中考数学复习---利用辅助圆求解动点最值问题

中考数学复习中考数学复习---------利用辅助圆求解动点最值问题利用辅助圆求解动点最值问题利用辅助圆求解动点最值问题

许多几何问题虽然与圆无关，但是如果能结合条件补作辅助圆，就能利用圆的有关性质、结论，将某些最值问题通过圆中的几何模型求解.笔者经过研究，归纳为以下情况可考虑作辅助圆:

一、同一端点出发的等长线段同一端点出发的等长线段

例1 如图1，在直角梯形ABCD 中，90,3,4,6DAB ABC AD AB BC ∠=∠=°=== ，点E 是线段AB 上一动点，将EBC ∆沿CE 翻折到EB C ′∆，连结,B D B A ′′.当点E 在AB 上运动时，分别求,,B D B A B D B A ′′′′+的最小值.

解析 如图1，当点E 在点B 时，B ′与B 重合;当点E 在点A 时，设点B ′在点F 处，由翻折可知BC B C FC ′==.所以，点B ′在以C 为圆心，BC 为半径的圆上，运动轨迹为弧BF .

如图2，点D 在⊙C 内，延长CD 交⊙C 于点1B .当点B ′在点1B 时B D ′最小，最小值为

11B C DC −=.

点A 在⊙C 外，设AC 交⊙C 于点2B ，当点B ′在点2B 时B A ′最小，最小值为

26AC B C −=.

设AD 与⊙C 交点为3B ，当点B ′在点3B 时B D B A ′′+最小，最小值为3AD =.

点评 当条件中有同一端点出发的等长线段时，根据圆的定义，以该端点为圆心，等长为半径构造圆，将原问题转化为定点与圆上点的距离问题.

模型1 如图3，点A 在⊙O 外，A 到⊙O 上各点连线段中AB 最短；如图4，点A 在⊙O 内，A 到⊙O 上各点连线段中AB 最短.

证明 在⊙O 上任取一点C ，不与点B 重合，连结,CA CO ，如图3.

,,OC CA OA OC OB CA AB +>=∴>Q ,得证. 如图4, ,,OC OA CA OC OB AB CA −<=∴

二、动点对定线段所张的角为定值动点对定线段所张的角为定值

模型2 如图5 , AB 为定线段，点C 为AB 外一动点，ACB ∠为定值，则点C 形成的轨迹是弧ACB 、弧AmB (不含点,A B ).

证明 设⊙O 为ABC ∆的外接圆，在AB 上方任取三点，点,,D E F 分别在⊙O 外、⊙O 上、⊙O 内.

,,D AGB C E C AFB H C ∠<∠=∠∠=∠∠>∠=∠Q ,

∴当ACB ∠为定值时，点C 形成的轨迹是弧ACB 、弧ADB (不含点,A B ).

1.1.动点时定线段所张的角为直角动点时定线段所张的角为直角动点时定线段所张的角为直角

例2 如图6，正方形ABCD 边长为2，点E 是正方形ABCD 内一动点，90AEB ∠=°，连