基本不等式-课件ppt
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2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)
利用基本不等式比较大小
【例 2】 (1)已知 a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 ab
B.ba＋ab≥2
C.a2＋abb2≥2 ab
D.a2＋abb≥ ab
(2)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋bc
＋ca 的大小关系是________．
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立 即a＝1时，“＝”成立．] 的条件是( ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，
下列各式中最大的是( )
b2＜b，
A．a2＋b2
一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<ab<1
C.
a＋b ab< 2
D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知 ab<a＋2 b一定成立．]
3．不等式x－9 2＋(x－2)≥6(其 中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C [由基本不等式知等号成立 的条件为x－9 2＝x－2，即x＝5(x＝－ 1舍去)．]
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞
B．2 ab
2ab(∵a≠b)，
C．2ab
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
D．a＋b
又∵a＋b＞2 ab(∵a≠b)，∴a
＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a
B [∵a>0，b>0，∴a＋
＋b的最小值为( )
b≥2 ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取
2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
基本不等式又叫均值不等式精品PPT课件
x
y
y 2x 3 x y 3 2 2
当且仅当
y 2 x 即: y 2 x 时取“=”号 x y
1 x 2 2 2 y 2 2
即此时
y 2x 而 2 x y 1
ymin 3 2 2
正解二： 2x y 1
A、40 B、10
Ｄ）
C、4 D、2
１、应用均值不等式须注意以下三点：
（１）各项或各因式为正 （２）和或积为定值 （３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形， 以满足上述前提，即“一正二定三等” ２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转 化为“和式”的放缩功能； 创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；
综上所述：当 x 0时，y min 2 当x 0时，y max 2
2 引例2：已知x 1, 求y x 的最小值 x 1 解法一： x 1 2 x x 1
2 y x 2 x 1
积不是 定值
解法二：
x 1, x 1 0 2 当且仅当x 时，y有最小值 x 1 此时x 2 x 2 0, 解得x 2, x 1(舍去) 2 2 4 2 1
1 xy 即 2 2 xy 2 2 1
错因：
过程中两次运用了
1 1 1 2 2 2 2 4 2 x y xy
1 1 即 的最小值为 4 x y
均值不等式中取“=”
号过渡，而这两次取
2
“=”号的条件是不同的，
故结果错。
1 1 正解一： 2x y 2x y x y
看谁最快
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
高中数学精品课件：第一章 基本不等式
(2)若 x<23，则 f(x)＝3x＋1＋3x－9 2有
A.最大值0
√C.最大值－3
B.最小值9 D.最小值－3
∵x<23，∴3x－2<0， f(x)＝3x－2＋3x－9 2＋3 ＝－2－3x＋2－93x＋3 ≤－2 2－3x·2－93x＋3＝－3. 当且仅当 2－3x＝2－93x，即 x＝－13时取“＝”.
教材改编题
1.已知 x>2，则 x＋x－1 2的最小值是
A.1
B.2
C.2 2
√D.4
∵x>2， ∴x＋x－1 2＝x－2＋x－1 2＋2≥2 x－2x－1 2＋2＝4， 当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时，等号成立.
2.(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是
A.ba＋ab≥2
√B.ab≤a2＋2 b2
第一章
§1.4 基本不等式
考试要求
1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
知识梳理
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立.
a＋b (3)其中 2 叫做正数a，b的算术平均数， ab 叫做正数a，b的几何 平均数.
方法一 9－xy＝x＋3y≥2 3xy， ∴9－xy≥2 3xy， 令 xy＝t， ∴t>0， ∴9－t2≥2 3t， 即 t2＋2 3t－9≤0， 解得 0<t≤ 3，
∴ xy≤ 3，∴xy≤3， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.
方法二 ∵x＝91－＋3yy， ∴x·y＝91－＋3yy·y＝9y1－＋3yy2
高中数学基本不等式 PPT课件 图文
2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
基本不等式ppt课件
a b
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
第三节 基本不等式 (高中数学精品课件PPT)
返回
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
a＋b 2
，几何平均
数为 ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均
数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是
2 p(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
返回
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
返回
考点一 利用基本不等式求最值[全析考法过关]
返回
(一) 拼凑法——利用基本不等式求最值
[例1] (1)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值
2 为____3____．
[解析]
x(4－3x)＝
1 3
·(3x)(4－3x)≤
1 3
A．80
B．77
C．81
D．82
( C)
返回
2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是
(B )
A．a＜b＜ ab＜a＋2 b
B．a＜ ab＜a＋2 b＜b
C．a＜ ab＜b＜a＋2 b
D. ab＜a＜a＋2 b＜b
解析：因为0＜a＜b，所以a－ ab＝ a( a－ b)＜0，
故a＜ ab；b－a＋2 b＝b－2 a＞0，故b＞a＋2 b；由基本不等式
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；
(3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)；(4)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)；
(5)a2＋abb≤ ab≤a＋2 b≤
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.
基本不等式(共43张)ppt课件
解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进 行合并，并把未知数移到 不等式的一边，常数移到 另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的 同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1，得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时，要注意不等号的方向，特别是在乘以或除以一个负数时，不等 号的方向要发生变化。
基本不等式(共43张)ppt课件
目录
• 基本不等式概念及性质 • 一元一次不等式解法 • 一元二次不等式解法 • 绝对值不等式解法 • 分式不等式和无理不等式解法 • 基本不等式在几何中的应用 • 基本不等式在函数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
基本不等式概念及性质
不等式定义与分类
不等式定义
根）；
04
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
04
绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值的性质
非负性、对称性、三角不等式。
绝对值不等式解法步骤
将不等式左边进行因式分解，找出不 等式的临界点。
无理不等式解法
第一步
确定无理不等式的定义域，即根 号内的表达式必须大于等于零。
第二步
通过平方消去根号，将无理不等式 转化为有理不等式。
第三步
利用有理不等式的解法，求解转化 后的不等式，得到原无理不等式的 解集。
综合应用举例
例1
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。
本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。
课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。
本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。
030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。
不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。
对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。
若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。
同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。
若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。
特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。
柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。
基本不等式课件(共43张PPT)
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
立
a2 b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
课堂练习： 已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1.
求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：证明：1a＋1b＋
1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋
a＋b＋c c
＝3＋
(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
小结 基本不等式 ab a b (a 0,b 0)
第三章 不等式
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿＿2 ＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
[例 2] 若 a>b>1，P＝ lga·lgb，Q＝lga＋2 lgb，R＝lg(a＋2 b)， 试比较 P、Q、R 的大小．
1 第1课时 基本不等式(共42张PPT)
解析：因为 a＞0，且 2x＋ax≥2 当且仅当 2x＝ax，
2x·ax＝2 2a，
即 x＝ 22a时，2x＋ax取得最小值， 所以 22a＝3， 解得 a＝18. 答案：18
5．已知 x，y 为正实数，且 x＋y＝4，求1x＋3y的最小值． 解：因为 x，y 为正实数， 所以(x＋y)1x＋3y ＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，
(1)若 a＋b＝S(和为定值)，当 a＝b 时，积 ab 有最大值S42，可以用基本不等 式 ab≤a＋2 b求得． (2)若 ab＝P(积为定值)，则当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P，可以用基本 不等式 a＋b≥2 ab求得． 不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
1．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为
【解析】 对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对于选项 B，符 合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项 C， 忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x，则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选 项 D，x－1x在 0<x≤2 的范围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
A．7
B．8
C．9
D．10
()
解析：选 C.因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
ab·4ba
探究点 3 利用基本不等式求最值 (1)已知 x>2，则 y＝x＋x－4 2的最小值为________．
(2)若 0<x<12，则函数 y＝12x(1－2x)的最大值是________． (3)若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．
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y的最大值是 2.
通过加减项的方法配凑成
基本不等式的形式.
3. 已知x 1，求y x 1 的最小值以及取得最小值时x的值。
x 1
解： x 1 y x
1
x 1 0 (x 1) 1
构造积为定值
1
x 1
x 1
2 (x 1) 1 1 x 1
3
当且仅当 x 1 1 ,即x＝2时，等号成立.
(2)∵x<0，∴－x>0.
则－f(x)＝－12x＋(－3x)≥2 －12x·－3x＝12.
即f(x)≤－12，当且仅当
12 －x
＝－3x时，即x＝－2时f(x)取最
大值－12.
易错探究 已知 a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值． 解： ∵a>0，b>0， ∴a＋b≥2 ab，1a＋9b≥2 a9b. ∴a＋b＝1a＋9b(a＋b)≥ 2 ab·2 a9b＝12. ∴a＋b 的最小值为 12.
(1已)若知xx＋，yy＝都s(为和正为数定，值则)，则当_x___y___S2_时，积 xy 取得最大 值____S4_2 ___．
(2)若 xy＝p(积为定值)，则当_x__y____p_时，和 x＋y 取得最小
值___2__p___.
例题讲解
1.已知x 0,求y x 1 的最小值； x
D. y sin x 1 (0 x ) sin x 2
3 已知 x<54，求函数 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值．
解：∵x<54，所以 4x－5<0. ∴5－4x>0.
∴y＝4x－2＋4x－ 1 5＝4x－5＋4x－ 1 5＋3
＝－5－4x＋5－14x＋3≤-2+3=1 当且仅当5 4x 1 ，即x 1时，等号成立.
x 1
函数的最小值是3，取得最小值时x的值为2
4. 求函数y x(13x)的最大值。
解： x(1 3x) 0
0 x 1 3
y x(1 3x)
1 3x(1 3x) 3
3
33Βιβλιοθήκη (1 3x)3 3x (1 3x) 3 1 3
3
2
32 6
当且仅当3x 1 3x，即x 1 时，等号成立
解： x 0
y x 1 2 x1 2
x
x
当且仅当x 1 即x 1时，原式有最小值2. x
结论：两个正数积为定值，则和有最小值
2.已知x 0,求y x 1 的最大值； x
解： x 0 x 0
y x ( 1 ) 2 x( 1 ) 2
x
x
y 2
当且仅当 x 1 , 即x 1时，等号成立. x
函数y
6 x(1 3x)的最大值为
3.
6
练习: (1)若 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值； (2)若 x<0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最大值；
解
(1)∵x>0，由基本不等式f(x)＝
12 x
＋3x≥2
12 x ·3x
＝
2 36＝12.当且仅当3x＝1x2时，即x＝2时，f(x)取最小值为12.
5 4x
函数最大值为 1.
【例 2】 (1)函数 y＝a1-x(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若 点 A 在直线 mx＋ny－1＝0(mn>0)上，求m1 ＋1n的最小值；
【解】 (1)∵y＝a1－x恒过定点A(1,1)，又∵A在直线mx＋ny －1＝0上，
∴m＋n＝1. 而m1 ＋1n＝m＋ m n＋m＋n n＝1＋mn ＋mn ＋1≥2＋2＝4. 当且仅当m＝n＝12时，取“＝”． ∴m1 ＋1n的最小值为4.
(2)若 2x＋y＝3，且 x，y 都是正数，求21x＋1y的最小值．
思路：
方
2x y 3
法
1 (2x y) 1
一
3
做法与上题相同，步骤 略.
【解】 方 法 二
(2)∵21x＋1y＝2x2＋ xyy＝23xy， 又∵2x＋y＝3≥2 2xy，∴2xy ≤94. ∴21x＋1y≥39＝43.当且仅当 2x＝y＝32，
(1)各项或各因式均为正值． (2)和或积为定值． (3)各项或各因式相等时有解．三个条件缺一不可.
课前热身 1.基本不等式． (1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋
b2___≥_____2ab，当且仅当__a__=_b___时，等号成立． (2)基本不等式：如果a>0，b>0，那么 ab___≤___a＋2 b，当
且仅当___a_=_b___时，等号成立．
2．应用基本不等式求最值的条件是“一定，二正，三相等”。
【错因分析】 上述解法中，连用了两次基本不等式，其 等号成立的条件是不同的，前一个等号成立的条件是a＝b，后 一个等号成立的条件是b＝9a，若等号同时成立，则a＝b＝0， 这与题设相矛盾．
【正解】 ∵a＋b＝(a＋b)1a＋9b＝1＋ba＋9ba＋9 ≥10＋2 ba·9ba＝16， 当且仅当ba＝9ba，即 b＝3a 时，取等号，又1a＋9b＝1， ∴当 a＝4，b＝12 时，a＋b 有最小值 16.
4 即 x＝34，y＝32时，等号成立． ∴当 x＝34，y＝32时，21x＋1ymin＝43.
小结：这节课主要讲了用均值不等式求最值， 应用基本不 等式求最值应注意三个条件:
当两个正数的和为定值时，其积有最大值；当积为定值时， 其和有最小值．应用此结论要注意三个条件：“一正、二定、三 相等”．也就是说，
1．设 b>a>0，且 a＋b＝1，则四个数12，2ab，a2＋b2，b 中最大的是( A )
A．b
B．a2＋b2
C．2ab
1 D.2
2.在下列函数中，最小值为2的是（ C ）
x5 A. y (x R, x 0) B.
y lg x 1 (1 x 10)
5x
lg x
C. y 3x 3x(x R)
通过加减项的方法配凑成
基本不等式的形式.
3. 已知x 1，求y x 1 的最小值以及取得最小值时x的值。
x 1
解： x 1 y x
1
x 1 0 (x 1) 1
构造积为定值
1
x 1
x 1
2 (x 1) 1 1 x 1
3
当且仅当 x 1 1 ,即x＝2时，等号成立.
(2)∵x<0，∴－x>0.
则－f(x)＝－12x＋(－3x)≥2 －12x·－3x＝12.
即f(x)≤－12，当且仅当
12 －x
＝－3x时，即x＝－2时f(x)取最
大值－12.
易错探究 已知 a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值． 解： ∵a>0，b>0， ∴a＋b≥2 ab，1a＋9b≥2 a9b. ∴a＋b＝1a＋9b(a＋b)≥ 2 ab·2 a9b＝12. ∴a＋b 的最小值为 12.
(1已)若知xx＋，yy＝都s(为和正为数定，值则)，则当_x___y___S2_时，积 xy 取得最大 值____S4_2 ___．
(2)若 xy＝p(积为定值)，则当_x__y____p_时，和 x＋y 取得最小
值___2__p___.
例题讲解
1.已知x 0,求y x 1 的最小值； x
D. y sin x 1 (0 x ) sin x 2
3 已知 x<54，求函数 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值．
解：∵x<54，所以 4x－5<0. ∴5－4x>0.
∴y＝4x－2＋4x－ 1 5＝4x－5＋4x－ 1 5＋3
＝－5－4x＋5－14x＋3≤-2+3=1 当且仅当5 4x 1 ，即x 1时，等号成立.
x 1
函数的最小值是3，取得最小值时x的值为2
4. 求函数y x(13x)的最大值。
解： x(1 3x) 0
0 x 1 3
y x(1 3x)
1 3x(1 3x) 3
3
33Βιβλιοθήκη (1 3x)3 3x (1 3x) 3 1 3
3
2
32 6
当且仅当3x 1 3x，即x 1 时，等号成立
解： x 0
y x 1 2 x1 2
x
x
当且仅当x 1 即x 1时，原式有最小值2. x
结论：两个正数积为定值，则和有最小值
2.已知x 0,求y x 1 的最大值； x
解： x 0 x 0
y x ( 1 ) 2 x( 1 ) 2
x
x
y 2
当且仅当 x 1 , 即x 1时，等号成立. x
函数y
6 x(1 3x)的最大值为
3.
6
练习: (1)若 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值； (2)若 x<0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最大值；
解
(1)∵x>0，由基本不等式f(x)＝
12 x
＋3x≥2
12 x ·3x
＝
2 36＝12.当且仅当3x＝1x2时，即x＝2时，f(x)取最小值为12.
5 4x
函数最大值为 1.
【例 2】 (1)函数 y＝a1-x(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若 点 A 在直线 mx＋ny－1＝0(mn>0)上，求m1 ＋1n的最小值；
【解】 (1)∵y＝a1－x恒过定点A(1,1)，又∵A在直线mx＋ny －1＝0上，
∴m＋n＝1. 而m1 ＋1n＝m＋ m n＋m＋n n＝1＋mn ＋mn ＋1≥2＋2＝4. 当且仅当m＝n＝12时，取“＝”． ∴m1 ＋1n的最小值为4.
(2)若 2x＋y＝3，且 x，y 都是正数，求21x＋1y的最小值．
思路：
方
2x y 3
法
1 (2x y) 1
一
3
做法与上题相同，步骤 略.
【解】 方 法 二
(2)∵21x＋1y＝2x2＋ xyy＝23xy， 又∵2x＋y＝3≥2 2xy，∴2xy ≤94. ∴21x＋1y≥39＝43.当且仅当 2x＝y＝32，
(1)各项或各因式均为正值． (2)和或积为定值． (3)各项或各因式相等时有解．三个条件缺一不可.
课前热身 1.基本不等式． (1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋
b2___≥_____2ab，当且仅当__a__=_b___时，等号成立． (2)基本不等式：如果a>0，b>0，那么 ab___≤___a＋2 b，当
且仅当___a_=_b___时，等号成立．
2．应用基本不等式求最值的条件是“一定，二正，三相等”。
【错因分析】 上述解法中，连用了两次基本不等式，其 等号成立的条件是不同的，前一个等号成立的条件是a＝b，后 一个等号成立的条件是b＝9a，若等号同时成立，则a＝b＝0， 这与题设相矛盾．
【正解】 ∵a＋b＝(a＋b)1a＋9b＝1＋ba＋9ba＋9 ≥10＋2 ba·9ba＝16， 当且仅当ba＝9ba，即 b＝3a 时，取等号，又1a＋9b＝1， ∴当 a＝4，b＝12 时，a＋b 有最小值 16.
4 即 x＝34，y＝32时，等号成立． ∴当 x＝34，y＝32时，21x＋1ymin＝43.
小结：这节课主要讲了用均值不等式求最值， 应用基本不 等式求最值应注意三个条件:
当两个正数的和为定值时，其积有最大值；当积为定值时， 其和有最小值．应用此结论要注意三个条件：“一正、二定、三 相等”．也就是说，
1．设 b>a>0，且 a＋b＝1，则四个数12，2ab，a2＋b2，b 中最大的是( A )
A．b
B．a2＋b2
C．2ab
1 D.2
2.在下列函数中，最小值为2的是（ C ）
x5 A. y (x R, x 0) B.
y lg x 1 (1 x 10)
5x
lg x
C. y 3x 3x(x R)