证明 (1) 令ϕ 0 ( x ) = 1; ( 2) 构造ϕ1 ( x ) = x + c10ϕ 0 ( x ), 且选取 c10使 ( x,ϕ 0 ) 0 = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ( x , ϕ 0 ) + c10 (ϕ 0 , ϕ 0 ), 即选取 c10 = − (ϕ 0 , ϕ 0 )
连续函数空间， §2 连续函数空间，正交多项式理论
2.2 正交多项式理论 介绍几种常用的正交多项式
一、生成（张成）的集合 生成（张成） n ϕ 定义6 中线性无关组， 定义6 设{ i ( x )} i = 0 为 C [a , b ] 中线性无关组，称集合
ϕ 生成（张成）的集合。 为由 { i }i = 0 生成（张成）的集合。 结论: 结论 1 （ ） Span { 0 , L , ϕ n } ⊂ C [ a， b ]； ϕ
b
= ( x k , ϕ i ) + c ki ϕ i , ϕ i ) （
的正交多项式组， 于是 {ϕ i ( x )} n= 0 为[ a ， b ]具有权函数 ω ( x ) 的正交多项式组， i
即
(ϕ i , ϕ j ) = ∫ ω ( x )ϕ i ( x )ϕ j ( x )dx = 0,当 i ≠ j。
a
#
性质： 性质：
(1)φ n ( x )是 具 有 最 高 次 项 系 数 为1的 n 次 多 项 式 。
正交函数族与正交多项式
正交多项式正交函数族与正交多项式1、什么是权函数？定义4：设[a,b]是有限或无限区间，在[a,b]上的非负函数ρ(x)满足条件：（1）∫x k ρ(x )dx ba 存在且为有限值（k=0,1，…）；（2）对[a,b]上的非负连续函数g(x)，如果∫g (x )ρ(x )dx =0ba ,则g(x)≡0. 则称ρ(x )为[a,b]上的一个权函数。
2、什么是内积？内积：(f (x ),g (x ))=∫f (x )g (x )dx baρ(x)是[a,b]上的权函数，内积：(f (x ),g (x ))=∫ρ(x)f (x )g (x )dx ba ，常用ρ(x)≡1。
3、正交及正交函数族概念定义5若f (x ),g (x )∈C [a,b ],ρ(x )为[a,b]上的权函数且满足(f (x ),g (x ))=∫ρ(x )f (x )g (x )dx =0ba , (2.1)则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权ρ(x )正交。
若函数族φ0(x ),φ1(x ),…,φn (x ),…满足关系(φj ,φk )=∫ρ(x )φj (x )φk (x )dx ={0 , j ≠k,A k >0,j =k.ba (2.2)则称{φk (x)}是[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族；若Ak ≡1，则称为标准正交函数族。
例如，三角函数1,cos x ,sin x , cos 2x , sin 2x ,…解：在区间[−π，π]上的正交函数族，因为对k=1,2,…有（任意两个相同函数在区间[−π，π]上的内积k=j ）：(1,1)=∫1×1dx =π−ππ−(−π)=2π(sin kx,sin kx )=∫sin k 2x π−πdkx =π同理(cos kx,cos kx,)=π任意两个不同函数在区间[−π，π]上的内积（k ≠j ）：(cos kx,sin kx )=∫sin kx cos kx π−πdkx =0 (cos kx,cos jx )=∫cos jx cos kx π−πdx =0 同理(sin kx ,sin jx )=(cos kx,sin jx )=0因此三角函数族为在区间[−π，π]上带权的正交函数族。
数值计算方法_正交多项式讲解
性质4 [a,b]上带权函数(x) 的正交多项式序列{gk (x)}k0 中任意相邻两个正交多项式gn(x)和gn+1(x)的根相 间.
若记 gn(x), gn+1(x)的根分别为
{x } , (n) n i i1
{x } (n1) n1
j
j1
则所谓 gn (x) 与 gn1(x) 的根相间,即是指这两个正
相邻三项的递推关系为
H0(x)=1, H1(x)=2x Hn1(x) 2xHn (x) 2nHn1(x) n=1,2,…
(4) Jacobi多项式
定义9 [-1,1]上权函数为 (x) (1 x) (1 x) 的正
交多项式,其中>-1, >-1
记为
J
( n
,
)
(
x)
为gn(x) 的首次系数; dn≠0时,称
gn* ( x)
gn (为x)首 dn
次系数为1的n次多项式.
二、正交多项式性质
性质1 若 {gk ( x)}nk0是区间[a,b]上带权(x)的正交多
项式序列,则它们线性无关.
证明 对任意的x[a,b]
n
若 ck gk (x) 0 k 0
注：对一般区间[a, b]，先将 x 换为 t ，考虑 f (t)在[1, 1]上 的逼近Pn(t)，再将 t 换回x，最后得到Pn(x)。
五、其它正交多项式
(1) 第二类Chebyshev 多项式Un(x)
定义6 (-1,+1)上权函数 ( x) 1 x2的正交多项式
序列
sin[(n 1)arccosx]
||
T* n
(
x)
||
正交多项式
正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。
正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。
定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。
性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。
例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。
常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。
勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。
切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。
前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。
3.3.3 常用的正交多项式
Tn在区间[-1, 1]上有
个不同os , 2n
k 1, 2,..., n
2、Legendre(勒让德)多项式 (1)定义
多项式
1 dn p n ( x) n n [( x 2 1) n ] 2 n! dx
称为n 次勒让德多项式。
3.3.3 常用的正交多项式
1、第一类切比雪夫多项式
(1)定义
Tn cos n arccos x , x 1
(2)性质
正交性：
切比雪夫多项式序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 1]上带权
( x)
1 1 x
2
的正交多项式序列。
且
(Tm ( x), Tn ( x))
(n 1, 2, )
n
( x) e
x2
的正交多项式序列。
e
x2
mn 0, H m ( x) H n ( x)dx n 2 n! , m n
② 相邻的三项具有递推关系式：
H 0 ( x) 1, H 1 ( x) 2 x H n1 ( x) 2 xH n ( x) 2nH n1 ( x),
(n 1, 2,
)
(2) 拉盖尔(Laguerre)多项式
定义： 称多项式
n d Ln ( x) e x n ( x n e x ), (0 x ) dx (n 0, 1, 2, )
为拉盖尔多项式。
拉盖尔多项式的性质： ① 是在区间[0, +∞]上带权 Ln x 的正交多项式序列。 x e x
(n 0, 1, 2, )
(2)性质
正交性 勒让德多项式序列 的正交多项式序列。即
3.2 正交多项式
a1
(xP1, P1) (P1, P1)
0.5
,
b1
(P1, (P0 ,
P1 ) P0 )
0.125
,
P2 (x) (x a1)P1(x) b1P0 (x) (x 0.5)2 0.125
所以, 1, x - 0.5, (x 0.5)2 0.125 为所求在点集 {0, 0.25, 0.5, 0.75,1}上的正交多项式序列.
其中的 (x)0为给定的权函数。
（6）
按连续意义下的内积，若多项式组{k(x)}k=0,…n 满
足条件(7),则称它为在区间[a,b] 上的带权 (x)的正交
多项式序列。
第三章 函数逼近
例3.4 三角函数组 1,cos x,sin x,,cos nx,sinnx 在[ , ]
上是关于权函数1的正交组。
(2)
有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。
第三章 函数逼近
若多项式组{k(x)}k=0,…n 在离散意义下的内积满足
(i
,
j
)
0, ai
i j 0,i
j
(3)
则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集 {xi}i=0,1,…,m 上的带权 { i}i=0,…m的正交多项式序列.
4
(xP0 , P0 ) i xi P02 (xi ) 2.5 i0
a0
(xP0 , P0 ) (P0 , P0 )
0.5
P1(x) x a0 x 0.5
第三章 函数逼近
【精品】正交多项式
正交多项式一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (3.1)中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。
我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。
若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππ（3.2)那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。
为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。
1．权函数的概念 定义3.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质： (1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]， (2) 积分dx x x nba)(ρ⎰存在，(n = 0, 1, 2, …)，(3) 对非负的连续函数g (x ) 若⎰=badx x x g 0)()(ρ。
则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ；211)(],1,1[],[xx b a -=-=ρx e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ2)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ等等。
正交性的概念 定义3.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若⎰==badx x g x f x g f 0)()()(),(ρ则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。
定义3.4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件())(),1,0,(,0,0)(),((是常数k kk j A k j kj A kj x x ⎩⎨⎧==>≠= ϕϕ 则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
第3章正交多项式系
正交函数系
正交函数系的性质
Th3.3, [a , b]上关于权函数 ( x )的正交函数系
0 , 1 , n必线性无关
证: （反证法） 假设 0 , 1 , n线性相关，则存在不全 为0 的c0 , c1 , cn 使得c0 0 cn n 0
不妨设ci 0,同乘 ( x ) i ( x )后积分 c0 ( 0 , i ) ci ( i , i ) cn ( i , n ) 0
j ( x)ຫໍສະໝຸດ 常用正交多项式系1.切比雪夫多项式系{Tk ( x )}, 令x cos Tn ( x ) cos n , 一般地
T1 ( x ) x T0 ( x ) 1 Tk 1 ( x ) 2 xTk ( x ) Tk 1 ( x ) k 1
它在[1，上关于权函数 ( x ) 1]
由Th3.3得 0 , 1 , k 1线性无关
对任意 k 1次多项式 Qk 1 ( x )有 Q k 1 ( x ) b j j ( x )
j0 k 1
( x ) k ( x )Qk 1 ( x )dx
a
b
( x ) k ( x )[ b j j ( x )]dx 0
1 1 x
2
正交
(Tn , Tm )
1
1
nm 0 1 Tn ( x )Tm ( x )dx / 2 n m 0 1 x2 nm0
前四项为 : T（x ) 1, T1 ( x ) x 0 T2 ( x ) 2 x 1, T3 ( x ) 4 x 3 x
前四项为：P0 ( x ) 1, P1 ( x ) x P2 ( x ) ( 3 x 1) / 2
正交多项式在数学中的应用
正交多项式在数学中的应用正交多项式是数学中一个重要的概念。
正交多项式可以用于许多领域，如物理学、统计学、工程学、经济学等，它们的应用非常广泛。
在本文中，我们将介绍正交多项式的定义、性质和应用。
一、正交多项式的定义正交多项式通常是指某一族多项式，它们彼此正交，并且在某一区间上具有完全正交性。
这里“正交”指的是在某一区间上两两相乘之后的积分为0。
具体的定义可以表示为：在某一区间[a,b]上，存在一族多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…,满足下列条件：1.φn(x)是n次多项式；2.φn(x)的首项系数为1；3.对于任意不相等的n和m，有以下正交关系：∫a^b φn(x)φm(x)dx=0 （n≠m）4.对于任意n，有以下归一化公式：∫a^b φn(x)^2 dx=1这里的正交关系也可以表述为φn(x)在[a,b]上关于权函数w(x)正交。
另外，需要注意的是，具有正交性的多项式不只一个。
例如，在[a,b]上，有许多不同的正交多项式，如勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式、切比雪夫多项式等等。
每种不同的正交多项式，都有其独特的性质和应用。
二、正交多项式的性质正交多项式具有许多重要的性质，这里只讨论其中的一些。
1.正交多项式是线性无关的。
对于给定的正交多项式φ0(x),φ1(x),…,φn(x)，任意一个次数不超过n的多项式P(x)，都可以表示为P(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+...+anφn(x)其中，a0,a1,…,an都是常数。
因此，正交多项式是线性无关的。
2.正交多项式是最佳近似多项式。
对于一个次数不超过n的多项式P(x)，其在正交多项式的张成下的最佳近似多项式是Pn(x)=∑i=0^n [P(x),φi(x)]φi(x)其中[P(x),φi(x)]表示在区间[a,b]上P(x)与φi(x)的乘积之后再进行积分。
3.正交多项式满足递推关系。
对于同一族正交多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…，它们满足以下递推关系：φ0(x)=1φ1(x)=x-b0φn+1(x)=(x-bn+1)φn(x)-cnφn-1(x)其中，bn和cn是常数。
正交多项式
1
第三章 函数逼近与计算
3.4.1 正交化手续
定义1 设 gn ( x)是 [a, b]上首项系数 an 0 的 n次多项式，
( x)为 [a, b]上权函数，如果多项式序列 { gn ( x)}0 满足
b
0, j k.
(g j , gk )
a
(x)gj (x)gk
1
1 2n n!
1 Q( x) (n1) ( x)dx
1
(1)n 2n n!
1 Q(n) ( x) ( x)dx
1
（1） 若 Q(x) 是次数小于 n 的多项式，则 Q(n) (x) 0,
故得
1
)}00是成[a立, b关]上系带权
(
x )的首项系数为1的
gn1( x) ( x n )gn( x) n gn1( x) (n 0,1,).
其中 g0 ( x) 1, g1( x) 0,
n
( xgn ( x), gn ( x)) ( gn ( x), gn ( x))
最高项系数为1的勒让德多项式为
P~n ( x)
n! (2n)!
dn dx n
[( x 2
1)n ].
§4 正交多项式 © 2009, Henan Polytechnic University
99
第三章 函数逼近与计算
勒让德多项式的性质
性质1 正交性
1 1
Pn (
x)Pm
(
x)dx
p1( x)
x
( x,1) (1,1)
1
研究生数值分析(19)正交多项式
性质5
xi
cos 2(n i) 2n
1 ,
i 1,2,, n
当n为奇数时， Tn (x) 当n为偶数时，Tn (x)
是奇函数， 是偶函数。证明见P125
3、Laguerre（拉盖尔）多项式
定义：称
Un (x)
ex
d n(xnex ) dxn
,
n 0,1,
为Laguerre多项式。
不为零的k次多项式，故 k (x) 0, (x [a,b])
因而有 (k ,k ) 0, k 0,1,
根据定义，{k (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。
正交多项式的性质：
证毕。
性质1 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权的正交多项式系， 则 {ckk (x)} 也是[a ,b]上带权的正交多项式系，
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
k 1,2,
所以，对于 j (x) , ( j 0,1,k 1)
b
a (x) j (x)k (x)dx 0,
k 1,2,
即 ( j ,k ) 0,
jk
又因 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数
④ 若在[a ,b]上 f(x)≠0，则（f，f）>0
定义 若内积
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx 0
则称f (x)与g (x)在区间[a ,b]上带权ρ(x)正交。
若函数系 {0 (x),1(x),,n (x),}
满足
(i , j )
b a
性质4 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权ρ (x)的
正交多项式系，则对于 k≥1 时，相邻三项有 如下递推关系
正交多项式
正交多项式
若首项系数 an ≠ 0 的 n 次多项式 ϕ n ( x) ，满足
b 0, (ϕ j , ϕ k ) = ∫ ρ ( x)ϕ j ( x)ϕ k ( x) d x = a Ak > 0
j ≠ k, j = k;
( j , k = 0,1,L)
就称多项式序列 ϕ 0 , ϕ1 ,L , ϕ n ，在 [a, b] 上带权 ρ ( x) 正交， 并称 ϕ n ( x) 是 [a, b] 上带权 ρ ( x) 的 n 次正交多项式。 构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法 定理：按以下方式定义的多项式集合 {ϕ 0 , ϕ1 ,L , ϕ n } 是区间 [a, b] 上关于权函数 ρ ( x) ≥ 0 的 正交函数族。
ϕ ( x) =
( f , ϕ0 ) ( f , ϕ1 ) ( f ,ϕ2 ) ϕ 0 ( x) + ϕ1 ( x) + ϕ 2 ( x) (ϕ 0 , ϕ 0 ) (ϕ1 , ϕ1 ) (ϕ 2 , ϕ 2 )
≈ −4.1225 x 2 + 4.1225 x − 0.05047
4－1 勒让德多项式 当区间为［－1，1］ ，权函数 ρ ( x) ≡ 1 时，由 {1, x,L , x ,L} 正交化得到的多项式就称
( xϕ1 , ϕ1 ) α2 = = (ϕ1 , ϕ1 )
1 2
∫
1 x( x − ) 2 dx 1 2 = 1 1 2 2 ∫0 ( x − 2 ) dx
1 0
(ϕ , ϕ ) β2 = 1 1 = (ϕ 0 , ϕ 0 )
∫ (x − 2) ∫ 1dx
0 1 0
1
1
2
dx
正交多项式
首项系数
1 P2 ( x ) (3 x 2 1) 2 ( 2n)! an n . 2 2 ( n! )
1 P3 ( x ) (5 x 3 3 x ) 2
由于 ( x 2 1) n是 2n 次多项式， 所以对其求 n 阶导数后得
Pn ( x ) 1 n n 1 ( 2 n )( 2 n 1 ) ( n 1 ) x a x a0 , n 1 n 2 n!
则
1 2 n
Q ( n ) ( x ) Pn( n ) ( x )
( 2n)! , n 2 n!
第三章 函数逼近与计算 于是
( 2n)! ( 1) n ( 2n)! 1 2 n P ( x ) dx ( x 1 ) dx 1 2 2 n ( n! ) 2 2 2 n ( n! )2 1
0, m n; 1 Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 , m n. 2n 1
证明 令 ( x) ( x 2 1) n ，则 ( k ) (1) 0 (k 0,1,, n 1). 设 Q( x) 是在区间 [1, 1] 上 n 阶连续可微的函数，由分部 积分知 1 1 1 ( n)
1
1
(1 x 2 ) n dx .
由于 0 (1 x ) dx 0 cos 2 n1 tdt
2 n
2
1
2 4 2n 1 3 ( 2n 1)
故
1
1
Pn2 ( x )dx
2 . 2n 1
性质2
奇偶性
Pn ( x ) ( 1) n Pn ( x ).
P ( x ) c j g j ( x ).
2_正交多项式
k 2
◆ 确定系数 {d i }i 0
k -2
( f k 1 a k xf k , f m ) ( f k 1 , f m ) a k ( f k , xf m ) 0
k 2 i0
另一方面
( f k 1 a k xf k , f m ) ( d i f i d k 1 f k 1 d k f k , f m )
(反证)假设 f n (x ) 在 (a , b ) 内无实根 (反 证 )假 设 为 重 根 , 则至少是二重的 f n (x ) 在 (a , b ) 内恒正或恒负
2
b a
f n ( x ) ( x ) dx 0
f n ( x) ( x ) qn2 ( x)
而
b a
f n ( x ) ( x ) dx 0
k 2 i0
下面逐步确定组合系数
d i f i ( x ) d k 1 f k 1 ( x ) d k f k ( x )
August 6, 2012
yfnie@
6
(续1)
for m k 2 :
f k 1 ( x ) a k xf k ( x ) d i f i ( x ) d k 1 f k 1 ( x ) d k f k ( x )
August 6, 2012 yfnie@ 1
3.1 线性无关性
正 交 多项 式系 f i i 0 中 任 意 m 个 函数 f i1 ( x ), f i 2 ( x ), , f im ( x )
线 性 无关 (非负 整数 i 1 , i 2 , , i m 互 不 相 同 ).
P0 (x ) 1 ;
数值分析-正交多项式
(4) Tn( x)在[1,1]上有n个不同的零点
xk
cos (2k 1)
2n
,
(k
1,2,,n)
（5）Tn (x)的首项 xn的系数为2n1(n 1, 2, ).
（6） Tn (x)在[1,1]上有n 1个不同的极值点
xk
cos
k
n
,
(k 0,1,2,
, n)
哈尔滨工程大学信息与计算科学系
§2 正交多项式
一、正交函数族与正交多项式
定义5 若f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数, 且
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx 0，
(2.1)
则称f ( x)与g( x)在[a,b]上带权ρ(x)正交 .
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
交多项式.
只要给定[a,b]上的权函数(x), 由{1, x, xn, }利用逐个
1
x
2dx
0, / 2,
m n, m n.
U0( x) 1, U1( x) 2x, Un1( x) 2xUn( x) Un1( x).
(2.14)
2. 拉盖尔多项式
区间[0,)上带权( x) e x的正交多项式
Ln (
x)
e
x
dn dxn
(2n)! (2n n!)2
/
数值分析正交多项式
数值分析正交多项式数值分析是数学的一门分支，研究数值计算的方法和算法，并通过数学模型和近似计算方法对实际问题进行数值求解。
在实际科学计算中，往往会涉及到函数的近似、方程的求解、积分和微分等问题，数值分析的研究便是对这些问题进行建模和求解的过程。
在数值分析中，正交多项式是一类重要的函数族，其在数值逼近、插值、积分等问题中具有重要的应用。
正交多项式是指在一些特定的区间上，相互之间满足其中一种正交条件的多项式函数。
这些多项式函数一般具有良好的数学性质，如稳定性、收敛性、插值性质等，能够用于解决连续函数逼近、曲线拟合、数值积分等问题。
常见的正交多项式有勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式和切比雪夫多项式等。
下面简要介绍一下这些常见的正交多项式。
1. 勒让德多项式：勒让德多项式是最早被研究的正交多项式，其形式为Pn(x)=An(x)xn+An-1(x)xn-1+...+A1(x)x+A0(x)，其中An(x)为系数函数，满足勒让德多项式的正交性质：∫Pm(x)Pn(x)dx=0 (m≠n)。
勒让德多项式在数值计算中广泛应用于多项式插值和函数逼近等问题。
2.拉盖尔多项式：拉盖尔多项式是一类特殊的勒让德多项式，定义在区间[0,+∞)，其形式为L(x)=e^(-x)x^n/n!，其中n为非负整数。
拉盖尔多项式在物理学中的量子力学和热力学等问题中有重要应用。
3. 埃尔米特多项式：埃尔米特多项式是定义在整个实数轴上的正交多项式，其形式为Hn(x)=(-1)^ne^(x^2)d^n(e^(-x^2))/dx^n，满足埃尔米特多项式的正交性质：∫Hm(x)Hn(x)e^(-x^2)dx=0 (m≠n)。
埃尔米特多项式在量子力学和量子力学等领域的波函数展开中有广泛应用。
4. 切比雪夫多项式：切比雪夫多项式是在区间[-1,1]上的正交多项式，其形式为Tn(x)=cos(n·arccos(x))，满足切比雪夫多项式的正交性质：∫Tm(x)Tn(x)(1-x^2)^(-1/2)dx=0 (m≠n)。
正交多项式
三、Legendre多项式Pn(x) (1)多项式定义
定义3 [-1,1]上由{1,x,…,xn,…}带权ρ(x)≡1正交化 得到的多项式序列.
P0 ( x ) 1 1 d n ( x 2 1) n Pn ( x ) n , n 1,2, n 2 n! dx
x
2
x 1dx x xdx 1 2 1 x x 3 11dx x xdx
2 2 1 1 1 1 1 1
1
1
…
(2)多项式的主要性质
(2n)! ① n次Legendre多项式 Pn(x)的首项系数 d n ( x) n 2 (n!) 2 1 ② Pn (1) (1) n 当x=1, 当x=-1
请将其降为2阶多项式。
解
1 1 1 4 1 2 4 2 T ( x ) ( x x ) T 8 x 8 x 1） （查表知 取 4 3 4 24 2 24 8 x2 x3 1 1 191 13 2 1 3 2 P4 P4 1 x ( x ) x x x 2 6 24 8 192 24 6 P4
证明 对任意的x[a,b] 若
c g
k 0 k
n
k
( x) 0
两边同乘 ( x ) g l ( x )( l =0,1,.. n ), 并从 a 到 b 积分 , 由
{g k ( x )}n k 0 的正交性定义中的(3)可知必有cl=0
n { g ( x )} 故正交多项式序列 k k 0 线性无关.
取到极大值 1 和极小值1，即
Tn (tk ) (1)k || Tn ( x) ||
记
Tn ( x ) T ( x ) n1 2
正交多项式的性质及在科学计算中的应用
正交多项式的性质及在科学计算中的应用摘要正交多项式是满足一定条件的多项式族。
正交多项式是数学研究领域热点之一。
许多数学理论的突破，如Bieberbach猜想的证明，数据拟合，数学物理、工程技术和函数逼近等领域的理论研究，都依赖于或应用了正交多项式的重要成果。
现正交多项式被广泛应用于数学物理，工程技术，科学计算，回归分析,概率分布等领域。
因此，对于正交多项式的研究具有重要的意义和价值.本文首先给出了正交多项式的定义,其次对勒让德（Legendre）多项式、切比雪夫（Chebyshev)多项式、拉盖尔(Laguerre）多项式、艾尔米特（Hermite)多项式的性质进行了探讨并对部分性质进行了证明，最后对正交多项式在数据拟合,最佳平方逼近以及在概率分析中的应用进行了讨论。
关键词：正交多项式勒让德（Legendre）多项式切比雪夫（Chebyshev)多项式拉盖尔（Laguerre）多项式艾尔米特（Hermite）多项式数据拟合最佳平方逼近概率分析The Character of Orthogonal Plynomial and its Application inScientific ComputationAbstractOrthogonal polynomial is a polynomial that satisfies some conditions。
Orthogonal polynomial is one of the hotspot in the field of mathematical research.Many mathematical theory， such as proof of the conjecture of Bieberbach, data fitting， mathematical physics, theory of engineering technology and function approximation are depends on the important achievements in the field or the application of orthogonal polynomials.Now the orthogonal polynomial is widely used in mathematical physics, engineering，scientific computing， regression analysis， probability distribution etc.Therefore, research orthogonal polynomials having great significance and value.Firstly， this paper gives the definition of orthogonal polynomials,。
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注：在[a , b]上关于 ( x ) 1的正交多项式 ba ba 令x t , x [a , b]时 2 2 t [1,1]
2 x (b a ) ~ Pn ( x ) Pn ( t ) Pn ( ) ba
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其它正交多项式系
• 拉盖尔(Laguerre)正交多项式系p77 • 埃尔米特(Hermite)正交多项式系p78
正交函数系
def .某函数系 { 0 , 1 , n }中每个函数 k ( x )都 在[a , b]上连续且不恒为零，权函数 ( x ) 0 i j 0 如果( i , j ) ( x ) i j dx a i j 0 则称此函数系 0 , n为[a , b]上关于权函数的
b a j 0
k 1
正交多项式的构造
给定区间 [a , b]及权函数 ( x )，由线性无关幂函数 {1, x , , x n ,}，逐个正交化得{ n ( x )} 0
n 1 j 0
0 ( x ) 1, n ( x ) x n
( n 1,2,)
( x n , j ( x )) ( j ( x ), j ( x ))
又 k为k次多项式
( x) 0, 且 ( x) 0, (k 0,1,)
2 k 2 k
2 ( k , k ) ( x ) k ( x )dx 0 a b
0 ,1 , n为正交多项式
()设 0 , 1 , n为[a, b]上的关于权 ( x ) 的正交多项式系
j ( x)
常用正交多项式系
1.切比雪夫多项式系 {Tk ( x )}, 令x cos Tn ( x ) cosn , 一般地
T1 ( x ) x T0 ( x ) 1 Tk 1 ( x ) 2 xTk ( x ) Tk 1 ( x ) k 1
它在[1， 1]上关于权函数 ( x )
1
1 1 x
2
正交
(Tn , Tm )
ห้องสมุดไป่ตู้1
nm 0 1 Tn ( x )Tm ( x )dx / 2 n m 0 2 1 x nm0
前四项为: T（ 0 x ) 1, T1 ( x ) x T2 ( x ) 2 x 1, T3 ( x ) 4 x 3 x
b
正交函数系
正交函数系的性质
Th3.3, [a, b]上关于权函数 ( x )的正交函数系
0 , 1 , n必线性无关
证: （反证法） 假设 0 , 1 , n线性相关，则存在不全为0 的c0 , c1 , cn 使得c0 0 cn n 0
不妨设ci 0,同乘 ( x)i ( x)后积分 c0 (0 , i ) ci ( i , i ) cn ( i , n ) 0
2 3
2.勒让德( Legende)多项式系 { Pk ( x)}
1 dn 2 n Pn ( x ) n ( x 1) n 2 n! dx
递推公式 P1 ( x ) x P0 ( x ) 1 2k 1 k Pk 1 ( x ) xPk ( x ) Pk 1 ( x ) k 1 k 1 k 1
ci ( i , i ) 0 ci 0矛盾
Th3.4设 k ( x )(k 0,1, n)是最高次项系数 不为0的k次多项式，则 0 , 1 , n 是[a , b] 上关于权函数 ( x )的正交多项式系的充要 条件是k 1次多项式Qk 1 ( x )，均有 ( k , Qk 1 ) ( x ) k ( x )Qk 1 ( x )dx 0
a b
证： ()k 1次多项式Qk 1有
b
a
( x )k ( x )Qk 1 ( x )dx 0
(k 1, 2,)
特别地，对 j ( x )( j 0,1, k 1)有
b
a
( x ) k ( x ) j ( x )dx 0
即k j, (k , j ) 0
由Th3.3得0 ,1 , k 1线性无关
对任意k 1次多项式Qk 1 ( x )有 Qk 1 ( x ) b j j ( x )
j 0 k 1
( x ) k ( x )Qk 1 ( x )dx
a
b
( x ) k ( x )[ b j j ( x )]dx 0
前四项为：P0 ( x ) 1, P1 ( x ) x P2 ( x ) ( 3 x 2 1) / 2 P3 ( x ) (5 x 3 3 x ) / 2
在[1,1]上关于权函数 ( x ) 1正交 nm 0 ( Pn , Pm ) Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 n m 1 2n 1