直线方程和斜率
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
一、倾斜角：
重点：取值范围：0≤a＜180°
二、斜率k：
1、当a≠90°时，斜率k=tana；
2、当a=90°时，斜率k不存在；（联系正切函数的定义域去理解）
3、两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的斜率公式：
理解：
①两点间斜率要求x1≠x2，因为当x1=x2时，直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率k不存在；
②当x1≠x2且y1=y2时，直线垂直于y轴，倾斜角为0°，斜率k=0
三、各表达式之间的区别与联系：
四、斜率k与截距b对直线位置的影响：
1、k对直线位置的影响：
①当k＞0时，直线向右上方倾斜；
②当k＜0时，直线向右下方倾斜；
③当k=0时，此时倾斜角为0，直线平行与x轴；
④当k不存在时，此时倾斜角为90°，直线与y轴平行。
2、b对直线位置的影响：
①当b＞0时，直线与y轴正半轴相交；
②当b＜0时，直线与y轴负半轴相交；
③当b=0时，直线过原点。
直线与方程 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率一、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x 轴为基准，当直线l 与x 轴相交时，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α，叫做直线l 的倾斜角。
规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0。
因此倾斜角的范围是[0，180） 二、由坡度到斜率1、坡度=升高量/前进量（即坡角α的正切值）2、斜率：倾斜角不是90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。
即)90(tan k ≠αα= 两点式求斜率： 当α为钝角时，（转化到其补角θ上）当α在[0 ，180 ）内变化时，斜率k 如何变化？poyxly poxl poy xlpoyxlααα0°＜＜90°α= 90°α90°＜＜180°α= 0°αk =0k >0k 不存在k <0三、平行与垂直平行：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等， 那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即θ-=θ-=α=∴θθ-=αtan )180tan(tan k )(180 是锐角xx y y 1212tan k--=α=如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.垂直: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.典例1.已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD 的形状,并给出证明.基础练习题1、已知，A(–3, 1)、B(2, –4)，则直线AB 上方向向量AB的坐标是（ ）A 、(–5, 5)B 、(–1, –3)C 、(5, –5)D 、(–3, –1)2、过点P(2, 3)与Q(1, 5)的直线PQ 的倾斜角为（ ）A 、arctan2B 、arctan(–2)C 、2π–arctan2 D 、π–arctan2 3、已知点A(cos77 °,sin77°), B(cos17°, sin17°)，则直线AB 的斜率为（ ）A 、tan47°B 、cot47°C 、–tan47°D 、–cot47°4、下列命题正确的是（ ）A 、若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应B 、若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应C 、直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan kD 、直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tanα5、过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–21，则a 等于（ ） A 、–8 B 、10 C 、2 D 、46、过点A (2, b )和点B (3, –2)的直线的倾斜角为43π，则b 的值是（ ） A 、–1 B 、1 C 、–5 D 、57、如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（ ）A 、k 1<k 2<k 3B 、k 3<k 1<k 2C 、k 3<k 2<k 1D 、k 1<k 3<k 28、已知点M (cosα, sinα), N (cosβ, sinβ)，若直线MN 的倾斜角为θ，0<α<π<β<2π, 则θ等于（ ）A 、21(π+α+β) B 、21(α+β) C 、21(α+β–π) D 、21(β–α) 提高练习题1、直线013=++y x 的倾斜角为 （ ）A ． 6π B ． 3π C ． 32 πD ．65π2、若经过点P （1－a ，1＋a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围3、已知点M （2，2）和N （5，－2），点P 在x 轴上，且∠MPN 为直角，求点P 的坐标。
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[变式探究 2] 若将本例(2)的条件改为“经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连 接 A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线 l 的倾斜角 α 的取 值范围．
解析：如图所示，
kPA＝－21－－0－1＝－1，kPB＝1－2－－01＝1， 由图可得，直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是0，π4∪34π，π.
答案：2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0 解析：点 A、B 的中点为(3,2)，当直线过原点时，方程为 y＝23x， 即 2x－3y＝0. 当直线不过原点时，设直线的方程为 x＋y＝k，把中点(3,2)代入得 k＝5， 故直线方程为 x＋y－5＝0. 综上，所求直线的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
解析：由题意知直线 l1，l2 恒过定点 P(2,2)，直线 l1 在 y 轴上的截 距为 2－a>0，直线 l2 在 x 轴上的截距为 a2＋2，所以四边形的面积 S ＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋145，当 a＝12时， 四边形的面积最小．
5．已知两点
A(－1,2)，B(m,3)，且
m∈－
33－1，
3－1，则直
线 AB 的倾斜角 α 的取值范围是( )
A.π6，π2 B.π2，23π C.π6，π2∪π2，23π D.π6，23π
答案：D 解析：
①当 m＝－1 时，α＝π2； ②当 m≠－1 时，
∵k＝m＋1 1∈(－∞，－
3)∪
y2－y1
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1≠x2，则 l 的斜率 k＝ x2－x1 .
3．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式
两点式
直线方程的概念与直线的斜率教案
直线方程的概念与直线的斜率教案教学目标：1、理解直线的方程的概念2、直线斜率的定义、公式3、直线倾斜角的定义、范围、条件4、直线斜率变化与倾斜角变化关系教学重点：1. 直线的方程的概念2、直线斜率的定义、公式3、直线倾斜角的定义、范围、条件4、直线斜率变化与倾斜角变化关系教学难点：1、理解直线的方程的概念2、直线斜率与倾斜角关系教学步骤：一． 理解直线方程的概念：（1） 首先回顾一次函数的解析式？图像？y ＝kx ＋b （k ≠0） ，一条直线（2） 让大家画y=2x+1的图像（3）我们已经知道所有的一次函数的图像都是直线，那么是不是所有直线都可以用一次函数来表示？用几何画板展示。
一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=2，y=3都不是．一次函数 y=kx+b ，x=a, y=c 都可以看作方程。
(4) 直线 l 上 每一点的坐标 P ( x , y ) 与对于方程 y=2x+1有什么关系?1. 直线l 上每一点的坐标P(x,y)都是二元一次方程 y=2x+1的解。
2. 二元一次方程 y=2x+1的解所对应的点P(x,y)都在直线l 上（5）推广到y =kx+b 的情况1. 直线l 上每一点的坐标P(x,y)都是二元一次方程 y=kx+b 的解。
2. 二元一次方程 y=kx+b 的解所对应的点P(x,y)都在直线l 上(6 )直线的方程,方程的直线以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线方程的概念和定义，并通过方程来研究直线的有关问题。
即用代数的方法来研究几何问题。
二． 直线的斜率：（1） 先让学生看一分钟课本，让学生回顾一下斜率的求法？ 2121y y k x x -=-并让学生指出没先后的差距，只是要对应起来。
直线方程斜率公式
直线方程斜率公式
一、直线方程斜率公式
1、以直线y=ax+b的形式表示：斜率a=极坐标ρ中y分量改变量Δy/x 分量改变量Δ x，即a=Δy/Δx；
2、以直线由两点(x1,y1)、(x2,y2)确定时，求斜率公式为a=(y2-y1)/(x2-x1)；
3、斜率指数形式公式：以指数形式表示的直线y=a*x^b由b可计算得一方程，其斜率a=b*x^{b-1},即a=bx^{b-1}；
4、斜率对数形式公式：以对数形式表示的直线y=a*lnx+b，其斜率
a=1/x；
5、斜率幂形式公式：以幂形式表示的直线y=a*x^b，其斜率a=b*x^{b-1}。
二、应用
1、直线斜率的计算解决了传统数学中求得直线斜率的麻烦和复杂性；
2、在物理中，直线斜率表示物体移动的前进方向，也可用来描述一条曲线所表示的实物的变化过程；
3、在理论数学中，斜率可以直观地表示两个函数的变化趋势，可以用来说明两个变量之间的关系；
4、斜率也应用于生活中，可以结合拟合法来判断所探究的事物是否形成极大或极小；
5、几何中，斜率可以对一些几何形状的倾斜程度进行判断。
直线的斜率与方程
直线的斜率与方程直线是解析几何中的基本图形之一，而直线的斜率与方程是描述直线性质的重要元素。
本文将介绍直线的斜率的概念及计算方法，并详细阐述直线的方程的几种常见形式。
一、直线的斜率直线的斜率是指直线与水平方向的夹角的正切值，也可以理解为直线在x轴上的增量与在y轴上的增量之比。
斜率的计算公式如下：斜率 m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
斜率的性质是：1. 平行于x轴的直线的斜率为0；2. 平行于y轴的直线斜率不存在（无穷大）；3. 两条直线互相垂直时，它们的斜率之积为-1。
二、直线的方程直线的方程是用来表示直线的数学表达式。
直线的方程有多种不同的形式，下面将一一介绍。
1. 斜截式方程斜截式方程是直线方程中最常见的形式，它用直线的斜率和截距来表示。
方程的形式如下：y = mx + b其中，m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点的纵坐标。
2. 一般式方程一般式方程是直线方程中的另一种常见形式，它的一般形式如下：Ax + By + C = 0其中，A、B、C是常数，A和B不同时为0。
3. 点斜式方程点斜式方程是直线方程的一种特殊形式，它利用直线上的一个点和直线的斜率来表示。
方程的形式如下：(y - y1) = m(x - x1)其中，(x1, y1)为直线上的一个点，m为直线的斜率。
4. 两点式方程两点式方程是通过直线上两个已知点来表示直线的方程，方程的形式如下：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。
以上是直线方程的几种常见形式，根据不同的题目要求，我们可以选择合适的方程形式来进行求解和应用。
总结：本文介绍了直线的斜率与方程的相关概念和计算方法，并详细介绍了直线方程的几种常见形式。
了解直线的斜率和方程对于解析几何的学习和问题的求解具有重要意义。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
直线的倾斜角、斜率与直线的方程一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α.(2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. 考点一 直线的倾斜角与斜率[典例] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 (2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2) 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2 θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3. 即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，33．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二 直线的方程[典例] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0.(3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5. 因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0， 所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为xa ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y 1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三 直线方程的综合应用[典例] 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解] 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1， 所以2a ＋1b ＝1.|MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6， 6 ]B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－66∪⎝ ⎛⎭⎪⎫66，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得yx ＋1·yx －1＝3，即y 2＝3x 2－3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)，则Δ＝⎝⎛⎭⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66.∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.[课时跟踪检测]1．(优质试题·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33 B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33. 2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C 由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a 表示的直线可能是( )。
直线的斜率与直线的方程
直线的斜率与直线的方程一、温故⒈倾斜角：当直线和x 轴相交时，如果把x 轴绕着按方向旋转到和直线时所转的叫这条直线的倾斜角记为．倾斜角的范围是．⒉斜率：倾斜角为，90时，斜率k=，90时，斜率k 。
⒊斜率公式：若),(11y x A ),(22y x B 为直线上两点，则AB k =)(21x x ⒋直线方程的三种形式；①点斜式；，表示经过点且斜率为的直线，特例；y=kx+b 表示经过点且斜率为的直线，其中b 表示直线在y 轴上的，该方程叫直线方程的。
②两点式；．表示经过两点，的直线。
特例：)0(1ab b y ax该方程叫直线方程的，a ，b 叫。
③一般式；；，（其中A 、B 不同时为0）提醒：⒈在设直线方程形式前应进行斜率存在与不存在的讨论，⒉要注意截距不是长度。
二、基础训练⒈直线l 的倾斜角为120°，则直线l 的斜率是，若直线l 的方向向量是)1,3(a ，则直线l 的倾斜角是，经过两点)2,3(、)3,2(的直线l 的斜率是，倾斜角是. ⒉直线025tany x 的倾斜角是. ⑵直线023cos y x 的倾斜角范围是. ⑶直线l 的倾斜角α范围是0013545，则斜率k 的范围是.⑷将直线l 向右平移2个单位,再向下平移3个单位后与l 重合，则l 的斜率为.3.直线l ；02y ax ，与连接)1,3(A ，)4,1(B 两点的线段相交，则a 的取值范围是.4.若三点(2,2)A ，(,0)B a ，(0,)(0)C b ab共线，则11a b 的值等于___________. 5.如图所示，点集{(,)||||1|||2}x y x y 构成的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是______________ 三、典型例题xy O 1 1 3 2例⒈根据下列条件求直线方程：⑴经过P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等⑵经过A(-1,-3)，倾斜角为直线y=3x 的倾斜角的2倍⑶直线03y x 绕着点)3,0(D 逆时针方向旋转15⑷如果原点在直线l 上的射影为点),(b a )0(22b a 例⒉经过点)0,3(P 作直线l ，使它被两直线l 1：2x-y-2=0和l 2：x+y+3=0所截得线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程．例3.已知ABC 的顶点)1,3(A ，AB 边上的中线所在的直线的方程为059106y x ，B 的平分线所在直线的方程为：0104y x ，求BC 边所在直线的方程。
直线方程的确定
直线方程的确定直线方程是代数学中的一个重要内容，它描述了平面上两点之间的直线关系。
本文将详细介绍直线方程的确定方法。
一、一般形式的直线方程直线方程的一般形式可以表示为 y = mx + c，其中 m 是直线的斜率，c 是直线与 y 轴的截距。
1. 斜率的计算直线通过两点 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2)。
斜率可以通过以下公式计算得出：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)2. 截距的计算截距表示直线与 y 轴的交点坐标，可以通过直线上已知点 P(x1, y1)的坐标和斜率 m 计算得出：c = y1 - mx1二、点斜式的直线方程点斜式直线方程可以表示为 y - y1 = m(x - x1)，其中 m 是直线的斜率，P(x1, y1) 是直线上的已知点。
1. 斜率的计算斜率可以使用与一般形式相同的公式计算得到。
2. 方程的确定已知斜率 m 和直线上的已知点 P(x1, y1)，可以将它们代入点斜式直线方程中，得到相应的直线方程。
三、截距式的直线方程截距式直线方程可以表示为 x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别表示直线与 x 轴和 y 轴的截距。
1. 斜率的计算斜率可以通过以下公式计算得到：m = -a/b2. 方程的确定已知斜率 m 和直线与 x 轴和 y 轴的截距 a 和 b，可以将它们代入截距式直线方程中，得到相应的直线方程。
四、两点式的直线方程两点式直线方程可以表示为 (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)，其中 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2) 是直线上的两个已知点。
1. 方程的确定已知直线上的两个点 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2)，可以将它们代入两点式直线方程中，得到相应的直线方程。
通过以上的介绍，我们可以看到直线方程的确定方法有一般形式、点斜式、截距式和两点式等多种形式。
根据不同的已知条件和需求，选择合适的直线方程形式可以更方便地描述和计算直线的性质和关系。
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
张喜林制2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率教材知识检索考点知识清单1．直线方程的概念一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都在 且这条直线上点的坐标都是 ，那么这个方程叫做这条直线叫做 ．由于方程b kx y +=的图象是 因此我们常说直线 2．直线的倾斜角当直线与x 轴相交时，x 轴正向与直线 所成的角叫做这条直线的 ，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 ，因此，直线倾斜角的取值范围是 3．直线的斜率直线b kx y +=中的系数k 叫做 ，垂直于x 轴的直线 直线上的两点),,(),(2211y x B y x A 、那么直线的斜率=k ).(21x x =/当0=k 时，直线 或当0>k 时，直线的倾斜角为 ．k 值增大，直线的倾斜角也随着当0<k 时，直线的倾斜角为____，k 值增大，直线的倾斜角也随着____；垂直于x 轴的直线要点核心解读1．对直线方程概念的理解把—次函数b kx y +=的每一对x 与y 的值，看成直角坐标系中的点（x ，y ），则（x ，y ）的集合便是一条直线.b kx y +=另一表达形式0=--b kx y 是二元一次方程的形式，这样，这个方程的实数解就和这条直线上的点的坐标建立了一一对应的关系，于是得到以下两个方面的含义：以一个二元一次方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个二元一次方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线． 2．直线的斜率(1)斜率公式的推导．直线b kx y +=被其上的任意两个不同的点所唯一确定（如图2 -2 -1-1所示），由这条直线上任意两点、),(11y x A ),(22y x B 的坐标可以计算出k 的值．由于11,y x 和22,y x 是直线方程b kx y +=的两组解，所以,,2211b kx y b kx y +=+=两式相减，得),(1212x x k y y -=-故=k ),(121212x x x x y y =/--那么)(121212x x x x y y k =/--=称为直线的斜率公式． 由斜率公式可知，斜率k 可以由直线上两个不同点的坐标求得，但它的大小与这两个点在直线上的顺序无关．(2)斜率的定义通常，我们把直线b kx y +=中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，斜率不存在． 除了垂直于x 轴的直线，只要知道直线上两个不同点的坐标，由斜率公式就可以算出这条直线的斜率．方程b kx y +=的图象是过点(O ，b)且斜率为k 的直线．(3)求斜率的步骤，我们可以写出求一条直线斜率的计算步骤，以便应用计算机进行计算： ①给直线上两点的坐标赋值：?,,?,?,2121=⋅===y y x x ②计算;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③如果,0=∆x 则判定“斜率k 不存在”； ④如果,0=/∆x 计算;xyk ∆∆=⑤输出斜率k ， 3．直线的倾斜角(1)定义．x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．(2)斜率与倾斜角的关系．由斜率k 的定义可知：0=k 时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；0>k 时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； 0<k 时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； 垂直于x 轴的直线的倾斜角等于.90典例分类剖析考点1 直线与二元一次方程的对应关系 命题规律(1)已知两点求斜率和倾斜角． (2)已知斜率或直线方程求倾斜角．[例1] 如图2 -2 -1-2所示直线321l l l 、、都经过点P(3，2)，又321l l l 、、分别经过点、)1,2(1--Q、)2,4(2-Q ),2,3(3-Q 试计算直线321l l l 、、的斜率．[解析] 已知两点求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，则其斜率不存在；若不相等，可用公式求之．[答案] 设321k k k 、、分别表示直线321l l l 、、的斜率，由于321Q Q Q P 、、、⋅的横坐标均不相等．,43422,53322121-=---==----=∴k k .033223=---=k母题迁移 1．已知,1)7,()5,3()1,1(-（、、、D a C B A )b 四点共线，求直线方程.b ax y +=[例2] 求经过下列两点的直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角：);7,2(),3,1)(1().5,3(),1,4)(2(- [解析] 利用直线的斜率公式1212x x yy k --=求之，根据k 的正负判定倾斜角是锐角还是钝角．[答案] ,041237)1(>=--=k 所以倾斜角是锐角； ,064315)2(<-=-+=k 所以倾斜角是钝角． [点拨] 若直线的斜率大于0，则其倾斜角为锐角；若直线的斜率小于O ，则其倾斜角为钝角；若直线的斜率等于O ，则其倾斜角为,0若直线的斜率不存在，则其倾斜角为.90o[例3] 已知直线321l l l 、、的斜率分别为,321k k k 、、如图2-2 -1-3所示，则( )．321.k k k A << 213.k k k B << 123.k k k C << 231.k k k D <<[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 由图可知直线1l 的倾斜角为钝角，所以;01<k 直线2l 与直线3l 的倾斜角均为锐角，且直线2l 的倾斜角较大，所以,032>>k k 所以⋅>>132k k k[答案] D母题迁移 2．求经过点,0)(,().,(=/ab b a B mb ma A )1=/m 两点的直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角，考点2 求斜率或倾斜角的取值范围 命题规律已知直线与线段有公共点，求斜率k 的取值范围．[例4] 已知、)3,3(--A ),1,2()2,2(--P B 、如图2 -2 -1 -4所示，若直线L 过P 点且与线段AB 有公共点，试求直线L 的斜率k 的取值范围．[答案] ,4)3(2)3(1=⋅-----=PA k,4322)2(1-=----=PB k∴ 要使直线L 与线段AB 有公共点，k 的取值范围应该是43-≤k 或.4≥k母题迁移 3．已知实数x 、y 满足,82=+y x 当32≤≤x 时，求xy的最大值和最小值， 考点3 利用斜率证明三点共线 命题规律已知平面上三点，证明三点共线．[例5] 已知三点),5,4()3,3()1,1(C B A 、、-求证：三点在同一直线上． [答案] 证法一：用距离公式证明．,53||,5||,52||===AC BC AB |,|53552||||AC BC AB ==+=+∴即A 、B 、C 三点共线．证法二：用斜率公式证明，,23435,21313=--==-+=BC AB k k ⋅=∴BC AB k k 又 ∵直线AB 、BC 有公共点B ．∴ A 、B 、C 三点共线．[点拨] 本题有很多种证明方法，这里选用了距离公式和斜率公式两种方法，继续学习后，还会有其他证明方法．母题迁移 4.一束光线从点A （-2，3）射入，经x 轴上的点P 反射后，通过点B(5，7)，求点P 的坐标．优化分层测讯学业水平测试1．给出下列四个命题，其中正确命题的个数是( )．①直线L 一定是一个一次函数的图象；②一次函数，y = kx +b 的图象一定是一条不过原点的直线；③如果一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，那么这个方程就叫做这条直线的方程；④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线． A.O 个 B.l 个 C.2个 D.3个． 2．集合A={直线方程=+=B b kx y },{一次函数的解析式}，则集合A 与B 的关系为( )．B A A =. B A B ⊇. A BC ⊇.D ．以上说法都不对3．直线L 过点),2(m p -⋅和)4,(m Q 两点，且L 的斜率为1，则m 的值为( )．1.A 4.B 31.或C 41.或D4．过点)3,2()2,3(--N M 与的直线的斜率=k ，倾斜角为 . 5．已知点A(3，4)，在坐标轴上有一点B ，若,2=AB k 则B 点的坐标为 6．已知方程.0632=++y x(1)把这个方程改写成一个一次函数的形式； (2)画出这个方程所对应的直线L ； (3)点)1,23(是否在直线L 上．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：IOO 分） 一、选择题（5分x8 =40分）1．点)4,3()1,0(B A 、在直线1l 上，若直线,12l l ⊥则直线2l 的倾斜角为( )．30.-A 30.B o C 120. 150.D2．直线L 的倾斜角为ααsin ,是方程033442=+-x x 的根，则a 的值是( )．60.A 120.B 150O 30.或o C 12060.或D3．设直线L 的倾斜角为θ，则L 关于直线3=y 对称的直线的倾斜角是( )．θ.A θ- 90.B θ-o C 180. θ- 90.D4．若)0,()4,9()2,3(x C B A 、、--三点共线，则x 的值为( )．1.A 1.-B 0.C 7.D5．若直线L 经过点)1,2(--a 和),1,2(--a 且与经过点、)1,2(-斜率为32-的直线垂直，则实数a 的值是( )．32.-A 23.-B 32.C 23.D 6．设点),2,3()3,2(---B A 、直线L 过点P(l ，1)且与线段AB 相交，则L 的斜率k 的取值范围是( )．443.-≤≥k k A 或 4143.-≤≥k k B 或 434.≤≤-k C 443.≤≤-k D 7．直线L 过点A(l ，2)，且L 不过第四象限，那么L 的斜率k 的取值范围是( )．]2,0.[A ]1,0.[B ]21,0.[C )21,0[⋅D8．已知),1,3()2,(+b B a A 、且直线AB 的倾斜角为,90则a 、b 的值为( )．1,3.==b a A 2,2.==b a B 3,2.==b a C 1,3.=/∈=b R b a D 且二、填空题（5分x4 =20分）9．给出以下命题：①任何一条直线都有唯一确定的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以是;30- ③倾斜角为00的直线只有一条，即x 轴；④按照直线倾斜角的概念，直线倾斜角的集合<≤αα0|{}180与直线的集合建立了一一对应的关系．其中正确命题的序号是10．三点（2，-3）、(4，3)及)2,5(k 在同一条直线上，则k 的值等于11．已知过)2,3()1,1(a Q a a P 和+-的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 12.直线)(013cos R y x ∈=++⋅θθ的倾斜角的取值范围是 三、解答题（10分x4 =40分）13.斜率为2的直线经过),1()7,()5,3(b C a B A -、、三点，求a 、b 的值．14．(1)已知矩形ABCD 中，、、)1,2()2,1(B A 中心),3,3(E 点),(y x P 在矩形的边界及内部运动，求xy的取值范围；(2)若实数x 、y 满足：,3,212-≥≤+=y x x y 且求xy的取值范围．15.求经过两点))(3,()2,1(R m m N M ∈-、的直线的斜率，并讨论m 为何值时倾斜角是锐角、钝角和直角？16.求函数2sin 1sin 3++=x x y 的值域.。
直线方程的概念与直线的斜率 PPT课件 人教课标版
一．直线方程的概念
直线的方程与方程的直线：
一般地，如果以一个方程的解为坐标 的点都是某条直线上的点；反之，这条直 线上点的坐标都是这个方程的解，那么这 个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫 做这个方程的直线.
由于方程y=kx+b的图象是一条直线，因 而我们以后就说直线y=kx+b
23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。
•
24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。
•
25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。
•
26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。
•
27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。
•
28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
•
29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
•
67、心中有理想 再累也快乐
•
68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。
•
69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。
•
70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！
•
71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。
•
72、只要路是对的，就不怕路远。
•
73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。
2 3
，
y
所以可以得 x 的最大值为2，
最小值为 2 ．
A
3
B
练习题：
1．对于下列命题 ①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°; ②若k是直线的斜率，则k∈R； ③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率; ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数是（ C ）
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率
y
o
x
y
y
o
x o
y
x
o
x
（1）
（2）
思考？
（3）
（4）
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
角度升切值， 数形达一致。
坡度（比）
升高量 前进量
y x
tan
知识探究2：直线的斜率
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率。斜率通常用
知识探究3：两点确定直线的斜率
y
k tan
以往我们一般
y2
y1
P2 (x2, y2 )
△y
△x Q(x2, y1) P1(x1, y1)
在 中怎 求样 一的 个图 角P形的2 P1Q,
正且切x值1 呢 ?x2, y1 y2
o x1
x2 x
在RtP2P1Q中
k
tan
tan P2P1Q
y
l1
l２
l３
O
X
k1 k3 k2
当 在 [0 ,180 )变化时，斜率k如何变化？
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
y
p
l
o
x
l
0°＜ ＜ 90°
= 90° 90°＜ ＜180° = 0°
k >0
k不存在
k<0
k=0
动态演示
注意： 1、所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 2、倾斜角是从几何角度刻画直线的倾斜程度；而斜 率是从代数角度刻画直线的倾斜程度，
斜率与直线方程
斜率与直线方程一、斜率的概念在数学中，斜率是指直线与横轴的夹角的正切值，也可以理解为直线上两个不同点的纵坐标差与横坐标差的比值。
斜率的计算公式为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
二、斜率的意义斜率可以用于描述直线的特征和性质，通过斜率可以得到直线的方向、陡峭程度以及与其他直线的关系。
1. 正斜率和负斜率：当斜率为正数时，直线上的点随着自变量的增大而增大，这表示直线向上倾斜；当斜率为负数时，直线上的点随着自变量的增大而减小，这表示直线向下倾斜。
2. 零斜率和无定义斜率：当斜率为零时，直线平行于横轴；当斜率不存在（除数为零）时，直线垂直于横轴。
3. 相等斜率和平行斜率：如果两条直线的斜率相等，它们的斜率是平行的。
反之，如果两条直线平行，它们的斜率相等。
三、直线方程的表示形式直线的一般方程可以表示为 Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
直线的斜率可以通过方程中的系数来获得。
1. 斜截式方程：当已知直线的斜率m和截距b时，可以使用斜截式方程 y = mx + b 来表示直线方程。
2. 点斜式方程：当已知直线上的一个点P(x1, y1)和直线的斜率m时，可以使用点斜式方程 y - y1 = m(x - x1) 来表示直线方程。
3. 两点式方程：当已知直线上两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)时，可以使用两点式方程 (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1) 来表示直线方程。
四、直线方程的应用直线方程在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用。
1. 几何学：直线方程可以描述平面上的直线位置和方向，用于计算和判断直线之间的关系，如相交、平行等。
2. 物理学：直线方程可用于描述物体的运动轨迹，在研究物理问题时可以通过直线方程求解物体的位置、速度、加速度等。
3. 经济学：直线方程可用于描述市场供需的关系，通过斜率可以分析价格变化的速度以及市场的供给和需求弹性。
直线方程与斜率的理解
直线方程与斜率的理解直线方程是数学中的重要概念，它是描述直线的数学表达式。
而直线方程中的斜率则对直线的特性有着重要的影响。
本文将深入探讨直线方程及斜率的概念，并讨论它们在几何学与代数学中的应用。
一、直线方程与斜率的定义在平面几何中，直线是由若干无限延伸的点组成的。
而直线方程则是描述直线的方程，常用的有点斜式、截距式和一般式等形式。
其中，点斜式方程是最常用的一种表达形式。
点斜式方程（point-slope form）可以用以下公式表示：y - y₁ = m(x - x₁)其中，m为直线的斜率，(x₁, y₁)为直线上的一个已知点。
斜率是一个表示直线斜率大小的数值。
它告诉我们直线在水平方向上的增长率。
具体而言，斜率表示直线上任意两点之间纵坐标的变化量与横坐标的变化量之比。
斜率可以用以下公式计算：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)其中，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上任意两个点的坐标。
二、直线方程与斜率的几何意义直线方程中的斜率反映了直线的倾斜程度。
通过斜率的正负值可以判断直线的倾斜方向。
当斜率为正时，直线向右上方倾斜；当斜率为负时，直线向右下方倾斜；当斜率为零时，直线水平。
斜率还可以表示直线的陡峭程度。
斜率越大，直线越陡峭；斜率越小，直线越平缓。
在几何学中，直线方程与斜率也可以帮助我们求解直线与其他几何图形的关系。
例如，在求解两条直线是否平行时，我们只需要比较它们的斜率是否相等。
若两条直线的斜率相等，则它们平行；若斜率不相等，则两条直线有交点。
三、直线方程与斜率的代数应用在代数学中，直线方程与斜率有着广泛的应用。
通过直线方程和斜率，我们可以解决诸如求解线性方程组、计算函数的导数和求解最优化问题等数学难题。
1. 求解线性方程组线性方程组是由多个直线组成的方程组。
通过直线方程和斜率的概念，我们可以用代数的方法求解线性方程组。
将直线方程转化为斜率截距形式后，我们可以通过斜率的比较和方程的消元来求解未知数。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上， 且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. 考点一 直线的倾斜角与斜率[典例] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2) 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2 θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 答案：⎣⎡⎦⎤13，33．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二 直线的方程[典例] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0. (3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三 直线方程的综合应用[典例] 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解] 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6， 6 ] B.⎝⎛⎭⎫－∞，－66∪⎝⎛⎭⎫66，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)， 则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66. ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B.3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C 由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是( )解析：选C 当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n ＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎨⎧－2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
直线的斜率与方程
直线的倾斜角、斜率和直线方程1．直线的倾斜角：一条与x 轴相交的直线，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫 做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．直线的倾斜角的范围为[)π,0．2、直线的斜率：当直线的倾斜角α≠90°时，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即该直线的斜率k ＝tan α；注意：当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．3．斜率公式：过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为：()212121x x x x y y k ≠--= ． 若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 注意：直线的斜率k ＝tan α（α≠90°）关于倾斜角α的函数的图像4、直线方程直线方程的五种形式注：设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+（斜率k 存在时）；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)； （3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
注意：经过任意两个不同点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示x5、直线与直线的位置关系：平面内两条直线的位置关系有三种 、 和 （1）．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定（2）、当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．6、点到直线的距离、直线与直线的距离（1）、点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =；（2）、两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =（3）、两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离公式是 。
直线方程的概念与直线的斜率教案
直线方程的概念与直线的斜率教案一、教学目标1. 让学生理解直线方程的概念，掌握直线方程的基本形式。
2. 让学生了解直线的斜率，能够计算直线的斜率。
3. 培养学生运用直线方程和斜率解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 直线方程的概念：直线方程是用来描述直线在平面直角坐标系中的位置和性质的数学表达式。
2. 直线方程的基本形式：直线方程的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不为0。
3. 直线的斜率：直线的斜率是描述直线倾斜程度的量，定义为直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
4. 斜率的计算：斜率k = (y2 y1) / (x2 x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上的任意两点。
三、教学重点与难点1. 教学重点：直线方程的概念和基本形式，直线的斜率及其计算方法。
2. 教学难点：直线方程的转化和应用，斜率的计算。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解直线方程的概念、基本形式，以及直线的斜率和斜率的计算方法。
2. 利用多媒体展示直线方程的图像，帮助学生直观理解直线方程和斜率的概念。
3. 运用例题和练习题，让学生巩固直线方程和斜率的知识。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习初中阶段学习的直线方程（两点式、点斜式等）引出直线方程的概念和基本形式。
2. 讲解直线方程的概念和基本形式，让学生理解直线方程的意义和应用。
3. 讲解直线的斜率，让学生了解斜率的定义和计算方法。
4. 通过例题，展示直线方程和斜率的运用，让学生学会如何运用所学知识解决实际问题。
5. 布置练习题，让学生巩固直线方程和斜率的知识。
6. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调直线方程和斜率的重要性和应用。
7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对直线方程概念和直线斜率的理解。
2. 练习题：布置一些有关直线方程和斜率的练习题，以检查学生对知识的掌握程度。
倾斜角、斜率和直线方程
倾斜角、斜率和直线方程知识要点一、倾斜角及斜率1、直线的倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上方向所成的角α叫做直线l 的倾斜角。
规定：当直线l 与x 轴平行或重合时其倾斜角为002、直线的倾斜角的范围：[0，π）3、直线的斜率的定义：k =tan α (α≠2π) 4、经过两点P 1（x 1,y 1） P 2(x 2,y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率k=1212x x y y -- 例1：直线l 经过原点和点(11)-，，则它的倾斜角是（ ） A ．34π B ． 54π C ．4π或54π D ．4π-例2：若m 经过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率是12．则实数m 的值为________例3：4．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________例4：直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°例5：直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是（ ）A ．[π6，π2)∪(π2，5π6]B ．[0，π6]∪[5π6，π)C ．[0，5π6]D ．[π6，5π6]例6：已知直线l ：sin αx －y +3=0，试求该直线l 的倾斜角的范围。
例7：已知两点A （1，3），B （5，2），若直线l 过点M （－2，－1）且与线段AB 有公共点，求直线l 斜率的取值范围。
例8：若A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)，(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b的值为________． 巩固训练1、直线y =x cos α+1 (α∈R)的倾斜角的取值范围是（ ）A 、[0, 2π]B 、[0, π)C 、[－4π, 6π]D 、[0, 4π]∪[43π,π) 2、若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为（ ）A 、4πB 、54πC 、4π或54π D 、－4π3、若经过点A (1－t , 1+t )和点B(3, 2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 .4、若直线k 的斜率满足－3＜k ＜33，则该直线的倾斜角α的范围是 . 5、若直线l 的倾斜角是连接P (3, －5), Q (0, －9)两点的直线的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 .6、已知M(2, －3), N(－3,－2)，直线l 过点P (1, 1)，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .7、过点M (－2, a ), N(a , 4)的直线的斜率为－21，则a 等于（ ） A 、－8 B 、10 C 、2 D 、48、过点A(2, b )和点B (3, －2)的直线的倾斜角为43π，则b 的值（ ）A 、－1B 、1C 、－5D 、59、如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（ ）A 、k 1<k 2<k 3B 、k 3<k 1<k 2C 、k 3<k 2<k 1D 、k 1<k 3<k 210、已知y 轴上的点B 与点A(－3, 1)连线所成直线的倾斜角为120°，则点B 的坐标为 .11、已知A (－2, 3), B (3, 2)，过点P (0, －2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 .12、已知矩形ABCD 中, A(－4, 4), D(5, 7)，中心E 在第一象限内，且与y 轴的距离为一个单位，动点P (x , y )沿矩形一边BC 运动，求y x的取值范围。
直线方程及斜率
课题：直线方程及斜率课型：新授 使用教师： 主备教师：李怀忠：使用时间：____年_____月_____日______节教学重点：斜率的概念和斜率公式函数y=kx+b 或y=b 可以看作__________,方程的解与其图像上的点存在______________________________如果___________________________________________，那么这个方程叫做___________，直线叫做____________。
2、直线的倾斜角和斜率：(1)y=kx+b 中的___叫做直线的斜率(2)____________________________叫做直线的倾斜角，若记为α，α取值范围是____________________(3) 已知两点111(,)p x y 与222(,)p x y ,则过这两点的直线的斜率k=_____________(4)斜率与倾斜角关系： k=0时，_________________ k>0时，___________________ k<0时，___________________典例精讲 例题1：求经过两点A （-2，0），B （-5，3）的斜率k 。
例题2：画出方程3x+4y-12=0的图像。
例题三：直线a 、b 、c 、d 均过点P （3，2），又a 、b 、c 、d 分别过A （-2，-1），B （4，-2），C （-3，2），D （3，0），试求四条直线斜率。
当堂检测1、已知直线过点（18，8），（4，-4），则直线的斜率为__________。
2、对于下列命题： ①若是直线的倾斜角，则0°≤θ＜180°②若k 是直线的斜率，则k ∈R ③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 其中正确命题个数是 （ ）A 1B 2C 3D 4 3、若A （-2，3），B （3，-2），C （0.5，m ）三点共线，则m=（ ）A -2B 2C -0.5D 0.5 4、已知直线n 过点A （1，2），B （m,3）,求其斜率。
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二元一 次方程
形式
y=kx+b( K≠0) x=a y=b
图象
直线
探究(二)：
直线与二元一次方程之间的对应关系
是怎样建立的呢？
例：画出y=2x+1的图象，然后观察并检验：
（1).蓝点（1，3）为直线上的点
x=1,y=3是方程的解吗？
Y
(2).x=-2，y=-3是方程的解，
●
它表示的点（-2，-3）在直
Q 1 ( 2 , ，1 ) 试,Q 计2 (4 算,1 直),Q 线3 (5 的,3 斜)
率
.
l1 , l2 , l3
y
P(2,3)
o l1k1Q1=)11(-2,-
Q3(5,3)l3 解:直线l1的斜率k1=
k3=0 直线l2的斜率k2=
Q2(4,1)
1 3 2 2
1 3 42
1
1
l2
x
k2=-1
直线l3的斜率k3=
3 5
3 2
直线的方向与斜率之间有何对应关系？
. y P
k>0
直线从左
O
x 下方向右
k1=1 （1）
上方倾斜
.y
k<0
P 直线从左
上方向右
O
（2）
x
k2=-1
下方倾斜
.y P
k3=0
O
（3）
k=0
直线与x轴 x 平行或重合
已知直线l 经过点A(m,2)，B(1,m2+2),试 求直线l 的斜率.
Y=2x+1
线上吗？
O
X
结论：二元一次方程y=2x+1的 ● 解和直线上的点是一一对应的
广 州 长 隆 水 上 乐 园
楼梯倾斜程度的刻画： 高度
坡度＝ 宽度
1m
结论：若楼梯台阶的宽度不变坡度越大，楼梯越陡．
直线倾斜程度的刻画：
y
级宽 级 高
Q(x2,y2)
P(x1,y1) x2-x1 yy2-2y-y1 1
Q(x2, y2 )
k＝ y 2 y 1 x2 x1
y
x (x1 x2 )
P( x1, y1)
y2 y1
x2 x1
o
x
横坐标增量
形
数
运用上述公式计算直线AB的斜率时 ，需要考虑A、B的顺序吗？
kAB
y2 x2
y1 x1
kBA
y1 x1
y2 x2
如果 x1=x2，则直线 PQ的斜率怎样?
x2x1
x1x2
3、直线的倾斜角定义及其范围：0 180
4、直线的斜率几何意义：ktan(a 90)
5、斜率k与倾斜角之间的关系：
0 k tan0 0
0
90
k
tan
0
a 90
tan(不存在) k不存在
90 180 k tan 0
斜率不存在，这时直线PQ垂直于x轴
如果 y1=y2，则直线 PQ的斜率怎样?
斜率为0，这时直线PQ平行于x轴 或与x轴重合
y
y
Q(x1, y2)
P(x1, y1)
P(x1, y1) Q(x1, y2)
o
x
o
x
如图直线 都l1 ,经l 2 过, l 3 点
,P又( 2 , 3分) 别经过
点 l1 , l2 , l3
（1）
（2）
（3）
y
x
o
x
（4）
观察下列直线的倾斜角
Y l
Y
Y
l
l
O
XO
XO
X
Y l
O
X
规定：
1、当直线与x轴平行或重合时，直线的 倾斜角为0°。
2、倾斜角的取值范围 00 ＜1800
直线的斜率k与倾斜角α之间的变化关系
当k=0，直线平行于x轴或与x轴重合. 此时直 线的倾斜角α为0°； 当k>0时，直线的倾斜角为锐角00＜α＜900 ；k值增大，直线的倾斜角也随着增大； 当k<0时，直线的倾斜角为钝角900＜α＜ 1800，k值增大，直线的倾斜角也随着增大；
x2-x1
O
x
坡度＝ 级高 级宽
y2 y1 x2 x1
对于一条与x轴不垂直的定直线
y 2 的y 1 值与P、Q两点的位置有关吗?
x2 x1
y
Q’
Q
P’ P
M’
M
y 2 y 1 是一个定值 x2 x1
o
x
二、直线斜率的定义
已知两点 P(x1，y1)， Q(x2，y2)， 纵坐标增量
y 如果 x1≠x2，则直线 PQ的斜率为：
垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，但其斜 率不存在.
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正 切就是这条直线的斜率。
ktan
倾斜角是90 °的直线没有斜率
例如：l的 直倾 线斜 45角 ,则为 斜率为：
kta4 n5 1
直线 l的倾斜1角20为 ,则斜率为 kta1n2 03
21、 、斜直率线公 的式 方程：k与方y程2 的y直1线(或 ky1y2)
一家人。
2.1.1直线的斜率
一．直线方程的概念
直线的方程与方程的直线：
一般地，如果以一个方程的解为坐标 的点都是某条直线上的点；反之，这条直 线上点的坐标都是这个方程的解，那么这 个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫 做这个方程的直线.
探究(一) 我们已经知道平面直角坐标系内，一
次函数y=kx+b( K≠0)的图象是直线，那么 所有的直线都能用一次函数表示吗？
(2) A(-1,4), B(2,1), C(-2,5)
三、直线的倾斜角
对于一条与 x轴相交的直线l，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋 转到和直线重合时所转过的的最小正角 称为这条直线的倾斜角。
y
l
o
x
下列图中标出的直线的倾斜角对 不对？如果不对，违背了定义中的哪一 条？
y
o
x
y
y
o
x o
x
y
B B ((3 0 ,4 ) x,2y)
y3
2
A(3,2）
1x
o 1 2 3 C(6,0) x
斜率可用来判定三点共线
kAB=kAC kAB=kBC kAC=kBC
A、B、C三点 共线
A、B、C三点 共线
A、B、C三点 共线
判断下列三点是否在同一直线上
(1) A(0,2), B(2,5), C(3,7)
片 ， 将 小 朋 友可爱 的瞬间 留下来 了，我 们也照 了很多 关于小 朋友的 照片， 他们也 都 很 喜 欢 照 相。渐 渐地我 们都舍 不得这 些可爱 的小朋 友了。
在 这 个 炎 热 的夏天 ，我们 来到了 这里参 加支教 活动， 对我们 的毅力 是个很 大的考 验 ， 但 我 们 还是坚 持了下 来。通 过这次 三下乡 ，我们 这个小 团队里 每一个 成员都 得 到 了 相 应 的锻炼 ，能力 方面都 得到了 提高。 就我来 说，首 先这次 的支教 活动， 让 我 认 识 了 很多的 朋友， 俗话说 ，患难 见真情 ，我们 在这个 特殊的 地方相 处了十 几 天 ， 大 家 相互帮 助，共 同解决 各种难 题，大 家的心 紧紧的 连在一 起，感 觉就像
解
当m≠1时，
m2 2-2 m2
k
1-m 1-m
当m＝1时，直线AB垂直于x轴
，所以斜率不存在.
经 过 点 A(3,2) 画 直 线 ， 使 直 线 的 斜 率 分 别为① 0，② 不存在， ③ 2， ④ - 2.
3
y
BB((43, 4 ) x,2y)
3
y
2 A(3,2） A(3,2）
1
x
o 123