点到直线的距离教案

点到直线的距离

人教版高二第二册（上）第七章第三节第4课时

山西省阳泉市荫营中学 王萍

教学目标：

（1）让学生理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；

（2）培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；

（3）引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验．

教学重点：点到直线距离公式及其应用．

教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法． 教学方法：问题解决法、讨论法．

教学工具：计算机多媒体、实物投影仪．

教学过程：

一、创设情景 提出问题 多媒体显示实际的例子： 某电信局计划年底解决本地区最后一个小 区P 的电话通信问题．离它最近的只有一条线 路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电 缆？

经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P （－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．

这个实际问题要解决，要转化成什么样的 数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离． 二、自主探索 推导公式

多媒体显示：已知点P(x 0，y 0)，直线l ：Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离． 怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q ，求线段PQ 的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？

教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于x 轴和y 轴的特殊情况．学生解决．

板书：

y -10 x -8

P (-1,5) Q

10 2 4 6 -4 -8 -10 O 8 -2 -6 -4 -6

-2

2 4

6

8 10

l

l

B

C By B C

y y y PQ C By l A Q +=

+

=-==+=000,0:0时，当 A

C Ax A C

x x x PQ C Ax l B Q +=

+

=-==+=000,0:0时，当 时，当0≠AB 如何求PQ ？

学生思考回答下列想法：

思路一：过P 作l PQ ⊥于Q 点，根据点斜式写出直

线PQ 方程，由PQ 与l 联立方程组解得Q 点坐标，然后

利用两点距离公式求得．

教师评价：此方法思路自然． 教师继续提出问题：

(1)求线段长度可以构造图形吗？ (2)什么图形？如何构造？ (3)第三个顶点在什么位置？ (4)特殊情况与一般情况有联系吗？

学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中．第三个顶点在什么位置？可能在直线l 与x 轴的交点M 或与y 轴交点N ，或过P 点做x,y 轴的平行线与直线l 的交点R 、S ．

教师根据学生提出的方案，收集思路． 思路二：在直角△PQM,或直角△PQN 中,求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余弦值．

思路三：在直角△PQR,或直角△PQS 中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）,用余弦值．

思路四：在直角△PRS 中，求线段PR 、PS 、RS ，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ 长．

学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程．

（思路一）解：直线PQ ：()()000,x x x x A

B

y y ≠-=-，即00Ay Bx Ay Bx -=-

由⎩

⎨⎧=++-=-000C By Ax Ay Bx Ay Bx ，2

2002B A AC ABy x B x Q +--=

()()2

02

0y y x x

d Q Q

-+-=

∴

O

y

x

P (x 0 ,y 0)

Q

()

0022

A Ax By C A

B -++=+2220000022Q B x ABy A

C A x B x x x A B -----=+()00Q B y y x x A -=-0022

Ax By C

B A B ++=-+0022

Ax By C A B ++=

+()220022

1A B Ax By C A B =

++++

（思路四）解：设()00,y x P ，()Q Q y x Q ,，()0,y x R R ，()S y x S ,0 00=++C By Ax R ，A C By x R +-

=0；00=++C By Ax S ，B

C

Ax y S +-=0 A C By Ax x x RP R ++=

-=000

B

C

By Ax y y PS S ++=

-=000

由PS PR RS PQ ⋅=⋅， RS

PS PR PQ ⋅=

而2

2PS

RP RS +=2

22

200B

A B A C

By Ax +++= 2200B A AB

C

By Ax +++=

2

2

00B

A C

By Ax PQ +++=∴

说明：如果学生没有想到思路二、三，教师提示做课后思考作业题目． 教师提问：①上式是由条件下时当0≠AB 得出，对时，或当00==B A 成立吗？ ②点P 在直线l 上成立吗？

③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？

由此推导出点P(x 0，y 0)到直线l ：Ax+By+C=0距离公式：

2

2

00B

A C

By Ax d +++=∴适用于任意点、任意直线．

教师继续引导学生思考，不构造三角形可以求吗？（在前面学习的向量知识中，有

念．）能否用向量知识求解呢？ 思路五：已知直线l 的法向量n ，则n PQ λ=，

λ=，如何选取法向量？直线的方向向量

⎪⎭⎫ ⎝⎛-B A ,1，则法向量为⎪⎭

⎫

⎝⎛A B ,1，或()B A ,，或其它．由师生0)