用直角坐标表示位移速度和加速度
一、位移、速度、加速度dtrdv...
I = ∫ Fdt = P2 − P1
t1
t2
合外力为零时, P = 常矢量
三、质心及质心运动定理： rc
∑m r =
m
i i
F = Mac
四、角动量定理
dL d ( r × p ) M = r×F = = dt dt
五、角动量守恒定律
M = 0 ⇒ L = 常矢量
例3.1 如图示，从半径为R的均质圆盘上挖掉一块半径 为r的小圆盘，两部分中心O和O′相距为d，且 （d + r）< R 。 求：挖掉小圆盘后，该系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心C应在 x 轴上。 用挖补法 1) 先将挖去的部分补上 计算总的质心位置
at = an ⇒ − c
(
(b − ct ) =
2
)
b 2 b R ⎛ b ⎞ < R, ∴ t = + ∵⎜ ⎟ ∴t = ± c ⎝ c⎠ c c
R c
3.一质点沿 X 轴作直线运动，其 v − t曲线
如图所示。当 t = 0时，质点位于坐标原点 ，
则 t = 4.5s时，质点在 X轴上的位置为：
质点力学习题课
质点运动学
一、位移、速度、加速度
dr v = dt
dv 二、圆周运动 a τ = τ dt
三、相对运动
v = v′ + u
v2 a n = vω n = R ω 2 n = n R
dv d r a= = 2 dt dt
2
a = a ′ + a0
运动学中的两类问题：
1、已知运动方程，求轨迹方程(消t)、速度及加速度(求导) --------微分法 2、已知加速度 a (t ) 及初始条件，求运动方程、轨迹方程 --------积分法
如何在物理学中描述物体的运动状态？
如何在物理学中描述物体的运动状态？
在物理学中，描述物体的运动状态需要使用三个物理量：位置、速度和加速度。
1.位置：物体的位置是描述物体在空间中的位置，通常使用直角坐标系来表
示。
例如，一个物体的位置可以表示为(5, 3, 2)。
2.速度：物体的速度是描述物体在单位时间内所移动的距离。
在物理学中，
速度被定义为位移的导数，或者说位移的变化率。
例如，一个物体在匀速直线运动时，速度是一个常量，可以表示为v = Δx / Δt，其中v是速度，Δx是移动的距离，Δt是时间。
3.加速度：物体的加速度是描述物体在单位时间内速度所变化的量。
加速度
是速度的导数，或者说速度的变化率。
例如，一个物体在匀加速直线运动时，它的速度会随着时间的变化而改变，加速度可以表示为a = Δv / Δt，其中a是加速度，Δv是速度的变化量，Δt是时间。
从运动状态的角度来看，物体的位置、速度和加速度是相互关联的。
物体的位置决定了它的速度，而速度又决定了它的加速度。
同时，物体的运动状态也取决于外力的作用。
外界作用力会改变物体的速度和加速度，进而影响其位置和运动状态。
总之，描述物体的运动状态需要同时考虑位置、速度和加速度这三个物理量。
§2、速度、加速度的分量表达式
§2、速度、加速度的分量表达式上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，22;dt r d dt v d a dt r d v =≡≡ 。
在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。
何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义下来的名称和概念。
例如过两点成一条直线……。
由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成分量的形式。
这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。
一、 直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：........z k y j x i r ++= （1）根据速度的定义可知dtr d v ≡将（1）代入，则有 1、速度： z y x v k v j v i dt dz k dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v ++=++=++==...........................................)(于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：z dtdz v y dt dy v x dt dx v z y x ======;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。
速度的大小：222z y x v v v v v ++== 速度的方向就用方向余弦来表示：vv k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos( 。
同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。
2、加速度根据加速度的定义：zy x z y x a k a j a i dt dv k dt dv j dt dv i dt z d k y d j x d i dt dz k dy j dx i dt d dt v d a ++=++=++=++==2222)(比较这些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：z dt z d v dv a y dt y d v dt dv a x dtx d v dt dv a z t z y y y x x x ============222222 于是可得加速度的大小为：222z y x a a a a a ++== 加速度的方向用方向余弦表示。
四个物理量及在直角坐标中的描述
a (t )
第一讲 描述质点运动的四个物理量
例1.一质点沿 x 轴作直线运动，其v-t曲线如图所示，t = 0 时，质点位于坐标原点，求：t= 4.5s时，质点在x轴 上的位置，及质点在这段时间内通过的路程。 解： x
vdt
2
v(m/s)
等效于求面积：
(2.5 1) 2 (1 2) 1 1 x 0 2 2 2m
第一讲 描述质点运动的四个物理量
dx dy 2x 2 y 0 dt dt
练一练：中 点C的速度 是多少？
例3.已知一质点作平面运动, 其加速度 求质点的运动方程 v t dv a adt 解： dv v0 0 dt
a 为恒矢量,
积分可得
积分可得
1 2 r r0 v0t at 2 1
第二讲 自然坐标系和相对运动
第三讲 本章小结及习题分析
第一讲 描述质点运动的四个物理量
第一讲
1-0 引言 1-1位矢 1-2 位移 1-3 速度 1-4 加速度 1-5 质点运动学的两类问题
第一讲 描述质点运动的四个物理量
1-0 引言：你怎样科学地描述运动？
1. 参考系与坐标系 •运动是绝对的,运动的描述是相对的 •参照系:描写物体运动选择的标准物。 Z
第一讲 描述质点运动的四个物理量
讨论： 比较位移和路程
r AB
s
A
s AB
r
B
位移：是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质 点运动轨迹无关，只与始末点有关。 路程：是标量，是质点通过的实际路径的长，与质 点运动轨迹有关
r s 何时取等号？
第一讲 描述质点运动的四个物理量
位移、速度、加速度
1-1-2
２、速度 Velocity 瞬时速度、简称速度： v = lim t→0 r/ t = dr/dt 速度方向为所在点轨迹的切线方向，并 指向质点前进的一方 在直角坐标系中 v = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k 速度分量 vx = dx/dt , vy = dy/dt , vz = dz/dt 速度的大小： | v | = ( vx2 + vy2 + vz2 )1/2
1-1-2
v(t) P Q ρ no dθ
v(t+dt)
O vdθ v(t) v(t+dt) dv dv
1-1-2
dv = dv to + vd no 所以 vdt =ρd 故 d /dt = v /ρ 将上式两边除以dt可得质点在P点的加速度 a = dv/dt = dv/dt to + vd /dt no = dv/dt to + v2/ρ no dv/dt 为沿切向分量，故称为质点的切 向加速度 at ，其值等于速率的变化率，它 表示速度变化的快慢。
例1-2 有一质点沿x轴作直线运动为 x(t) = 4.5t2 - 2t3 (SI)，试求: (1)第2秒内的平均速度 v， (2)第2秒末的速度 v， (3)第2秒内经过的路程s 及平均速率 v， (4)第2秒末的加速度 a 。 解:(1) vx = x/ t = [ x(2)- x(1)]/( 2 - 1 ) = (4.5×22－2×23 )－(4.5－2) = - 0.5 m /s v = - 0.5 i m /s
1-1-2
1-1-2
vx = 9t - 6t2 (4) 加速度 ax = dvx/dt = 9 - 12t |t=2 = 9 - 12×2 = - 15 ( m/s2 ) 因为加速度与速度方向相同， 所以质点在２秒末作加速运动。
位移时间、速度时间图像
0
-1
回到原点
t/s
12345
X-t图像中，
图线与横轴交点的意义: 表示物体回到原点
1.在图所示的X-t图象中，能表示质点作匀速直 线运动的是（ AB）
X/m
X/m
OA
t/s
X/m
OB
t/s
X/m
OC
t/s
OD
t/s
2.下列有关匀速直线运动的叙述正确的是（ B）
A.做匀速直线运动物体的位移和路程相同 B.做匀速直线运动物体的位移大小和路程相等 C.相等时间内路程相等的运动一定是匀速直线 运动 D.匀速直线运动的位移-时间图像一定是一条 过原点的直线
X/m
O
t/s
X-t图像中，
平行于t轴的直线表示的是: 物体静止
X/m
O
t/s
X-t图像中，
曲线表示的是: 物体做变速直线运动
位移方向是相对于坐标轴的原点, 用
X/m
“＋”“－”号来表示, “＋”表示质点
在原点的正方向的一侧, “－”表示质点
X2
B
位于原点的另一侧, 位移由“＋”变为 “－”并不表示质点的运动方向的改变。
t/s
在直角坐标系中, 用横轴表示时间, 用纵轴
表示速度。
V/(m/s)
a
b
c
o
t/s
从图像中, 可以看出速度随时间的变化情况。
物理意义:
描述物体速度随时间的变化关系
1.图线上任意一点的横纵坐标表示物体在 某一时刻及对应的速度。
2.图线上起点的横纵坐标表示物体开始 运动的时刻及初速度。
v/(m/s)
C
E
t/s
A、在AB段，物体做匀速直线运动 D B、在CD段和DE段，物体的速度方向不同 C、在C点，物体的速度为零 D.在E点，物体的位移为零
《物理学教学课件》1-2 位移 速度 加速度-PPT文档资料
et
a
en
an v2
a at2 an2
( dv )2 ( v2 )2
dt
四、 质点运动学两类基本问题
1）由质点的运动方程可以求得质点在任 一时刻的位矢、速度和加速度；
2）已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程．
r(t) 求导 v ( t )
1-2 位移 速度 加速度
一、位移与路程
平面运动:
r r B A x x B A i i y y B A j j， ，y
r
A
rrBrA
( x B x A ) i ( y B y A ) j o
A
r
yByA
B
rB
x
xBxA
三维 运r 动 : x i y j z k
dl dt
v0
代入 v船
dx dt
l x
dl dt
得
v船xl v0
v0
cos
负号表示沿x 轴负方向。
课堂练习：如图A、B y
两物体由一长为 l 的
B
刚性细杆相连，A、B 两物体可在光滑轨道
t0t dt
v dxidy
j
y
v y
dt dt
vxivyj
o
若质点在三维空间中运动，其速度
v v x i v y j v z k
vv vx2vy2vz2
v
v x
x
3. 平均速率与速率
v s v lims ds
t
t0 t dt
注意
r ， r ， r
平面直角坐标系的应用
平面直角坐标系的应用一、引言平面直角坐标系被广泛应用于几何学、物理学、工程学以及其他许多领域中。
它是一种用于在平面上确定点位置的坐标系统。
本文将探讨平面直角坐标系的基本概念、应用以及在不同领域中的实际应用案例。
二、平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，分别称为X轴和Y轴。
这两条直线的交点被称为坐标原点(O)。
X轴和Y轴将平面分成四个象限，分别编号为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
三、1. 几何学应用平面直角坐标系在几何学中被广泛应用。
通过给出点的坐标，我们可以确定该点在平面上的位置。
这种坐标系使得计算坐标之间的距离、角度和面积等几何量变得更加简单和直观。
2. 物理学应用在物理学中，平面直角坐标系被用于描述物体在平面上的位置和运动。
例如，在力学中，我们可以通过使用平面直角坐标系来分析物体在平面上的受力情况，从而计算其加速度、速度和位移等物理量。
3. 工程学应用工程学中广泛应用平面直角坐标系。
例如，在建筑工程中，使用该坐标系可以绘制建筑平面图，并确定建筑物各个部分的位置和尺寸。
在土木工程中，平面直角坐标系可用于设计道路和桥梁的布局，计算地形高程和坡度等。
4. 统计学应用平面直角坐标系在统计学中也有重要的应用。
例如，在数据分析中，可以使用该坐标系来绘制散点图，直观地展示数据的分布情况和相关性。
此外，平面直角坐标系还可以用于绘制直方图、箱线图等图表，帮助我们更好地理解和解释数据。
四、平面直角坐标系的实际应用案例1. GPS定位系统全球定位系统（GPS）是一种通过卫星信号定位的技术，其中使用了平面直角坐标系。
GPS接收器通过接收多颗卫星发送的信号，计算出其在平面直角坐标系中的位置，从而确定接收器所在的地理位置。
2. 图像处理在图像处理中，平面直角坐标系被用于描述图像中像素的位置。
通过给定像素在X轴和Y轴上的坐标，我们可以准确定位图像中的某个点，并进行各种图像处理操作，如裁剪、旋转和缩放等。
柱坐标系和球坐标系中速度、加速度表达式的一种简易推导
柱坐标系和球坐标系中速度、加速度表达式的一种简易推导
在学习中可能会碰到柱坐标系与球坐标系的概念，这两个坐标系在物理现象的描述上具有
至关重要的作用，以下将简单说明柱坐标系和球坐标系中速度、加速度表达式的推导。
首先我们从柱坐标系开始，柱坐标系是一种直角坐标系，其中有三个坐标轴，分别为X、Y、Z轴。
我们可以定义一点P（x，y，z），那么它的速度表达式可以用v（t）=x'（t）i+y'（t）j+z'（t）k的形式来表示，其中i,j,k分别为柱坐标系的基向量。
显然，加速度也
可以通过a（t）=x''（t）i+y''（t）j+z''（t）k的形式来表示。
接下来，我们来讨论球坐标系中速度和加速度表达式的推导。
球坐标系也是一种直角坐标系，它包含三个角度变量ρ、θ和ψ，并可以通过方位角和点P（ρ，θ，ψ）来描述。
另外，它还有三个单位向量e_ρ,e_θ,e_ψ，那么它的速度表达式可以用v（t）=ρ'（t）e_ρ+θ'（t）eθ+ψ'（t）e_ψ的形式来表示，对应的加速度则可以用a（t）=ρ''（t）e_ρ+θ''（t）eθ+ψ''（t）e_ψ的形式来表示。
总之，柱坐标系和球坐标系中速度和加速度都可以用变量组合的形式来表示，柱坐标系中
可以用x'（t）i+y'（t）j+z'（t）k的形式来表示，而球坐标系中可以用ρ'（t）
e_ρ+θ'（t）eθ+ψ'（t）e_ψ的形式来表示。
速度与加速度的直角坐标法
求滑块B的
运动方程 速度 加速度 解∶坐标系
r sin l sin
r2 2 cos 1 ( ) sin l
dx v r (sin t dt 1 r sin 2 t ) 2 l dv a r 2 (cos t dt r cos 2 t ) l
7-4 速度与加速度的直角坐标法
向径 速度 加速度
应用举例
向径 1、动点M
z M O z
– 的向径为 r – 直角坐标为 x,y,z – 单位向量为 i
k
i
x
y
r
,j,k
j
x
y
2、向径和直角坐标
r xi yj zk
z M
k
x
O
r
y
zห้องสมุดไป่ตู้
v
y
i
j
x
速度
– 沿M点轨迹
切线方向。 – 是向径对时 间的一阶导数
dq 2 v v ( ) , q x , y , z dt
2 q
ix vq cos( v , iq ) i v y q x, y, z iz
方向余弦∶
i j k
vq 叫做v 在q坐标轴上 v vxi vy j vz k 的投影，q x , y , z dq k vq dt , q x, y, z
r 2 2 x r cos t l 1 ( ) sin t l
螺旋线运动
已知点的运动方程
求∶点的运动轨迹
点的速度 点的加速度
Z
然后回到母线上，转一周，增加h
1.3 用直角坐标表示位移、速度和加速度
d2 x dvx ax = 2 = dt dt
d2 y dv y ay = 2 = dt dt
d2 z dvz az = 2 = dt dt
大小为
r 2 2 2 a = ax + ay + az
ay cos β′ = v a az cos γ′ = v a
方向用方向余弦表示为
ax cos α′ = v a
dy vy = dt
r 2 2 2 v = v x +v y +v z
速度的方向用方向余弦表示为
vy vx vz cos α = v , cos β = v , cos γ = v v v v
二、 加速度
v 2 v v v d2 x v d2 y v d2 z v r dr d a = 2 = 2 (xi + yj + zk ) = 2 i + 2 j + 2 k dt dt dt dt dt v v v = axi + ay j + az k
三、运动学中的两类问题
r r v v 1根据运动方程r = r (t ) v = v (t ) ，可确定任 r 或
意时刻的加速度 r r 求导 v v 求导 = v (t ) v r = r (t)
a
r r a = a(t)
v v v 2 例 已知一质点运动方程 r = 2t i + (2 − t )j 求 (1) t =1 s 到 t =2 s 质点的位移
v v t ∫r dv = ∫ 16dt j
v0 0
r v
v v v v -v0 = 16t j
v v v v = 6i +16t j
v dr v =v dt
平面直角坐标系及其应用
平面直角坐标系及其应用直角坐标系一直是数学中重要的工具之一，它在几何学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
本文将介绍平面直角坐标系的基本概念，包括坐标轴、原点和坐标的表示方法，并探讨其在几何学和物理学中的应用。
一、平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系是由两条相互垂直的坐标轴和一个原点组成。
通常我们将水平的坐标轴称为x轴，垂直的坐标轴称为y轴。
原点是两个轴的交点，坐标轴上的单位长度可以根据实际情况确定。
在平面直角坐标系中，每一个点都有一个唯一的坐标来表示。
一般情况下，坐标用一个有序数对(x, y)来表示，其中x是点在x轴上的投影长度，y是点在y轴上的投影长度。
二、平面直角坐标系的应用1. 几何学中的应用平面直角坐标系在几何学中有着重要的应用，可以用来描述和解决平面上的几何问题。
例如，通过坐标系可以方便地计算两点之间的距离、判断点的位置关系、求解线段的长度等。
此外，利用平面直角坐标系还可以方便地进行图形的平移、旋转和缩放等变换操作。
通过坐标系的转换，可以将原来复杂的几何问题转化为简单的代数运算，极大地简化了计算过程。
2. 物理学中的应用平面直角坐标系在物理学中也有广泛的应用。
例如，在力学中，可以利用坐标系描述物体在平面上的运动轨迹。
通过计算物体在x轴和y轴上的位移，可以求解物体的速度和加速度等运动参数。
在电磁学中，坐标系被用来描述电场和磁场的分布。
通过在坐标系上建立电势函数和磁感应强度函数，可以方便地计算任意位置的电场强度和磁场强度。
3. 工程学中的应用平面直角坐标系在工程学中也是不可或缺的工具。
例如，在建筑设计中，可以利用坐标系来表示建筑物的平面布局，方便施工人员准确地定位和测量。
在电子工程中，坐标系被用来布局电路板和元器件。
通过将元器件的位置和尺寸用坐标表示，可以确保电路的信号传输和电路的稳定性。
总结：平面直角坐标系是数学中的重要工具，它在几何学、物理学和工程学中有着广泛的应用。
通过坐标系，可以方便地描述和解决平面上的几何问题，并进行各种变换操作。
速度与加速度的直角坐标法
Z
螺旋线运动
已知点的运动方程
求∶点的运动轨迹
点的速度 点的加速度
然后回到母线上，转一周，增加h
x = r cosω ⋅ t y = r sin ω ⋅ t
dq 由vq = , q = x, y , z dt vx = −ω ⋅ r sin ω ⋅ t v y = ω ⋅ r cos ω ⋅ t
O x y=r.z=h/4 y
2
a =
∑ a
2 q
=
∑(
dvq dt
) ,q = x, y,z
2
a q v v c o s ( a , iq ) = ,q = x , y , z a
ω
应用举例
y
A
r
O
ϕ
C x
ψ度 ω ， 考虑三角形OAC与CAB得 v = dt ≈ −rω(sinω ⋅ t ϕ = ω ⋅t 1 r rsinϕ = l sinψ + ⋅ sin2ω ⋅ t) 求滑块B的 2 l
ω ⋅t z = h 2π r ,ω , h为 常 数
解∶运动分析
ω vz = h 2π
2 q
x2 + y2 = r2
所以，动点M在半径 为r的圆柱面上运动。
t=0,x=r,y=z=0. ω t 增加,y和z增加，x减小。 t=360 o，x=r,y=0,z=h
h 2 v = ∑v = ω ⋅ r 1+ ( ) 2πa t再增加,y减小， x的绝对值增加。 r r v h z ω t=180 o， cos(v, k ) = = 2 v h + (2πr)2 x=-r,y=0,z=h/2
7-4 速度与加速度的直角坐标法
向径 速度 加速度 应用举例
简谐振动与圆周运动投影原理
简谐振动与圆周运动投影原理1.振动的描述振动是物体在某一确定位置附近反复往返移动的物理现象。
简谐振动是最简单的一种理想化振动，其数学模型可表示为: x=Acos(wt+p)。
其中，A是振幅，w是角频率，t是时间，p是初相。
⒉圆周运动的基本概念圆周运动是物体沿着一个固定圆周或其切线方向的运动。
在圆周运动中，物体在任意时刻都占据圆周上的一个点，其位置可用极坐标表示为: r=r(t)，0=wt+p0。
其中，r是半径，0是方位角，w是角速度，t是时间，p0是初相。
3.振动在直角坐标系中的表示简谐振动的位移、速度和加速度在直角坐标系中的表示分别为: X=Acos(wt+p)，V=-wAcos(wt+p)，a=-w2Acos(wt+p)。
4.圆周运动在极坐标系中的表示在极坐标系中，圆周运动的位移、速度和加速度分别表示为:r=Ocos(ut+p0)，v=-wrOsin(wt+p0)，a=w2rOcos(wt+p0)。
5.简谐振动的合成与分解简谐振动可以由两个或多个不同频率、振幅或相位的基本简谐振动的合成来产生。
简谐振动也可以通过傅立叶分析分解为多个不同频率的简谐振动。
6.圆周运动的合成与分解圆周运动可以由两个或多个不同角速度、半径或方位角的圆周运动的合成来产生。
圆周运动也可以通过相应的方式分解为多个不同角速度、半径或方位角的圆周运动。
7.投影原理的数学基础投影原理是指通过选择适当的投影面和投影方向，将三维空间中的点或线投影到二维平面上。
在数学中，投影原理用于将高维空间中的函数或向量投影到低维空间中，以简化问题。
8.振动与圆周运动的投影关系简谐振动和圆周运动都可以看作是时间和空间中的函数，它们都可以通过投影原理将三维空间中的轨迹投影到二维平面上。
具体地，对于简谐振动，可以通过投影原理将三维位移场投影到直角坐标系中的二维平面上;对于圆周运动，可以通过投影原理将三维轨迹场投影到极坐标系中的二维平面上。
9.应用举例:机械振动与电磁振荡的联系机械振动和电磁振荡在许多方面是相似的。
大学物理运动学第一章第二节 位失 速度 加速度课件
et
当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向就是沿该 点曲线的切线方向.
若质点在二维空间中运动,其速度为
v
dx
i
dy
j
v
dt
vx
i
dt
vy
j
y v y
若质点在三维空间中运动,其速度为
v
dx
i
dy
j
dz
k
o
dt dt dt
v
v x
x
瞬时速率：速度 v 的大小称为速率
dvx dt
d2x dt 2
ay
dv y dt
d2 y dt 2
az
dvz dt
d2z dt 2
说明 (1) 加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。 (2) 加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。
通过积分求位移和速度：
a
dv dt
v(t)
v0
t
0
adt
v
dr dt
r(t)
r0
t 0
vdt
例已知质点作匀加速直线运动，加速度为a，求该质
点的运动方程。
解：已知a速 度或ddv加t 速度求d运v 动方a程d，t 采用积分法：
对于作直线运动的质点，采用标量形式
dv adt
两端积分可得到速度
v
v0
d
v
0ta
平均速度大小
v ( x )2 ( y )2
t
速度、加速度分量表示式
JLU 物理与光电工程学院第一章质点力学之§1.2速度、加速度分量表示式JLU 物理与光电工程学院§1.2 速度、加速度分量表示式一、直角坐标系：kz j y i x r r r r r++=1. 速度:k v j v i v k z j y i xk dt dz j dt dy i dtdx dt r d v z y x r rr r &r&r &r r r r r ++=++=++==y v z v xv y z x &&&===,,分量式:222||z y xv v &&&r++==大小:方向余弦:vv vv vv zy x===γβαcos ,cos ,cosJLU 物理与光电工程学院2. 加速度:k z j y i x k dt dv j dt dv i dt dv dt v d a z y x r &&r &&r &&rr r r r ++=++==ka j a i a z y x rr r ++=⎪⎩⎪⎨⎧===z a y a xa z y x &&&&&&222||z y x a a &&&&&&r ++==分量式:大小:方向余弦:cos ,cos ,cos y x za a a a a aαβγ===JLU 物理与光电工程学院P7:例题1. 求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度和加速度解: 1)选择参照系,坐标系12222=+ayb x 消去参数θ得轨道方程:θθθθ&&&&sin cos a yb x−==速度分量:c b a yb a y xx B B B B −=+−=+===θθθ&&&sin )(cos )(0,0θθsin )(b a c+=∴&)(sin )(sin ,cot )(sin )(cos b a ac b a ac y g b a bcb a bc x +−=+−=+=+=θθθθθ&&θθcos sin a y b x ==2)写出M 点的坐标y xc B Or AM (x ,y )b a θJLU 物理与光电工程学院θ22222cot g b a ba c y x v M ++=+=&&⎪⎩⎪⎨⎧=+−=++−=+−=0sin 1)(sin )(csc )(csc )(22222yb a bc b a c b a bc b a bc x &&&&&θθθθθ3224221)(xb ac b y x a a M +=+==&&&r 小结:1) 参照系，坐标系（立场和方法）2）已知r =r (t ), 求v , a 3) 已知a, v , 求运动r=r (t )JLU 物理与光电工程学院二、平面极标系：当质点作平面运动时，可用直角坐标系，但有时选平面极坐标方便。
平面直角坐标系及其应用
平面直角坐标系及其应用平面直角坐标系是二维数学中常用的坐标系统，用于描述平面上的点的位置。
它由两条相互垂直的坐标轴组成，通常被称为x轴和y轴。
x轴和y轴的交点被称为坐标原点，它是平面上的参考点，坐标原点的位置为(0, 0)。
在平面直角坐标系中，每个点都可以用一对有序实数(x, y)表示，其中x代表点在x轴上的位置，y代表点在y轴上的位置。
这种表示方式被称为坐标。
根据坐标的正负，在直角坐标系中可以将平面分为四个象限：第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
平面直角坐标系在多个学科和领域中都有广泛的应用。
以下是一些平面直角坐标系及其应用的例子：1. 几何学在几何学中，平面直角坐标系被用来描述和分析图形的性质和关系。
例如，直线的方程可以通过坐标系中的两点来确定。
直角坐标系还可用于计算线段的长度、角度的大小以及判断两条线段是否平行或垂直。
2. 物理学在物理学中，平面直角坐标系常常用于描述物体的运动和位置。
通过将坐标系原点设置在参考点上，可以方便地计算物体的位移、速度和加速度等物理量。
同时，坐标系的划分以及坐标轴的方向也有助于描述物体的方向和运动轨迹。
3. 统计学在统计学中，平面直角坐标系被用来绘制数据的散点图。
通过在坐标系中以数据的数值为横纵坐标，可以直观地显示数据的分布情况和趋势。
统计学家可以利用坐标系中的数据点进行数据分析和预测。
4. 工程学在工程学中，平面直角坐标系广泛用于测量和设计。
工程师可以通过坐标系来确定建筑物、道路和桥梁等建筑物的位置和尺寸。
坐标系还可以用于工程测量、地质勘探和地图制作等应用。
5. 计算机图形学在计算机图形学中，平面直角坐标系被用来表示和渲染二维图形。
计算机程序可以使用坐标系中的点和线条来绘制图像、动画和界面。
坐标系的变换和变换矩阵也是计算机图形学中重要的概念之一。
综上所述，平面直角坐标系是一种重要的数学工具，广泛应用于几何学、物理学、统计学、工程学和计算机图形学等多个领域。
直角坐标系下加速度的公式
直角坐标系下加速度的公式直角坐标系又叫笛卡尔坐标系，它通过一对数字坐标在平面中唯一的指定每个点，该坐标系是以相同的长度单位测量的两个固定的垂直有向线的点的有符号距离。
每个参考线称为坐标轴或系统的轴，它们相遇的点通常是有序对（0,0）。
坐标也可以定义为点到两个轴的垂直投影的位置，表示为距离原点的有符号距离。
相交于原点的两条数轴，构成了平面直角坐标系。
如两条数轴上的度量单位相等，则称此直角坐标系为笛卡尔坐标系。
两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡儿直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。
二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。
在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。
在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。
据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡儿生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。
突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。
蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。
他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数据确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。
反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点P与之对应，同样道理，用一组数（x、y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以有用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。
直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念用数来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。
三维空间坐标下的速度、加速度推导
re e θe ϕ图二极坐标下的加速a 度计算如图所示，以0点为原点建立以空间直角坐标系O-xyz ，空间人一点的球坐标为（r ，θ，ϕ），雷达坐标（r, α,β）。
在该点处坐标系三个单位矢量为r e 、e θ、e ϕ，也可以表示为r e 、e α、e β。
r 为该点到原点的距离。
θ为该点相对0点位置矢量Z 轴的夹角，目标俯仰α为该点与原点连线和地平面的夹角（即与xOy 平面的夹角，通常范围-90°到90°）。
ϕ为该点相对0点位置矢量在0-xy 坐标平面上的投影与X 轴之间的夹角，目标方位β为该点相对0点位置矢量在0-xy 坐标平面上的投影与y 轴正向夹角，即指北向顺时针夹角（从y 轴正向向x 轴正向的夹角，范围为0~360°），sin cos sin sin cos r e i j k θϕθϕθ=++ (1)cos sin cos sin sin e i j k θθϕθϕθ=+- (2)sin cos e i j ϕϕϕ=+ (3)()()cos cos cos sin sin sin cos sin cos r e i j k i j i j θθϕϕθϕθϕϕϕϕ=+-+-++ sin r e e e θϕθϕθ=++ （4）()()sin cos sin sin cos cos sin cos e i j k i j θθθϕθϕθϕθϕϕ=-+-+-+cos r e e e θϕθϕθ=-+ （5） ()cos sin e i j ϕϕϕϕ=-+ （6） cos sin r k e e ϕθθ=+ （7） cos sin sin cos r i j e e θϕϕθθ+=+（8） ()sin cos r e e e ϕθϕθϕ=-+ （9） r r re = （10） r r v r re re ==+ sin r v re r e r e θϕθϕθ=++ （11） r r v v e v e v e θθϕϕ=++ （12）sin r v rv r v r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ （13）r r a v a e a e a e θθϕϕ==++ （14） 2222sin 2sin cos sin 2sin 2cos r a r r r a r r r a r r r θϕθϕθθθϕθθϕθϕθθϕθ⎧=--⎪=+-⎨⎪=++⎩ （15）r re e e e e e αθβϕ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ （16）。
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v
v
2 x
v
2 y
v
2 z
速度的方向用方向余弦表示为
cosα vvx , cosβ vvy , cosγ vvz
二. 加速度
a
d2r dt 2
d2 dt 2
(xi
yj
zk )
d2x dt 2
i
d2 dt
y
2
j
d2z dt 2
k
1. 第一类问题 已知运动学方程，求 v , a
例
已知一质点运动方程
r
2t
i
(2
t
2
)
j
求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移
(2) t =2s 时 v ，a
(3) 轨迹方程
解 (1) 由运动方程得
r1
2i
j
r2
4i
2j
r r2 r1 2i 3 j
axi ay j azk
ax
d2x dt 2
dv x dt
ay
d2 y dt 2
dv y dt
az
d2z dt 2
dv z dt
大小为
a
ax2
a
2 y
az2
方向用方向余弦表示为
cosα aax cosβ aay
cosγ aaz
四. 运动学的二类问题
r0
8k
8t
2
j
8k
(2)
v
dr
2i 2t
j
a
d v
2 j
dt
t =2s 时
v 2
2
i
4
j
dt
a 2
2
j
(3) x 2t y 2 t2 轨迹方程为 y 2 x2 / 4
2. 第二类问题 已知加速度和初始条件，求 v , r
例
已知
a
16 j
,t
=0
时，v0
6i ,
r0
8k
求 v 和运动方程
解 由已知有
dv
a
16 j
dt
v
-v0
16t
j
v
v0
dv
t
16dt j
0
v
6i
16t
j
dr v dt
r r0
dr
t 0
( 6i
16t
j )dt
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§1.3 用直角坐标表示速度和加速度
一. 速度
矢量运算转化为代数量的运算
v
dr
d
(xi
yj
zk )
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt
dt dt dt
vxi vy j vzk
vx
dx dt
vy
dy dt
vz
dz dt
速度的大小为