著名机构七年级数学春季班讲义1实数的概念(学生)
最新七年级数学讲义一：实数
1、 七年级数学讲义一：实 数姓名【知识梳理】实数的分类数轴上的点与实数一一对应右边的点表示的数比左边的大b a AB -=实数的运算 分数指数幂已知下列实数： ,1020.5,23,0,1.2,25,,722,14.3,32⨯-•π25， 1010010001.1（每两个1之间依次多一个0）.（1）按要求填空：无理数有______________________________,有理数有______________________________，整数有________________________________.分数有______________________________,（2）请在数轴上用点A 、点B 分别表示5-,3的大致位置.（3）求出点A 、点B 之间的距离.（结果保留3个有效数字）（1）64的平方根是______； （2）64-的立方根是______；（3）64=______； （4）32的五次方根是______；（5）1的四次方根是______； （6）0的立方根是_______；（7）已知42=x ，则=x _______； （8）4的平方根是_____.练习： 1．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根．2．0.25的算术平方根是________．3．9的算术平方根是________，81的算术平方根是________．4．36的平方根是________，若362=x ，则x ＝________． 5．22的平方根是________，3)4(--的平方根是________，3)4(--的算术平方根是________． 6． 81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是_______，7．当a ________时，1-a 有意义．8、 求下列各式的值．（138-= （2）327= （3）30.125-=（4）33(0.001)--= （53512= （6）32764--= （7）0.0196= （8）0.0225= （90.0169=9．23a -与5a -是同一个数的平方根，求这个数例题3 概念辨析：下列等式是否正确？改错。
著名机构七年级数学春季班讲义2实数的运算(学生)
托 实数的运算课时目标1. 学习将无理数用数轴上的点表示，理解实数与数轴上的点的对应关系；2. 会求无理数的绝对值、相反数和倒数，会对实数进行大小比较；3. 理解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍适用，能够熟练进行实数的四则运 算，并按要求进行化简；4. 进一步认识近似数与有效数学的概念，能够按要求对结果取近似数.知识精要1. 点和实数的关系数轴上的点与实数是一一对应关系.2. 绝对值的定义实数a 的绝对值就是数轴上表示实数a 的点与原点之间的距离.记作a .则： ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 3. 相反数的定义绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 非零实数a 的相反数是－a ， 0的相反数是0.4. 倒数的定义乘积为1的两个数互为倒数.任意非零实数a 的倒数是a1，0没有倒数. 5. 两数大小的比较（1）正数大于0，负数小于0；（2）两个正数比较大小，绝对值大的比较大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；（3）从数轴上看，右边的数总比左边的大.托6. 数轴上两点的距离公式在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，则距离AB=b a -.7. 实数的四则运算有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立，运算顺序：先乘方， 开方，再乘除，最后加减. 同级运算按照从左到右顺序进行，有括号先算括号里.8. 实数的运算法则（1）)0()(≥+=+c c b a c b c a（2）)0,0(≥≥⋅=b a ba ab )0,0(>≥=b a b a b a9. 准确数和近似数准确数：完全符合实际地表示一个量多少的数.近似数（或近似值）：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数. 精确度：对近似数与准确数的接近程度的要求，叫做精确度.10．有效数字对于一个近似数，从左边第一个非零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字. 热身练习1．求下列各数的相反数，倒数和绝对值.（1）34-（23（3352. 已知,a b 为两个连续整数，且7a b <<，则a b += .3. 一个正数的平方是3，这个数的准确数是 ；近似数（精确到千分位）托是 ；近似数的有效数字有 位，有效数字是 .4. 计算（1）3362-= （22279⨯= （3）2714= （4）32(2162)-=（5122=（69632= （7）(2123)6= （8）23)(32)=（9）133(323)2（10102510（11）(55)5- （1262(2)-（13）222222513683)4(--++--5. 用四舍五入法,按括号内的要求对下列数取近似值.(1)0.008435(保留三个有效数字) ≈(2)12.975(精确到百分位) ≈托(3)548203(精确到千位) ≈(4)5365573(保留四个有效数字) ≈精解名题例1 比较大小1.（近似值法）比较52+3 2.11的大小2.3226+3.（求差法）比较a与1a（01a<<）的大小.例2已知数轴上A,B,C三点表示的数分别是11.2,5,33--，求A与B ，A与C两点之间的距离.托例3 已知13x <<，化简下列各式：（1） 3131x x x x --+--； （2）13x x -+-例4 2(1)1m m -+巩固练习一 选择题149的平方根是（ ）A ．±7B ．－7C ．±7D 72．下列各式计算正确的是（ ）A ．4 2B ．38=±2C 31-－1D ．±93．下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）A ．－22(2)-B ．－238-C ．－2与－12 D ．│－2│与242(3)x -+x －3=0，则x 的取值范围是（ ）托A ．x >3B ．x <3C ．x ≥3D ．x ≤35．下列计算正确的是（ ）A ．0(2)0-=B ．239-=-C 93=D 325=6. 下列式子，正确的是（ ） A. 3232= B. (21)(21)1=C. 122-=-D. 2222()x xy y x y +-=-7. 计算29328+-的结果是（ ） A ．22- B ． 22 C ．2 D ．223 8. 52a =，52b =227a b ++的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69. a 2a a 的大小关系是（ ）A ．2a aB ．2a aC 2a aD 2a a二、计算题1. 化简（1）122332（2）a b b c c a -+---（a <b <c ）（3）4330,0)a b b a a ab ----<<（4） 27362. 计算托（1722324752（2）15(23)(4283)2-（3）352)255（4）)138)(138(-+（5）)625()23(2-+（6）2032)(526)(526)⨯++-3.解方程（1）()27183=-x（2）()0481232=-+x三、解答题1. 在数轴上分别标出12.4,1,5,34---并用“<”把这些数连接起来.托2. 72-的两个点之间有几个点表示整数？3. 实数a 在数轴上所对应的点是P ，化简代数式12a a +++.4. 在数轴上表示2A,B ，点B 关于点A 的对称点C ，求点C 所对应的实数x .自我测试一、选择题 1. 2)5(-的平方根是（ ）A 、5±B 、5C 、5-D 、5±2. 下列运算正确的是（ ）A 、3311--=-B 、 3333=-C 、 3311-=-D 、3311-=-3. 若a 、b 为实数，且471122++-+-=a a a b ，则b a +的值为 （ ） A 、1± B 、5± C 、3或5 D 、54. 下列说法错误的是（ ）－2托 A 、2是2的平方根 B 、两个无理数的和，差，积，商不一定是无理数C 、 无限小数是无理数D 、—27的立方根是—35. 若9,422==b a ，且0<ab ，则b a -的值为 （ ）A 、2-B 、5±C 、5D 、5-6. 判断下列说法正确的个数是（ ）(1)无限小数都是无理数; (2)无理数都是无限小数;(3)正实数包括正有理数和正无理数；(4)实数可以分为正实数和负实数两类.A 、 1个B 、 2个C 、3个D 、 4个7. 下列等式正确的是（ ）A 、864-=-B 、()222=- C 、()662=-- D 、 636±=二、填空题1．比较大小：－7 －43．2．若13x y ++-=0，那么x = ，y = ．3. 上海市统计局公布去年我市各级各类学校在校生约为625900人，用科学记数法表示为 人（保留两个有效数字）.4．若5+10的整数部分是a ，小数部分是b ，则a －b = ．5．实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简a +│a +b │－2c －│b －c │= ．6. 已知223y x x =--，则x y = .7. 若 2163610x -= 则x = .8. 若 38(3)27x --= 则x = .三、解答题1. 计算托（1326273⨯ （2）()1013142-⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）11(318504)52+÷32 （4）101(1)527232-⎛⎫π-+-+- ⎪⎝⎭2. 对下列各数按括号中的要求取近似数.（1）4.0056（保留三个有效数字）≈（2）9.23456（精确到0.0001）≈（3）5678999（精确到万位）≈（4）5678999（保留两个有效数字）≈3. 0)(324100=++-+-+z y x zy x ，求z y x ++的值.4. 求值（1）（235+-）（235--）源于名校，成就所托11（2）22)32()32(-++。
著名机构数学讲义寒假01-七年级基础版-实数的概念与开平方-学生版
教师姓名 冯娜娜 学生姓名 年 级 初一 上课时间单击此处输入日期。
学 科数学课题名称实数的概念与开平方知识模块Ⅰ：无理数的概念1、定义：无限不循环小数叫做无理数。
2、无理数也有正、负之分。
如2,,0.1010010001 L 等这样的数叫做正无理数；实数的概念与开平方如2,,0.1010010001π---L 等这样的数叫做负无理数。
只有符号不同的两个无理数（2与2-，π与π-），它们互为相反数。
【例1】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示． ①无限小数都是无理数.（ ） ②无理数就是开方开不尽的数.（ ） ③开方开不尽的数都是无理数.（ ） ④一个小数，不是有理数，就是无理数.（ ）【例2】无理数是（ ）.A 无限循环小数 .B 开方开不尽的数 .C 除有限小数以外的所有实数.D 除有理数以外的所有实数【例3】在0、π、0.01、16、0.010010001……、3中，属于无理数的是 .知识模块Ⅱ：实数的概念有理数和无理数统称为实数。
实数可以这样分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数 实数正有理数无理数无限不循环小数负有理数【例4】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示．（1）实数不是有理数就是无理数． （ ） （2）无理数都是无限不循环小数． （ ） （3）带根号的数都是无理数． （ ）（4）无理数都是无限小数． （ ） （5）无理数一定都带根号．（ ） （6）两个无理数之和一定是无理数．（）（7）两个无理数之积不一定是无理数． （）【例5】把下列各数填入相应的集合内，243，39-，3.1415，10，0.6，0，3125-， 3π，4916，0.01001000100001L（1）有理数集合：{ …} （2）无理数集合：{ …} （3）正实数集合：{ …}知识模块Ⅲ：平方根与开平方（一）平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. （二）平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.（三）平方根的性质2x a =x a a a a a ±a a a a -a a a a a a a ±a【例11】已知21a -与2a -+是m 的平方根，求m 的值.【例12】已知a b c 、、满足211(2)0a b c ++-+-=，求201320133a b c ++的值.【例13】知114x x y -+-=+，你能求出x y -的值吗？【习题1】 16的平方是 ，16的平方根是 ； 【习题2】81的平方是 ，81的平方根是 ；【习题14】 如图，在3×3的方格中（每个小正方形的边长为1）四边形ABCD 是正方形，利用面积的关系探求正方形ABCD 的边长是 。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的概念实数，这个在数学世界中极为基础且重要的概念，是我们理解数量关系和解决数学问题的关键。
简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数集。
有理数，我们都很熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）都属于有理数。
而无理数呢，则是那些无限不循环小数，比如大家熟知的圆周率π，还有根号 2 等等。
实数可以直观地理解为在数轴上能找到对应点的数。
也就是说，数轴上的每一个点都代表着一个实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。
二、有理数有理数是实数的重要组成部分。
整数，像－3、0、5 这样的数，它们没有小数部分，清晰明了。
分数呢，比如 1/2、3/4 ，可以表示为两个整数的比值。
有理数具有一些很重要的性质。
比如，两个有理数相加、相减、相乘或相除（除数不为 0），结果仍然是有理数。
而且，有理数是可以用有限小数或无限循环小数来表示的。
我们在日常生活中，很多常见的数量关系都可以用有理数来描述。
比如购物时的价格、物品的数量等等。
三、无理数无理数虽然不像有理数那样“规矩”，但在数学中同样不可或缺。
像根号 2 ，它的值约为 141421356……，这个小数无限且不循环。
圆周率π，约为31415926……，也是一个无限不循环小数。
无理数的发现，让人们对数学的认识更加深入和丰富。
虽然它们的数值看起来没有规律，但通过数学方法和计算，我们可以对它们进行近似和研究。
四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方等。
加法和减法：实数的加法和减法遵循相同的规则，即将对应位上的数字相加或相减，并考虑进位和借位。
乘法：两个实数相乘，先将它们按照整数乘法的规则相乘，然后确定积的符号（同号得正，异号得负），最后根据小数位数确定积的小数点位置。
除法：将除数变为倒数，然后与被除数相乘。
乘方：一个实数的 n 次幂，就是将这个实数乘以自身 n 次。
在进行实数运算时，要特别注意运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
初中七年级下册数学讲义第1讲-实数的概念与开平方(上体馆)
1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题第1讲-实数的概念与开平方学习目标1．知道开平方、平方根的概念，理解无理数和实数的概念以及实数的分类；2．会求平方根，会进行开平方相关的混合运算；3. 理解实数相关的相反数、绝对值，会进行相关运算教学内容（以提问的形式回顾）练习：1. 和统称为有理数.2.把分数17化成小数，则结果一定是小数.3. 如果把圆周率π化成小数，它一定是小数.4. 如果一个分数的分母，那么这个分数一定能化成有限小数.5 判断对错：①存在面积为2的正方形.②有理数可以统一用qp（p、q均为整数，且p≠0）来表示.6.有理数包括小数和小数.【参考答案】整数和分数；2.无限循环3. 无限不循环；4.只含有素因数2或5；5.①对②对；6.有限小数和无限循环小数（采用教师引导，学生轮流回答的形式）知识一、无理数的概念【例题精讲】例1.什么是无理数？教法指导：建议引导学生去发现，提问学生【参考答案】无限不循环小数叫做无理数.【试一试】1.判断对错：①无限小数都是无理数.②无理数就是开方开不尽的数.③开方开不尽的数都是无理数.④一个小数，不是有理数，就是无理数.2.无理数是（ ）A . 无限循环小数B . 开方开不尽的数C . 除有限小数以外的所有实数D . 除有理数以外的所有实数3. 在0、π、0.01、16、0.010010001……、3中，属于无理数的是 .教法指导：建议让学生独立完成，可以设置为相互PK 的形式。
这部分讲完可以让学生总结归类，无理数都有哪些类型【参考答案】1.错，错，对，对；2.D ；3. π、0.010010001 (3)知识二、实数的概念问题：什么叫实数？实数可以怎样分类？⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎨⎩⎪⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎭⎩⎩正有理数有理数零——有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数——无限不循环小数负无理数 补充：有理数的两种分类方式：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数； ⎧⎪⎨⎪⎩正有理数有理数零负有理数 【例题精讲】例2.判断下列说法是否正确：①有限小数都是有理数，无限小数都是无理数.②一个有理数，不是正数就是负数.③一个无理数，不是正数就是负数.④一个实数，不是正数就是负数.⑤带根号的实数都是无理数.教法指导：可以通过提问形式让学生能够熟悉掌握无理数饿有理数的区别。
七年级下册数学讲义之分数指数幂、实数的运算-教师-春季班
6、近似值：对一个近似值，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都称为这 个近似值的有效数字。
例如 1415926.3=π的近似值中，1.3有两个有效数字，用科学记数法表示1220000，将其保留两位有效数字6102.1⨯，它精确到万位61022.1⨯ 单元知识网络：热身练习一、填空题：1、化简223）（-＝__32-_____；－2)25.1(-＝_-1.25___2、4)2(-的 平方根是__2±____；2)3(--的平方根是_31±____；若5333n=，则n= 103 3、在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是 2 4、28⨯=4 ； 28-= 25、16的算术平方根的平方根是 2±6、地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，用科学记数法表示（保留2个有效数字）约为 8105.1⨯ 千米。
甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a 的相反数就是它本身，乙说一个数b 的倒数也等于它本身，请你猜一猜|a-b|=__1____。
8、因为2211121,11112321==，所以76543211234567898= 111111111二、选择题（1）()()2201131313272π-⎛⎫-+-⨯--+ ⎪⎝⎭（2）423423-++参考答案：（1）3 （2）23精解名题例1、计算：（1）342221(2)(1)(12)[()]20.254[13(2)]-⨯---÷-⨯+-⨯- （2）23320)5.1(9216.01221---++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+参考答案：（1）2 （2）3225例2、比较下列每组数的大小：(1)与； (2)与； (3)与； (4)a 与(a≠0)思路点拨： (1)有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小.因此比较和的大小，可将其通分，转化成同分母分数比较大小；(2)无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较；(3)有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较(4)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况。
实数的概念
实数的概念
实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两种数的集合。
实数可以用来表示数量、度量、顺序和比较。
在实数集合中，包含了所有可能的数，无论是整数、分数还是无限不循环小数。
实数的定义相对简单，但却蕴含着丰富的数学道理。
根据Cauchy序列或Dedekind划分的定义，一个实数可以被表示为所有比它小的数的集合。
这个定义确保了实数的连续性和完备性。
实数的集合可以表示为R，其中R是实数的拉丁字母缩写。
R包含了有理数和无理数，有理数是可以表示为两个整数的比值，而无理数则是不能表示为有理数的比值。
无理数包括了诸如根号2、π和自然常数e等数。
实数集合的特性很多，其中最重要的是实数的稠密性、有序性和连续性。
实数的稠密性意味着在任意两个实数之间都存在一个实数，这保证了实数的无限性和密集性。
实数的有序性则意味着任意两个实数之间都可以比较大小。
实数的连续性则意味着在实数集合中没有任何间断。
实数在数学中具有广泛的应用领域，如代数、几何、分析学和概率论等。
实数的加法、减法、乘法和除法运算规则成为数学的基础。
实数的顺序关系使我们能够进行比较和排序。
实数的连续性帮助我们解决方程和证明定理。
总之，实数是数学中一个非常重要的概念。
它包含了所有的有理数和无理数，具有稠密性、有序性和连续性等特性。
实数的定义使用Cauchy序列或Dedekind划分，它在数学的各个领域中具有广泛的应用。
对于理解数学和解决实际问题，实数是一个必不可少的概念。
初中实数概念及分类
初中实数概念及分类实数是数学中的基本概念之一，在数轴上表示，包括有理数和无理数两个部分。
有理数可以表示为一个整数除以另一个非零整数的商，而无理数则表示为一个无限不循环小数或一个无穷不循环循环小数。
下面将详细介绍实数的概念及分类。
一、实数的概念实数是指可以在数轴上表示的所有数的集合。
数轴上的每一个点都对应一个实数，实数包括有理数和无理数两部分。
有理数：可以表示为两个整数的比值。
有理数集合通常用Q 表示，Q = {a/b | a, b是整数，且b≠0}。
无理数：无理数无法表示为两个整数的比值，通常可以通过无穷不循环小数来表示。
无理数集合通常用R-Q表示。
二、实数的分类1. 有理数的分类有理数可以分为整数、正整数、负整数、分数、正分数和负分数等几个分类。
（1）整数：整数包括正整数、负整数和0。
整数集合通常用Z表示。
（2）正整数：正整数是大于0的整数。
（3）负整数：负整数是小于0的整数。
（4）分数：分数是可以表示为一个整数除以另一个整数的商的数，其中分母不为0。
（5）正分数：正分数是大于0的分数。
（6）负分数：负分数是小于0的分数。
2. 无理数的分类无理数可以分为无限不循环小数和无穷不循环循环小数两类。
（1）无限不循环小数：无限不循环小数是指小数部分无限延伸，且没有循环节的小数。
例如，π、e、根号2等都是无限不循环小数。
（2）无穷不循环循环小数：无穷不循环循环小数是指小数部分有无线循环的小数。
例如，1/3 = 0.333...、1/7 = 0.142857142857...等都是无穷不循环循环小数。
三、实数的性质1. 实数的加法性质（1）交换律：对于任意实数a和b，a + b = b + a。
（2）结合律：对于任意实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。
（3）存在零元：存在一个实数0，使得任意实数a + 0 = a。
（4）存在负元：对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。
七年级上册数学实数的知识点
七年级上册数学实数的知识点在七年级上学期的数学课程中，实数是一个重要的知识点。
实数包括有理数和无理数，它们合在一起构成了实数集，是数学中的基本概念之一。
下面我们来详细了解实数的概念、性质以及应用。
一、实数的概念与分类实数包括有理数和无理数两种数，其中有理数可以用分数或整数来表示，而无理数则不能用有限的小数或分数表示。
有理数包括正有理数、负有理数和零。
其中正有理数是指可以用正整数除以正整数得到的数，符号为“+”；负有理数是指可以用负整数除以正整数得到的数，符号为“-”；零是任何数除以自己得到的结果，符号为“0”。
无理数指不能写成有理数（分数）形式的实数。
例如，√2 、π、e 等均为无理数，它们不能表示为有限小数或分数。
二、实数的性质1. 实数集是一个完全有序的集合，即不论任何两个实数大小的关系如何，都必然可以判断出它们的大小关系。
2. 实数集满足加法和乘法的结合律、交换律和分配律。
3. 实数集中存在一个数 0 ，使 0 + a = a + 0 = a ，其中 a 为任意实数。
4. 实数集中每个数都有一个相反数，即对于任意实数 a ，都存在一个数 -a ，使得 a + ( -a ) = 0 。
5. 实数集中每个非零数都有一个倒数，即对于任意非零实数a ，都存在一个数 1/a 使得 a × (1/a) = 1 。
三、实数的应用实数的应用极为广泛，下面仅选取了数学中常见的一些应用进行介绍。
1. 直线和曲线的方程在解直线和曲线的方程时，实数是解题的基础。
例如，在求一条直线的斜率时，需要用到两个实数之间的除法运算，而这个运算必须用到实数，因为它是不满足分式的整数和真分数的性质的。
2. 负数的应用在实际生活中，经常会遇到一些与负数相关的问题，例如负债、温度计的读数等。
在这些情况下，需要用到负数的概念。
通过掌握实数的概念，可以更好地理解这些问题，并解决它们。
3. 高中数学的基础实数是高中数学的基础，如学习三角函数、导数、积分等内容都需要掌握实数的相关知识。
初一辅导专题1 实数的概念
初一辅导专题1 实数的概念一、知识要点：1、无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数；无理数可分为正无理数和负无理数2、实数的定义：有理数和无理数统称为实数；3、实数的分类：正整数有理数 有限小数或无限循环小数 分数无理数 无限不循环小数二、例题讲解：1、在下列实数中，是无理数的为（ ）A ．0；B ． 3.5-；CD ． 2、在220.6187-π，， A ．1； B ．2； C ． 3； D ．4． 3、无理数是（ ）A ．无限循环小数；B ．开方开不尽的数；C ．除有限小数以外的所有实数；D ．除有理数以外的所有实数． 4、实数中6,42,31π中，分数的个数是（ ） A ．0个； B ．1个； C ．2个； D ．3个5、3-，00.3，227， 1.732-π2-，3，0.1010010001整数{} ；分数{} ； 正数{} ；负数{} ； 有理数{} ；无理数{} ； 6选择题（1）下列语句错误的是（ ）A 、正整数、0、负整数统称为整数B 、整数与分数统称为有理数C 、开方开不尽的数和π统称为无理数D 、有理数、无理数统称为实数 （2）下列说法正确的是（ ）．A 、无理数是开方不尽的数B 、无限小数不能化成分数C 、无限不循环小数是无理数D 、一个负数的平方是无理数 （3）下列说法错误的是（ ）A 、相反数与本身相等的数只有0B 、倒数与本身相等的数只有1和-1C 、平方与本身相等的数只有0和1D 、立方与本身相等的数只有0和1 （4）下列命题正确的是（ ）A 、无理数与无理数的和仍是无理数B 、无理数与无理数的积仍是无理数C 、有理数与无理数的积仍是无理数D 、有理数与无理数的和仍是无理数 （5）大家知道5是一个无理数，那么5-1在哪两个整数之间（）A 、1与2B 、2与3C 、3与4D 、4与5 7：填空题（1）7-的相反数是__73-______，绝对值是___37-_____. （2）一个数的绝对值等于，则这个数是____3±_____.（3）绝对值最小的实数是___0___，绝对值小于的整数有±2、±1、0 8：已知b a ,都是无理数，且它们的和为2，试写出两对符合要求的无理数b a ,。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的概念在数学的世界里，实数是我们经常接触和运用的一个重要概念。
那什么是实数呢？简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。
有理数包括整数和分数。
整数像－3、－2、－1、0、1、2、3 等等，分数则是可以表示为两个整数之比的数，比如 1/2、3/4 等。
而无理数则是那些不能表示为两个整数之比的数，最常见的就是圆周率π和开方开不尽的数，如√2 等。
二、实数的分类为了更好地理解和研究实数，我们对其进行分类。
1、按定义分类有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。
无理数：无限不循环小数。
2、按正负分类正实数：包括正有理数（正整数和正分数）和正无理数。
零：既不是正数也不是负数。
负实数：包括负有理数（负整数和负分数）和负无理数。
实数具有许多重要的性质，这些性质是我们进行数学运算和解决问题的基础。
1、有序性任意两个实数 a 和 b，要么 a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b，这三种关系必有一种成立。
2、稠密性在任意两个不同的实数之间，都存在着无穷多个实数。
3、四则运算封闭性两个实数进行加、减、乘、除（除数不为 0）运算，其结果仍然是实数。
四、实数的数轴表示实数与数轴上的点是一一对应的关系。
也就是说，数轴上的每一个点都对应着一个唯一的实数，反过来，每一个实数也都可以在数轴上找到对应的点。
我们以 0 为原点，向右为正方向，单位长度为 1。
比如，数字 2 就在原点右边 2 个单位长度的位置，－3 就在原点左边 3 个单位长度的位置。
通过数轴，我们可以直观地比较实数的大小。
数轴上右边的点所表示的实数总是大于左边的点所表示的实数。
1、加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数与 0 相加，仍得这个数。
例如：3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋（－5) ＝－8，3 ＋（－5) ＝－2。
2、减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。
初中实数概念及分类
初中实数概念及分类实数是数学中的一个重要的数系，包括有理数和无理数。
实数可以用于描述物理、化学等自然科学问题，也可以用于解决经济、统计等社会科学问题。
实数的概念及其分类是初中数学的基础知识，下面就此展开讨论。
一、实数概念：实数是可以直观地表示在数轴上的数，它包括有所有的有理数和无理数。
实数在数轴上按大小是有序的，两个实数之间有无穷多个实数。
二、实数的分类：1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比的数。
有理数包括整数、正整数、负整数、零以及分数。
有理数之间的运算有加法、减法、乘法和除法等。
2. 无理数：无理数是不能表示为两个整数的比的数，即不能写成分数形式的数。
无理数包括无限不循环小数和无限循环小数两类。
（1）无限不循环小数：无限不循环小数是指小数部分有无穷无尽的数字，并且没有循环节。
如开不尽的根号2、根号3等。
（2）无限循环小数：无限循环小数是指小数部分有一段数字不断循环出现。
如1/3=0.3333...、22/7=3.142857142857...等。
3. 整数：整数包括正整数、负整数和零。
整数是有理数的一种特殊类型。
4. 正数和负数：正数是大于零的数，负数是小于零的数。
正数和负数都是有理数的一种特殊类型。
5. 零：零是整数中既不是正数也不是负数的数。
零是有理数及整数的一种特殊类型。
6. 小数：小数是没有到达个位的十进制数，它包括有理数中的所有小数和无理数中的无限不循环小数。
三、实数的性质：1. 有理数和无理数共同构成了实数集合，任意两个实数之间存在着无穷多个实数。
2. 实数在数轴上是有序的，可以比较大小。
对于任意的两个实数a和b，必定有且仅有下面三种关系之一：a=b、a>b或a<b。
3. 实数之间满足加法、减法、乘法和除法的运算规则。
实数运算遵循整数和有理数的运算规律。
4. 实数也具有传递性、互补性、逆元性、等式性、分配率等基本性质。
综上所述，实数是数学中的一个重要概念，包括了有理数和无理数，可以用来描述各种自然科学和社会科学问题。
七年级下册数学讲义之分数指数幂、实数的运算-学生-春季班
基本内容 分数指数幂、实数的运算知识精要一、分数指数幂1、整数指数幂运算性质 根式运算性质 (1)a m ·a n =a m +n (m ,n ∈Z )(2)(a m )n =a m ·n (m ,n ∈Z )nn a ＝⎩⎨⎧为偶数为奇数n a n a |,|;,(3)(a ·b )n =a n ·b n (n ∈Z ) 2、分数指数幂)0(1 )0(>=≥=-a aaa a anmnmnm nm（其中m 、n 为整数，1>n ）上面规定中的nma 和nm a -叫做_____________，a 是底数。
3、有理数指数幂：整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂。
有理数指数幂的运算性质：设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么 （ⅰ）q p q p a a a +=⋅，qp qpa a a -=÷（ⅱ）pq q p a a =)(（ⅲ）pppb a ab =)(，p pp ba b a =)(二、实数的运算 1）用数轴的点表示实数1、一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的________。
2、绝对值相等符号相反的两个数叫做___________。
3、实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝 对值大的数较小.从数轴上看，右边的数总比左边的数大。
4、设a>0,b>0,可知_____________________根据平方根的意义，得 _________________ 同理___________________ 2）实数的运算4、实数运算的顺序是___________________________________________________________________。
5、实数的六种运算关系：加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算。
《实数概念理解》 讲义
《实数概念理解》讲义一、实数的定义实数，这个在数学中经常出现的名词，到底是什么呢？简单来说，实数是有理数和无理数的总称。
有理数，大家应该都比较熟悉，像整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数），它们都可以表示为两个整数的比值。
而无理数，则是那些无限不循环小数，比如圆周率π、根号 2 等等。
二、实数的分类为了更好地理解实数，我们可以对其进行分类。
实数可以分为正实数、零和负实数。
正实数包括正有理数和正无理数。
正有理数像 1、2、3 这样的正整数，以及像 1/2、2/3 这样的正分数。
正无理数比如π、根号 3 等等。
零，是一个特殊的实数，它既不是正数也不是负数。
负实数则包括负有理数和负无理数。
负有理数像－1、－2、－3 这样的负整数，以及像－1/2、－2/3 这样的负分数。
负无理数比如π、根号 2 等等。
三、有理数有理数是实数中比较有规律的一部分。
整数很好理解，像 0、1、－1 等等。
而分数，其实就是把一个整数分成若干等份的表示形式。
比如3/4 ，表示把一个整体平均分成 4 份，取其中的 3 份。
有理数有很多特性。
它们可以写成有限小数或者无限循环小数。
比如 1/2 可以写成 05 ， 1/3 可以写成 0333（无限循环）。
四、无理数无理数相对来说比较神秘和难以捉摸。
它们不能表示为两个整数的比值，并且其小数部分是无限不循环的。
例如，圆周率π约等于 31415926，它的小数位是无穷无尽且没有循环规律的。
还有像根号 2 约等于 141421356，也是无限不循环小数。
无理数的发现对于数学的发展有着重要的意义，它们让我们对数字的世界有了更深入和全面的认识。
五、实数的性质实数具有很多重要的性质。
首先是有序性，任意两个实数都可以比较大小。
比如 2 大于 1 ，－3 小于 0 。
其次是稠密性，也就是说在任意两个不同的实数之间，都存在着无穷多个实数。
比如在 1 和 2 之间，有 15 、 125 、 11 等等。
七年级数学实数讲义
实数知识点一（平方根和立方根） 【知识梳理】1．一般的，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0．2．一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．这就是说，如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根，a 的平方根记为a ±．3．求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．4．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．5．一般的，如果_一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
这就是说，如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根，a 的立方根记为3a ．6．求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方．7．正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0． 8．一般的，=-3a 3a -．【例题精讲】题型1：平方根、算术平方根、立方根的概念 例1：25111的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______． 125的立方根是______；81-的立方根是______．例2：判断正误（1）3是9的算术平方根．（ ） （2）3是9的一个平方根．（ ） （3）9的平方根是－3．（ ） （4）（－4）2没有平方根．（ ） （5）－42的平方根是2和－2．（ ） （6）6427的立方根是43±．（ ） （7）有理数一定有立方根．（ ）例3：下列说法中正确的是（ ）A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数题型2：计算例1： 计算：（1）=121______；（2）=-256______；（3）=±212______；（4）=43______；（5）=-2)3(______；（6）=-412______． （7）=3064.0______； （8）=3216______；（9）=-33)2(______；（10）=364611______ 例2：求下列各式的值：（1）325 （2）3681+ （3）25.004.0- （4）121436.0⋅（5）327102-- （6）3235411+⨯ （7）3231)3(27---+-例3：求下列各数中的x 值⑴225x = ⑵2810x -= ⑶2449x = ⑷225360x -=⑸3512x = ⑹3641250x -= ⑺()31216x -=-题型3：实际应用例1：要切一块面积为16cm 2的正方形钢板，它的边长是多少？例2：要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？例3：已知5x ＋19的立方根是4，求2x ＋7的平方根．【课堂练习】一、选择题1. ）．Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4． 2.下列说法正确的是（ ）A 、64-的立方根是4±；B 、64-的平方根是8-；C 、8的立方根是2±；D 、27-的立方根是3-。
七年级实数知识点讲解
七年级实数知识点讲解一、实数的概念和定义实数是指可以用有限小数或无限小数表示的数，包括有理数和无理数。
有理数是可以写成两个整数之比的数，无理数则不能。
实数是数学中最基本的概念之一，广泛应用于各种数学、科学和工程领域。
二、实数的分类实数可以按照它们是否能被写成两个整数之比来分类，能的是有理数，不能的是无理数。
有理数包括整数、分数和小数，例如1、-2/3和0.125。
无理数则包括无限不循环小数和无限循环小数，例如√2和π。
三、实数的运算实数有四种基本运算：加、减、乘、除。
其中加、减又称加法、减法，乘、除又称乘法、除法。
实数的加减法和乘除法遵循一定的运算规律，例如交换律、结合律、分配律等。
四、实数的比较实数之间可以进行大小比较。
对于两个实数a和b，如果a>b，那么a比b大；如果a<b，那么a比b小；如果a=b，那么a和b相等。
在比较实数大小时，需要考虑它们的符号、整数部分和小数部分以及是否是有理数还是无理数等因素。
五、实数的绝对值实数a的绝对值是一个非负数，记作|a|。
如果a>0，则|a|=a；如果a≤0，则|a|=-a。
实数的绝对值有以下几个性质：（1）|a|≥0，等号成立当且仅当a=0；（2）|a·b|=|a|·|b|；（3）|a+b|≤|a|+|b|；（4）|a-b|≤|a|+|b|。
六、实数的约束条件在一些实际问题中，实数会受到一定的约束条件，例如方程、不等式、等式等。
解这些问题时，需要寻找满足约束条件的实数解，并给出解的范围或特点。
七、实数的应用实数是数学中最基本的概念之一，广泛应用于各种数学、科学和工程领域。
在几何中，实数可以用来表示线段、面积、体积等物理量；在代数中，实数可以用来表示变量、方程、函数等；在统计学中，实数可以用来表示随机变量、概率等。
实数的应用非常广泛，是数学学科中必不可少的基础知识之一。
八、总结实数是数学中最基本的概念之一，包括有理数和无理数。
七年级实数的知识点
七年级实数的知识点实数是数学中非常重要的一类数。
在七年级的数学课程中，学生需要学习并掌握实数的知识点。
本文将对七年级实数的知识点进行详细介绍和解释。
一、实数的定义实数是所有有理数和无理数的集合。
有理数是可以表示为两个整数的比的数，无理数是无法表示为两个整数的比的数。
实数用符号R来表示。
二、整数、有理数和无理数整数是正整数、负整数和0的集合。
有理数是整数和分数的集合。
例如，2、-3、1/2和7/3都是有理数。
无理数是不能用整数或分数表示的实数。
例如，根号2和π是无理数。
三、实数的表示实数可以用小数表示。
小数可以是有限的或无限的。
例如，5.6是一个有限的小数，而1.66666666...是一个无限循环小数。
实数还可以用数轴表示。
数轴是一个水平的直线，从左到右一般表示负数到正数。
例如，数轴上的点-3表示数-3，数轴上的点4表示数4。
四、实数的相反数和绝对值实数a的相反数是-b，因为a+b=0。
绝对值是一个实数的非负值。
例如，|-4|=4，|5|=5。
五、实数的加减乘除实数的加减乘除的基本原理和有理数相同。
例如，对于实数a，b和c，我们有：- 加法：a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)，a + 0 = a- 减法：a - b = a + (-b)- 乘法：a × b = b × a，(a × b) × c = a × (b × c)，a × 1 = a- 除法：a ÷ b = a × 1/b，a ÷ 0是无意义的六、实数的大小比较对于两个实数a和b：- 如果a = b，则a和b相等- 如果a > b，则a比b大- 如果a < b，则a比b小七、实数的平方根平方根是一个数字的正平方根的一个非负实数。
例如，根号9=3，根号2是一个无理数。
平方的反函数是平方根函数。
实数讲义
第十二章实数【知识点说明】1、掌握实数的概念、数的开方。
2、掌握实数的运算、分数指数幂、熟练运用有理数指数幂的公式。
【知识梳理】一、实数的概念1、定义：有理数和无理数统称为实数。
2、实数的分类：正有理数有理数零----有限小数或无无限循环小数负无理数实数正无理数无理数----无限不循环小数负无理数二、数的开方1、平方根和开平方：①定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。
，其中______表示a的正平方根（又叫______________），读作“根号a”。
②表示：正数a的两个平方根记作a③性质：正数的平方根有两个，且互为_________；0的平方根为________；负数没有平方根。
④2a=_______=⑤一个数a的算术平方根具有_________，即：____________________。
2、立方根和开立方：① 定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用3a 表示，读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数，“3”叫做___________；求一个数a 的立方根的运算叫做开立方。
② 任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。
3、n 次方根：定义：如果一个数的n 次方（n 是大于1的正数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根。
当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根。
求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数。
【热身练习】1、与数轴上的点一一对应的是（ ） A.全体有理数B.全体无理数C.全体实数D.全体整数2、如果一个实数的平方根与它的立方根相等，那么这个数是 （ ）.A.0B.正实数C.0和1D.13、如果y =0.25，那么y 的值是（ ） A 0.0625 B ．-0.5C ．0.5D ． 0.6254、如果x 是a 的立方根，那么下列说法中正确的是（ ）A -x 也是a 的立方根B ．-x 是-a 的立方根C ．x 是-a 的立方根D ． x 等于a 的立方3 5、若式子x-31的平方根只有一个，则x 的值是__________ 6、若一个正数的平方根是2a-1和 -a+2，则这个正数是__________ 7、已知1-2a + （b + 3）2 = 0，则=332ab__________ 8、已知y =191x -91+-+x ，则xy=_________ 9、有理数x 经过四舍五入得到的近似数是3.142，则x 的范围是__________ 10、若22x =+，则（x + 2）2的平方根为___________ 11、设x ，y 为实数，且y = 5x -54-++x ，则 | x – y | =__________【课堂练习】一、选择题1. 实数38、2π、34、310、25其中无理数有（） A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个 2. 如果162=x ，则x 的值是（）A 、 4B 、 -4C 、4±D 、2± 3．下列说法正确的是（）A 、25的平方根是5B 、22-的算术平方根是2 C 、8.0的立方根是 D 、65 是3625 的一个平方根 5．下列说法⑴无限小数都是无理数 ⑵无理数都是无限小数 ⑶带根号的数都是无理数 ⑷两个无理数的和还是无理数 其中错误的有（ ）个A 、 3B 、 1C 、 4D 、 2 6．如果x x -=2 成立的条件是（）A 、x ≥0B 、 x ≤0C 、 x>0D 、x <07.设面积为3的正方形的边长为x ，那么关于 x 的说法正确的是（） A 、x 是有理数 B 、3±=x C 、 不存在 D 、 取1和2之间的实数 8．下列说法错误的是（）A 、2a 与2)(a -相等 B 、a 与a - 互为相反数 C 、3a 与3a -是互为相反数 D 、a 与a -互为相反数 三、实数的运算1、掌握用数轴上的点表示实数，在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点的距离为____2、有理数的额运算法则、运算性质以及运算顺序的规定，在实数范围内仍旧适用，开方和乘方是同级运算。
著名机构七年级数学春季班讲义01-实数的概念及数的开方-马秋燕
知识点1：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数．注意：1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分．π、0.101001000100001等这样的数叫做正无理数；π-、0.101001000100001-这样的数叫做负无理数；π与π-，称它们互为相反数．实数、数的开方知识结构模块一 实数的概念和分类知识精讲3、有理数和无理数统称为实数． （1）按定义分类⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数（2）按性质符号分类0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数【例1】 写出下列各数中的无理数：3.1415926，2π，.0.5，0，23-，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3），0.2121121112． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．（1）无限小数都是无理数． （ ） （2）无理数都是无限小数．（ ） （3）带根号的数都是无理数．（ ） （4）不带根号的数一定不是无理数． （）【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析【例3】a是正无理数与a是非负无理数这两种说法是否一样?为什么．【难度】★【答案】【解析】【例4】若a+bx=c+dx（其中a、b、c、d为有理数，x为无理数），则a=c，b=d，反之，亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由．【难度】★★【答案】【解析】【例5】?请说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】一、开平方：1、定义：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方．2、如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．这个数a 叫做被开方数．如21x =，1x =±，1的平方根是1±． 说明：1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根； 2)平方和开平方互为逆运算． 3、算术平方根：正数a的两个平方根可以用“a 的正平方根（又叫算术平方根），读 作“根号a”；a 的负平方根，读作“负根号a ”． ★注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；22是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0． 二、开立方：1、定义：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．2、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根号aa 叫做被开方数，“3”叫做根指数． ★注意：1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根； 2）零的立方根是0；3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1． 三、开n 次方：1、求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方．a 叫做被开方数，n 叫做根指数．2、如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根．3、当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根． ★注意：模块二：数的开方知识精讲1）实数aa是任意一个数，根指数n是大于1的奇数；2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“”表示，负n次方根用“0a>，根指数n是正偶数（当2n=时，在中省略n）；3）负数的偶次方根不存在；4）零的n0．【例6】写出下列各数的平方根：（1）9121；（2【难度】★【答案】【解析】【例7】写出下列各数正的平方根：（1）225；（2．【难度】★【答案】【解析】【例8】下列各式是否正确，若不正确，请说明理由．（1）1的平方根是1；（2）9是2(9)-的算术平方根；（3）π-是2π-的平方根；（49±．【难度】★【答案】【解析】例题解析【例9】写出下列各数的立方根：（1）216；（2）0；（3）-1；（4）3438-；（5）27．【难度】★【答案】【解析】【例10】判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由：（1）一个数的偶次方根总有两个；（）（2）1的奇次方根是1±；（）（3）7=±；（）（4）2±是16的四次方根；（）（5）a的n次方根的个数只与a的正负有关．（）【难度】★★【答案】【解析】【例11】写出下列各数的整数部分和小数部分：（1（2（3）9【难度】★★【答案】【解析】【例12】求值：（1（2）；（3）2；（4）2(．【难度】★★【答案】【解析】【例13】求值：（1（2；（3；（4【难度】★★【答案】【解析】【例14】求值：（1（2（3；（4【难度】★★【答案】【解析】【例15】求值：（1；；（2）；（3．【难度】★★【答案】【解析】【例16】小明的房间面积为17.62m，房间的地面恰好由110块大小相同的正方形地砖铺成，问：每块地砖的边长是多少?【难度】★★【答案】【解析】【例17】已知2a-1的平方根是3±，3a+b-1的算术平方根是4【难度】★★【答案】【解析】【例18】若a的平方根恰好是方程3x+2y=2的一组解，求x y+的值．a a【难度】★★【答案】【解析】【例19】3，3x y+的值．()nx y+=-，求2(43)8【难度】★★【答案】【解析】【例20】用“>”把下列各式连接起来：【难度】★★【答案】【解析】【例21】 1.732 5.477≈，利用以上结果，求下列各式的近似值．（1≈_______；（2≈____________；（3≈_________；（4≈______________；（5≈___________；（6_____________．【难度】★★★【答案】【解析】（1）数a?（2）0.1738 1.738=，求a的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例23】阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和2001720016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较n n＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①12______21；②23______32；③34______43；④45______54；⑤56______65；⑥67______76；⑦78______87．对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出n n＋1和（n＋1）n的大小关系: ______根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017_____2001720016．【难度】★★★【答案】【解析】数的方根运算：方根的混合运算，根据方根性质判断取值范围； 应用：与整式、分式的综合应用．【例24】 当x 取何值时，下列各式有意义：（1； （2（3（4（5）（6【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26互为相反数，求2x -5y 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】知识精讲例题解析模块三：数的方根的非负性【例27】 已知10a b -++，求2017()a b -的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例28】 已知y 1，求xy 的平方根． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例29】 已知24|2|41a b c a +=- 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例30】 当x <0时，求||x 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例31】 设=a 、x 、y 是 两两不相等的实数，求22223x xy y x xy y +--+的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例32】 已知20172(4a x a -=+，求x 的个位数字.【难度】★★★ 【答案】 【解析】一、填空题：【习题1】）A . x 一定是0 B. x 是任意一个负数 C. x 是一个有理数的平方 D. -x 是一个有理数的平方 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 填空：（1）()23-的算术平方根是 ，的平方根是； （2的立方根是，的立方是；（3___________． 【难度】★ 【答案】 【解析】随堂检测【习题3】 判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由．（1）无理数都是无限小数 ( ) （2）无理数的平方是有理数 ( ) （3）有理数都是有限小数() （4）实数可分为正实数和负实数 ( ) （5）2π是分数()【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】 求值：（1） （2）（3（4）【难度】★ 【答案】 【解析】【习题5】 求值：（1）（2 （3【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】 比较下列各式的大小：（1和89；（2【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】写出下列各数的整数部分和小数部分（1（2；（34．【难度】★★【答案】【解析】【习题8】根据开n次方根的意义，求下列x的值．（1）3(2)64x+=．8(2)270x+-=；（2）4【难度】★★【答案】【解析】【习题9】0.6127≈ 2.844≈≈ 1.320【难度】★★【答案】【解析】【习题10】已知y=x+y的值．【难度】★★【答案】【解析】【习题11】已知实数a满足2-=-，求的值．a a a|2016|2016【难度】★★【答案】【解析】【习题12】 已知00x y >>，，且150x y --=的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题13】 若x 、y 是有理数，且x 、y 满足22323x y ++-，求x y +的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】 在数2π、3.1010010001、3.1415926、2.1234567891011理数的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】 估计68的立方根的大小在（ ）A ．2与3之间B .3与4之间C .4与5之间D .5与6之间【难度】★ 【答案】 【解析】【作业3】（1）如果2180a-=，那么a的算术平方根是___________；（2）如果6-是某数的平方根，那么这个数是_______．【难度】★【答案】【解析】【作业4】若，则估计的值所在的范围是（）A．B．C．D．【难度】★【答案】【解析】【作业5】判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由：（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0；（）（2）如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是0；（）（3）6a的立方根是2a；（）（4）6a的平方根是3a．（）【难度】★★【答案】【解析】【作业6】（1）已知：｜x|＝4，y2＝149且x>0，y<0，求x－y的值；（2）4a，小数部分为b，求ba的值.【难度】★★【答案】【解析】440-=m m 21<<m32<<m43<<m54<<m【作业7】 求值：（1）（2 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 填空：（1）1236-=，=；（2）81625的四次方根是，的六次方根是 ；（3）奇次方根是本身的实数有．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业9】 已知a 、b |0b -=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业10】 计算：已知：a b =，求2221a ab b +++的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业11】 已知|2|a b +-=236a b +的算术平方根． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业12】 设x 、y 都是有理数，且满足方程11+(402332x y πππ++--=（），求x y -的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】。
初中数学1实数的概念(学生)
初中数学1实数的概念(学生)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN实数的概念课时目标1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类；2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根；3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系.知识精要1. 无理数的定义无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 4. 平方根的定义如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即2x a =，那么x 就叫做a 的平方根.5. 平方根的性质与表示（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根.（2）正数a 的两个平方根可以用“a 的正平方根，叫做a 的正平方根，也叫做a的算术平方根；a 的负平方根. 6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. 7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.8. 常见的无理数有三种类型： 第一类：π型：如π，π+2，…；； 第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0．12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数.14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质（1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示；（2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在；（4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”.热身练习1. 将下列各数填在相应括号内：π， 32， 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-， 有理数集合{ …}； 整数集合 { …}； 正数集合 { …}； 分数集合 { …}； 实数集合 { …}； 2. 判断 （1）无限小数都是无理数（ ）（2）无理数都是开方开不尽的数（ ）（3）不带根号的数都是有理数 （ ）（4）带根号的数都是无理数（ ）3.（1（2）写出一个比－1大的负有理数是 ，比－1大的负无理数是 . 4. 在实数范围内，下列方根是否存在？如果存在，用符号表示这些方根，并求出它的值.（1）－16的四次方根 （2）16的四次方根 （3）－32的五次方根 （4）28-的六次方根 （5）－0.00243的五次方根 （6）2(27)-的六次方根5. 求下列各数的平方根（1）121 （2）649（3）0.0009 （4）3616．求下列各数的算术平方根（1）81 （2）1625（3）289 （4）0.00017．求下列各数的值.（1（2）（3）2 8. 求下列各式的值（1）2（2）2(0)a>（3）2((0)a>（4（50)a>（6)a是实数9. 一个正数的两个平方根为2a+1,5－a求这个数.10. 已知a 的两个平方根,x y 为322x y +=的一组解，求a 的平方根.11. 求下列各数的立方根.（1）－64 （2）343 （3）1918- （4）0.72912. 求下列各式的值（1）（2 （313. 解简单的高次方程（1）16842=-x （2）81)3(42=-x（3）3918x += （4）3(1)27x +=-（5）60444=-x （6）7645=x精解名题例1 如图，四个同样大小的正方形排列在一起面积和是80，求小正方形的边长.例2 用移位法求平方根被开方数的小数点向右（或左）移动两位，它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一位.2.236≈7.071≈，求下列各式的值.（1）≈ （2）≈（3）≈ （4≈ 注意: 被开方数平方根移动的位数与方向. 第一: 小数点是同向移动；第二: 被开方数移动的位数是平方根移动的位数的2倍.例3 用移位法求立方根被开方数的小数点向右（或左）移动 位，它的立方根的小数点相应地向右（向左）移动 位.若3333330029.0290002906619.029.0072.329426.19.2，，，求，，-≈≈≈的值. .巩固练习一、填空1.把下列各数分别填到相应的数集里边-52，3π 3.14，01-，21 整数集合 { …}； 无理数集合{ …}； 有理数集合{ …}；2．如果9=x ，那么x ＝_______；如果92=x ，那么=x _______． 3．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_______． 4．算术平方根等于它本身的数有______，立方根等于本身的数有______．5. x =则 ，若,x x =-=则 . 6．81的平方根是_____， 210-的算术平方根是 ．7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则a = ，这个正数是 ． 8．21++a 的最小值是_______，此时a 的取值是_______．二、选择题1. 下列说法正确的个数是（ ）（1）无理数都是实数 （2）实数都是无理数 （3）无限小数都是有理数 （4）带根号的数都是无理数（5）除了π之外不带根号的数都是有理数. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 若2x a =，则（ ）A.0x >B. 0x ≥C. 0a >D. 0a ≥ 3．2)3(-的值是（ ）A ．3-B ．3C ．9-D ．94．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） A ．1 B ．9 C ．4 D ．55．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤7. 若n 为正整数,则2 ）A ．－1 B.1 C.±1 D.21n + 8. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A.01a << B.0a > C. 1a < D. 1a >自我测试一、填空1. 把下列各数分别填到相应的数集里边2π，－3.1415926927，103，，72-，0.2010010001-，1.732，有理数{ …} 无理数{ …} 非负实数{ …}2.()332-= ，()337-= .3.641-的立方根是 . 4.－0.001的立方根是 ；－1的9次方根是 .5.()=-553 ；363）（-= .二、选择题（ ） A. 9 B. ±3 C. 3 D. －32. 下列计算正确的是（ ）= B. 2=-3=± 2= 3. 下列各数中，没有平方根的是 （ ）A ．－2 B. 0 C. 134．下列实数317，π-，3.14159 ，，21中无理数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个5．下列各式中，无论x 取何实数，都没有意义的是（ ）A B ．CD6．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）A ．2--B ．4-与C ．D ．三、计算 1、求值（1） 49144的平方根 （2）11 （3）（4）（5） 0.0036的平方根 （6）（7）（8）641-的立方根（9）()次方根的531277⎪⎭⎫⎝⎛-（10） ()次方根的421.12-2、解方程（1）272=x（2）0183=-x（3） ()2512=-x ； （4）()016223=++x .。
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实数的概念
课时目标
1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类；
2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根；
3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系.
知识精要
1. 无理数的定义
无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪
⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数
负无理数 4. 平方根的定义
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即
2x a =，那么x 就叫做a 的平方根.
5. 平方根的性质与表示
（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根.
（2）正数a 的两个平方根可以用
“
a 的正平方根，叫做
a 的正平方根，也叫做a
的算术平方根；a 的负平方根.
6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.
7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.
8. 常见的无理数有三种类型： 第一类：π型：如π，π+2，…；
； 第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义
如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0．
12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义
如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数.
14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质
（1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示；
（2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在；
（4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”.
热身练习
1. 将下列各数填在相应括号内：
π， 3
2
， 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-， 有理数集合{ …}； 整数集合 { …}； 正数集合 { …}； 分数集合 { …}； 实数集合 { …}； 2. 判断 （1）无限小数都是无理数
（ ） （2）无理数都是开方开不尽的数 （ ） （3）不带根号的数都是有理数 （ ） （4）带根号的数都是无理数
（ ）
3.（1
（2）写出一个比－1大的负有理数是 ，比－1大的负无理数是 . 4. 在实数范围内，下列方根是否存在？如果存在，用符号表示这些方根，并求出它的值.
（1）－16的四次方根 （2）16的四次方根 （3）－32的五次方根 （4）28-的六次方根 （5）－0.00243的五次方根 （6）2(27)-的六次方根
5. 求下列各数的平方根 （1）121 （2）
64
9
（3）0.0009 （4）361
6．求下列各数的算术平方根
（1）81 （2）16
25
（3）289 （4）0.0001
7．求下列各数的值.
（1（2）（3）2
8. 求下列各式的值
（1）2（2）2(0)
a>
（3）2
((0)
a>（4
（50)
a>（6)
a是实数
9. 一个正数的两个平方根为2a+1,5－a求这个数.
10. 已知a的两个平方根,x y为322
x y
+=的一组解，求a的平方根.
11. 求下列各数的立方根.
（1）－64 （2）343 （3）1
918
- （4）0.729
12. 求下列各式的值
（1） （2） （3
13. 解简单的高次方程
（1）16842
=-x （2）81)3(42=-x
（3）39
18
x += （4）3(1)27x +=-
（5）60444=-x （6）7645
=x
精解名题
例1 如图，四个同样大小的正方形排列在一起面积和是80，求小正方形的边长.
例2 用移位法求平方根
被开方数的小数点向右（或左）移动两位，它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一位.
2.236≈7.071≈，求下列各式的值.
（1）≈ （2）≈
（3）
≈ （4≈
注意: 被开方数平方根移动的位数与方向. 第一: 小数点是同向移动；
第二: 被开方数移动的位数是平方根移动的位数的2倍.
例3 用移位法求立方根
被开方数的小数点向右（或左）移动 位，它的立方根的小数点相应地向右（向左）移动 位.
若3333330029.0290002906619.029.0072.329426.19.2，，，求，，
-≈≈≈的值. .
巩固练习
一、填空
1.把下列各数分别填到相应的数集里边
-
52，3π 3.14，01-，2
1
整数集合 { …}； 无理数集合{ …}； 有理数集合{ …}；
2．如果9=x ，那么x ＝_______；如果92=x ，那么=x _______． 3．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_______． 4．算术平方根等于它本身的数有______，立方根等于本身的数有______．
5. x ==则 ，若,x x =-=则 . 6．81的平方根是_____， 210-的算术平方根是 ．
7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则a = ，这个正数是 ． 8．21++a 的最小值是_______，此时a 的取值是_______．
二、选择题
1. 下列说法正确的个数是（ ）
（1）无理数都是实数 （2）实数都是无理数 （3）无限小数都是有理数 （4）带根号的数都是无理数
（5）除了π之外不带根号的数都是有理数.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 若2x a =，则（ ）
A.0x >
B. 0x ≥
C. 0a >
D. 0a ≥ 3．2)3(-的值是（ ）
A ．3-
B ．3
C ．9-
D ．9
4．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ）
A ．1
B ．9
C ．4
D ．5 5．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ）
A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤
7. 若n 为正整数,则
2等于（ ）
A ．－1 B.1 C.±1 D.21n + 8. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）
A.01a <<
B.0a >
C. 1a <
D. 1a >
自我测试
一、填空
1. 把下列各数分别填到相应的数集里边
2π，－3.1415926927，103，，7
2
-，0.2010010001-L ，
1.732，
有理数{ …} 无理数{ …} 非负实数{ …}
2.()33
2-= ，
(
)
3
3
7-= .
3.64
1
-
的立方根是 . 4.－0.001的立方根是 ；－1的9次方根是 .
5.()=-55
3 ；36
3）（-= .
二、选择题
1.
（ ）
A. 9
B. ±3
C. 3
D. －3 2. 下列计算正确的是（ ）
A.
= B.
2=- C.
3=± D.
2=
3. 下列各数中，没有平方根的是 （ ）
A ．－2 B. 0 C. 1
3
D.
4．下列实数31
7
，π-，3.14159 ，，21中无理数有（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
5．下列各式中，无论x 取何实数，都没有意义的是（ ）
A
B ．
C
D
6．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）
A ．2--
B ．4-与
C ．
D ．
三、计算 1、求值
（1） 49
144
的平方根 （2）
（3） （4）
（5） 0.0036的平方根 （6）
（7） （8）641-的立方根
（9）()次方根的531277
⎪⎭⎫ ⎝⎛-
（10） ()次方根的421.12
-
2、解方程
（1）
272=x （2）0183
=-x
（3） ()2512
=-x ； （4）()016223
=++x .。