几何分布的期望与方差的证明

几何分布的期望与方差

康永清

高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E p ξ=1，（2）D p p ξ=-12

，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。 （1）由P k q p k ()ξ==-1，知

E p pq q p kq p q q kq p k k ξ=++++=+++++--231232121 ()

下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记

S q q kq k k =++++-12321

qS q q k q kq k k k =+++-+-2121 ()

两式相减，得

()1121-=++++--q S q q q kq k k k

S q q kq q k k k

=----1112()

由01<

q →∞=0，故 1231112122+++++==-=-→∞p q kq S q p

k k k lim () 从而E p

ξ=1 也可用无穷等比数列各项和公式S a q q =

-<111(||)（见教科书91页阅读材料），推导如下：

记S q q kq k =+++++-12321

qS q q k q k =+++-+-2121 ()

相减，

()111121-=+++++=--q S q q q q

k 则S q p

=-=11122() 还可用导数公式()'x nx n n =-1，推导如下：

12321+++++-x x kx k

=+++++=+++++x x x x x x x x k k '()'()'()'()'

2323

=-=----=-(

)'()()()()x x x x x x 111112

2 上式中令x q =，则得 1231112122

+++++=-=-q q kq q p k () （2）为简化运算，利用性质D E E ξξξ=-22()来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。

可见关键是求E ξ2

。 E p qp q p k q p k ξ22222123=+++++-

=+++++-p q q k q k ()12322221

对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：k q

kq k k 21-=()'，并用倍差法求和，有

12322221+++++-q q k q k

=+++++()'q q q kq k 2323

=-=-+--=--=+-=-[()]'()()()()()q q q q q q q q q q p p 1121111112224

2433

则E p p p p p ξ23222=-=-()，因此D E E p p p p p

ξξξ=-=--=-22222211()() 利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。

例1. 一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数ξ的数学期望E ξ与方差D ξ。

解：每次从袋内取出白球的概率p =57

，取出黑球的概率q =27。ξ的取值为1，2，3，……，有无穷多个。我们用ξ=k 表示前k －1次均取到黑球，而第k 次取到白球，因此

P k q p k k k ()()()(,,,)ξ====--112757

123 。可见ξ服从几何分布。所以 E p ξ==175 D p p ξ=-=-

=115

757142522

()

例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p （0

解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10。

若ξ==k k (,,,)129 ，则表明他前k -1次均没击中目标，而第k 次击中目标；若k ＝10，

则表明他前9次都没击中目标，而第10次可能击中也可能没击中目标。因此ξ的分布列为

P k ()ξ==-=-=⎧⎨⎪⎩⎪-()(,,,)()()

112911019p p k p k k E p p p p p p p ξ=⨯-+⨯-++⨯-+⨯-112191101089()()()()

=+-++-+⨯-[()()]()1219110189p p p p

用倍差法，可求得

121918+-++-()()p p

=--------=----111191111191929

929()[()]

()()()()p p p p p p p p 所以E p p

p p p p p p ξ=----+-=--[()()]()()119110111929910

说明：本例的试验是有限次的，并且P p ()()ξ==-1019

，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量ξ不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。但求解过程可参照相关公式的推导方法。