第3章正交多项式系

b a j 0
k 1
源自文库 正交多项式的构造
给定区间 [a , b]及权函数 ( x )，由线性无关幂函数 {1, x , , x n ,}，逐个正交化得{ n ( x )} 0
n 1 j 0
0 ( x ) 1, n ( x ) x n
( n 1,2,)
( x n , j ( x )) ( j ( x ), j ( x ))
正交函数系
def .某函数系 { 0 , 1 , n }中每个函数 k ( x )都 在[a , b]上连续且不恒为零，权函数 ( x ) 0 i j 0 如果( i , j ) ( x ) i j dx a i j 0 则称此函数系 0 , n为[a , b]上关于权函数的
ci ( i , i ) 0 ci 0矛盾
Th3.4设 k ( x )(k 0,1, n)是最高次项系数 不为0的k次多项式，则 0 , 1 , n 是[a , b] 上关于权函数 ( x )的正交多项式系的充要 条件是k 1次多项式Qk 1 ( x )，均有 ( k , Qk 1 ) ( x ) k ( x )Qk 1 ( x )dx 0
a b
证： ()k 1次多项式Qk 1有

b
a
( x )k ( x )Qk 1 ( x )dx 0
(k 1, 2,)
特别地，对 j ( x )( j 0,1, k 1)有

b
a
( x ) k ( x ) j ( x )dx 0
即k j, (k , j ) 0
1
注：在[a , b]上关于 ( x ) 1的正交多项式 ba ba 令x t , x [a , b]时 2 2 t [1,1]
2 x (b a ) ~ Pn ( x ) Pn ( t ) Pn ( ) ba
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其它正交多项式系
• 拉盖尔(Laguerre)正交多项式系p77 • 埃尔米特(Hermite)正交多项式系p78
由Th3.3得0 ,1 , k 1线性无关
对任意k 1次多项式Qk 1 ( x )有 Qk 1 ( x ) b j j ( x )
j 0 k 1
( x ) k ( x )Qk 1 ( x )dx
a
b
( x ) k ( x )[ b j j ( x )]dx 0
2 3
2.勒让德( Legende)多项式系 { Pk ( x)}
1 dn 2 n Pn ( x ) n ( x 1) n 2 n! dx
递推公式 P1 ( x ) x P0 ( x ) 1 2k 1 k Pk 1 ( x ) xPk ( x ) Pk 1 ( x ) k 1 k 1 k 1
又 k为k次多项式
( x) 0, 且 ( x) 0, (k 0,1,)
2 k 2 k
2 ( k , k ) ( x ) k ( x )dx 0 a b
0 ,1 , n为正交多项式
()设 0 , 1 , n为[a, b]上的关于权 ( x ) 的正交多项式系
b
正交函数系
正交函数系的性质
Th3.3, [a, b]上关于权函数 ( x )的正交函数系
0 , 1 , n必线性无关
证: （反证法） 假设 0 , 1 , n线性相关，则存在不全为0 的c0 , c1 , cn 使得c0 0 cn n 0
不妨设ci 0,同乘 ( x)i ( x)后积分 c0 (0 , i ) ci ( i , i ) cn ( i , n ) 0
前四项为：P0 ( x ) 1, P1 ( x ) x P2 ( x ) ( 3 x 2 1) / 2 P3 ( x ) (5 x 3 3 x ) / 2
在[1,1]上关于权函数 ( x ) 1正交 nm 0 ( Pn , Pm ) Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 n m 1 2n 1
j ( x)
常用正交多项式系
1.切比雪夫多项式系 {Tk ( x )}, 令x cos Tn ( x ) cosn , 一般地
T1 ( x ) x T0 ( x ) 1 Tk 1 ( x ) 2 xTk ( x ) Tk 1 ( x ) k 1
它在[1， 1]上关于权函数 ( x )
1
1 1 x
2
正交
(Tn , Tm )
1
nm 0 1 Tn ( x )Tm ( x )dx / 2 n m 0 2 1 x nm0
前四项为: T（ 0 x ) 1, T1 ( x ) x T2 ( x ) 2 x 1, T3 ( x ) 4 x 3 x