3-第三章非稳态导热讲解
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传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
传热学第3章非稳态导热PPT课件
x x h Bi
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
O( / Bi, 0)
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
§3.2 集中参数法分析导热问题
当物体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻， 也就是物体内部温度分布几乎趋于一致，可以近似 认为物体内部在同一瞬间均处于同一温度下。 此时 Bi h 0
对于任意形状的物体当Bi<0.1， 0.95 物体内部的过余温度与其表面的过m 余温度之比为 0.95。其内部热阻就可忽略，从而采用集中参数 法。
物体的温度随时间的变化关系是一条负 自然指数曲线，或者无因次温度的对数
0
与时间的关系是一条负斜率直线。
e
A cV
e
(V
A
)•(VaA
)2
e Bi •Fo
0
其中V/A具有长度的量纲，称为特征长度。
（2）导热量的计算
cV hA 称为系统的时间常数，记为s。
时间常数是反应物体对流体温度变动响应快慢的指标。它 取决于自身的热容量ρcv及表面换热条件hA。热容量越大， 温度变化得越慢；表面换热条件越好单位时间内传递的热 量越多，则越能使物体自身温度迅速接近流体温度。
突然把两侧介质温度降低 为 t并保持不变；壁表 面与介质之间的表面传热 系数为h。
两侧冷却情况相同、温度 分布对称。中心为原点。
3.3 无限大平壁非稳态导热
导热微分方程：
t 2t
a x2
初始条件： 0, t t 0
边界条件： (第三类)
x 0, t x 0
x
,
- t
x
h(t
t )
对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非
稳态导热问题，也可以求得温度分布的分析解。
传热学第3章-非稳态导热分析解法
传热学第3章-⾮稳态导热分析解法第三章⾮稳态导热分析解法1、重点内容：①⾮稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应⽤；③⼀维及⼆维⾮稳态导热问题。
2、掌握内容：①确定瞬时温度场的⽅法；②确定在⼀时间间隔内物体所传导热量的计算⽅法。
3、了解内容：⽆限⼤物体⾮稳态导热的基本特点。
许多⼯程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某⼀极限值所需的时间。
如：机器启动、变动⼯况时，急剧的温度变化会使部件因热应⼒⽽破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制⼯件的热处理是⼀个典型的⾮稳态导热过程，掌握⼯件中温度变化的速率是控制⼯件热处理质量的重要因素；⾦属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中⼼温度。
§3—1 ⾮稳态导热的基本概念⼀、⾮稳态导热1、定义：物体的温度随时间⽽变化的导热过程称⾮稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间⽽变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间⽽作周期性变化1）物体的温度随时间⽽趋于恒定值如图3-1所⽰，设⼀平壁，初值温度t 0，令其左侧的表⾯温度突然升⾼到1t 并保持不变，⽽右侧仍与温度为0t 的空⽓接触，试分析物体的温度场的变化过程。
⾸先，物体与⾼温表⾯靠近部分的温度很快上升，⽽其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩⼤，到某⼀时间后，右侧表⾯温度也逐渐升⾼，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到⼀定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述⾮稳态导热过程中，存在着右侧⾯参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第⼀阶段（右侧⾯不参与换热）温度分布显现出部分为⾮稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较⼤，此阶段称⾮正规状况阶段。
第三章 非稳态导热详解
第一节 非稳态导热的基本概念
3、非稳态导热的基本特点
①. t ， 0这意味着任何非稳态导热过程必然伴随着加热 或冷却过程。
②.在非稳态导热过程中，热量传递方向上的不同位置的导热
量是不同的。
.
③.非稳态导热过程数学描写：
t
(
2t x 2
2t y2
2t z2
)
c
t(x, y,z,0) t0
第三章 非 稳 态 导 热
第一节 非稳态导热的基本概念 第二节 集中参数法 第三节 典型一维物体非稳态导热 第四节 半无限大物体非稳态导热 第五节 其它形状物体的瞬态导热
第一节 非稳态导热的基本概念
一、分类 物体的温度随时间而变化的导热过程叫非稳态导
热。根据物体的温度随时间而变化的特征可分为两类： 非稳态周非导期周热性期非性稳 非态稳导态热导热（又称为瞬态导热）
1.举例说明其
由tf1/升至tf1//所需时间 tw1
tw1/
ta
ta/
tb
tw1// ta//
tb//
tb/
tc
tc//
tc/ tw2/
tw2
tw2//
0 a b
c 0
第一节 非稳态导热的基本概念
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
1.举例说明其过程特点：
qB
4>.墙内外表面热流密度的变化： a.内墙表面开始时，因温差大，q1
第一节 非稳态导热的基本概念
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
1.举例说明其过程特点： 3>.墙内各处温度的变化：
t
tf1//
a bc
a.开始，因为tf1的上升→内墙表 面温度直线上升，靠近内墙的 墙体温度上升，而此时，a、b、
传热学第三章 非稳态导热
Bi hl ≤0.1
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
3第三章 非稳态导热
Bi
n
2.一维非稳态导热的分析解
（2）总传热量
设从初始时刻至某一时刻τ所传递的热量为Q，则有：
分离变量积分并代入初始条件得：
hA
=e cV
0
思考：上述结果是对物体被冷却 的情况导出的，如果要用于被加 热的场合，该怎么办？
6.集总参数系统的分析解
hA hV cV A
A2 cV 2
h(V / A) a (V / A)2
BiV FoV
Bi hl l＝ 物体内部导热热阻 1 h 物体表面对流换热热阻
• 在某厂生产的测温元件说明书上，标明该元件的 时间常数为1s。你怎么看待这个值？
cV
c hA
——根据定义式，时间常数中物性参数ρ、c、V、A可 以看作是常数，但表面传热系数h却是与具体过程 有关的量。
——说明书上的标明的时间常数需要具体分析，不能 盲目相信。
【内容小结】
• 集总参数系统的分析 • 时间常数的导出和意义 • 时间常数对测温系统的指导
一个集总参数系统，其体积
为V、表面积为A、密度为、 比热为c、初始温度为t0，突 然放入温度为tf (设t0> tf )、 对流换热系数为h的环境中，
求系统温度变化。
A h, tf
ΔE
Qc
ρ, c, V, t0
——表面对流换热对其过程有着重要影响，如何处理？
4. 微分方程
-
t n
ht
t
f
集总参数系统内部没有温差， 不能用第三类边界条件。
不断减小，在其它各截面上，其
截面温度开始升高之前通过该截
面的热流量是零，温度开始升高
A
之后，热流量才开始增加。
BC D 3
传热学第三章
内能减小=物体向环境对流换热
7
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
定义过余温度： θ=t-t∞
dt cV Ah (t t ) d
cV
dt Ah d
初始条件：
d
τ=0， θ =θ0=t0-t∞
微分方程分离变量，并积分：
0
hA cV
Fo>0.2，正规状况阶段
非稳态导热过程中传递热量
从τ=0 至热平衡
Q0 cV (t 0 t )
19
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
从τ=0 至τ时刻
Q c V t 0 t ( x, )dV 1 Q0 cV (t 0 t ) V 1 1 V (t 0 t ) (t t ) dV V t0 t
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院 6
传 热 学
1. 导热微分方程式建立
例：测量变化着的温度的热电偶
t0 t
t t0 0
t f ( ) ?
t 2t 2t 2t ( 2 2 2) 导热微分方程： c x y z c
11
传 热 学
4. BiV及FoV物理意义
Biv hl
1 h
l
内部面积导热热阻 表面面积对流换热热阻
无量纲 热阻 无量纲 时间
从边界上开始发生热扰 动时刻起 a 到所计算时刻为止的时 间间隔 Fov 2 2 边界上发生有限大小的 热扰动穿过一定 l l a 厚度的固体层扩散到 2的面积上所需时间 l
FoV越大，热扰动越深入地传播到物体内部， 物体内各点的温度越接近周围介质的温度
第三章_非稳态导热问题的分析解
ρ C pV
初始条件为 令θ =
dT = q vV − σ XS (T 4 − T w4 ) dτ
（a） （b）
T = T0 τ = 0，
qv L σ XT 03 L aτ T V 4 +θw ， Fo = 2 ， M o = ，N = ，其中， L = 为 4 T0 λ S σ XT 0 L
dθ + M o (θ 4 − N 4 ) = 0 dFo
薄壁物体的温度响应在非稳态导热过程中如果物体内的温度始终是均匀一致的如导热系数很高的薄壁物体或者说当一个物体与周围环境进行热交换时若认为物体内部的温度分布并不重要而只是关心物体的总体温度随着时间的变化如用热电偶测量气流的温度我们常常只关心整个热电偶结点的温度随时间的变化而对于结点内部的温度分布并不重要
∞
r
r
∞
0
0
Bi =
αL λ
L
（3—2）
其中，α 是对流换热系数； L 是物体的特性尺寸，对于平板，即是厚度，对于圆柱体和球， 即是半径； λ 是物体的导热系数。实际上，Biot 数是物体的导热热阻（ 换热热阻（
λ
）与表面的对流
1
α
）的比。一般情况下，当 Bi < 0.1 时，导热物体可近似为薄壁。
−
（e）
θ = C 1e
αS τ ρ C pV
（f）
取（d）的特解为 θ = 1 ，所以方程（d）的一般解为
θ = 1 + C 1e
−
αS τ ρ C pV
（g）
根据初始条件（c） ，求得 C1 = −1 ，因此，终解即热电偶结点的温度变化规律为
3
θ = 1 − exp( −
θ
《传热学》第3章-非稳态导热
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
在第一类边界条件（初始温度均匀）或第三类边界条件（表面 传热系数h为常数）下的二维或三维的非稳态导热问题，在数学 上已经证明，它们的无量纲过余温度的解等于构成这些物体的 两个或三个物体在同样边界条件下一维非稳态导热问题解的连 乘。
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
对于无限长方柱 θ (x, y,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θ (y,τ )
该问题的解可以由3块相应的无限大平板的 解得出。最低温度发生在钢锭的中心，即3 筷无限大平板中心截面的交点上，最高温度 发生在钢锭的顶角，即3块大平板表面的公 共点上。
4
例题3 θ
m/B则θi x0钢==锭hλδ(1θ中=m心3/ 4θ温840×0度).05x.2⋅5(θ=
2.14
m/θ 0
)
y
⋅ (θ
无限大平板的非稳态导热
当Fo ≥ 0.2时，可取
θ (x,τ )
θ0
=
β1
2 sin β1 + sin β1 cos β1
cos
β
1
x δ
e − β12 ⋅Fo
只与Bi、x/δ有关， 与时间无关
lnθ
=
−mτ
+ lnθ 0
β1
2sin β1 + sinτ β1 cos β1
cos
= 0.36
短圆柱的中心温度为
查图3-6得 θ
再讨论直径为
m2R/θ=600=0m0m.8的无θ限m长/ θ圆0柱=：0.13
×
0.8
=
0.104
Bi = hR = 232 × 0.3 = 1.72 λ 40.5
tm = 0.104θ0 + t∞ 查附=2图0.11得04θ×m(3/θ00−=103.0103) +1300
工程传热学第三章-非稳态导热概述
非稳态导热的不同时刻物体的温度分布
2.两个阶段
非正规状况阶段(初始状况阶段)
在=3时刻之前的阶段，物体内的温度
分布受初始温度分布的影响较大。
正规状况阶段
在 = 3时刻之后，初始温度分布的影
响已经消失，物体内的温度分布主要 受边界条件的影响.
3.热量变化
与稳态导热的另一区别：由于有温 度变化要积聚或消耗热量，同一时刻 流过不同界面的热流量是不同的。
体已达到热平衡状态
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换
cV 热条件好（hA大），那么单位时间所
hA
传递的热量大、导热体的温度变化快， 时间常数小。
时间常数反映了物体对周围环境温度变化响 应的快慢，时间常数小的响应快，时间常数 大的响应慢，其主要影响因素为物体的热容 量和物体表面的对流换热条件。
可见，同一物质不同的形状其时间常数不同， 同一物体在不同的环境下时间常数也是不相 同。
VV
t0 t
1 1 dV
V V 0
1
0
1 V
V (t t )dV
是时刻物体的平均过余温度。
2.非稳态导热的正规状况阶段
当Fo>0.2时，采用级数的第一项计算偏差小于 1%，故当Fo>0.2时:
(x, )
0
n 1
n
2 sin( n ) sin n cos n
cos( n
x ) exp(
首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升
很快，经过一定时间后内部区域温度依次变
化，最终整体温度分布保持恒定，当为常数
时，最终温度分布为直线。
t1
tA
tB
t2
tC
t0
tD
3
2.两个阶段
非正规状况阶段(初始状况阶段)
在=3时刻之前的阶段，物体内的温度
分布受初始温度分布的影响较大。
正规状况阶段
在 = 3时刻之后，初始温度分布的影
响已经消失，物体内的温度分布主要 受边界条件的影响.
3.热量变化
与稳态导热的另一区别：由于有温 度变化要积聚或消耗热量，同一时刻 流过不同界面的热流量是不同的。
体已达到热平衡状态
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换
cV 热条件好（hA大），那么单位时间所
hA
传递的热量大、导热体的温度变化快， 时间常数小。
时间常数反映了物体对周围环境温度变化响 应的快慢，时间常数小的响应快，时间常数 大的响应慢，其主要影响因素为物体的热容 量和物体表面的对流换热条件。
可见，同一物质不同的形状其时间常数不同， 同一物体在不同的环境下时间常数也是不相 同。
VV
t0 t
1 1 dV
V V 0
1
0
1 V
V (t t )dV
是时刻物体的平均过余温度。
2.非稳态导热的正规状况阶段
当Fo>0.2时，采用级数的第一项计算偏差小于 1%，故当Fo>0.2时:
(x, )
0
n 1
n
2 sin( n ) sin n cos n
cos( n
x ) exp(
首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升
很快，经过一定时间后内部区域温度依次变
化，最终整体温度分布保持恒定，当为常数
时，最终温度分布为直线。
t1
tA
tB
t2
tC
t0
tD
3
传热学-第三章 非稳态导热
[J ]
当物体被加热时(t<t∞)，将上两式中的θ0=t0－t∞ 改为θ0=t∞－t0，其余计算式相同（为什么？）
4. BiV·FoV的物理意义
Bi
=
hl
λ
=
l
λ＝
物体内部导热热阻
1 物体表面对流换热热阻
h
无量纲 热阻
BiV数越小，计算结果越接近实际情况。比如热电
偶测温，其BiV数只有0.001。
=
h ⋅ 4(l + d
cp dl
/ 2)
=
140× 4× (0.3 + 0.05 / 2)
0.48×103 × 7753× 0.05× 0.3
=
0.326
×10−2
s -1
θ θ0
=
t − t∞ t0 − t∞
= exp⎜⎜⎝⎛ −
hA
ρcV
⋅τ ⎟⎟⎠⎞
⇓
( ) 800 −1200 = exp − 0.326×10−2 ×τ
解：① 建立非稳态导热数学模型
方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：
∂t
∂τ
=
λ ⎜⎛ ∂2t ρc ⎜⎝ ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
+
∂2t ∂z 2
⎟⎟⎠⎞ +
Φ&
ρc
∵ 物体内部导热热阻很小，忽略不计。
∴ 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ
的一元函数，而与坐标x、y、z无关，即：
例 一 直 径 为 5cm ， 长 为 30cm 的 钢 圆 柱 体 ， 初 始 温 度 为 30℃ ， 将 其 放 入 炉 温 为 1200℃ 的 加 热 炉 中 加 热 ， 升 温 到 800℃时方可取出。已知钢圆柱体与烟气间的表面传热系数 为 140w/(m2K) ， 钢 球 的 比 热 c=0.48kJ/(kgK) ， 密 度 ρ=7753kg/m3，导热系数λ=33w/(mK)。问需要多少时间才 能达到加热要求？ 解：首先检验是否可以采用集总参数法。为此计算Biv数：
传热学3-33.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
无穷级数第一项后各项随Fo数的增大而迅速减小。
数值计算表明，Fo>0.2后，略去无穷级数中的第二项及以 后各项所得的计算结果与按完整级数计算结果的偏差小于 1%。
以平板为例进行分析
θ
( x,τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
μ1
cos(
μ1
e x ) −μ12F0
δ
e θm (τ ) = θ (0,τ ) =
传热学 第三章 非稳态导热
东北电力大学 柏静儒
1
毕渥数 Bi 对温度分布的影响
分析：设有一块金属平板 2δ,λ，a，фV=0，h， 初始温度t0,突置于流体t∞中，且t∞ < t0。
Bi → 0
Bi → ∞
Bi →0 (1)
t
τ=0 τ1
t0
τ2 τ3
t∞ -δ
t∞ 0 δx
9内部导热热阻
趋于零；
2 sin μ1
− μ12 F0
θ0
θ0
μ1 + sin μ1 cos μ1
θ (x,τ ) θm (τ )
=
θ (x,τ ) /θ0 θ m (τ ) / θ0
=
co
s(
μ1
x
δ
)
平板中心处 过余温度
与时间无关， 只取决于边界条件
2. 正规状况阶段三个分析解的简化表达式
平板；
θ (x / δ ,τ ) θ0
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ
∂x 2
(0 ≤ x < δ , τ > 0)
t τ=0
I.C τ = 0 θ = θ 0 (0 ≤ x ≤ δ )
数值计算表明，Fo>0.2后，略去无穷级数中的第二项及以 后各项所得的计算结果与按完整级数计算结果的偏差小于 1%。
以平板为例进行分析
θ
( x,τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
μ1
cos(
μ1
e x ) −μ12F0
δ
e θm (τ ) = θ (0,τ ) =
传热学 第三章 非稳态导热
东北电力大学 柏静儒
1
毕渥数 Bi 对温度分布的影响
分析：设有一块金属平板 2δ,λ，a，фV=0，h， 初始温度t0,突置于流体t∞中，且t∞ < t0。
Bi → 0
Bi → ∞
Bi →0 (1)
t
τ=0 τ1
t0
τ2 τ3
t∞ -δ
t∞ 0 δx
9内部导热热阻
趋于零；
2 sin μ1
− μ12 F0
θ0
θ0
μ1 + sin μ1 cos μ1
θ (x,τ ) θm (τ )
=
θ (x,τ ) /θ0 θ m (τ ) / θ0
=
co
s(
μ1
x
δ
)
平板中心处 过余温度
与时间无关， 只取决于边界条件
2. 正规状况阶段三个分析解的简化表达式
平板；
θ (x / δ ,τ ) θ0
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ
∂x 2
(0 ≤ x < δ , τ > 0)
t τ=0
I.C τ = 0 θ = θ 0 (0 ≤ x ≤ δ )
传热学-第三章非稳态导热问题分析解
单位时间 0, t t0
物体内能 的减少(或 增加)
Φ hAt t
Φ cV dt d
当物体被冷却时（t 0 >t）,由能量守恒可
知
hA(t t ) -Vc dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d hA d 分离变量法 Vc
由于表面对流换热热阻与导热热阻相对大小的不同， 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
（1） 1/ h / Bi
（2） / 1/ h Bi 0
（3） δ/ λ 与1/h 的数值比较接近 0 Bi
Bi 准则对温度分布的影响
1/ h /
/ 1/ h δ/ λ 与1/h的数值接近
是一种理想化模型； 物体内导热热阻忽略不计； 物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相
同的温度；
通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同时 发生变化； 把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；
只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
问题的提出：
2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0.049 0.05 可采用集总参数法。
F cp V
cp
dl 2d 2 d 2l 4
4
cp
4(l d dl
2)
140 4 (0.3 0.025) 480 7753 0.05 0.3
0.326102
t tf 800 1200 0.342
0 t0 tf 30 1200
由式(3-1)得：
？？？
§3-2 集总参数法
基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热 热阻，认为物体温度均匀一致。
传热学课件-第3章-非稳态导热分析解法精选全文
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
对厚为2δ的 无限大平板
M 1
对半径为R的无 限长圆柱
M
1 2
对半径为R的 球
M 1 3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
4 R3
3
4R 2
R 3
Biv Bi
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将
修正系数M取为1/3，即 BiV 0.0333
由此可见，上述两个热阻的 相对大小对于物体中非稳态导热 的温度场的变化具有重要影响。 为此，我们引入表征这两个热阻 比值的无量纲数毕渥数。
Bi h 1h
1）毕渥数的定义：
Bi h 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小
0
1
τ/τs
工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态
3 Bi F物o 理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间
无量纲 热阻
无量纲 时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体， 各点地温度就越接近周围介质的温度。
t(x, ) t — 过余温度
2
a
x2
0, t -t
0
0
x 0, 0
x , - x h x
采用分离变量法求解：
(, 0
)
n 1
Cn
exp(n2Fo) cos(n)
传热学课件 第三章 非稳定导热
2
0e
特征尺寸
V A
hA cV
0e FoBi
a Fo V / A2
Bi
h(V / A)
4. 热量计算
0
hAt t hA hA0e BiF hA0ehA cV f
累积传热量 0 时传热量
Biv
hV A
h d 2 l 4 dl 2 d 2 4
h dl 4 140 0.50 0.3 0.049 0.05 l d 2 33 0.3 0.025
1
可以采用集总参数法.又
hA h V h 4l d 2 cV c A c dl 140 4 0.325 0.326 10 2 s 1 0.48 10 3 7753 0.005 0.3
cV
10.36 5 60 1.89103 0.138103 13110 0.953103 2
exp Bi Fo exp1.07103 1.89103 exp 2.02 0.133 V V
0
即经5min后温度计读数的过余温度的确13.3%.也就是说,在这 段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%
2. 数学描述
t t a x 2
2
引入过余温度
t t
0 t0 t
则
t x,0 t0
t x 0, 0 x x 0 t x , ht t x
t
t x x
方程简化为:
例题3-3 一直径为5cm,长为30cm的钢圆柱体,初始温度为300C,将其 放入炉温为12000C的加热炉中加热,升温到8000C方可取出.设钢圆 柱体与烟气间的复合换热表面传热系数为140W/(m2.K),钢的物性参 数取与例3-1中一样的值,问需多少时间才能达到要求。 解:首先检验是否可用集总参数法.为此计算Biv
0e
特征尺寸
V A
hA cV
0e FoBi
a Fo V / A2
Bi
h(V / A)
4. 热量计算
0
hAt t hA hA0e BiF hA0ehA cV f
累积传热量 0 时传热量
Biv
hV A
h d 2 l 4 dl 2 d 2 4
h dl 4 140 0.50 0.3 0.049 0.05 l d 2 33 0.3 0.025
1
可以采用集总参数法.又
hA h V h 4l d 2 cV c A c dl 140 4 0.325 0.326 10 2 s 1 0.48 10 3 7753 0.005 0.3
cV
10.36 5 60 1.89103 0.138103 13110 0.953103 2
exp Bi Fo exp1.07103 1.89103 exp 2.02 0.133 V V
0
即经5min后温度计读数的过余温度的确13.3%.也就是说,在这 段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%
2. 数学描述
t t a x 2
2
引入过余温度
t t
0 t0 t
则
t x,0 t0
t x 0, 0 x x 0 t x , ht t x
t
t x x
方程简化为:
例题3-3 一直径为5cm,长为30cm的钢圆柱体,初始温度为300C,将其 放入炉温为12000C的加热炉中加热,升温到8000C方可取出.设钢圆 柱体与烟气间的复合换热表面传热系数为140W/(m2.K),钢的物性参 数取与例3-1中一样的值,问需多少时间才能达到要求。 解:首先检验是否可用集总参数法.为此计算Biv
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School of Energy & Power Engineering
传
热
Heat Transfer
学
主讲教师：徐志祥
School of Energy & Power Engineering
第三章 非稳态导热
3.1 3.2 3.3
非稳态导热的基本概念 集总参数法 一维非稳态导热的分析解
School of Energy & Power Engineering
通过上面的学习，我们知道非稳态导热过程是 在外界流体表面传热和物体内部导热下进行的，事
实上外界流体表面传热与内部导热进行时的相对强
弱程度对物体内部温度随时间变化影响非常大。有
了热阻的概念，我们会想到这两个过程的相对强弱
会反映在外部对流换热热阻和内部导热热阻之比上，
基于此，人们定义了Bi数。
School of Energy & Power Engineering
c
cV
hA
结论：在传热条件和热电偶材料
物性已定的条件下，热电偶直径越 小， c 就越小，热电偶也越灵敏。
School of Energy & Power Engineering
4. 物体的散热量
0 ~ 时间内的总散热量可这样计算：
hA d
0
hA hA0 exp d 0 cV
hA cV0 1 exp cV
School of Energy & Power Engineering
例3.1 某球形热电偶，直径为1.2mm，初温为20℃， 3 c 400 J/(kg ℃) 。某一时 8930 kg/m 其物理参数为： ， 刻起将其放入80℃的气流中进行温度测量，对流换热 2 h 80 W/(m ℃) 。试写出热电偶温度 t 随时间的变 系数 化函数，并求出t = 79.9℃时，时间为多少秒？
3.1.5
Bi 数
定义：
Bi数是物体内部导热热阻与外部对流换热热 阻之比，即：
h le Bi 1 h
式中： 称为引用尺寸 ；
le
对于无限大平壁： le
2
School of Energy & Power Engineering
物理意义：
反映了物体内部温度分布的特征：
不同Bi数下平壁内部温度变化情况
由此可见，对于 Bi 0.1 的物体，其过余温 度随时间是呈指数关系变化的。
几点分析：
1. 公式作用
可以根据上式求出物体冷却到某一温度所需 的时间，也可以反过来求经历某段时间后，物体 所能达到的温度。
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2. 时间常数
c
3.2 集总参数法 3.1.1 定义
忽略内部的导热热阻，近似认为这个物体内 的温度分布与空间无关，仅随时间发生变化，这 样便可以用物体内任一点的温度表示整个物体的 温度，同时也把质量热容量也集中到一点，这种 研究非稳态导热的方法，人们称之为集总参数法。 当 Bi 0.1 时，采用集总参数法进行简化计算 时，其误差不会大于5％，所以只要 Bi 0.1，便 可以大胆的去用这种方法。
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3.1.2 温度分布的求解
任一时刻，物体单位时 间内与流体的对流换热量＝ 单位时间内内能的减少量：
dt hA(t t ) cV d
采用过余温度的形式，以流体温度 t 为基准， 则上式可改写为：
d hA cV d
cV
hA
c
其值反映了导热体温度响应快慢的程度。
0
将 c代入式（3），得：
0 e
4 c时
c时 0.370
0.0180
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3. 热电偶测温
推荐读数时间：
3～5 c
举例：
内燃机活塞中的温度每分钟波动几百次； 回转式空气预热器蓄热元件温度的变化 ； 建筑物外墙和屋顶温度的变化； 钢件在炉内加热，铸件在空气或水中的淬火冷却 ；
锅炉等动力设备的启动、停机过程 。
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3.1.3 特点
锅炉升温时炉墙温度变化
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3.1.4 研究任务
确定被加热或被冷却物体内部某点达到预定温 度所需要的时间，以及该期间所供给或放出的热 量；
物体内部最大温差及其所产生的热应力和热变 形是否会造成安全问题。
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0
1
0
d
hA 0 exp 0 exp cV cV hA
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0 exp cV cV hA
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d hA cV d 0 0 t0 t
(1) （完整的数学描述） (2)
对（1）式采用分离变量法，在各自的积分区 域内积分 ，可得：
hA d cV
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3.1.6 求解方法
解析解法：
建立导热微分方程和定解条件求 出温度分布 一种近似解法，它适用于 Bi 0 的情形 。物体内温度分布与坐标无 关，仅随时间变化。 极限情形
集总参数法
工程判据：
Bi 0.1
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3.1 非稳态导热的基本概念 3.1.1 定义
物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳 态导热，它的温度场可表示为：
t f x、y、z、
3.1.2 分类
周期性非稳态导热： 物体的温度随时间而作周期 性的变化 瞬态非稳态导热： 物体的温度随时间的推移逐 渐趋近于恒定的值
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传
热
Heat Transfer
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第三章 非稳态导热
3.1 3.2 3.3
非稳态导热的基本概念 集总参数法 一维非稳态导热的分析解
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通过上面的学习，我们知道非稳态导热过程是 在外界流体表面传热和物体内部导热下进行的，事
实上外界流体表面传热与内部导热进行时的相对强
弱程度对物体内部温度随时间变化影响非常大。有
了热阻的概念，我们会想到这两个过程的相对强弱
会反映在外部对流换热热阻和内部导热热阻之比上，
基于此，人们定义了Bi数。
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c
cV
hA
结论：在传热条件和热电偶材料
物性已定的条件下，热电偶直径越 小， c 就越小，热电偶也越灵敏。
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4. 物体的散热量
0 ~ 时间内的总散热量可这样计算：
hA d
0
hA hA0 exp d 0 cV
hA cV0 1 exp cV
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例3.1 某球形热电偶，直径为1.2mm，初温为20℃， 3 c 400 J/(kg ℃) 。某一时 8930 kg/m 其物理参数为： ， 刻起将其放入80℃的气流中进行温度测量，对流换热 2 h 80 W/(m ℃) 。试写出热电偶温度 t 随时间的变 系数 化函数，并求出t = 79.9℃时，时间为多少秒？
3.1.5
Bi 数
定义：
Bi数是物体内部导热热阻与外部对流换热热 阻之比，即：
h le Bi 1 h
式中： 称为引用尺寸 ；
le
对于无限大平壁： le
2
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物理意义：
反映了物体内部温度分布的特征：
不同Bi数下平壁内部温度变化情况
由此可见，对于 Bi 0.1 的物体，其过余温 度随时间是呈指数关系变化的。
几点分析：
1. 公式作用
可以根据上式求出物体冷却到某一温度所需 的时间，也可以反过来求经历某段时间后，物体 所能达到的温度。
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2. 时间常数
c
3.2 集总参数法 3.1.1 定义
忽略内部的导热热阻，近似认为这个物体内 的温度分布与空间无关，仅随时间发生变化，这 样便可以用物体内任一点的温度表示整个物体的 温度，同时也把质量热容量也集中到一点，这种 研究非稳态导热的方法，人们称之为集总参数法。 当 Bi 0.1 时，采用集总参数法进行简化计算 时，其误差不会大于5％，所以只要 Bi 0.1，便 可以大胆的去用这种方法。
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3.1.2 温度分布的求解
任一时刻，物体单位时 间内与流体的对流换热量＝ 单位时间内内能的减少量：
dt hA(t t ) cV d
采用过余温度的形式，以流体温度 t 为基准， 则上式可改写为：
d hA cV d
cV
hA
c
其值反映了导热体温度响应快慢的程度。
0
将 c代入式（3），得：
0 e
4 c时
c时 0.370
0.0180
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3. 热电偶测温
推荐读数时间：
3～5 c
举例：
内燃机活塞中的温度每分钟波动几百次； 回转式空气预热器蓄热元件温度的变化 ； 建筑物外墙和屋顶温度的变化； 钢件在炉内加热，铸件在空气或水中的淬火冷却 ；
锅炉等动力设备的启动、停机过程 。
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3.1.3 特点
锅炉升温时炉墙温度变化
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3.1.4 研究任务
确定被加热或被冷却物体内部某点达到预定温 度所需要的时间，以及该期间所供给或放出的热 量；
物体内部最大温差及其所产生的热应力和热变 形是否会造成安全问题。
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0
1
0
d
hA 0 exp 0 exp cV cV hA
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0 exp cV cV hA
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d hA cV d 0 0 t0 t
(1) （完整的数学描述） (2)
对（1）式采用分离变量法，在各自的积分区 域内积分 ，可得：
hA d cV
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3.1.6 求解方法
解析解法：
建立导热微分方程和定解条件求 出温度分布 一种近似解法，它适用于 Bi 0 的情形 。物体内温度分布与坐标无 关，仅随时间变化。 极限情形
集总参数法
工程判据：
Bi 0.1
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3.1 非稳态导热的基本概念 3.1.1 定义
物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳 态导热，它的温度场可表示为：
t f x、y、z、
3.1.2 分类
周期性非稳态导热： 物体的温度随时间而作周期 性的变化 瞬态非稳态导热： 物体的温度随时间的推移逐 渐趋近于恒定的值
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