基本不等式-课件ppt

1．设 b>a>0，且 a＋b＝1，则四个数12，2ab，a2＋b2，b 中最大的是( A )
A．b
B．a2＋b2
C．2ab
1 D.2
2.在下列函数中，最小值为2的是（ C ）
x5 A. y (x R, x 0) B.
y lg x 1 (1 x 10)
5x
lg x
C. y 3x 3x(x R)
D. y sin x 1 (0 x ) sin x 2
3 已知 x<54，求函数 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值．
解：∵x<54，所以 4x－5<0. ∴5－4x>0.
∴y＝4x－2＋4x－ 1 5＝4x－5＋4x－ 1 5＋3
＝－5－4x＋5－14x＋3≤-2+3=1 当且仅当5 4x 1 ，即x 1时，等号成立.
4 即 x＝34，y＝32时，等号成立． ∴当 x＝34，y＝32时，21x＋1ymin＝43.
小结：这节课主要讲了用均值不等式求最值， 应用基本不 等式求最值应注意三个条件:
当两个正数的和为定值时，其积有最大值；当积为定值时， 其和有最小值．应用此结论要注意三个条件：“一正、二定、三 相等”．也就是说，
解： x 0
y x 1 2 x1 2
x
x
当且仅当x 1 即x 1时，原式有最小值2. x
结论：两个正数积为定值，则和有最小值
2.已知x 0,求y x 1 的最大值； x
解： x 0 x 0
y x ( 1 ) 2 x( 1 ) 2
x
x
y 2
当且仅当 x 1 , 即x 1时，等号成立. x
(2)若 2x＋y＝3，且 x，y 都是正数，求21x＋1y的最小值．
思路：
方
2x y 3
法
1 (2x y) 1
一
3
做法与上题相同，步骤 略.
【解】 方 法 二
(2)∵21x＋1y＝2x2＋ xyy＝23xy， 又∵2x＋y＝3≥2 2xy，∴2xy ≤94. ∴21x＋1y≥39＝43.当且仅当 2x＝y＝32，
函数y
6 x(1 3x)的最大值为
3.
6
练习: (1)若 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值； (2)若 x<0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最大值；
解
(1)∵x>0，由基本不等式f(x)＝
12 x
＋3x≥2
12 x ·3x
＝
2 36＝12.当且仅当3x＝1x2时，即x＝2时，f(x)取最小值为12.
y的最大值是 2.
通过加减项的方法配凑成
基本不等式的形式.
3. 已知x 1，求y x 1 的最小值以及取得最小值时x的值。
x 1
解： x 1 y x
1
x 1 0 (x 1) 1
构造积为定值
1
x 1
x 1
2 (x 1) ห้องสมุดไป่ตู้1 1 x 1
3
当且仅当 x 1 1 ,即x＝2时，等号成立.
【错因分析】 上述解法中，连用了两次基本不等式，其 等号成立的条件是不同的，前一个等号成立的条件是a＝b，后 一个等号成立的条件是b＝9a，若等号同时成立，则a＝b＝0， 这与题设相矛盾．
【正解】 ∵a＋b＝(a＋b)1a＋9b＝1＋ba＋9ba＋9 ≥10＋2 ba·9ba＝16， 当且仅当ba＝9ba，即 b＝3a 时，取等号，又1a＋9b＝1， ∴当 a＝4，b＝12 时，a＋b 有最小值 16.
(1)各项或各因式均为正值． (2)和或积为定值． (3)各项或各因式相等时有解．三个条件缺一不可.
课前热身 1.基本不等式． (1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋
b2___≥_____2ab，当且仅当__a__=_b___时，等号成立． (2)基本不等式：如果a>0，b>0，那么 ab___≤___a＋2 b，当
且仅当___a_=_b___时，等号成立．
2．应用基本不等式求最值的条件是“一定，二正，三相等”。
5 4x
函数最大值为 1.
【例 2】 (1)函数 y＝a1-x(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若 点 A 在直线 mx＋ny－1＝0(mn>0)上，求m1 ＋1n的最小值；
【解】 (1)∵y＝a1－x恒过定点A(1,1)，又∵A在直线mx＋ny －1＝0上，
∴m＋n＝1. 而m1 ＋1n＝m＋ m n＋m＋n n＝1＋mn ＋mn ＋1≥2＋2＝4. 当且仅当m＝n＝12时，取“＝”． ∴m1 ＋1n的最小值为4.
(1已)若知xx＋，yy＝都s(为和正为数定，值则)，则当_x___y___S2_时，积 xy 取得最大 值____S4_2 ___．
(2)若 xy＝p(积为定值)，则当_x__y____p_时，和 x＋y 取得最小
值___2__p___.
例题讲解
1.已知x 0,求y x 1 的最小值； x
x 1
函数的最小值是3，取得最小值时x的值为2
4. 求函数y x(13x)的最大值。
解： x(1 3x) 0
0 x 1 3
y x(1 3x)
1 3x(1 3x) 3
3
3
3x(1 3x)
3 3x (1 3x) 3 1 3
3
2
32 6
当且仅当3x 1 3x，即x 1 时，等号成立
(2)∵x<0，∴－x>0.
则－f(x)＝－12x＋(－3x)≥2 －12x·－3x＝12.
即f(x)≤－12，当且仅当
12 －x
＝－3x时，即x＝－2时f(x)取最
大值－12.
易错探究 已知 a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值． 解： ∵a>0，b>0， ∴a＋b≥2 ab，1a＋9b≥2 a9b. ∴a＋b＝1a＋9b(a＋b)≥ 2 ab·2 a9b＝12. ∴a＋b 的最小值为 12.