反证法例题与练习

[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有 以下几种情况：①全是奇数；②有两个 奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个 偶数；④三个偶数．因为要否定②，所 以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数” 故应选B.
• 3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a， b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确 的是( ) • A．假设a，b，c都是偶数 • B．假设a、b，c都不是偶数 • C．假设a，b，c至多有一个偶数 • D．假设a，b，c至多有两个偶数
• 8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能 有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： • ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°， 这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝ ∠B＝90°不成立； • ②所以一个三角形中不能有两个直角； • ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不 妨设∠A＝∠B＝90°. [答案] ③①② • 正确顺序的序号排列为____________ ．
例2
证明：假设a与b不平行，则 可设它们相交于点A。 那么过点A 就有两条直 线a、b与直线c平行，这与 “过直线外一点有且只有一 条直线与已知直线平行矛盾, 假设不成立。 ∴a//b.
a b c A
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
例3
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于 或等于60°。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60°， ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 则 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ， 即 ∠A+∠B+∠C>180° 。 这与 三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立． ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
点拨：至少的反面是没有！
四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２ 没有两个 a大于或等于２ （3）a小于2。 （4）至少有 2个 （5）最多有一个 一个也没有 （6）两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。
• 6．命题“任意多面体的面至少有一个是 三角形或四边形或五边形”的结论的否 定是________．
[答案] 没有一个是三角形或四边形 或五边形
• 7．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可 被5整除，那么a，b中至少有一个能被5 整除”，那么反设的内容是 ________________．
[答案] a，b都不能被5整除
一、复习引入
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有 何关系？为什么？
A
b
C
c a
B B
解析： 由∠C=90°可知是直角 三角形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
[解析] 由反证法证明的步骤知，先 反证即③，再推出矛盾即①，最后作 出判断，肯定结论即②，即顺序应为 ③①②.
问题：
A
b
C
c
a
B
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理
可知三角形ABC是直角三角形，且 ∠C=90°，这与已知条件∠C≠90° 矛盾。假设不成立，从而说明原结论 a2 +b2 ≠ c2 成立。
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结 论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定 理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证 明方法叫做反证法。
三、应用新知ห้องสมุดไป่ตู้
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C， 则 这与 AB＝AC （ 等角对等边 已知AB≠AC 矛盾． ）
B C
≠∠
C
A
假设不成立． ∴ ∠B ≠ ∠ C ．
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理 得出矛盾→肯定原结论正确
已知：如图有a、b、c三条直线， 且a//c,b//c. 求证：a//b
４、求证：如果一个梯形同一底上的两个内角不 相等，那么这个梯形不是等腰梯形。
A B
已知：在梯形ABCD中，AB//CD， ∠C≠∠D 求证：梯形ABCD不是等腰梯形. 证明：假设梯形ABCD是等腰梯形。 ∴∠C=∠D（等腰梯形同一底 上的两内角相等） 这与已知条件∠C≠∠D矛盾, 假设不成立。 ∴梯形ABCD不是等腰梯形.
D
C
五、拓展应用
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC 证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应 B 边相等） 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾， 假设不成立. ∴PB≠PC
A
P
C
• 1．否定结论“至多有两个解”的说法中， 正确的是( ) • A．有一个解 • B．有两个解 • C．至少有三个解 • D．至少有两个解 [解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定 是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个 解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.
• 2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数” 时的正确反设为( ) • A．a、b、c都是奇数 • B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 • C．a、b、c都是偶数 • D．a、b、c中至少有两个偶数
[解析] “至少有一个”反设词应为 “没有一个”，也就是说本题应假设 为a，b，c都不是偶数
• 4．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则 a>b”的结论的否定应该是( ) • A．a<b • B．a≤b • C．a＝b • D ．a ≥ b [解析] “a>b”的否定应为“a＝b或 a<b”，即a≤b.故应选B.
• 5．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一 位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获 奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖 了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两 句是对的，则获奖的歌手是( ) • A．甲 • B．乙 • C．丙 • D．丁
[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个 说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙 说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也 对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、 丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.