猫鸡米过河数学建模
数学建模试题(带答案)四
数学建模部分课后习题解答1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解：模型假设（1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。
这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。
因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。
模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。
生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。
然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。
于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。
把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。
为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。
椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。
由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。
人猫鸡米渡河问题的数学模型
重庆大学本科生数学模型作业报告人猫鸡米渡河问题的数学模型组员：唐新赵广志<指导教师：黄光辉人猫鸡米渡河问题的数学模型一、摘要：本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。
模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。
二、问题的重述人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。
关键词：人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，船需人划，穷举法三、模型假设不考虑外界其他影响，只考虑问题所述的条件:1、船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一2、当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米四、符号说明五、问题分析安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。
每作出一步决策，都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。
否则，不仅难以实现过河的最优化，而且还容易出现事物的不安全性。
因此，在保证安全的前提下，即猫、鸡在一起时，人要在场，鸡、米在一起时，人也要在场，用状态变量s 表示某一岸的状况，决策变量d 表示是乘车方案，我们容易得到s 和d 的关系，其中问题的转化要在允许变化范围内，确定每一步的决策关系，从而达到渡河的最优目标。
六、模型建立与求解Ⅰ. 模型的建立：人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。
记s 的反状态为()4321'1,1,1,1x x x x s ----=，允许状态集合为()()()()(){}0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1=S （1） 以及他们的5个反状态。
决策为乘船方案，记作()4321,,,u u u u d =，当i 在船上时记1=i u ，否则记0=i u ，允许决策集合为()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=D （2）记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为()kd k k s k s 11-+=+， （3）设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经n 步达到()0,0,0,01=+n s 。
人、猫、鸡、米安全过河问题
人、猫、鸡、米安全过河问题摘要问题重述人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，并适渡河次数尽量的少。
模型的假设A表示在原地的状态，B表示船上的状态,C表示对岸的状态模型的建立将人、猫、鸡、米建立成一个四维向量表示。
还在原地的状态A：当在原地时表示1，离开原地表示为0.则由摘要可知A （0,0,1,1）、A（0，1，1,0）、A（0,1,1,1）是不可取的状态。
利用穷举法可得：A(1,1,1,1) A(0,0,0,0)A(1,1,1,0) A(0,0,0,1)A(1,1,0,1) A(0,0,1,0)A(1,0,1,1) A(0,1,0,0)A(1,0,1,0) A(0,1,0,1)此是可取状态船上的状态B:在船上表示1，不在船上表示0。
利用穷举法可得：B(1,1,0,0)B(1,0,1,0)B(1,0,0,1)B(1,0,0,0)此是可取状态同理可得CC(1,1,1,1) C(0,0,0,0)C(1,1,1,0) C(0,0,0,1)C(1,1,0,1) C(0,0,1,0)C(1,0,1,1) C(0,1,0,0)C(1,0,1,0) C(0,1,0,1)此是可取状态可取运算：二进制方式，即0+0=0，0+1=1,1+0=1,1+1=2由题意可得A+B=C。
所以，问题转换为由A（1,1,1,1）至少经过多少次的变化转化为（0,0,0,0）模型的求解若最后的C是可取状态则用√，若是不可取状态则用×,可取但重复用∧。
用穷举法表示：第一步：（1,1,1,1）+(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=(0,0,1,1)(0,1,0,1)(0,1,1,0)(0,1,1,1)⨯⎧⎪∨⎪⎨⨯⎪⎪⨯⎩第二步：（0,1,0,1）+(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=(1,0,0,1)(1,1,1,1)(1,1,0,0)(1,1,0,1)⨯⎧⎪∧⎪⎨⨯⎪⎪∨⎩第三步： (1,1,0,1)+(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=(0,0,0,1)(0,1,1,1)(0,1,0,0)(0,1,0,1)∨⎧⎪⨯⎪⎨∨⎪⎪∧⎩第四步：①(0,0,0,1)+(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=(1,1,0,1)(1,0,1,1)(1,0,0,0)(1,0,0,1)∧⎧⎪∨⎪⎨∧⎪⎪⨯⎩②C(0,1,0,0)+(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=(1,0,0,0)(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,1,0,0)∧⎧⎪∨⎪⎨∧⎪⎪⨯⎩第五步：①（1,0,1,1）+(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=(0,1,1,1)(0,0,0,1)(0,0,1,0)(0,0,1,1)⨯⎧⎪∧⎪⎨∨⎪⎪⨯⎩②(1,1,1,0)+(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=(0,0,1,0)(0,1,0,0)(0,1,1,1)(0,1,1,0)∧⎧⎪∧⎪⎨⨯⎪⎪⨯⎩第六步：（0,0,1,0）+(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=(1,1,1,0)(1,0,0,0)(1,0,1,1)(1,0,1,0)∧⎧⎪∧⎪⎨∧⎪⎪∨⎩第七步：（1,0,1,0）+(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=(0,1,1,0)(0,0,0,0)(0,0,1,1)(0,0,1,0)⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩第七步已经出现（0,0,0,0）状态，说明七次运载即可。
《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示
《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示一、填空题：1．设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 . 解：根据现值计算公式：10)05.01(20)1(+=+=n R S Q 2783.1221201011≈=（万元） 应该填写：12.2783万元．2．设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 . 解：根据终值计算公式：10)05.01(20)1(+=+=n R P S =5779.322021910=（万元） 应该填写：32.57793．所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 .解：应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析．4．设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 .解： 由商品的均衡价格公式：80352536001200)(=++=++=c a d b t p 应该填写：80.5．一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 .解：根据经济订购批量公式：1911001.020022*≈⨯⨯==R c c T s b 209701.011020022*≈⨯⨯==s b c R c Q 应该填写：.2097,19**=≈Q T二、分析判断题1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决．解：（1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益．（2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等．（3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料．（4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型．2.一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”．交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路．那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种．解：（1）车流的密度（2）车的行驶速度（3）道路的宽度（4）行人穿越马路的速度（5）设置斑马线地点的两侧视野等．3．怎样解决下面的实际问题．包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等．（1）估计一个人体内血液的总量．（2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）．（3）估计一批日光灯管的寿命．（4）确定火箭发射至最高点所需的时间．（5）决定十字路口黄灯亮的时间长度．（6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划．（7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划解：（1）注射一定量的葡萄糖，采集一定容量的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量．注意采集和测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收．（2）调查不同年龄的人的死亡率，并估计其在未来一定时期的变化，还应考虑银行存款利率和物价指数，保险金与赔偿金之比大体上应略高于死亡率．（3）从一批灯管中取一定容量的样本，测得其平均寿命，可作为该批灯管寿命的估计值．为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批灯管寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间．还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间．（4）根据牛顿第二定律建立火箭向上发射后的运动方程，初速已知，若不考虑空气阻力，很容易算出到达最高点（即速度为零）时间；若考虑空气阻力，不妨设其与火箭速度（或速度的平方）成正比，并有试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程得到结果．（5）司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S1，设通过十字路口的距离为S2，汽车行驶速度为v，则黄灯的时间长度t应使距停车线S1之内的汽车能通过路口，即t （S1+S2）/v．S1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响．（6）根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修或更新．（7）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）．4．为了培养想象力、洞察力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考，试尽可能迅速地回答下列的问题：（1）某甲早8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿．次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆．某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点．为什么？（2）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站．问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？（3）某人住T 市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T 市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家．一日他提前下班搭乘早一班火车于5：30抵T 市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前10分钟．问他步行了多长时间．解：（1）设想有两个人一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径，必定相遇．（2）不妨设从甲站到乙站经过丙站的时刻表是：8：00，8：10，8：20，…，那么从乙站到甲站经过丙站的时刻表应该是：8：09，8：19，8：29，…．（3）步行了25分钟．设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻是5：55．三、计算题1．下面是众所周知的智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米．试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少．解：人、猫、鸡、米分别记为i =1, 2, 3, 4，当i 在此岸时记x i =1，否则记x i =0，则此岸的状态可用s =（x 1, x 2, x 3, x 4）表示．记s 的反状态为s '=（1-x 1, 1-x 2, 1-x 3, 1-x 4），允许状态集合为S ={（1, 1, 1, 1），（1, 1, 1, 0），（1, 1, 0, 1），（1, 0, 1, 1）（1, 0, 1, 0）及它们的5个反状态}．决策为乘船方案，记作d =（u 1, u 2, u 3, u 4），当i 在船上时记u i =1，否则记u i =0，允许决策集合为D ={（1, 1, 0, 0），（1, 0, 1, 0），（1, 0, 0, 1），（1, 0, 0, 0）}．记第k 次渡河前的状态为s k ，第k 次渡河的决策为d k ，则状态转移律为s k +1=s k +（-1）k d k ，设计安全过河方案归结为求决策序列d 1, d 2, …, d n ∈D ，使状态s n ∈S 按状态转移律由初始状态s 1=（1, 1, 1, 1）经n 步到达s n +1=（0, 0, 0, 0）．一个可行方案如下：2．假定人口的增长服从这样的规律：时间t 的人口为x (t )，t 到t +∆t 时间内人口的增长与x m - x (t )成正比 （其中x m 为最大容量）．试建立模型并求解．作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较．解 )(d d x x r t x m -=，r 为比例系数,0)0(x x =， 解为rt m m x x x t x ---=e )()(0，如图1中粗实线所示．当t 充分大时，它与Logistic 模型相近． 图13．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1．试用比例x x方法构造模型解释这个现象．（1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系．价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素．（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，画出它的简图，说明w 越大c 越小，但是随着w 的增加c 减小的程度变小．解释实际意义是什么？ 解：（1）生产成本主要与重量w 成正比，包装成本主要与表面积s 成正比，其它成本也包含与w 和s 成正比的部分，上述三种成本中都含有与w 和s 无关的成分．又因为形状一定时一般有s ∝w 2/3，故商品的价格可表为C = αw +β w 2/3+γ（α，β，γ为大于0的常数）．（2）单位重量价格131--++==w w w C c γβα，其 图2 简图如图2所示．显然c 是w 的减函数，说明大包装商品比小包装商品便宜；曲线是下凸的,4．用宽w 的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条 不重叠，问布条与管道轴线的夹角α应多大（如图3）． 若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）． 如果管道是其它形状呢？解：将管道展开如图4，可得απcos d w =，若d 一 图3 定，0→w ，2πα→；d w π→，0→α．若管道长度为l ，不考虑两端的影响时布条长度显然为w dl π，若考虑两 端的影响，则应加上απsin dw ．对于其它形状管道，只需将d π 改为相应的周长即可．5．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k >r ．在每一生产周期T 内，开 图4 始的一段时间（0<t <T 0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T 0<t <T ）只销售不生产，画出贮存量)(t q 的图形．设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期．讨论k 》r 和k ≈ r 的情况． 解： 贮存量)(t q 的图形如图5．单位时间总费用 KT r k r c T c T c 2)()(21-+=， 使)(T c 达到最小值的最优周期)(221r k r c k c T -=*． 图5 当k 》r 时，rc c T 212=*，相当 于不考虑生产的情况．当k ≈ r 时，∞→*T ，因为0产量被销量抵消，无法形成贮存量．四、综合应用题1．试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题．（ 提示：要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤．） 解：问题分析所谓方桌可否在地面上放稳，可视为其四个桌脚可否同时着地，从而可将问题归结为桌脚与地面的距离是否同时为零，故构造这个距离函数是建模的关键，而证明四个距离函数同时为零这个命题是建模的最终目的．模型假设(1) 四条桌腿同长,视四个桌脚为四个几何点,四脚的连线呈长方形；(2) 地面的高度是连续变化的，即将地面看作数学上的连续曲面；(3)模型建立 如图6，以长方形的两条对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，且不妨设A ，C 两桌脚开始时位于横轴上，则问题与旋转角度θ有关．注意到假设3，设A ，B 两个桌脚与地面距离之和为0)(≥θf ，另外两个桌脚与地面距离之 和为,0)(≥θg 则)(,θθf ∀与)(θg 中至少有一个为零，当 图6 0=θ时不妨假设0)(,0)(>=θθg f ．又由假设2，以上两个函数均为旋转角度的连续函数，于是有命题：已知,0)0(,0)0(,0)()()(),(>==∀g f g f g f 且，的连续函数，对是θθθθθθ则0θ∃，使得.0)()(00==θθg f上述命题即为所建立的数学模型．模型求解将桌子旋转0180)(π，则A 、B 两点与D 、C 两点恰好交换位置．由假设便有，)(,0)(ππg f >.0=又由前述假设，.0)0(,0)0(>=g f令),()()(θθθg f h -=则有.0)(,0)0(><πh h 由于)(),(θθg f 的连续性知)(θh 也是连续函数．依据连续函数的基本性质（零点定理），必至少存在一个角度0θ，,00πθ<<使得0)(0=θh ，即).()(00θθg f =又根据θθθ∀=,0)()(g f 成立，故有.0)()(00==θθg f 模型分析由于本问题结论简单，符合实际，故分析过程从略．2．试建立确定情形下允许缺货的存储问题的数学模型．提示： 所谓的确定情形下的存储模型是指文字教材第一章提到过的不允许缺货的存储模型；所谓允许缺货是在不允许缺货模型假设条件下，再考虑因缺货造成的损失建立相应的模型．（要求按照五步建模法进行建模工作，本题应给出五个步骤．）解： 问题分析由题设，只须在不允许缺货模型条件下，考虑因缺货造成的损失即可．而缺货损失按天计算与下列因素有关：货物总需求量、缺货量、缺货时刻、每单位的缺货费用等． 模型假设 （1）每次定货费为C 1，每天每单位货物的存储费为C 2 （2）每天货物的需求量为r 单位.（3） 每T 天定货Q 单位，所定货物可在瞬间到达．（4）允许缺货，每天每单位货的缺货费为C 3缺货时，存储量q 视为负值，则)(t q 的图形变为,Q rt q +-=如图7所示．模型建立 图7 货物在1T t =时售完，则必有一段时间缺货．又在T t =时下一次定货量Q 到达，于是有1rT Q = （1）在一个定货周期内的总费用包括定货费1C 、存储费Q T C dt t q C T 102221)(1⎰=和缺货费.)(13dt t q C T T ⎰其中21)(2)()(11T T r dt Q rt dt t q TT T T -=-=⎰⎰ 其中用到了（1）式．于是总费用应为2/)(2/213121T T r C QT C C C -++= （2） 则由（1）式解出r Q T /1=并代入（2）式可得r Q rT C r Q C C C 2/)(2/23221-++= （3）每天的平均总费用便是rT Q rT C rT Q C T C T C Q T C 2/)(2///),(23221-++== （4）（4）式即为所求的数学模型．模型求解对（4）式分别求总费用对定货周期和定货量的偏导数，并令其为零解得0)()(22322322221=-+----=∂∂Q rT T C Q rT rT C rT Q C T C T C0)(32=--=∂∂Q rT rTC rT Q C Q C 由3230C C rT C Q Q C +=⇒=∂∂，代入0=∂∂TC 便可解出 32321*33221*2;2C C C C r C Q C C C rC C T +=+=. （5） （5）式就是在允许缺货情形下，最佳定货周期与最佳定货量公式．模型分析当3C 远远超过2C 时，（5）式就转化为不允许缺货模型中的相应结论，这也说明所建模型是合理的，结论也是正确的．。
数学模型试验
数学模型试验 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN重庆交通大学学生实验报告实验课程名称数学建模B开课实验室数学实验室学院 ***** 院 10 级水利专业班 1 班学生姓名倪** 学号 ************开课时间 2011 至 2012 学年第 2 学期实验一 人、猫、鸡、米安全过河问题一、摘要.本文研究的的是人带着猫、鸡、米过河问题，船除人划以外，至多可以载猫、鸡、米三者之一，但当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米、需要设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量减少。
二、问题的重述人带着猫、鸡、米过河问题，船除人划以外，至多可以载猫、鸡、米三者之一，但当人不在场，时猫要吃鸡、鸡要吃米。
需要设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量减少。
三、基本假设与符号说明（一）基本假设1、人必须划船。
2、船载猫、鸡、米三者之一。
3、当人不在场，时猫要吃鸡、鸡要吃米。
（二）符号说明我们将人，狗，鸡，米依次用四维向量1234(,,,)s x x x x =中的分量表示，当一物在此岸时，相应分量记为1i x =，在彼岸时记为0i x =.如向量（1，1,1，1）表示人，猫，鸡，米四者都在此岸，彼岸什么也没有。
四、问题的分析这个问题与商人怎样安全过河一样，问题比较简单，研究对象少。
所以可以用穷举法，简单运算和图论即可解题。
五、模型的建立人、猫、鸡、米分别记为i=1、2、3、4.当在此岸是记为1i x =,在彼岸是记为0i x =，因此，在此岸的状态为1234(,,,)s x x x x =,在彼岸的状态为'1234(1,1,1,1)s x x x x =----,允许状态集合为{（1，1，1，1），（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，0，1，1），（1，0，1，0）}以及它的5个反状态。
决策为乘船方案：记为1234(,,,)d u u u u =当i 在船上是记为1i u =，否则即为0i u =，允许决策集合为{（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（1，0，0，0）}。
人猫鸡米渡河问题的matlab求解法
摘要：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，试通过数学建模，运用计算机给出一个安全渡河方案，并使渡河次数尽量少。
一、问题分析：此问题是从状态向量A （1,1,1,1）经过奇数次运算向量B 变为状态向量A （0,0,0,0）的状态。
转移过程为什么是奇数次？我们注意到过河有两种，奇数次的为从左岸到右岸，而偶数的为右岸回到左岸，因此得到下述转移过程，所以最后应该是过河完成时状态转移数为奇数次。
二、模型假设：1．假设船除了载人之外，至多只能载猫、鸡、米三者之一。
2．当人不在场时，猫一定会吃鸡、鸡一定会吃米。
我们将人，猫，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，当一物在左岸时，相应的分量记为1，在右岸时记为0.如向量（1,0,1,0）表示人和鸡在左岸，猫和米在右岸，并将这些向量称为状态向量。
例如（1,1,1,1）表示它们都在左岸，（0,1,1,0）表示猫，鸡在左岸，人，米在右岸；由于问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些状态是不允许的。
凡问题可以允许存在的状态称为可取状态。
A 向量定义为状态变量。
比如()11,0,1,0A 是一个可取状态向量，但()20,0,1,1A 是一个不可取状态向量。
此外，B 向量定义为运载变量。
把每运载一次也用一个四维向量来表示。
如()11,1,0,0B 表示人和猫在船上，而鸡和米不在船上，这自然是可取的运载，因为船可载两物，而()21,0,1,1B 则是不可取运载，依此规律类推。
三、模型建立：由上可知，可取状态向量A共有10个，即：()0,0,0,01,1,1,1()()0,0,0,11,1,1,0()()0,0,1,01,1,0,1()()0,1,0,01,0,1,1()()1,0,1,0()0,1,0,1可取运载B有4个：（1,1,0,0）、（1,0,1,0）、（1,0,0,1）、（1,0,0,0）。
四、算法设计：1、规定A和B的每一分量相加时按二进制法则进行，这样一次渡河就是一个可取状态和一个可取运载相加，在判断和向量是否属于可取状态即可。
人带着猫、鸡、米过河问题
摘要：本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少？模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。
问题的重述：人带着猫、鸡、米过河，船触需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。
模型假设不考虑外界其他影响，只考虑问题所述的条件。
符号说明i=1人i=2猫i=3鸡i=4米Xi=1在此岸在对岸xi=0S=(x1,x2,x3,x4)此岸状态S’=(1-x1,1-x2,1-x3,1-x4)对岸状态d=(u1,u2,u3,u4)乘船方案ui=1i在船上时ui=0i不在船上Sk第k次渡河前此岸的状态dk第k次渡河的决策问题分析安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。
每作出一步决策，都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。
否则，不仅难以实现过河的最优化，而且还容易出现事物的不安全性。
因此，在保证安全的前提下，即猫、鸡在一起时，人要在场，鸡、米在一起时，人也要在场，用状态变量s表示某一岸的状况，决策变量d表示是乘车方案，我们容易得到s和d的关系，其中问题的转化要在允许变化范围内，确定每一步的决策关系，从而达到渡河的最优目标。
模型建立与求解Ⅰ. 模型的建立：人、猫、鸡、米分别记为i=(1,2,3,4)，当i 在此岸时记xi=1，否则记xi=0，则此岸的状态可用S=(x1,x2,x3,x4)表示。
记s 的反状态为S’=(1-x1,1-x2,1-x3,1-x4，允许状态集合为S={(1,1,1,1,)(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(1,0,1,0)}（1）以及他们的5个反状态。
决策为乘船方案，记作d=(u1,u2,u3,u4)，当i 在船上时记ui=1，否则记ui=0，允许决策集合为D={(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)} （2）记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为(3)设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态s1=(1,1,1,1,)经n 步达到sn+1=(0,0,0,0)。
习题参考解答
《数学建模》习题解答第一章部分习题3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度.4. 在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.5. 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少.6. 利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型： (1) 分段的指数增长模型. 将时间分为若干段，分别确定增长率r. (2) 阻滞增长模型. 换一种方法确定固有增长率r 和最大容量x m .7. 说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表示为()()01t t r mex t x --+=，其中t 0是人口增长出现拐点的时刻，并说明t 0与r ，x m 的关系.8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x (t)，t 到t +△t 时间内人口的增量与x m -x (t)成正比（其中为x m 最大容量）. 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较.9(3). 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。
甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。
问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
参考答案3(5). 司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离1s ，设通过十字路口的距离为2s ，汽车行驶速度为v ，则黄灯的时间长度t 应使距停车线1s 之内的汽车能通过路口，即()vs s t 21+≈其中s 1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.4. 相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为()()θθg f 和，将椅子旋转ο180，其余作法与1.3节相同.5. 人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。
人猫鸡米过河模型
人猫鸡米过河模型人、鸡、米、猫过河模型摘要研究目的：本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少？模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。
关键词：过河模型、模仿、商人过河一．问题的提出模仿“商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。
二．模型的假设与符号说明假设：1、假设船，划船的人外至多能载猫、鸡、米三者之一。
2、当人不在场时，猫一定会吃鸡，鸡一定会吃米。
3、不考虑外界其他影响。
符号说明三、问题分析考虑到猫不能和鸡在一起，鸡不能和米在一起这个因素人每次只能带一样过去，且还得开船。
四、模型建立与求解Ⅰ. 模型的建立：人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。
记s 的反状态为()4321'1,1,1,1x x x x s ----=，允许状态集合为：()()()()(){}0,1,0,1,1,1,0,1,1,,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1=S （1） 以及他们的5个反状态。
决策为乘船方案，记作()4321,,,u u u u d =，当i 在船上时记1=i u ，否则记0=i u ，允许决策集合为人鸡米猫()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=D （2）记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为()kd k k s k s 11-+=+， （3） 设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经n 步达到()0,0,0,01=+n s 。
人、猫、鸡、米安全过河问题
= +
由于最终决策为船从此岸划向彼岸，所以状态转移次数为奇数。一次过河就是一次状态和决策的加法，在加法运算中对每一分量采用二进制，即：0+0=0, 1+0=1, 0+1=1, 1+1=0。于是，人，猫，鸡，米过河问题就转化为：找出从状态（1，1，1，1）经过奇数次决策变为状态（0，0，0，0）的状态转移过程。
记第K次渡船运载的人, 猫, 鸡, 米的情况为 , 也可以用一个四维向量来表示，并将 定义为决策。当一物在船上时相应分量记为1，否则记为0，如（1，1，0，0）表示人和狗在船上，即人带狗过河。本问题的运算向量共有四个，即允许决策集合为：
D={（1, 1, 0, 0），（1, 0, 1, 0），（1, 0, 0, 1），（1, 0, 0, 0）}
过河的方式有两种过河次数为奇数时船从此岸划向彼岸过河次数为偶数时船从彼岸划向此岸所以状态随决策变化的规律为由于最终决策为船从此岸划向彼岸所以状态转移次数为奇数
人、猫、鸡、米安全过河问题
陈波
[摘要]：本文主要对人、猫、鸡、米安全过河问题，参考“商人过河”问题的解决方法，建立类似的状态转移模型，并利用穷举法和图示法对所建立的模型进行了求解。
因为这个问题简单，研究象少，所以可以用穷举法，简单运算和图论即可解题。
下面我们用图论方法解决这个问题，我们把这十个允许状态分别列出，当且仅当某个允许状态经过决策而仍为可取状态，就连一条线，从而构成图一所示。经过数次互相转换后出现（0,0,0,0）。于是，问题变为在图中找一条从顶点（1,1,1,1）到（0,0,0,0）的路径，每条路径就是一个解，从图二可知有二解，且这两解是等优的。
数学建模模拟试题及参考答案
《数学建模》模拟试题一、（02'）人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。
二、（02'）雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式。
三、（03'）要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=厚m c 2.0=，设跑步距离,1000m d =跑步最大速度s m v m /5=，雨速s m u /4= ，降雨量h cm w /2=，记跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论；（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，如图1建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030,0==θθ时的总淋雨量。
（3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为∂，如图2建立总淋雨量与速度v 及参数∂,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030=θ时的总淋雨量。
四、（03'）建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与α,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
参考答案一、人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。
数学建模习题
数学建模习题景德镇陶瓷学院信息工程学院习题一1.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余不变。
试构造模型并求解。
2.模仿1.4节商过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。
3.利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型：（1）分段的指数增长模型。
将时间分为若干段，分别确定增长率r 。
（2）阻滞增长模型。
换一种方法确定固有增长率r 和最大容量m x 。
4.说明1.5节中Logistic 模型(9)可以表为)(01)(t t r m ex t x --+=,其中0t 是人口增长出现拐点的时刻,并说明0t 与r, m x 的关系.5.假定人口的增长服从这样的规律:时刻t 的人口为)(t x ,t 到t+∆t 时间内人口的增长与m x -)(t x 成正比例(其中m x 为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。
6.某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿。
次日早8：00沿同一条路径下山，下午5：00回旅店。
某乙说，甲必在二天中的同一时刻经过路径中的同一地点。
为什么？7.37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。
问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛。
如果是n支球队比赛呢？8.甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。
甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。
问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
人猫鸡米渡河问题地数学模型
人猫鸡米渡河问题的数学模型摘要：人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外（船除了要载人外），只能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
本文将设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。
模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。
关键字：穷举法，Matlab运算求解。
一、问题的提出课本P19.T5:模仿“商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。
二、问题的分析因为这是个简单问题，研究对象少，所以可以用穷举法，简单运算即可解题。
此问题是从状态向量A（1,1,1,1）经过奇数次运算向量B变为状态向量A（0,0,0,0）的状态。
转移过程为什么是奇数次？我们注意到过河有两种，奇数次的为从左岸到右岸，而偶数的为右岸回到左岸，因此得到下述转移过程，所以最后应该是过河完成时状态转移数为奇数次。
三、问题的假设1.1：假设船除了载人之外，至多只能载猫、鸡、米三者之一。
1.2：当人不在场时，猫一定会吃鸡、鸡一定会吃米。
四、定义符号说明：我们将人，猫，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，当一物在左岸时，相应的分量记为1，在右岸时记为0.如向量（1,0,1,0）表示人和鸡在左岸，猫和米在右岸，并将这些向量称为状态向量。
例如（1,1,1,1）表示它们都在左岸，（0,1,1,0）表示猫，鸡在左岸，人，米在右岸；由于问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些状态是不允许的。
凡问题可以允许存在的状态称为可取状态。
A 向量定义为状态变量。
比如()11,0,1,0A 是一个可取状态向量，但()20,0,1,1A 是一个不可取状态向量。
此外，B 向量定义为运载变量。
把每运载一次也用一个四维向量来表示。
如()11,1,0,0B 表示人和猫在船上，而鸡和米不在船上，这自然是可取的运载，因为船可载两物，而()21,0,1,1B 则是不可取运载，依此规律类推。
数学建模选拔试题
07 数学建模选拔试题1． 某工厂计划生产两种产品 I 和 II ，已知生产每件产品的耗水量及A 、B 两如何安排生产计划使得产品的获利最大？ 解：设21,x x 分别是I 、II 两类产品的产量。
2132max x x L +=目标函数，约束条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,12416482212121x x x x x x 。
图解法 142,421===L x x 时可得最大利润当8221=+x x2．设在长江的某一水质观测站测得某种污染物的初始浓度为1000单位，污染物每小时有百分之一被自然降解。
已知长江水的流速为每小时5公里，问在观测站下游x 公里处污染物的浓度为多少？ 解：设v ——水的流速（m/h ）， C —— 污染物浓度， 0C ——初始浓度k——污染物降解系数，x ——下游与观测站的距离。
设)()(x C t C C ==，由已知条件有微分方程kC dtdC-=。
又因dtdCv dx dt dt dC dx dC ⋅=⋅=1， 则dxdCv dt dC =。
代入到微分方程中去可得 0=+kC dxdCv 。
解得 x vk eC x C -=0)(。
将有关数据代入可得5001000)(x ex C -=。
3. 有一根铁丝绕刚好地球一周，如果把铁丝加长一米，并且均匀分布在地球一周。
问一只老鼠能否从地表和铁丝间穿过，并说明理由。
解：设地球的半径为R ，周长为L ，于是 π2L R =。
当周长增加一米时，半径为 π21'+=L R 。
于是 1592.021221≈=-+=∆πππL L R (米) 。
可以钻过去。
4. 人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在时，猫要吃鸡，鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量少。
解：过河1 鸡 返回1 空过河2 米 返回2 鸡 过河3 猫 返回3 空 过河4 鸡5. 在线段[0，1]上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中那一个事件的概率大。
数学建模过河
一、模型假设由题中条件可解，不需假设其他外界条件二、模型构成记人、猫、鸡、米的数量分别为1x 、2x 、3x 、4x ，第k 次渡河前此岸的人、猫、鸡、米的数量分别为k S =（1x ，2x ，3x ，4x ），则彼岸的人、猫、鸡、米的数量分别为k S ’=（1-1x 、1-2x 、1-3x 、1-4x ）由题中条件得在安全渡河条件下的允许状态合集S ={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0)}及其相对应的S ’。
不难验证，S 对此岸和彼岸都是安全的。
第k 次渡河时穿上的人、猫、鸡、米的数量分别为1u 、2u 、3u 、4u ，决策方案即为乘船方案k d =（1u ，2u ，3u ，4u ），允许决策合集为D ={(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,0,0,0)}因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态k S 随决策k d 变化的规律是()kd k k s k s 11-+=+ 求决策k d ∈D （k=1,2,...,n ），使状态k s ∈S 按照上式，由初始状态1s =（1,1,1,1）经有限步n 到达状态1+n s =（0,0,0,0）。
三、模型求解1.由于搭载对象总量较小，我们可以得出以下可行解：2.若使用MATLAB编程A向量定义为状态变量B向量定义为运载变量（1）xduhe.m文件：clear;clc;A=[1,1,1,1];B=[1,0,1,0;1,1,0,0;1,0,0,1;1,0,0,0];M=[1,1,1,0;0,0,0,1;1,1,0,1;0,0,1,0;1,0,1,1;0,1,0,0;1,0,1,0;0,1,0,1]; duhe(A,B,M,1);（2）、duhe.m文件：function duhe(L,B,M,s); [h,l]=size(L);for k=s:hfor i=1:4C=mod(L(k,:)+B(i,:),2);if C==[0,0,0,0]print(B(i,:),C,s);fprintf('渡河成功\n\n');break;else if fuhe(C,M)==1print(B(i,:),C,s);S=[L;C];if Panduan(S)==1duhe(S,B,M,s+1);elsefprintf('此渡河方案不可行\n\n'); endendendendEnd（3）、fuhe.m文件：function y=fuhe(C,M)y=0;for i=1:8if(C==M(i,:))y=1;break;endend（4）、Panduan.m文件：function z=Panduan(S)z=1;[m,n]=size(S);for p=1:mfor q=(p+1):mif S(p,:)-S(q,:)==[0,0,0,0]z=0;break;endendend（5）、print.m文件：function print(K,C,s)fprintf('第%d次渡河:',s);if K(1)==1fprintf('人, ');endif K(2)==1fprintf('猫, ');endif K(3)==1fprintf('鸡, ');endif K(4)==1fprintf('米, ');endif C(1)==0fprintf('从左岸到达右岸\n');elsefprintf('从右岸回到左岸\n');End四、模型分析该问题的最优方案是：①人先带鸡过河，然后人再回来，把米带过河，然后把鸡运回河岸，人再把猫带过河，最后人回来把鸡带过去。
人、猫、鸡、米如何安全过河
人、猫、鸡、米如何安全过河一、摘要:本模型解决的是安全过河问题，属于数学模型中比较简单的一类。
对于解决这种类型的题目，需要从多维方向思考，从而得到更方便的最优解。
本题所解就属于这种类型的，在已知的条件范围内，即当人不在场的时候，避免猫和鸡在一起，鸡和米在一起，同时，也要尽量使渡船的次数最少。
关键词：渡河 小船 方案 人 猫 鸡 米二、问题的重述：一个人带着猫、鸡、米乘船渡河，一直小船最多只能容纳四个物种当中的两种。
其中，小船非自动，只能由人来划。
不管人如何计划，在河的任何一岸，在人不在场的情况下，猫要吃鸡，鸡要吃米。
人应该如何安排渡河计划，才使得自己的财务不会受到损失，同时也使得渡河的次数最少？三、基本假设与符号说明：1、假设船足够大，能够同时容纳人、猫、鸡、米。
2、假设河流相对平缓，船在行驶的途中不会遇到大浪，打翻小船。
3、假设人、猫、鸡、米只能通过乘船的方式才能过河。
假设1是合理的，但是不符合题目所给的客观条件。
假设2是合理的，因为如果河流湍急，人是不会带着猫、鸡、米渡河的。
假设3是合理的，因为在正常的情况下，乘船渡河是最为安全的。
四、问题分析：安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。
每作出一步决策，都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。
否则，不仅难以实现过河的最优化，而且还容易出现事物的不安全性。
人、猫、鸡、米过河，只有一艘只能容纳两种物体的小船，船只能由人在划。
根据生物链关系，当人不在场的时候，猫要吃鸡，鸡要吃米。
所以除非人在场，猫不能单独跟鸡在一起，鸡不能单独跟米在一起。
假如人不在场的时候，鸡既能被猫吃，又能吃米，所以鸡只能跟人待在一起或者单独留在此岸或彼岸。
因船的大小有限，只能同时容纳两个物体，所以，当k=1时，人必须先把鸡带到彼岸，在独自划船回到此岸载另外的猫（或者米）到彼岸，因为人在场，所以鸡不会被猫吃（或者鸡不会吃米）。
然后带着鸡划船回到此岸，把鸡单独留在此岸，带着米（或者猫）去彼岸，最后独自回来载鸡过河。
人猫鸡米渡河问题地数学模型
人猫鸡米渡河问题的数学模型摘要：人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外（船除了要载人外），只能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
本文将设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。
模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。
关键字：穷举法，Matlab运算求解。
一、问题的提出课本P19.T5:模仿“商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。
二、问题的分析因为这是个简单问题，研究对象少，所以可以用穷举法，简单运算即可解题。
此问题是从状态向量A（1,1,1,1）经过奇数次运算向量B变为状态向量A（0,0,0,0）的状态。
转移过程为什么是奇数次？我们注意到过河有两种，奇数次的为从左岸到右岸，而偶数的为右岸回到左岸，因此得到下述转移过程，所以最后应该是过河完成时状态转移数为奇数次。
三、问题的假设1.1：假设船除了载人之外，至多只能载猫、鸡、米三者之一。
1.2：当人不在场时，猫一定会吃鸡、鸡一定会吃米。
四、定义符号说明：我们将人，猫，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，当一物在左岸时，相应的分量记为1，在右岸时记为0.如向量（1,0,1,0）表示人和鸡在左岸，猫和米在右岸，并将这些向量称为状态向量。
例如（1,1,1,1）表示它们都在左岸，（0,1,1,0）表示猫，鸡在左岸，人，米在右岸；由于问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些状态是不允许的。
凡问题可以允许存在的状态称为可取状态。
A 向量定义为状态变量。
比如()11,0,1,0A 是一个可取状态向量，但()20,0,1,1A 是一个不可取状态向量。
此外，B 向量定义为运载变量。
把每运载一次也用一个四维向量来表示。
如()11,1,0,0B 表示人和猫在船上，而鸡和米不在船上，这自然是可取的运载，因为船可载两物，而()21,0,1,1B 则是不可取运载，依此规律类推。
数学模型——猫、鸡、米渡河问题
实验报告实验目的通过解决简化的实际问题，学习初步的数学建模方法，培养建模意识。
实验内容1.Matlab使用练习；2. 人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，试通过数学建模，运用计算机给出一个安全渡河方案，并使渡河次数尽量少。
实验过程一、问题分析：这个问题可以用递推方法解决，但我们可以将其转换为状态转移问题来解决。
二、模型假设与建立：可取状态A共有10个，即（1,1,1,1）、（0,0,0,0）、（1,1,1,0）、(0,0,0,1)、（1,1,0,1）、（0,0,1,0）、（1,0,1,1）、（0,1,0,0）、（1,0,1,0）、（0,1,0,1）。
可取运载B有4个（1，1，0，0）、（1，0，1，0）、（1，0，0，1）、（1，0，0，0）。
三、算法设计规定A和B的每一分量相加时按二进制进行，这样一次渡河就是一个可取状态和一个可取运载相加，在判断和向量是否属于可取状态即可。
可以将可取状态及可取运载分别编成矩阵。
共分为五个m文件，一个主文件xduhe.m数，分别为：1、duhe（L,B,M,s）函数。
用来实现渡河总思路。
思路为：将起始矩阵A分别与可取运载相加（使用二进制法则），判断相加后的矩阵C是否是（0，0，0，0），如果是，则渡河成功。
否则，用fuhe(C,M) 函数判断C是否是可取状态，如果是，则打印并将C与初始矩阵合并成新矩阵，继续调用duhe.m函数。
2、fuhe(C,M)函数。
判断和矩阵C是否属于矩阵M，如果是，则返回1，否则返回0.3、Panduan（S）函数。
判断S矩阵中是否有两个相同的状态，即行向量。
如果有，则返回0，否则返回1.4、print(K,C,s)函数。
打印相应的状态。
四、程序代码1、xduhe.m文件clear;clc;A=[1,1,1,1];B=[1,0,1,0;1,1,0,0;1,0,0,1;1,0,0,0];M=[1,1,1,0;0,0,0,1;1,1,0,1;0,0,1,0;1,0,1,1;0,1,0,0;1,0,1,0;0,1,0,1];duhe(A,B,M,1);2、duhe.m文件function duhe(L,B,M,s);[h,l]=size(L);for k=s:hfor i=1:4C=mod(L(k,:)+B(i,:),2);if C==[0,0,0,0]print(B(i,:),C,s);fprintf('渡河成功\n\n');break;else if fuhe(C,M)==1print(B(i,:),C,s);S=[L;C];if Panduan(S)==1duhe(S,B,M,s+1);elsefprintf('此渡河方案不可行\n\n');endendendendend3、fuhe.m文件function y=fuhe(C,M)y=0;for i=1:8if(C==M(i,:))y=1;break;endend4、Panduan.m文件function z=Panduan(S)z=1;[m,n]=size(S);for p=1:mfor q=(p+1):mif S(p,:)-S(q,:)==[0,0,0,0]z=0;break;endendend5、print.m文件function print(K,C,s)fprintf('第%d次渡河:',s);if K(1)==1fprintf('人, ');endif K(2)==1fprintf('猫, ');endif K(3)==1fprintf('鸡, ');endif K(4)==1fprintf('米, ');endif C(1)==0fprintf('从左岸到达右岸\n'); elsefprintf('从右岸回到左岸\n'); end五、模型结论在matlab中运行，结果如下：从运行结果可以看出，共有两种运送方案。
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可取运算：规定A与B相加时对每一分量按 二进制法则进行 （0+0=0,1+0=0+1=1,1+1=0 ）。这样， 一次渡河就是一个可取状态向量与一个可 取运载向量相加，可取状态经过加法运算 仍是一个可取状态，这种运算称为可取运 算。在上述规定下，问题转化为：从初始 状态（1,1,1,1）至少经过多少次（奇数次） 可取运算才能转化为状态（0,0,0,0）。
1,0,1,0 1,0,1,1 1,1,0,0 1,1,0,1 （4） 0,0,0,1 1 1,0,0,1 1,0,0,0 1,0,0,0 1,0,0,1
（5）
1, 0,1, 0 1, 0, 0, 0 1,1, 0, 0 1,1,1, 0 （6） 0, 0,1, 0 1, 0, 0,1 1, 0,1,1 1, 0, 0, 0 1, 0,1, 0
去
回
去
回
去
回
去
六、 模型的Байду номын сангаас价
第7步已经出现了(0,0,0,0)状态，说明经7次运载即可，其过程为：
人, 鸡 人 人, 猫（或米）人，鸡 人, 米（或猫）人 人, 鸡
因此，该问题的最优方案有2种： 1、人先带鸡过河，然后人再回来，把米带过河，然后把 鸡运回河岸，人再把猫带过河，最后人回来把鸡带过去。 2、人先带鸡过河，然后人再回来，把猫带过河，然后把鸡运 回河岸，人再把米带过河，最后人回来把鸡带过去。
五、模型的求解
如果一个状态是可取的就打√，否则就打×， 虽然可取但已重复就打∧，于是问题可用 穷举法解答如下：
1, 0,1, 0 0,1, 0,1 1, 0,1, 0 1,1,1,1 1,1, 0, 0 0, 0,1,1 1,1, 0, 0 1, 0,1,1 （1） 1,1,1,1 （2） 0,1, 0,1 1, 0, 0,1 0,1,1, 0 1, 0, 0,1 1,1, 0, 0 1, 0, 0, 0 1, 0, 0, 0 0,1,1,1 1,1, 0,1
1, 0,1, 0 0,1,1,1 1,1, 0, 0 0, 0, 0,1 （3） 1,1, 0,1 1, 0, 0,1 0,1, 0, 0 1, 0, 0, 0 0,1, 0,1
1, 0,1, 0 1,1,1, 0 1,1, 0, 0 1, 0, 0, 0 0,1, 0, 0 2 （4） 1, 0, 0,1 1,1, 0,1 1, 0, 0, 0 1,1, 0, 0
三、模型的分析
因为这是个简单问题，研究对象少所以 可以用穷举法，简单运算和图论即可解 题。从状态（1,1,1,1）经过奇数次运算 变为状态（0,0,0,0）的状态转移过程为 什么是奇数次？我们注意到过河有两种， 奇数次的为从左岸到右岸，而偶数次的 为右岸回到左岸，因此得到下述转移方 程，所以最后应该是事件结束时状态转 移数为奇数次。
四、模型的建立
我们将人，猫，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，即 （人, 猫, 鸡, 米）。 可取状态向量：各分量取1表示左岸的状态，例如（1，1， 1，1）表示它们都在左岸，（0，1，1，0）表示猫，鸡 在左岸，人，米在右岸；由于问题中的限制条件，有些状 态是允许的，有些状态是不允许的。凡问题可以允许存在 的状态称为可取状态。对本问题来说，可取状态向量A可 以用穷举法列出来： （1, 1, 1, 1），（1, 1, 1, 0），（1, 1, 0, 1）， （1, 0, 1, 1），（1, 0, 1, 0）；（,0, 0, 0, 0）， （0, 0, 0, 1），（0, 0, 1, 0），（0, 1, 0, 0）,（0,1,0,1）. 可取运载：将船的一次运载也可用向量表示，即可取运载 向量。当一物在船上时相应分量记为1，否则记为0，如 （1,1,0,0）表示人和猫在船上，即人带猫过河。本问题的 可取运载向量B共有四个： （1, 1, 0, 0）（1, 0, 1, 0）（1, 0, 0, 1）（1, 0, 0, 0）
人、猫、鸡、米渡河问题
一、问题的提出 模仿”商人过河”模型，做下面游戏： 人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸， 船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、 米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、 鸡要吃米。设计一个过河方案，建立数 学模型，并使渡河次数尽量地少。
二、问题的假设
1：假设船，划船的人外至多能载猫、鸡、 米三者之一。 2：当人不在场时，猫一定会吃鸡、鸡一定 会吃米。