第一讲 二次函数与待定系数法、配方法

第一讲 二次函数的认识与待定系数法、配方法

【问题探索】

某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．

(1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． 答案：（1）共有(100)x +棵橙子树，平均每棵树结(6005)x -个橙子；

（2）y 与x 之间的关系式为：(100)(6005)y x x =+-化简得：2

510060000y x x =-++。

【新课引入】

提问：

1、在式子2

510060000y x x =-++中，y 是x 的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？

答案：根据函数的定义，可知y 是x 的函数，与以前学过的一次函数和反比例函数不同，猜想它是二次函数。

2、请写一个一次函数关系式和一个反比例函数关系式，通过比较三个函数关系式，猜想

2510060000y x x =-++是什么函数，并说出该函数的式子特征。

（其中）

答案：比较结果见上表，由表格可猜想该函数是二次函数，该式子的特征是①含两个变量x （自变量）、y （因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是2次。 总结：一般地，形如2

y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数叫做x 的二次函数.

注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。因此，最简单的二次函数形式是2

(0)y ax a =≠

举例：2

510060000y x x =-++和2

100200100y x x =++都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A 与边长a 的关系2A a =，圆面积S 与半径r 的关系2

S r π=等，都是二次函数．

3、(100)(6005)y x x =+-是二次函数吗？

答案：是，因为化简能变成2

y ax bx c =++（0a ≠）的形式。

4、通过二次三项式的配方，改变函数2

510060000y x x =-++的表示形式。 答案：

2225100600005(20)600005(20100)60000500y x x x x x x =-++=--+=--+++ 25(10)60500y x ∴=--+，它反过来也能变成2y ax bx c =++（0a ≠）的形式，因此，

它还是二次函数。这个式子可以让我们之间看出y 的最大值或最小值。如：

25(10)60500y x =--+中，当10x =时，y 有最大值60500。

5、一次函数、反比例函数都有图象，二次函数有图象吗？怎么画出它的图象呢？ 答案：二次函数也有图象，画二次函数的图象应该①列表；②描点；③连线。

6、请画出2

510060000y x x =-++（5(100)(120)y x x =-+-、2

5(10)60500y x =--+）的图象，观察图象的形状是什么？观察图象与x 轴、y 轴的交点坐标，以及图象的最高点（顶点）坐标。 答案：图象是抛物线，与x 轴交点（-100,0）、（120,0），与y 轴的交点（0,60000），顶点（10,60500），同一个函数可以有三种表达形式，从解析式可以分别看出图象的哪些特征？

【总结归纳】

一、二次函数图象上点的横坐标、纵坐标分别与函数中的x 、y 对应

也就是说：

1、 二次函数图象上点的坐标满足二次函数的函数关系式，即代入解析式两边相等；

2、 满足二次函数解析式的每一组(,)x y 的实数对，也对应着一个点，这些点就组成了二次函数的图象，解析式与图象的一些特征点对应关系如下图所示。 二、二次函数的三种表达形式以及它们之间的转化关系

交点式

因式分解

一般式

配方法

顶点式

三、待定系数法求函数关系式 1、已知图象上三个普通点的坐标，设一般式，解三元一次方程组可求解析式中的待定系数； 2、已知图象的顶点坐标和一个普通点的坐标，设顶点式，解二元一次方程组可求待定系数；

图像与轴交点

图像与轴交点

图像的顶点

3、已知图象与x 轴的两个交点坐标和一个普通点的坐标，设交点式，解方程可求待定系数。

4、后面学过二次函数图象特征和性质之后还有待定系数法的其他解法。 四、配方法

其实就是二次三项式的配方，配方依据是“完全平方”公式——2

2

2

2()a ab b a b ±+=±。 配方法在如下几个方面使用较多： 1、 用于求二次三项式的最值； 2、 用于解一元二次方程；

3、 用于二次函数解析式变形，变一般式为顶点式，方便找图象的顶点和函数的最值。

【精选例题】

（一）二次函数的概念

例1、（1） 函数y=（m ＋2）x

＋2x －1是二次函数，则m= ．

（2）下列函数中是二次函数的有（ ）

①y=x ＋；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=＋x ．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 解析：

（1）2

y ax bx c =++Q 中，只有二次项系数0a ≠时，才是二次函数，

22220m m ∴-=+≠且，故答案为2m =；

（2）①④中未知项的最高次数都是1次，不是2次，因此不是二次函数；②③通过化简成一般形式，发现它们符合2

y ax bx c =++Q 且0a ≠，所以答案为B 。

前思后想：一个函数是不是二次函数，关键看两个方面，①最高次项为2次，化简后符合一般形式；②二次项系数不等于0. 牛刀小试：

1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2．当m 时，y =（m －2）x

是二次函数．

3．下列不是二次函数的是（ ） A ．y=3x 2＋4

B ．y=－x 2

C ．y=

D ．y=（x ＋1）（x －2）

答案：1、0a ≠，0,0a b =≠，0,0,0a b c =≠=； 2、2m =-； 3、C.

（二）根据等量关系列二次函数关系式

例2 1、正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式． 解析：

2

2-m x 121

x 2

2-m 31

52-x