高一数学复数的乘除法运算
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书少成天才功山小就=有艰是不欢苦百路分学的勤迎之劳习一为动光，的径+老灵正，临感确学来！，的欢百海徒方分无迎法之伤+崖九指少悲十苦谈导九空作!的话汗舟水！
7.2.2 复数的乘除运算
2020年4月25日星期六
考点 复数的 乘除运算 复数乘法 的运算律 解方程
学习目标 掌握复数乘除运算的运算法 则，能够进行复数的乘除运算
又因为 b≠0， 所以a22a－＋b42＝＋04，a＋6＝0， 解得 a＝－2，b＝± 2. 所以 x＝－2± 2i， 即方程 x2＋4x＋6＝0 的根为 x＝－2± 2i.
在复数范围内，实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求
解方法
(1)求根公式法
①当
Δ≥0
时，x＝－b±
b2－4ac
所以方程
2x2 ＋ 3x ＋ 4 ＝ 0
的根为
x ＝ －3±
－（－23）i 2×2
＝
－3± 23i 4.
练习 2．已知 3＋2i 是关于 x 的方程 2x2＋px＋q＝0 的一个根， 求实数 p，q 的值． 解：因为 3＋2i 是方程 2x2＋px＋q＝0 的根， 所以 2(3＋2i)2＋p(3＋2i)＋q＝0，即 2(9＋12i－4)＋(3p＋2pi)＋q ＝0， 整理得(10＋3p＋q)＋(24＋2p)i＝0， 所以1204＋ ＋32pp＋ ＝q0＝ ，0，解得pq＝ ＝－ 26.12，
二、【新课探究】
1.复数的乘法法则
两个复数的乘法可以按照多 项式的乘法运算来进行，只
是在遇到 i2 时，要把 i2 换
成-1，并把最后的结果写成
a bi(a,b R) 的形式。
设 z1 a bi , z2 c di
(a，b，c，d R)
则 z1 • z2 （a bi）(c di)
理解复数乘法的运算律
会在复数范围内解方程
核心素养 数学运算
逻辑推理 数学运算
一、【回顾旧知】
复数加减法的运算法则：
运算法则: 设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么：
z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分 别相加(减).
法二：由 x2＋4x＋6＝0 知 Δ＝42－4×6＝－8<0， 所以方程 x2＋4x＋6＝0 无实数根． 在复数范围内，设方程 x2＋4x＋6＝0 的根为 x＝a＋bi(a，b∈R 且 b≠0)， 则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0， 所以 a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0， 整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0， 所以a22a－b＋b24＋b＝4a0＋，6＝0，
计算1 • 2。
解:
1 • 2 （1 2i）(3 4i)
3 4i 6i 8i2
11 2i
例2 : (1 2i)(3 4i)(2 i)
解：
例3 计算:
(3+4i)(3-4i) = 9-16i2
=9+16=25
练习：计算 （1）(a bi)(a bi)
a2 abi abi b2i2
探究：i 的运算性质
例 7.(1)复数 z＝11＋－ii，则 ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10 的值为(
a2 b2
3、共轭复数的定义
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于０的 两个共轭复数也叫做共轭虚数。
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
Z的共轭复数记作Ｚ
例 4.（1）已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若 a－i 与 2＋bi 互为共轭
复数，则(a＋bi)2＝( )
两个互为共轭的复数的乘积等于这个复数 （或其共轭复数）模的平方
结论： •
2
2
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子
与分母都乘以分母的共轭复数,化简后
写成代数形式(分母实数化).即
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
bd ) c2
(bc d2
ad )i
分母实数化
例5.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
练习
求
已知 z1
z1 z2 ,
3 2i
z1 z2
,
,
z2
z1
Baidu Nhomakorabea
•
1
z2
4i
, z1 z2
5.在复数范围内解下列方程． 例 6. (1)x2＋5＝0； (2)x2＋4x＋6＝0.
【解】 (1)因为 x2＋5＝0，所以 x2＝－5， 又因为( 5i)2＝(－ 5i)2＝－5， 所以 x＝± 5i， 所以方程 x2＋5＝0 的根为± 5i. (2)法一：因为 x2＋4x＋6＝0， 所以(x＋2)2＝－2， 因为( 2i)2＝(－ 2i)2＝－2， 所以 x＋2＝ 2i 或 x＋2＝－ 2i， 即 x＝－2＋ 2i 或 x＝－2－ 2i， 所以方程 x2＋4x＋6＝0 的根为 x＝－2± 2i.
ac adi bci bdi2
(ac bd) (ad bc)i
显然，两个复数的乘积仍为复数
2.复数运算满足交换律、结合律、分配 律。
• •
1
2
2
1
（ • ）• •（ • ）
1
2
3
1
2
3
•（ ） • •
1
2
3
1
2
13
三、【例题讲解】
例1
已知1 1 2i, 2 3 4i
2a
.
②当 Δ<0 时，x＝－b±
－（b2－4ac）i
2a
.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为 x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程 ax2＋bx＋c
＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
练习 1. （1）在复数范围内解方程 2x2＋3x＋4＝0.
解：因为 b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，
A．5－4i
B．5＋4i
C．3－4i
D．3＋4i
(2)把复数 z 的共轭复数记作－z ，已知(1＋2i) －z ＝4＋3i，求 z.
(1)选 D.因为 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数， 所以 a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z ＝a－bi， 由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等 的条件知，a2＋ a－2bb＝ ＝43， ，解得 a＝2，b＝1， 所以 z＝2＋i.
7.2.2 复数的乘除运算
2020年4月25日星期六
考点 复数的 乘除运算 复数乘法 的运算律 解方程
学习目标 掌握复数乘除运算的运算法 则，能够进行复数的乘除运算
又因为 b≠0， 所以a22a－＋b42＝＋04，a＋6＝0， 解得 a＝－2，b＝± 2. 所以 x＝－2± 2i， 即方程 x2＋4x＋6＝0 的根为 x＝－2± 2i.
在复数范围内，实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求
解方法
(1)求根公式法
①当
Δ≥0
时，x＝－b±
b2－4ac
所以方程
2x2 ＋ 3x ＋ 4 ＝ 0
的根为
x ＝ －3±
－（－23）i 2×2
＝
－3± 23i 4.
练习 2．已知 3＋2i 是关于 x 的方程 2x2＋px＋q＝0 的一个根， 求实数 p，q 的值． 解：因为 3＋2i 是方程 2x2＋px＋q＝0 的根， 所以 2(3＋2i)2＋p(3＋2i)＋q＝0，即 2(9＋12i－4)＋(3p＋2pi)＋q ＝0， 整理得(10＋3p＋q)＋(24＋2p)i＝0， 所以1204＋ ＋32pp＋ ＝q0＝ ，0，解得pq＝ ＝－ 26.12，
二、【新课探究】
1.复数的乘法法则
两个复数的乘法可以按照多 项式的乘法运算来进行，只
是在遇到 i2 时，要把 i2 换
成-1，并把最后的结果写成
a bi(a,b R) 的形式。
设 z1 a bi , z2 c di
(a，b，c，d R)
则 z1 • z2 （a bi）(c di)
理解复数乘法的运算律
会在复数范围内解方程
核心素养 数学运算
逻辑推理 数学运算
一、【回顾旧知】
复数加减法的运算法则：
运算法则: 设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么：
z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分 别相加(减).
法二：由 x2＋4x＋6＝0 知 Δ＝42－4×6＝－8<0， 所以方程 x2＋4x＋6＝0 无实数根． 在复数范围内，设方程 x2＋4x＋6＝0 的根为 x＝a＋bi(a，b∈R 且 b≠0)， 则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0， 所以 a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0， 整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0， 所以a22a－b＋b24＋b＝4a0＋，6＝0，
计算1 • 2。
解:
1 • 2 （1 2i）(3 4i)
3 4i 6i 8i2
11 2i
例2 : (1 2i)(3 4i)(2 i)
解：
例3 计算:
(3+4i)(3-4i) = 9-16i2
=9+16=25
练习：计算 （1）(a bi)(a bi)
a2 abi abi b2i2
探究：i 的运算性质
例 7.(1)复数 z＝11＋－ii，则 ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10 的值为(
a2 b2
3、共轭复数的定义
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于０的 两个共轭复数也叫做共轭虚数。
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
Z的共轭复数记作Ｚ
例 4.（1）已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若 a－i 与 2＋bi 互为共轭
复数，则(a＋bi)2＝( )
两个互为共轭的复数的乘积等于这个复数 （或其共轭复数）模的平方
结论： •
2
2
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子
与分母都乘以分母的共轭复数,化简后
写成代数形式(分母实数化).即
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
bd ) c2
(bc d2
ad )i
分母实数化
例5.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
练习
求
已知 z1
z1 z2 ,
3 2i
z1 z2
,
,
z2
z1
Baidu Nhomakorabea
•
1
z2
4i
, z1 z2
5.在复数范围内解下列方程． 例 6. (1)x2＋5＝0； (2)x2＋4x＋6＝0.
【解】 (1)因为 x2＋5＝0，所以 x2＝－5， 又因为( 5i)2＝(－ 5i)2＝－5， 所以 x＝± 5i， 所以方程 x2＋5＝0 的根为± 5i. (2)法一：因为 x2＋4x＋6＝0， 所以(x＋2)2＝－2， 因为( 2i)2＝(－ 2i)2＝－2， 所以 x＋2＝ 2i 或 x＋2＝－ 2i， 即 x＝－2＋ 2i 或 x＝－2－ 2i， 所以方程 x2＋4x＋6＝0 的根为 x＝－2± 2i.
ac adi bci bdi2
(ac bd) (ad bc)i
显然，两个复数的乘积仍为复数
2.复数运算满足交换律、结合律、分配 律。
• •
1
2
2
1
（ • ）• •（ • ）
1
2
3
1
2
3
•（ ） • •
1
2
3
1
2
13
三、【例题讲解】
例1
已知1 1 2i, 2 3 4i
2a
.
②当 Δ<0 时，x＝－b±
－（b2－4ac）i
2a
.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为 x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程 ax2＋bx＋c
＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
练习 1. （1）在复数范围内解方程 2x2＋3x＋4＝0.
解：因为 b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，
A．5－4i
B．5＋4i
C．3－4i
D．3＋4i
(2)把复数 z 的共轭复数记作－z ，已知(1＋2i) －z ＝4＋3i，求 z.
(1)选 D.因为 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数， 所以 a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z ＝a－bi， 由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等 的条件知，a2＋ a－2bb＝ ＝43， ，解得 a＝2，b＝1， 所以 z＝2＋i.