第一讲 二次函数与待定系数法、配方法
巧用待定系数法求二次函数的解析式
数学篇解法荟萃求二次函数的解析式是中考中常考的内容，我们通常采用待定系数法求解.利用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是设、代、解、列，即先设出适当形式的解析式，再代入条件，得到有关待定系数的方程或方程组，然后解方程或方程组求出待定系数，最后列出解析式即可.那么如何根据抛物线的特征设出适当形式的函数关系式呢？这就需要同学们开动脑筋，拓展思路，根据题目的特点灵活选择解析式的形式.一、设一般式求函数的解析式若题目已知二次函数图象上的三个点的坐标，可以设一般式y =ax 2+bx +c (a ≠0)求其解析式.方法是把三个点的坐标分别代入一般式中，构造关于a ,b ,c 的三元一次方程组，解方程组即可得到a 、b 、c 的值，从而求得正确的函数解析式.例1已知二次函数图像经过了D（-1，-10）、E （1，0）、F （3，18）三个坐标点，求解其函数解析式.解：设此二次函数解析式为y =ax 2+bx +c（a≠0），将D 、E 、F 的坐标代入可得ìíîïï-10=a -b +c ,0=a +b +c ,18=9a +3b +c ,解方程组得ìíîïïa =1,b -5,c =-6,由此可得，此二次函数的解析式为：y =x 2+5x -6.评注：若所给抛物线上三个点不是特殊点(即顶点、与x 轴的交点)，常设一般式求解；若已知抛物线经过原点时，则可直接设其解析式为y =ax 2+bx ；若已知抛物线的对称轴是y 轴，则可直接设其解析式为y =ax 2+c .二、设顶点式求函数的解析式当已知函数图象的对称轴或者最值以及顶点坐标时，可以设顶点式求函数解析式.当顶点在坐标原点，即顶点为(0，0)时，可设y =ax 2(a ≠0)求函数的解析式；当顶点在y 轴上，即顶点为(0，k )时，可设y =ax 2+k (a ≠0)求函数的解析式；当顶点在x 轴上，即顶点为(h ，0)时，可设y =a (x -h )2(a ≠0)求函数的解析式；当顶点不在坐标轴上，即h 、k 都不为0时，可设y =a (x -h )2+k (a ≠0)求函数的解析式.设定解析式后，先将顶点坐标或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入其中求出a 的值，即可得到抛物线的解析式.例2已知二次函数的顶点坐标为（4，-2），且其图象经过点（5，1），求此二次函数的解析式.分析：已知二次函数的顶点坐标，可用顶点式来设抛物线的解析式，再将点（5，1）代入，即可求出二次函数的解析式．解：设此二次函数的解析式为y =a (x -4）2-2；∵二次函数图象经过点（5，1），∴a (5-4)2-2＝1，解得a =3，∴y =3(x -4)2-2=3x 2-24x +46．巧用待定系数法求二次函数的解析式甘肃省兰州市榆中县第六中学高艳32数学篇例3已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴有两个交点，两交点间距离为4，求此二次函数解析式.分析：因为抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴有两个交点，两交点间距离为4，所以抛物线的对称轴是直线x =3，可设顶点式，用待定系数法求二次函数解析式．解：∵抛物线与x 轴的两交点间的距离为4，且顶点坐标为（3，-2），∴抛物线的对称轴是直线x =3，抛物线与x 轴的两交点的坐标是（1，0）和（5，0），设抛物线解析式为y =a (x -3)2-2，将点（1，0）代入得a =12，∴抛物线解析式为y =12x 2-3x +52．评注：设顶点式求解二次函数解析式，需要确定其顶点坐标的具体数值，只要知道了顶点坐标h 和k 的取值，那么在运算过程中只需求出a 的值，就能够得到二次函数的解析式.三、设交点式求函数的解析式若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为A (x 1,0)、B (x 2,0)以及另一个点坐标，可以设交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)求其解析式.将抛物线与x 轴两个交点的横坐标代入交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)，然后再将抛物线上另一点的坐标代入其中求出a ，最后将交点式化为一般式的形式即可.例3二次函数的图象过点A（3，0），B （-1，0）且与y 轴的交点为C （0，6）．求此二次函数的解析式.分析：由题意可设所求二次函数的解析式为y =a (x -3)(x +1)，将点C （0，6）代入所设解析式求出a 的值，即可求得所求二次函数的解析式；2∴可设其解析式为：y =a (x -3)(x +1)，又∵其图象过点（0，6），∴6=a （0-3）（0+1），解得a =-2，∴所求二次函数的解析式为：y =-2(x -3)(x +1)，即y =-2x 2+4x +6；评注：若已知二次函数y=ax 2+bx +c （a 不等于零）和x 轴相交的坐标点分别为A （x 1,0）和B （x 2,0），那必然存在ax 21+bx 2+c =0，即x 1和x 2是一元二次方程的两个根，ax 2+bx +c =a (x -x 1)(x -x 2).由此将其解析式设为交点式来求解更加方便.总之，在利用待定系数法求二次函数的关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．只有选择最合适的解题方式才能让我们的解题更加高效.上期《<相似>拓展精练》参考答案1.D ；2.D ；3.D ；4.D ；5.32；6.5；7.3或65或545；8.16；9.证明过程略．10.解：由题意得：∠ABD =∠DEO =∠NPO =90°，PM =PN =4.6，BD ∥OE ，∴∠ADB =∠DOE ，∴△ADB ∽△DOE ，∴AB BD =DE EO ，∴1.53=0.6EO ，解得：EO =1.2，∵∠DOE =∠NOP ，∴△DEO ∽△NPO ，∴DE EO =NP PO ，∴0.61.2=4.6PO ，解得：PO =9.2，解法荟萃。
待定系数法求二次函数解析式(讲义)
变式 1：已知二次函数的图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。 解法 1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8).
设解析式为 y=a(x-h)2+k, 即 y=a(x-1)2-8. 把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x2-4x-6. 解法 2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2, ∴解析式为 y=2x2-4x-6. 解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8.
c 2.
∴解析式为 y=x2+2. 变式：已知一个二次函数，当 x=-1 时，y=3；当 x=1 时，y=3；当 x=2 时，y=6。求这个二次函数的 解析式。 解:设解析式为 y=ax2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得
3 a b c, 3 a b c, 6 4a 2b c.
设所求二次函数为 y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到 c＝4，又由于其图 象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到
64a＋8b＝－4 4a－2b＝－4
解这个方程组，得
a b
3 2
1 4
所以，所求二次函数的关系式是 y＝－1x2＋3x＋4 42
练习： 一条抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是 3，求这条抛物线的解析式。
二次函数(基础思想)讲义
二 次 函 数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。
2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。
⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。
基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是 。
5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。
7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。
二次函数全章整理
二次函数的认识与待定系数法、配方法要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax 2+c ； 若c=0，则y=ax 2+bx ； 若b=c=0，则y=ax 2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数图象上点的横坐标、纵坐标分别与函数中的x 、y 对应也就是说：1、二次函数图象上点的坐标满足二次函数的函数关系式，即代入解析式两边相等；2、满足二次函数解析式的每一组(,)x y 的实数对，也对应着一个点，这些点就组成了二次函数的图象，解析式与图象的一些特征点对应关系如下图所示。
要点三、二次函数的三种表达形式以及它们之间的转化关系要点四、待定系数法求函数关系式1、已知图象上三个普通点的坐标，设一般式，解三元一次方程组可求解析式中的待定系数；2、已知图象的顶点坐标和一个普通点的坐标，设顶点式，解二元一次方程组可求待定系数；3、已知图象与x 轴的两个交点坐标和一个普通点的坐标，设交点式，解方程可求待定系数。
4、后面学过二次函数图象特征和性质之后还有待定系数法的其他解法。
要点五、配方法其实就是二次三项式的配方，配方依据是“完全平方”公式——2222()a ab b a b ±+=±。
配方法在如下几个方面使用较多： 1、 用于求二次三项式的最值； 2、 用于解一元二次方程；3、 用于二次函数解析式变形，变一般式为顶点式，方便找图象的顶点和函数的最值。
人教版初三数学：待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式. 【答案与解析】本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c(a ≠0)，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=+-53939c b a c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=531c b a ∴所求的二次函数的解析式为y=-x 2+3x-5.【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0). 举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式】（2014秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，把O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6）各点代入上式得解得，∴抛物线解析式为y=2x 2+x ； ∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．2．（2015•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求此二次函数的解析式．【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2）， 设此二次函数的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣2， 把点（2，3）代入解析式，得： a ﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x ﹣1）2﹣2． 【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式. 举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式 高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-．∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，.3．（2016•丹阳市校级模拟）抛物线的图象如图，则它的函数表达式是 ．当x时，y ＞0．【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式．y ＞0时，求x 的取值范围，即求抛物线落在x 轴上方时所对应的x 的值． 【答案】y=x 2﹣4x +3．x ＜1，或x ＞3 【解析】解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3）， 由“交点式”，得抛物线解析式为y=a （x ﹣1）（x ﹣3）， 将（0，3）代入， 3=a （0﹣1）（0﹣3）， 解得a=1．故函数表达式为y=x 2﹣4x +3．由图可知当x ＜1，或x ＞3时，y ＞0．【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．类型二、用待定系数法解题4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数解析式； (2)求△ABC 的面积． 【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a =+-，∴ 1a =-．∴ (2)(4)y x x =-+-． 即228y x x =-++．(2)由(1)知C(0，8)， ∴ 1(42)8242ABC S =+⨯=△．【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．33π B ．32πC ．πD ．32π图（1） 【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直CBAO长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．【高清ID号：359387 高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB和半径OC互相平分，∴OC⊥AB ，OM=MC=OC=OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID号：359387 高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】【变式】如图（1），在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A．449-π B．849-π C．489-π D．889-πAEB F P图（1）【答案】连结AD，则AD⊥BC，△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF的面积是：2 8028=. 3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=84-9π．图（2）故选B．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。
二次函数-用待定系数法求解二次函数解析式专题讲义
待定系数法求解析式一、知识要点近年高频考点中考频率所占分值1、用待定系数法求解二次函数解析式 5~10分1、设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数解析式2、设顶点式y＝a(x－h)2＋k _用待定系数法求二次函数解析式3、设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)_用待定系数法求二次函数解析式知识点回顾：二次函数的表达形式有那些？二、知识要点详解1、知识点一：设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数的解析式什么叫做待定系数法？一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
根据定义待定系数法求二次函数的解析式步骤如下：（1）、找出符合方程的点；（2）、根据相应的点设不同形式的函数方程；（3）、将相应点的坐标带入（2）步骤所设的函数方程得到关于系数关系的方程或方程组；（4）、解出方程或方程组得到相应的系数（5）、将系数带入所设方程得到二次函数的解析式如题：二次函数的顶点为（2,1），函数图像经过点（1,0），求此二次函数的解析式。
解：∵二次函数的定点为（2,1）找点（1）∴设二次函数的解析式为：y＝a(x－2)2＋1 根据相应的点设立方程（2）∵点（1,0）在函数图像上，即（1,0）满足方程y＝a(x－2)2＋1∴0＝a(1－2)2＋1 将点带入得方程（3）解之得：a=-1 解方程（4）∴二次函数解析式为：y＝-(x－2)2＋1 将所求系数代入得方程解析式（5）一般式y＝ax2＋bx＋c的求解方法：若是已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，代入方程求得解析式例题一1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________．2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( ) A．y＝2x2＋x＋2B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋24．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式．5.已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．(1)求抛物线C1的解析式；(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．顶点式y＝a(x－h)2＋k的求解方法：若是已知条件是图像上的顶点（h，k）与另外一点（x，y），则设所求二次函数y＝a(x－h)2＋k，将已知条件（x，y）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题二1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为()A．y＝2(x＋1)2＋8B．y＝18(x＋1)2－8C．y＝29(x－1)2＋8D．y＝2(x－1)2－82．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是( ) A．b＝2，c＝4B．b＝2，c＝－4C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－43．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)的求解方法：若是已知条件是图像上抛物线与x轴的交点（x1，0）、（x2，0）与另外任意一点（x3，y3），则设所求二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)，将已知条件（x3，y3）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题三1．如图，抛物线的函数表达式是( )A．y＝12x2－x＋4B．y＝－12x2－x＋4C．y＝12x2＋x＋4D．y＝－12x2＋x＋42．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．3．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋24．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，该抛物线的解析式为5．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．3.把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的解析式。
用待定系数法求二次函数的解析式(新人教版)课件
设立待定系数并建立方程组
• 同样，若已知抛物线的对称轴为直线$x=h$，则可设立如 下方程组
设立待定系数并建立方程组
$-frac{b}{2a}=h$
$y=ax^2+bx+c$
解方程组求得待定系数
解方程组求得$a, b, c$的值。
解方程组的方法有多种，如代入消元法、加减消元法等。
提高解决问题能力
在学习过程中，学生将学会如何根据问题条件设立未知数 、建立方程组，从而提高解决实际问题的能力。
为后续课程做准备
本节课所介绍的待定系数法将在后续课程中得到广泛应用 ，如求解二次方程、二次曲线等，因此本节课的学习将为 后续课程打下基础。
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用待定系数法求二 次函数的解析式(新 人教版)
目录
• 引言 • 二次函数的基本概念 • 待定系数法介绍 • 用待定系数法求二次函数的解析式 • 实例分析 • 课程总结与展望
01
CATALOGUE
引言
课程背景
01
二次函数是初中数学的重要内容 ，是中考的重点和难点之一。
02
通过学习待定系数法求二次函数 的解析式，学生可以更好地理解 二次函数的性质和图像，提高解 决实际问题的能力。
实际应用举例
通过具体的例题演示如何使用待定系数法求解二次函数解析式，包括如何设立未知数、建 立方程组以及求解过程。
课程对未来的影响和意义
深化对二次函数的理解
通过本节课的学习，学生对二次函数的理解将更加深入， 能够掌握其解析式的求解方法，为后续学习打下基础。
培养数学思维能力
待定系数法是一种重要的数学思维方法，通过本节课的学 习，学生将培养出灵活运用数学思维解决问题的能力。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解〔提高〕【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，复原：将求出的待定系数复原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线y ax bx c =++2经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.图1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为y ax bx c =++2〔a ≠0〕. 由图象可知A ，B ，C 的坐标分别为〔0，2〕，〔4，0〕，〔5，-3〕.∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪c a b c a b c 216402553,,，解之，得a b c =-==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪12322,,∴抛物线的解析式为y x x =-++123222 y x x x =--+=--+1232123225822()()∴该抛物线的顶点坐标为()32258，.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x ≥0.2. 一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，.求这条抛物线的解析式. 【答案与解析】抛物线y x mx n =++142经过点〔032,〕和(,)432， ∴这条抛物线的对称轴是直线x =2.设所求抛物线的解析式为y x h =-+1422().将点(,)032代入，得1402322()-+=h ，解得h =12. ∴这条抛物线的解析式为y x =-+142122()，即y x x =-+14322. 【总结升华】解析式中的a 值已经知道，只需求出m n ,的值。
待定系数法求二次函数
待定系数法求二次函数
待定系数法是一种求解二次函数的有效方法。
在数学中，二次函数是指具有特定形式的函数，它以平方项开头，如 y = ax2 + bx + c，其中a，b和c是常数，x是一个变量。
此形式的函数可以用来表示一个物理或经济系统中的复杂关系，例如物理学中的力与位移之间的关系。
待定系数法是一种求解二次函数的有效方法，它旨在确定函数的参数，以描述物理或经济系统的关系。
使用此方法，用户可以提供两个点，然后使用这些点来解决函数的参数。
要使用此方法，首先需要准备一些基本信息。
如果有两个点（x1，y1）和（x2，y2），可以使用以下方程式：
ax2 + bx + c = y1
ax2 + bx + c = y2
由此可以推导出两个方程：
a(x2 - x1) = y2 - y1
b(x2 - x1) = (y2 - y1)x1 - (y2 - y1)x2
将以上结果代入到原始二次函数中，即可求出函数的参数：
a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
b = (y2 - y1)x1 - (y2 - y1)x2 / (x2 - x1)
c = y1 - ax1 - bx2
最后，可以将a，b和c代入到原始函数中，以获得完整的二次函数。
待定系数法是一种有效的求解二次函数的方法，它可以帮助用户解决复杂的物理或经济系统中的关系。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解一般来说，二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c （其中a、b、c为常数，且a≠0）。
我们可以使用待定系数法来求解二次函数的解析式，具体步骤如下：1.设定待定系数：我们设定系数a、b、c的值为待定系数。
即假设a、b、c的值为未知数。
2.建立方程：根据二次函数的一般形式y = ax^2 + bx + c，我们可以将二次函数转化为一元二次方程。
在方程中，将x、y的值用待定系数a、b、c表示。
3.解方程：根据设定的待定系数，将二次方程化简为标准形式，并利用解一元二次方程的方法求解出待定系数的值。
4.得出结果：通过求解出的待定系数，我们可以得出二次函数的解析式。
下面我们通过一个具体的例子来说明待定系数法的应用。
例：已知二次函数图像经过点（1，3），（-2，2）和（3，4），求解此二次函数的解析式。
解：根据已知条件，我们可以列出三个方程：（1，3）：a+b+c=3（-2，2）：4a-2b+c=2（3，4）：9a+3b+c=4根据设定的待定系数a、b、c，化简以上方程可以得到：a+b+c=3----（1）4a-2b+c=2----（2）9a+3b+c=4----（3）我们可以使用消元法或代入法来求解此方程组。
首先，将方程（2）的2倍加到方程（1）中，可以得到：6a-2b+2c=6然后，将方程（3）的3倍减去方程（1）中，可以得到：24a+6b-3c=6现在我们得到了两个新的方程：6a-2b+2c=6----（4）24a+6b-3c=6----（5）再将方程（5）的3倍加到方程（4）中，可以得到：6a+4c=24我们可以解得：a=3-2c将上式代入方程（1）中，可以得到：(3-2c)+b+c=3整理可得：b-c=0b=c所以，我们可以令b=c。
现在我们得到了a=3-2c和b=c。
将a、b、c的值代入方程（1）中，可以得到：(3-2c)+c+c=3化简可得：-2c+3=3-2c=0c=0将c=0代入a=3-2c和b=c中，可以得到：a=3b=0所以，二次函数的解析式为：y=3x^2通过以上步骤，我们成功使用待定系数法求解了二次函数的解析式。
用待定系数法求二次函数解析式.---说课稿docx
《用待定系数法求二次函数解析式》说课稿一、教材分析1、教材的地位和作用：求函数解析式是初中数学主要内容之一，求二次函数的解析式也是联系高中数学的重要纽带。
求函数的解析式，应恰当地选用函数解析式的形式。
在新课标里求函数解析式也是中考的必考内容,而在初中阶段主要学习了正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数。
2、学习目标(1)通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法；(2)能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。
3、教学的重点：通过教学，让学生掌握用待定系数法求：（1）已知图象上任意三点坐标的二次函数解析式；（2）已知图象的顶点和另一点的坐标的二次函数解析式；4、教学难点：会通过对题目中已知条件的分析，恰当地选取选择解析式。
二、学情分析在学习本节课前，学生已经掌握用待定系数法求一次函数的解析式。
本节课的学习，可运用类比的思想方法，用待定系数法求二次函数的解析式．在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合学生的心理发展特点，从而促进知识的掌握和思维能力的进一步发展。
三、教学程序本节课的教学过程由（一）复习导入（二）创设问题，引入新课（三）实践探究、交流新知（四）开放训练、体现应用四个教学环节构成。
（一）复习导入教师通过多媒体展示三个问题，学生思考后回答。
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？2.通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？3.一般步骤是什么？目的是让学生体会各个不同的条件在不同表达式中的应用方法。
（二）创设问题，引入新课教师通过多媒体展示以下思考题：1.求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？2.已知一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，能否求出二次函数的解析式．师生活动：学生感知问题，独立思考.明确此种情形下不能求出二次函数的解析式（三）实践探究、交流新知例1已知一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个函数的解析式．练习：已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(-3,0), C(0,-3)三点，求这个函数的解析式.小结：因为过任意三点，可以用“一般式”，求解列出三元一次方程组，注意消元，求出a、b、c值，即可写出函数解析式。
二次函数知识点汇总(全)
.二次函数知识点 ( 第一讲 )一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y ax2bx c （ a ，b ，c 是常数，a0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0 ，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数 y ax2 bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向顶点坐对称标性质轴x 0 时， y 随x的增大而增大； x0 时， y 随a 0向上0 ，0y 轴x 的增大而减小；x 0 时， y 有最小值 0 ．x 0 时， y 随x的增大而减小； x0 时， y 随a 0向下0 ，0y 轴x 的增大而增大；x 0 时， y 有最大值 0 ．2.y ax 2 c 的性质：（上加下减）a 的符号开口方向顶点坐对称性质标轴x0 时， y 随x的增大而增大； x0 时， y 随a0向上0 ，c y 轴x 的增大而减小；x 0时，y有最小值 c ．x0 时， y 随x的增大而减小； x0 时， y 随a0向下0 ，c y 轴x 的增大而增大；x 0 时， y 有最大值c．.3. y a x h 2 的性质：（左加右减）a 的符号开口方向顶点坐对称 标性质轴x h 时，y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随a 0 向上 h ，0 X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 0 ．x h 时，y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随a 0向下h ，0X=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0 ．4.2k 的性质：y a x ha 的符号顶点坐对称 开口方向性质标轴x h 时，y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随a 0向上h ，kX=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．x h 时，y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随a 0向下h ，kX=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2h ，k ；k ，确定其顶点坐标 ⑵ 保持抛物线 yax 2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 ( k>0)【或向下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 ( h>0) 【或左 (h<0) 】 向右 (h>0)【或左 (h<0)】 向右 (h>0) 【或左 ( h<0) 】 平移 |k| 个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．.方法二：⑴ y ax 2bx c 沿y轴平移:向上（下）平移m 个单位， y ax 2bx c 变成y ax 2bx c m （或 y ax 2bx c m ）⑵ y ax 2bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax 2bx c 变成y a( x m) 2b( x m) c （或 y a( x m)2b( x m) c ）四、二次函数 y a x h2k与 y ax2bx c的比较从解析式上看， y a x h2k 与 y ax2bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到2b2b，k2前者，即 y a x b4ac，其中 h4ac b．2a 4 a 2 a4a 五、二次函数 y ax 2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图顶点、与 y 轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点y a( x h)2k ，确定其开口方. 一般我们选取的五点为：2h ，c 、与 x 轴的交点x1，0 ，x2，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点六、二次函数 y ax2bx c 的性质1.当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b2．2a2a4a当 xb时， y 随x的增大而减小；当x b时， y 随x的增大而增大；当x b时， y 有2a2a2a最小值4acb 2．4a2.当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b2．当 x b时，2a2a4a2ay 随x的增大而增大；当x b时， y 随x的增大而减小；当x b时， y 有最大值4acb2．2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y ax 2bx c （ a ，b， c 为常数，a0 ）；2.顶点式： y a( x h)2k （ a ，h，k为常数，a 0）；3.两根式：1212.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数4ac 0 解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a二次函数 y ax 2bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 ．⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在 a 0 的前提下，当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a⑵ 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定： 对称轴 xb在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab 0 ，概括的说就2a是“左同右异” 总结： 3.常数项 c⑴ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；⑶ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于 x 轴对称y ax2bx c关于 x 轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a x h 2y a x h2；k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是k2.关于 y 轴对称y ax2bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a x h 2y a x h2 k 关于y轴对称后，得到的解析式是k ；3.关于原点对称y ax2bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a x h 2y a x h2k；k 关于原点对称后，得到的解析式是4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y ax2bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2bx c b2；2 ay a x h 2y a x h2k．k 关于顶点对称后，得到的解析式是5.关于点m，n 对称22k y a x hk 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m2n根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程22bx c 当函数值 y0 时的特殊情况. ax bx c 0 是二次函数 y ax图象与 x 轴的交点个数：① 当b24ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1，0，B x2，0( x1x2 ) ，其中的 x1，x2是一元二次方程 ax2bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离 AB x2x1b24ac .a② 当0时，图象与 x 轴只有一个交点；③ 当0 时，图象与x轴没有交点.1'当 a0 时，图象落在x轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0；2'当 a0 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0 ．2.抛物线 y ax2bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为 (0 ， c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y ax2bx c 中 a ，b， c 的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bx c( a 0) 本身就是所含字母x 的二次函数；下面以 a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与 x 轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0抛物线与 x 轴只二次三项式的值为非一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点负0抛物线与 x 轴无二次三项式的值恒为一元二次方程无实数根 .交点正二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数y ( m 2)x 2m2m 2 的图像经过原点，则m的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx2bx 1 的图像大致是（）y y y y110 x o-1 x0 x0 -1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3) ， (4,6) 两点，对称轴为x 5，求这条抛物线的解析式。
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。
基本原理是，通过把二次函数拆分为两个一次函数的乘积，然后根据给定的条件将未知的系数代入到两个一次函数之中，从而计算出二次函数的解析式。
首先，我们可以用待定系数法计算二次函数的标准形式的解析式。
一般来说，二次函数的标准形式是ax^2+bx+c=0，根据定理，二次函数的根为： x = [-b (b^2-4ac)] / 2a.二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x+p)(x+q),p + q = -b, pq = c.结合给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的标准形式的解析式。
其次，我们可以用待定系数法求解二次函数的非标准形式的解析式。
一般来说，非标准形式的二次函数是一般形式ax^2 + bx + c = 0类似于标准形式，我们可以将二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x + p/a )(x + q/a)。
对于任意给定的一般形式的二次方程，我们可以先将它降幂变为标准形式，然后再计算p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出 q p的值，就可以得到二次函数的非标准形式的解析式。
再次，我们还可以用待定系数法解决一些特殊情况下的二次函数。
比如说，二次函数在x=0处有极值点时，ax^2+bx+c= 0.种情况下，我们可以将二次函数分解为两个一次函数:ax^2 + bx + c = a(x + p)(x + q) + ap, q = 0。
根据给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的特殊情况下的解析式。
总之，待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。
它可以用来求解二次函数的标准形式和非标准形式，以及一些特殊情况下的二次函数的解析式。
二次函数解析式求法(待定系数法)
二次函数解析式求法------待定系数法1．二次函数的三种常用形式一般式：()20y ax bx ca =++≠； 顶点式：()()20y a x h k a =−+≠；交点式：()()()120y a x x x x a =−−≠． 2．求二次函数解析式的一般方法已知图象上三点或三点的对应值，通常选择一般式()20y ax bx c a =++≠；已知图象上顶点坐标（或对称轴和最值），通常选择顶点式()()20y a x h k a =−+≠；已知图象与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2，通常选择交点式()()()120y a x x x x a =−−≠．3．待定系数法求二次函数解析式的一般步骤用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成：一设：指先设出恰当的二次函数解析式；二代：指根据题中所给条件，代入二次函数解析式，得到关于a 、b 、c （或h ，k ）的方程组；三解：指解方程或方程组；四还原：指将求出的a 、b 、c （或h ，k ）代回原解析式中．例题1、已知一个二次函数的图象经过（3，0）、（0，﹣3）、（1，﹣4）三点，求这个二次函数的解析式．2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点．（1）求出抛物线解析式；（2）判断点（﹣2，﹣40）是否在该抛物线上？说明理由．3、.已知抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），且过点（0，32）．（1）求此抛物线所对应的函数表达式；（2）求证：对任意实数m，点M（m，﹣m2）都不在此抛物线上．4、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A−，，且过点(30)B，.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.变式练习1、已知一抛物线与x轴的交点是)0,2A，B（1，0），且经过点(−C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.2、已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；(3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．4.已知抛物线2=++的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为y ax bx c4，则抛物线的解析式为___ _____．5.已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．(1)求二次函数解析式；(2)求△ABC的面积．。
二次函数的认识与待定系数法、配方法
二次函数的认识与待定系数法、配方法【问题探索】某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． 答案：（1）共有(100)x +棵橙子树，平均每棵树结(6005)x -个橙子；（2）y 与x 之间的关系式为：(100)(6005)y x x =+-化简得：2510060000y x x =-++。
【新课引入】提问：1、在式子2510060000y x x =-++中，y 是x 的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？答案：根据函数的定义，可知y 是x 的函数，与以前学过的一次函数和反比例函数不同，猜想它是二次函数。
2、请写一个一次函数关系式和一个反比例函数关系式，通过比较三个函数关系式，猜想2510060000y x x =-++是什么函数，并说出该函数的式子特征。
（其中）答案：比较结果见上表，由表格可猜想该函数是二次函数，该式子的特征是①含两个变量x （自变量）、y （因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是2次。
总结：一般地，形如2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数叫做x 的二次函数.注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。
因此，最简单的二次函数形式是2(0)y ax a =≠举例：2510060000y x x =-++和2100200100y x x =++都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A 与边长a 的关系2A a =，圆面积S 与半径r 的关系2S r π=等，都是二次函数．3、(100)(6005)y x x =+-是二次函数吗？答案：是，因为化简能变成2y ax bx c =++（0a ≠）的形式。
用待定系数法求二次函数的解析式(共33张PPT)
a 3, 2
b 3. 2
∴所求的二次函数的表达式是 y 3 x2 3 x 1.
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二 顶点法求二次函数的表达式
3.选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个 二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点 （-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9. 解得 a 9 .
64
∴所求的二次函数的解析式是 y 9 (x 8)2 9.
64
三 交点法求二次函数的表达式
5.选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数
的表达式.
解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x
二,例题讲解:
1,若抛物线y=x2-4x+c (1)过点A(1,3)求c (2)顶点在X轴上求c (1)点在抛物线上,将A(1,3)代入解析式
求得 c=6 (2)X轴上的点的特点 (x,0)
根据顶点的纵坐标为0求得:c=4
2,若抛物线 y=ax2+2x+c 的对称轴是直线 x=2 且函数的最大值是 -3,求 a,c
解： 设这个二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），
2.代：
（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
（坐标代入）
3.解： 方程（组） 4.还原： （写解析式）
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
用待定系数法求二次函数的解析式公开课PPT通用课件
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1。 故顶点坐标为（ 1 ， 2） 所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 得a=-2 故所求二次函数的解析式为：y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
4 图象顶点是M(1,16)且与x轴交于两点，已知 两交点相距8个单位.
解：设抛物线与x轴交于点A、点B y
∵顶点M坐标为（1,16）,对称轴为 16
x=1,又交点A、B关于直线x=1对
称,AB=8
∴A(-3,0)、B(5,0) ∴此函数解析式可设为
A -3 o 1
B
5
x
y=a(x-1)2+16
或y=a(+3)(x-5)
解：设抛物线为y=ax(x-40 ）
根据题意可知,点(20，16)在抛物线上
∴16=20a(20 – 40), a = - —1
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评价
选用两根式求解 ，方法灵活巧妙 ，过程也较简捷
3、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2， 图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点 （3，-6），求此二次函数的解析式。
由条件得：点M( 0,1 )在抛物线上 所以：a(0+1)(0-1)=1 得 ： a=-1
y
x o
故所求的抛物线为 y=- (x＋1)(x-1) 即：y=-x2+1
思考： 用一般式怎么解？
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为
___y_=_a_x__2+__b_x_+_c__(_a≠0)
高考数学中的常用数学方法 配方法、待定系数法、换元法
高考中的常用数学方法 ---配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.二、例题解析 例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ).(A )32(B )14(C )5(D )6分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得： 2(xy +yz +zx )=11,4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故)(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62-11=25∴5222=++z y x ,应选C .例2．设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ). (A )1(B )25(C )2(D )5 分析及解：欲求||||212121PF PF S F PF ⋅=∆ (1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF(2),又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即16||||2||||||||||212221221=⋅-+=-PF PF PF PF PF PF ,故2421)16|||(|21||||222121=⨯=-+=⋅PF PF PF PF ∴1||||212121=⋅=∆PF PF S F PF ,∴ 选(A ). 注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化. 例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为25,已知点P (0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.分析及解：由题意可设双曲线方程为12222=-bx a y ,∵25=e ,∴a =2b ,因此所求双曲线方程可写成：2224a x y =- (1),故只需求出a 可求解.设双曲线上点Q 的坐标为(x ,y ),则|PQ |=22)5(-+y x (2),∵点Q (x ,y )在双曲线上,∴(x ,y )满足(1)式,代入(2)得|PQ |=222)5(44-+-y a y (3),此时|PQ |2表示为变量y 的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有45)4(45||222a y PQ -+-=(y ≥a 或y ≤-a ).二次曲线的对称轴为y =4,而函数的定义域y ≥a 或y ≤-a ,因此,需对a ≤4与a >4分类讨论.(1)当a ≤4时,如图(1)可知函数在y =4处取得最小值,∴令4452=-a ,得a 2=4 ∴所求双曲线方程为1422=-x y . (2)当a >4时,如图(2)可知函数在y =a 处取得最小值,∴令445)4(4522=-+-a a ,得a 2=49, ∴所求双曲线方程为14944922=-x y . 注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a 有关,因此需对字母a 的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.例4．设f (x )是一次函数,且其在定义域内是增函数,又124)]([11-=--x x ff,试求f (x )的表达式.分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.设一次函数y =f (x )=ax +b (a >0),可知)(1)(1b x ax f -=-, ∴124)(11])(1[1)]([2211-=+-=--=--x b ab ax a b b x a a x f f.比较系数可知： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>=)2(12)(1)1()0(4122b ab a a a且解此方程组,得 21=a ,b =2,∴所求f (x )=221+x . 例5．如图,已知在矩形ABCD 中,C (4,4),点A 在曲线922=+y x (x >0,y >0)上移动,且AB ,BC 两边始终分别平行于x 轴,y 轴,求使矩形ABCD 的面积为最小时点A 的坐标.分析及解：设A (x ,y ),如图所示,则=ABCD S (4-x )(4-y )(1)此时S 表示为变量x ,y 的函数,如何将S 表示为一个变量x (或y )的函数呢？有的同学想到由已知得x 2+y 2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x (或y ),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.如果我们将(1)式继续变形,会得到S =16-4(x +y )+xy (2)这时我们可联想到x 2+y 2与x +y 、xy 间的关系,即(x +y )2=9+2xy . 因此,只需设t =x +y ,则xy =292-t ,代入(2)式得S =16-4t +27)4(212922+-=-t t (3)S 表示为变量t 的二次函数, ∵0<x <3,0<y <3,∴3<t <23,∴当t =4时,S ABCD 的最小值为27. 此时⎪⎩⎪⎨⎧==+,27,4xy y x )222,222()222,222(-++-或的坐标为得A 注：换元前后新旧变量的取值X 围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误. 例6．设方程x 2+2kx +4=0的两实根为x 1,x 2,若212221)()(x xx x +≥3,求k 的取值X 围. 解：∵2]2)([2)()()(22122121221212221--+=-+=+x x x x x x x x x x x x ≥3,以k x x 221-=+,421=x x 代入整理得(k 2-2)2≥5,又∵Δ=4k 2-16≥0,∴⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-045|2|22k k 解得k ∈(-52,+-∞)∪[52+,+∞].例7．点P (x ,y )在椭圆1422=+y x 上移动时,求函数u =x 2+2xy +4y 2+x +2y 的最大值. 解：∵点P (x ,y )在椭圆1422=+y x 上移动, ∴可设⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x 于是 y x y xy x u 24222++++==θθθθθθsin 2cos 2sin 4cos sin 4cos 422++++ =]1sin cos )sin [(cos 22++++θθθθ 令t =+θθsin cos , ∵)4sin(2cos sin πθθθ+=+,∴|t |≤2.于是u =23)21(2)1(222++=++t t t ,(|t |≤2). 当t =2,即1)4sin(=+πθ时,u 有最大值.∴θ=2k π+4π(k ∈Z )时,226max +=u . 例8．过坐标原点的直线l 与椭圆126)3(22=+-y x 相交于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F ,求直线l 的倾斜角.解：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)直线l 的方程为y =kx ,将它代入椭圆方程整理得 036)31(22=+-+x x k (*) 由韦达定理,221316k x x +=+(1),221313kx x +=(2) 又F (1,0)且AF ⊥BF ,∴1-=⋅BF AF k k , 即1112211-=-⋅-x yx y , 将11kx y =,22kx y =代入上式整理得 1)1(21212-+=⋅+x x x x k , 将(1)式,(2)式代入,解得 312=k . 故直线l 的倾斜角为6π或65π. 注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k 的方程求解.例9．设集合A ={R x a x x x∈=+-+,024|1}(1)若A 中有且只有一个元素,某某数a 的取值集合B ；(2)当a ∈B 时,不等式x 2-5x -6<a (x -4)恒成立,求x 的取值X 围.解：(1)令t =2x ,则t >0且方程0241=+-+a x x 化为t 2-2t +a =0 (*),A 中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f (t )=t 2-2t +a ,则Δ=0或⎩⎨⎧≤>∆0)0(0f 即a =1或a ≤0,从而B =(-∞,0]∪{1}.(2)当a =1时,113-<x <3+11,当a ≤0,令g (a )=a (x -4)-(x 2-5x -6),则当a ≤0时不等式 )4(652-<+-x a x x 恒成立,即当a ≤0时,g (a )>0恒成立,故 x x g <-⇒⎩⎨⎧≤->1040)0(≤4.综上讨论,x 的取值X 围是(113-,4).。
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第一讲 二次函数的认识与待定系数法、配方法【问题探索】某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． 答案：（1）共有(100)x +棵橙子树，平均每棵树结(6005)x -个橙子；（2）y 与x 之间的关系式为：(100)(6005)y x x =+-化简得：2510060000y x x =-++。
【新课引入】提问：1、在式子2510060000y x x =-++中，y 是x 的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？答案：根据函数的定义，可知y 是x 的函数，与以前学过的一次函数和反比例函数不同，猜想它是二次函数。
2、请写一个一次函数关系式和一个反比例函数关系式，通过比较三个函数关系式，猜想2510060000y x x =-++是什么函数，并说出该函数的式子特征。
（其中）答案：比较结果见上表，由表格可猜想该函数是二次函数，该式子的特征是①含两个变量x （自变量）、y （因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是2次。
总结：一般地，形如2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数叫做x 的二次函数.注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。
因此，最简单的二次函数形式是2(0)y ax a =≠举例：2510060000y x x =-++和2100200100y x x =++都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A 与边长a 的关系2A a =，圆面积S 与半径r 的关系2S r π=等，都是二次函数．3、(100)(6005)y x x =+-是二次函数吗？答案：是，因为化简能变成2y ax bx c =++（0a ≠）的形式。
4、通过二次三项式的配方，改变函数2510060000y x x =-++的表示形式。
答案：2225100600005(20)600005(20100)60000500y x x x x x x =-++=--+=--+++ 25(10)60500y x ∴=--+，它反过来也能变成2y ax bx c =++（0a ≠）的形式，因此，它还是二次函数。
这个式子可以让我们之间看出y 的最大值或最小值。
如：25(10)60500y x =--+中，当10x =时，y 有最大值60500。
5、一次函数、反比例函数都有图象，二次函数有图象吗？怎么画出它的图象呢？ 答案：二次函数也有图象，画二次函数的图象应该①列表；②描点；③连线。
6、请画出2510060000y x x =-++（5(100)(120)y x x =-+-、25(10)60500y x =--+）的图象，观察图象的形状是什么？观察图象与x 轴、y 轴的交点坐标，以及图象的最高点（顶点）坐标。
答案：图象是抛物线，与x 轴交点（-100,0）、（120,0），与y 轴的交点（0,60000），顶点（10,60500），同一个函数可以有三种表达形式，从解析式可以分别看出图象的哪些特征？【总结归纳】一、二次函数图象上点的横坐标、纵坐标分别与函数中的x 、y 对应也就是说：1、 二次函数图象上点的坐标满足二次函数的函数关系式，即代入解析式两边相等；2、 满足二次函数解析式的每一组(,)x y 的实数对，也对应着一个点，这些点就组成了二次函数的图象，解析式与图象的一些特征点对应关系如下图所示。
二、二次函数的三种表达形式以及它们之间的转化关系交点式因式分解一般式配方法顶点式三、待定系数法求函数关系式 1、已知图象上三个普通点的坐标，设一般式，解三元一次方程组可求解析式中的待定系数； 2、已知图象的顶点坐标和一个普通点的坐标，设顶点式，解二元一次方程组可求待定系数；图像与轴交点图像与轴交点图像的顶点3、已知图象与x 轴的两个交点坐标和一个普通点的坐标，设交点式，解方程可求待定系数。
4、后面学过二次函数图象特征和性质之后还有待定系数法的其他解法。
四、配方法其实就是二次三项式的配方，配方依据是“完全平方”公式——2222()a ab b a b ±+=±。
配方法在如下几个方面使用较多： 1、 用于求二次三项式的最值； 2、 用于解一元二次方程；3、 用于二次函数解析式变形，变一般式为顶点式，方便找图象的顶点和函数的最值。
【精选例题】（一）二次函数的概念例1、（1） 函数y=（m ＋2）x＋2x －1是二次函数，则m= ．（2）下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：（1）2y ax bx c =++Q 中，只有二次项系数0a ≠时，才是二次函数，22220m m ∴-=+≠且，故答案为2m =；（2）①④中未知项的最高次数都是1次，不是2次，因此不是二次函数；②③通过化简成一般形式，发现它们符合2y ax bx c =++Q 且0a ≠，所以答案为B 。
前思后想：一个函数是不是二次函数，关键看两个方面，①最高次项为2次，化简后符合一般形式；②二次项系数不等于0. 牛刀小试：1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2．当m 时，y =（m －2）x是二次函数．3．下列不是二次函数的是（ ） A ．y=3x 2＋4B ．y=－x 2C ．y=D ．y=（x ＋1）（x －2）答案：1、0a ≠，0,0a b =≠，0,0,0a b c =≠=； 2、2m =-； 3、C.（二）根据等量关系列二次函数关系式例2 1、正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式． 解析：22-m x 121x 22-m 3152-x等量关系：增加的面积=新正方形面积—原正方形面积，则22(5)5y x =+-整理得210y x x =+前思后想：根据实际情境列函数关系式，跟方程应用题一样，先找等量关系，再用代数式分别表示各个量，根据等量关系即可列出函数关系式。
变式：1、 已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式．2、 已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．3、已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式． 牛刀小试：1、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装售价每提高1元，销量就减少5套，如果商场将售价定为x 元，请你得出每天销售利润y （元）与售价x （元）的函数表达式．2、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP =x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ． 答案：1、[](40)3005(50)y x x =---化简得2575022000y x x =-+-；2、先证ABP PCQ ∆∆:得1(4)4CQ x x =-，在根据面积公式得21282y x x =-+。
（三）画二次函数图象例3. 画出函数y ＝2x 2－3x 的图象，并说出它与坐标轴的交点坐标以及顶点坐标. 解析： 列表：x 34- 0 343294y27898- 0278描点并连线：前思后想：1、 列表：画二次函数的图象，必须先配方找到顶点，再将x 取五个数，正中取顶点，向两边平均取点；2、 描点：根据表格中每个(,)x y 的实数对，在坐标系中描出相应的点；3、 连线：按照从左到右的顺序沿着各点用平滑的线连起来。
牛刀小试：1、画出下列函数的图象．（1）2235y x x =--； （2）234y x x =--+2、画函数y ＝－14x 2＋32x ＋4的图象，并写出它与坐标轴的交点及顶点坐标。
答案：略（四）利用配方法把函数解析式配成顶点式例4. 把y=x 2+3x -4化成顶点式； 解析：299(3)444y x x =++-- 2325()24y x =+-例5.把 y=2x 2-8x +6配成顶点式； 解析：22(44)68y x x =-++- 22(2)2y x =--例6．把y ＝－x 2＋x ＋1配成顶点式； 解析：211()144y x x =--+++ 215()24y x =--+例7．把y=12-x 2+3x -2配成顶点式。
解析：219(69)222y x x =--++- 215(3)22y x =--+前思后想：以上四道配方题可以看出配方的过程：①把二次项和一次项添上括号，提取二次项系数；②在括号内把二次项和一次项添加一个常数项配成完全平方式，里面添了项，外面就要减去添的项，注意括号外的系数；③把括号内写成平方形式即可。
牛刀小试：1、把Q =－(50－x )2＋ (50－x )＋308配成顶点式；2、把y ＝－3x 2－6x ＋8配成顶点式；3、把y =2x 2-8x +1配成顶点式。
答案：1、2992142Q x x =-+-配方得299()12332Q x =--+ 2、23(1)11y x =-++ 3、22(2)7y x =--（五）用待定系数法求二次函数解析式例8. 已知二次函数的图象过(1，0)，(－1，－4)和(0，－3)三点，求这个二次函数解析式。
解析：设二次函数解析式为2y ax bx c =++ （0a ≠），因为图象过三点，则043a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩解得：1a =，2b =，3c =-。
所以二次函数的解析式为：223y x x =+-。
例9. 已知二次函数的图象经过原点，且当x ＝1时，y 有最小值－1，求这个二次函数的解析式。
解析：因为二次函数当x ＝1时，y 有最小值－1，所以，设2(1)1y a x =--，由于图象过原点， 所以10a -=，1a ∴=。
故二次函数为2(1)1y x =--。
例10. 已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1=－3，x 2=1，且与y 轴交点为 (0，－3)，求这个二次函数解析式。
解析：因为函数图象与x 轴相交于（-3,0），（1,0）两点，故设二次函数为(3)(1)y a x x =+- 由于图象与y 轴交于点（0，-3），所以，33a -=-，即1a =。