二次根式知识点

化简： 分析：常规思路是把后面的根式中的分母开出来。如果把外面的看作， 也可进行约分，这样会更简捷。 解：原式 直来直去，一鼓作气 计算： 分析：不要忙于把每个数做化简，利用乘除法的道理，先确定结果为负 的，然后在根号内直接进行乘除运算，这样省时省力。 解：原式 反思：做题时，不要急于求成，要多向思维，找到不同的方法，选择最 佳方案。代数题中也常有一题多解，有意识地加强这方面的训练，我们 就会变得更加机智灵活。 巧提公因数，化难为易 计算： 分析:若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算 相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘 以，即得分子，于是可以简解如下： 解：原式==. 计算 分析：因为，所以中有公因数、提公因数后，可用平方差公式计 算。 解：原式 巧分组，出奇制胜 计算 分析：两个括号里的三项式中，有两项完全相同：；有一项互为相 反数；与如果把两个完全相同的项结合在一起即则可以用平方差公式计 算。 解：原式
（7）、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①；② 例7、比较与的大小。 （8）、求商比较法 它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①； ② 例8、比较与的大小。 （9）、差一法
比较100/99 , 1000/999
规律性问题 例1. 观察下列各式及其验证过程：
C． D． 解析： ＝ ，成立的条件是： ，而且当 时， ；所以 成立的条件应是： ，即 ，故此应选C． 温馨提示：在二次根式化简时一定要注意法则成立的条件，再有要注意 分母不为0的条件制约． 二、 非负性的应用 例2．若 ，则 的值为（ A．64 C．16 ） B． D．
解析：因为 可以认为表示的是 的算术平方根，所以 表示非负数，又因为 表示绝对值，也是非负数，那么两个非负数的和为0，则么每个数应都 是0，即 ＝0， ，所以 ， ，因此 ＝ ＝64，故选A． 温馨提示：在初中我们接触到了实数的三个非负性，即
， 验证：
；
验证:
. （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想
的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示 的等式，并给出验证过程. 例2. 已知
， 则a _________ 发展：已知
，则a ______。 （＞0） （＜0） 0 （=0）； 二次根式中字母的取值范围
所以原式 计算 分析：有两种方法，一种换元，一种配方。 解法1：设 两边平方 因为 所以 即 解法2：原式 所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，能否找到运算技 巧，达到事半功倍效果。 借用整数“1”处理法 计算: 分析：本例运用很多方面的知识如： 1=×，然后再运用乘法分配率，使 分子与分母有相同因式，再约分化简。 解：原式 = = 降次收幂法 已知:x=2+，求的值。 分析：本例运用了使题中2次幂项转化成1次方的项再化简。如例题中把 多项式转化为4x－1，这样进行低次幂运算就容易了。 解：由x=2+,得x－2=。(x-2) =3整理得：x=4x－1。 所以：3x－2 x+5=3（4 x－1）－2 x+5=10（2+）+2=22+10
较为简便． 化简（+ - ）2+（- + ）2 分析:若直接展开，计算较繁，如利用公式 （a+b）2+（a-b） 2=2（a2+b2），则使运算简化． 解：原式 =[+ （- ）]2+[- （- ）]2 =2[（）2+（-）]2
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计算:
计算：
常值换元法 化简 【解】令 2002=a，则： 原式 =
=a2+3a+1=20022+3×2002+1
计算 分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式：，化简但还要通过 折项变形，使其具有公因式。 解：设A= = 所以A= 整体代入，别开生面 已知：，求下列各式的值。 （1） （2） 分析：根据x、y值的特点，可以求得，如果能将所求的值的式子变 形为关于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。 解：因为 所以 （1） （2） （也可以将变为来求） 巧换元，干净利索 计算 分析：此算式中的两个公式互为倒数，若设， 则原式 而 原式 解：设 则
3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根 式就是同类二次根式。 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那 么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 要点诠释： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化 成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有 关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并 同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释：
、
、
，当这三者中两个或三个相加和为0时，应每个都等于0． 三、
，隐含条件 ≥0的应用． 例3．已知 、 为实数，且满足 求 的值． 解析：因为 为实数，所以隐含着两个算术根都有意义，即被开方数均为非负数． 依题意得 解得： ，所以 ，又因为 所以 ＝ ＝2 温馨提示：若 和
都有意义，则 ＝0． 例4．已知 为实数，求代数式 的值 解析： 由于 为实数，被开方数均为非负数，所以 ，由 可得a＝0，所以原式＝ ＝－ ． 温馨提示：因为 ，若要 ，则 ＝0．在解这类问题时一定要深入的挖掘题目中字母的内在含义．
（3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较与的大小。 （4）、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较与的大小。 （5）、倒数法 例5、比较与的大小。 （6）、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 例6、比较与的大小。
=4014010 化简
裂项相消法 化简 +++……+ 【解】原式各项分母有理化得 原式 =-1+-+……+ 化简
分析:这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每 一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解： 解：原式 =+
计算 分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分 式。通过约分化简，如转化成：再化简，便可知其答案。 解：原式== 整体倒数法
要使条件等式成立，即， ∴，即， 又∵， ∴x的取值范围是。
根式方程
逆用分式加减法法则 把下列各式的分母有理化：； 分析:①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那 样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相 加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 【解】原式 = = +
巧用平方法， 化简 + 解：∵（+）2=6-+2+6+=12+2=14 ∴ +=． 点拨:对于这类共轭根式 a-与 a-的有关问题，一般用平方法都可以进 行化简 求代数式的值 巧用公式，独占鳌头 化简： 分析：因为都有意义，所以 所以 所以 解：原式 化简： 解：原式 = = = （+） 点拨:以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算
二次根式
1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； 分母； ⑶分母中不含根式。 ⑵被开方数中不含
把二次根式化成最简二次根式的一般步骤： (1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数， 把绝对值小于1的小数化成分数； (2)被开方数是多项式的要进行因式分解； (3)使被开 方数不含分母； (4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算 术平方根代替后移到根号外； (5)化去分母中的根号； (6)约分.
22 x－7（2+）-7=2－3，所以原式==42+ 例3、设x<0，且，求有理式 的值。 分析：待求分式分子、分母同除以得，，所以只要分别求出的值即 可。 解：∵，且， ∴， ∴， ， ∴原式=。 1、 构造零因式为整体 对于给定的x值，其值为二次根式，求关于x的多项式之值的问题， 我们可以考虑构造零因式，并以零因式为整体，简化多项式求值。 例4、当时，求多项式的值。 解：∵，∴， ∴原式=。 例5、若，求分式：的值。 解：∵，平方整理得： ， ∴原式=。 2、 设而不求，凑成整体 例6、已知，成立，求x的取值范围。 解：设 ， ∴ ，
计算： 分析：如果直接做分母有理化，分子会变得较复杂，根据分母中数字特 点，改变思路。 这样可约分，立刻变得非常简便了。 解：原式 计算 分析:将根号外的因式移到根号内，然后运用平方差公式计算比较简 便；或先把化简，然后利用平方差公式计算。 解：原式 齐头并进，随机应变 已知：，，求的值。 分析：已知条件较复杂，可先化简，然后把所求的式子也适当变形，再 代入求值。 解： 已知，求的值。 解：∵，∴ ， ∴ 里应外合，出奇制胜
如果两个最简二次根式
和 是同类二次根式，那么a、b的值是( ) A.a=2，b=1 B.a=1，b=2 C.a=1，b=-1 D.a=1，b=1 思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提 下，被开方数相同.
解：根据题意，得
解之，得
，故选D. 总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2) 被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都 可如此.
(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并 4.二次根式的性质：
（1）（）2= （≥0）； 5.二次根式的运算：
（2）
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽 方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数 是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号 外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并 同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘 （除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为 最简二次根式．
二次根式中字母如何移动： 不管是把字母从二次根式内移到根号外，还是把字母从二次根 式外移到根号内，都是移动正数。负数要添一个负号“—”，再 移动字母。
将
根号外的a移到根号内，得 ( ) A. ； B. － ； C. － ； D.
学习二次根式注意挖掘隐含条件
形如 的式子叫二次根式，这里 ≥0是二次根式的隐含条件，不可忽视． 一、应用隐含条件确定字母的取值范围： 例1．已知 ，则 的取值范围是（ A． B． ）
= · （a≥0，b≥0）；
（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法 对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 除法没有交换律 比较数值 （1）、根式变形法 当时，①如果，则；②如果，则。 例1、比较与的大小。 （2）、平方法
当时，①如果，则；②如果，则。 例2、比较与的大小。
二次根式化简计算小技巧
先变所求，“已知”后用 已知：，求的值。 分析：先别急于把已知数代入要求的式子，可先把所求式子进行计算和 化简后，再代入求值。 解： 当时 原式 退中求进，后来居上 计算： 分析：指数太大，不能直接计算若把，退一步看作，再把,退一步看 作，运用平方差公式计算，就简便多了。 解：原式