渔业资源管理问题模型

§5 渔 业 资 源 管 理 问 题 模 型

一. 问 题 的 提 出

渔业资源是一种再生资源，其开发必须适度.一种合理、简化的策略是：在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益.

考察一个封闭式渔场中鱼量的变化.记时刻t 渔场中鱼量为()t x ,关于()t x 的自然增长和人工捕捞假设如下:

① 在无捕捞条件下()t χ的增长服从Logistic 规律:

()⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=N x rx dt t dx 1 其中r 固有增长率,N 为环境允许的最大鱼量.()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-

=N x rx x f 1△表示单位时间的增长量.

② 单位时间的捕捞量（产量）与渔场鱼量()t x 成正比.比例系数为k ,k 表示单位时间捕捞率.

试给出描述()t x 变化的数学模型，并解决以下问题：

1. 讨论渔场鱼量的平衡点及稳定性，给出捕捞适度与捕捞过度的条件；

2. 在渔场鱼量稳定在大于零的前提下，确定获得最大持续产量时的最大产量，捕捞强度及鱼量水平；

3. 渔场鱼量稳定在大于零的前提下，确定获得最大利润（经济效益）时的产量，捕捞强度及鱼量水平；

4. 在渔场鱼量稳定在大于零的前提下，确定获得微薄利润时的临界强度及存在条件、鱼量水平（此时的捕捞亦称为盲目捕捞）.

二. ()t x 变 化 的 数 学 模 型

1. 设单位时间捕捞量为()x h ，由假设②，则

()kx x h =

作分解qE k =，其中k 为单位时间捕捞率；E 称为捕捞强度，一般用出海鱼船数量来度量；q 称为捕捞系数，表示单位强度下的捕捞率.

为方便起见，此处我们取1=q ，则单位时间捕捞量为

()Ex kx x h ==

令()()()Ex N x rx x h x f x F -⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-=-=1△ 2. 由假设①、②及上面讨论，得描述)(t x 变化的数学模型为

()ΛΛΛEx N x rx dt t dx -⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=1（1） 初始条件为()a x =0

由分离变量法，求得其解为：

()()()()t

E r e ar EN Nr ar E r aN t x ----+-=

………………………（2） 三. 渔 场 鱼 量 的 平 衡 点 及 稳 定 性

1. 对于微分方程()()ΛΛΛx F dt

t dx =（3） 的平衡点（或奇点）及稳定性判别法： 代数方程()0=x F 的实根0x x =为微分方程

()()x F dt t dx =的平衡点（Θ0x x =是解且0=dt

dx ）. 若∀初始条件,（3）的解()t x 都满足