高级数理逻辑
高级数理逻辑04
4一阶谓词逻辑4.1 一阶谓词逻辑的基本概念4.1.1命题逻辑的局限性命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。
因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。
1、例如：所有自然数都大于它的素数 A ∀x(A(x)→y∃(P(x,y) ∧Q(y)))A(2100)→y∃(P(2100,y) ∧Q(y))∀x(A(x)→y∃(P(y,x) ∧Q(y)))2100是自然数B A(2100)2100有大于它的素数C y∃(P(y, 2100) ∧Q(y))对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。
因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。
而这些原子命题之间无法建立关联关系。
因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。
所以用命题逻辑描述它不能进行推理。
然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。
2、再例如：所有实数的平方是非负的A-是实数B3-的平方是非负的C34.1.2一阶谓词逻辑1、概述一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。
●个体域：任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。
个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。
P(x)●函词：个体上可以进行运算，能够产生新的个体。
这些运算被称为函数，在一阶谓词里被称为的函词（函数）。
F(x,y)=x*y●谓词：我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。
这些有关个体性质的描述称为谓词。
Q(y), P(x,y) ::x<y●量词：关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。
有的对一个范围内成立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。
为了描述这种范围特征，一阶谓词引入了量词。
2、谓词和函词●谓词定义：谓词表示个体性质和关系的语言成分。
它附带放置对象的空位，只有空位被填充对象，谓词才有意义。
没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；相反为谓词填式。
谓词后面的空位个数为谓词的元数。
谓词是一个体域上的n元关系。
数理逻辑中的二阶逻辑与高阶逻辑
数理逻辑中的二阶逻辑与高阶逻辑二阶逻辑和高阶逻辑是数理逻辑中的重要概念。
它们在逻辑学和计算机科学中有广泛应用，并对推理和形式证明的研究产生了深远影响。
本文将介绍二阶逻辑和高阶逻辑的基本概念、特点以及在实际应用中的一些重要作用。
一、二阶逻辑的基本概念和特点二阶逻辑是指在逻辑系统中引入了量化二阶变量和二阶量词的逻辑体系。
相对于一阶逻辑，二阶逻辑具有更强的表达能力和描述能力。
在二阶逻辑中，可以量化一阶谓词变量，即可以描述关于一阶谓词的性质和关系。
这为解决一些复杂问题提供了便利。
二阶逻辑的特点包括以下几个方面：1.二阶量词：二阶逻辑中引入了二阶量词，它可以量化一阶谓词变量，从而表达更复杂的命题和关系。
2.表达能力：相对于一阶逻辑，二阶逻辑具有更强的表达能力，可以描述更复杂的关系和性质。
3.形式化语义：二阶逻辑的形式化语义研究更加复杂，需要引入更多的概念和方法，如拟态逻辑、模型论等。
二、高阶逻辑的基本概念和特点高阶逻辑是指在逻辑系统中引入了更高阶的量词和变量的逻辑体系。
相对于二阶逻辑，高阶逻辑具有更强的表达能力和描述能力。
在高阶逻辑中，可以量化谓词变量的谓词变量，即可以描述关于谓词的性质和关系。
高阶逻辑的特点包括以下几个方面：1.高阶量词：高阶逻辑中引入了高阶量词，它可以量化谓词变量，从而表达更复杂的命题和关系。
2.表达能力：相对于二阶逻辑，高阶逻辑具有更强的表达能力，可以描述更复杂的关系和性质。
3.形式化语义：高阶逻辑的形式化语义更加复杂，需要引入更多的概念和方法，如模型论、类型论等。
三、二阶逻辑与高阶逻辑在实际应用中的作用二阶逻辑和高阶逻辑在逻辑学和计算机科学中有着广泛应用。
它们对于推理、形式化验证和智能系统的研究产生了重要影响。
1.推理和证明：二阶逻辑和高阶逻辑可以用于形式化推理和证明的过程。
通过引入量化变量和量词，可以更准确地描述和推理关于谓词的性质和关系，从而提高推理和证明的精确性和效率。
2.形式化验证：在计算机科学中，二阶逻辑和高阶逻辑在形式化验证中发挥着重要作用。
数理逻辑中的一阶逻辑与高阶逻辑的推理规则
数理逻辑中的一阶逻辑与高阶逻辑的推理规则数理逻辑是研究形式系统的一门学科，其中包括一阶逻辑和高阶逻辑两种推理规则。
本文将分别介绍一阶逻辑和高阶逻辑的定义、基本概念以及推理规则。
一、一阶逻辑一阶逻辑是形式逻辑中的一种基本逻辑形式，也被称为一阶谓词逻辑或一阶一周理论。
它的推理规则包括以下几个方面：1. 命题逻辑命题逻辑是一阶逻辑的基础，它研究命题之间的逻辑关系以及对命题进行推理的规则。
命题逻辑中的推理规则主要涉及命题的合取、析取、否定等逻辑操作。
2. 量化一阶逻辑引入了变量和量词的概念，通过引入全称量词和存在量词，可以对一阶逻辑中的命题进行更加精确的描述。
量化的推理规则包括全称推广、全称规约、存在引入和存在消解等。
3. 假言推理假言推理是一阶逻辑中常见的一种推理形式，它通过条件语句的前提和结论之间的逻辑关系进行推理。
常用的假言推理规则有蕴涵引入、蕴涵消解、假言推广和假言规约等。
4. 等价推理等价推理是一阶逻辑中常用的一种推理形式，它通过等价命题之间的逻辑关系进行推理。
等价推理的规则包括等价引入、等价消解、双重否定引入和双重否定消解等。
二、高阶逻辑高阶逻辑是一种在一阶逻辑的基础上进行扩展的逻辑形式，它涉及到更高级别的量词和谓词的运用。
高阶逻辑中的推理规则包括以下几个方面：1. 高阶量词高阶逻辑引入了更高级别的量词，如二阶量词、三阶量词等，通过这些量词可以对更复杂的命题进行描述和推理。
高阶量词的推理规则包括量词引入和量词消解等。
2. 谓词高阶逻辑中的谓词可以是一阶逻辑中的命题或者函数，通过对谓词的运用可以进行更加精确的推理。
谓词的推理规则包括谓词引入、谓词消解等。
3. 广义命题高阶逻辑中的广义命题是指一个命题包含了其他命题作为子命题，通过对广义命题的推理可以对复杂的逻辑关系进行推理。
广义命题的推理规则包括广义命题引入和广义命题消解等。
总结：数理逻辑中的一阶逻辑和高阶逻辑是逻辑推理的重要分支，它们通过不同的推理规则对不同级别的命题进行推理和描述。
高级数理逻辑第11讲全解
总复习本章对高级数理逻辑所讲述的内容总结，并对已经学习的内容进行回顾。
在对所讲述的内容回顾之前，首先对整个数理逻辑学科的组成进行回顾，从而使大家有更深刻的认识。
数理逻辑学科学科发展从数理逻辑学中衍生出来的学科有很多，如：递归论、可计算理论、模型论、机器证明、知识工程、布尔代数等。
这些理论都是以数理逻辑学为基础的。
针对数理逻辑本身，由于这些学科的需求产生了很多不同种类的逻辑系统。
数理逻辑的不同种类，基本上都是从经典的逻辑系统中扩展而来的。
这种扩展通常有语法扩展和语义扩展。
●语法扩展：在经典逻辑系统中，扩充一些符号，从而衍生出新的逻辑系统。
如模态逻辑，二阶谓词逻辑等。
●语义扩展：对逻辑系统中语义的范围等进行扩展，如模糊逻辑等。
数理逻辑通常划分成以下不同种类的逻辑系统：1、经典逻辑：传统的命题逻辑、一阶谓词逻辑等。
认为世界是黑白的，对于一个命题非真既假。
2、模态逻辑：认为世界上任何事情的真假是与时间有着密切的关系的。
3、多值逻辑：认为世界上的对与错是没有绝对的，命题的真假是可以是多个甚至连续值的。
4、非单调逻辑：讨论如何将人类的常识加入到逻辑系统中去。
经典逻辑是单调逻辑，既事实越多，已有的结论不会消失；而单调逻辑中，可能随着事实的增加原有的结论被否定。
体系构成在高级数理逻辑（计算逻辑）中，每一种逻辑都自成体系。
逻辑的体系过程主要包括以下几个方面：1、形式系统：用符号的方式来描述一个逻辑系统的构成。
类似于形式语言系统。
2、语义系统：针对形式进行解释的一套体系，这套体系确定了符号的含义的解释方法和规则。
3、元理论：对形式系统组成、语义系统特性和形式与语义之间关系进行研究。
从而保证了数理逻辑的初衷（利用数学演算的方法来研究人类思维过程）。
4、自动化推理：在形式系统的基础上，研究利用计算机自动进行推理的理论和方法。
以及自动推理的效率提高方法和自动推理完备性研究。
形式系统形式系统构成形式系统由{∑, TERM, FORMULA, AXIOM, RULE}等5个部分构成，其中 称为符号表，TERM 为项集；FORUMULA 为公式集；AIXIOM 为公理集；RULE 为推理规则集。
高级数理逻辑第2讲
3命题逻辑形式系统（FSPC）3.1 命题逻辑与命题演算Leibniz提出逻辑推理变成符号演算不久，英国数学家BOOL提出了布尔代数。
布尔代数把逻辑命题与逻辑推理归结为代数计算。
把命题看作是计算对象；把联结词看作算子；讨论计算的性质。
1、命题（Propositions）：可以判断真假的陈述句。
不涉及任何联结词的命题称为原子命题。
2、联结词：⌝, →, ↔, ∨, ∧为联结词，用于联结一个或者多个命题。
~A=1-A→如果A成立则B成立，<->如果A成立则B成立，并且如果B成立则A成立；A→BA∨B，或者A成立或者B成立；A∧B，A成立并且B成立。
3、真值表：命题的真假称为命题的真值，用0表示假；用1表示真。
A←→BT(~A)=1-T(A) A=1, ~A=0, 1-ATrue(⌝A)＝1- True(A)，如果True(A)＝0，True(⌝A)=1：True(A)=1, True(⌝A)＝0T(A→B)=1 或者A不成立，或者B成立；A=1, B=1, A→B =1A=0, B=1, A→B=1A=0, B=0, A→B=1A=1,B=0 A→B=0或者A=0, 或者B＝1 ~AvB=A→BA<=B;;;;A<=BA=0,B=1A=0时，B=?,1;A=1,B=1,1;A=1,B=0,0;A=0,B=0,T(A→B)=1;A=0,B=1,T(A→B)=1;A=1,B=0,T(A→B)=1;A=1,B=1,T(A→B)=1;A=0;T(A→B)=1B=1;T(A→B)=1A→B是或者A=0,或者B=1；=～AvBA<=BA∨B=MAX(A,B) A=1, B=0, 1;A=1,B=1, 1, A=0,B=1;1, A=0,B=0, 0A∧B=MIN(A,B) =~(~A v ~B) DEMORGAN~A ∨BTrue(A->B)：True（A）《＝True（B）A ＝0,1；如果True(A)=1,则 True （B ）=1,True(A->B)=1:或者True(A)=0或者True(B)=1：或者A 不成立，或者B 成立=⌝A ∨B ；如果True(A)=0,则 True （B ）=0，1；True(A)=<True （B ）；True(A) =True(B)，True(A<->B)=1； True(A ∨B);A=1,B=0,1,A=1,B=1, 1;A=0,B=0,0,A=0,B=1,1. True(A ∧B),A=1,B=0,0,A=1,B=1,1;1=0,B=0,0; A=0,B=1,0True(A ∨B)=max(True(A), True(B)); True(A ∧B)= min(True(A), True(B)); 4、 命题变元：以真值为值域的变量称为命题变元。
高级数理逻辑第4讲分析
4一阶谓词逻辑4.1 一阶谓词逻辑的基本概念4.1.1命题逻辑的局限性命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。
因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。
1、例如：所有自然数都大于它的素数 A ∀x(A(x)→y∃(P(x,y) ∧Q(y)))A(2100)→y∃(P(2100,y) ∧Q(y))∀x(A(x)→y∃(P(y,x) ∧Q(y)))2100是自然数B A(2100)2100有大于它的素数C y∃(P(y, 2100) ∧Q(y))对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。
因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。
而这些原子命题之间无法建立关联关系。
因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。
所以用命题逻辑描述它不能进行推理。
然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。
2、再例如：所有实数的平方是非负的A-是实数B3-的平方是非负的C34.1.2一阶谓词逻辑1、概述一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。
●个体域：任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。
个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。
P(x)●函词：个体上可以进行运算，能够产生新的个体。
这些运算被称为函数，在一阶谓词里被称为的函词（函数）。
F(x,y)=x*y●谓词：我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。
这些有关个体性质的描述称为谓词。
Q(y), P(x,y) ::x<y●量词：关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。
有的对一个范围内成立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。
为了描述这种范围特征，一阶谓词引入了量词。
2、谓词和函词●谓词定义：谓词表示个体性质和关系的语言成分。
它附带放置对象的空位，只有空位被填充对象，谓词才有意义。
没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；相反为谓词填式。
谓词后面的空位个数为谓词的元数。
谓词是一个体域上的n元关系。
《高级数理逻辑》课件
介绍基于高级数理逻辑研究的智 能推理算法，让计算机更高效地 进行推理和判断。
多值逻辑及其应用
多值逻辑概述
介绍多值逻辑的概念、基本原理以及与二值逻 辑的区别。
多值逻辑在人工智能中的应用
深入研究多值逻辑在自然语言处理、机器学习 和智能系统中的应用，以提高其智能水平。
多值逻辑在计算机科学中的应用
探索多值逻辑在计算机编程、信息理论和密码 学等方面的应用。
模型检验方法
介绍基于多值逻辑的模型检验方法及其应用， 以确保系统或软件的正确性。
模态逻辑理论及扩展
1
经典模态逻辑
2
探讨经典模态逻辑的语法、语义、推理
规则及其应用。
3
非经典模态逻辑
4
介绍非经典模态逻辑，如增长逻辑、其 他模态逻辑和拓扑逻辑等，并探讨其应
用。
模态逻辑概述
介绍模态逻辑的基本概念、语言和语义。
二阶逻辑理论及应用
1 二阶逻辑概述
介绍二阶逻辑中的语法、 语义和推理规则。
Hale Waihona Puke 2 二阶逻辑的应用探讨二阶逻辑在模型论、 计算机科学和数学中的应 用。
3 高维逻辑
介绍高维逻辑的概念、语 言和语义，以及它在数学、 物理学和哲学中的应用。
可计算论概述及相关定理
可计算性理论
介绍可计算性理论和计算模型， 如图灵机、λ演算和递归函数等。
动态模态逻辑
研究模态逻辑中时间、知识和行动等概 念的语义和推理规则。
一阶逻辑及其扩展
概述
介绍一阶逻辑中的语法、语义和 推理规则。
一阶逻辑扩展
研究一阶逻辑的拓展，如高阶逻 辑、无限值逻辑和时态逻辑等， 并探讨其应用。
程序语言理论
介绍一阶逻辑在程序语言理论中 的应用，包括程序设计、程序分 析和验证等。
高级数理逻辑第5讲全解
4.5 一阶谓词语义系统 4.5.1 什么是形式系统语义抽象公理系统或者形式系统，具有较高的抽象性。
因此，已经脱离了任何一个具体的系统，但是我们可以对形式系统作出各种解释。
通过这种解释将形式系统对应到各种具体的系统中取。
例如可以将一阶谓词逻辑系统，解释到平面几何系统中。
怎样将形式系统解释成具体系统呢？我们先看下面的例子：如果我们要知道)),1((x f xP ∀的具体的真值=1，我们至少要知道以下事情： 1、 x 在什么范围之内，x 范围是实数。
2、 f 是什么？ (X+1)3、 P 是什么？P 代表的是大于＝04、 a=？a=15、 x=?，x ＝5，－4例如，我们可以作出以下解释： 1、解释1：● x 在实数中取值 ● P 表示等于0●),(a x f 表示x-a● a=5因此，公式解释为05==-x 。
令x=5, 则1))),(((=x a f P v s(x) ->5s(f(a,x) ->I(f)(I(a),s(x)) 令x=6，则0))),(((=x a f P u 2、解释2：● x 在实数中取值 ● P 表示大于等于0●),(a x f 表示2)(a x -因此，公式解释为0)(2>=-a x 。
这个公式不必对a 和x 作出具体解释，就可以确定公式的真值。
即对于任何实数x ，和赋值映射v ，1)))(((2=-a x P v 。
由上面的例子可以看出，要对形式系统作出解释，我们要了解以下问题：✓x取值于哪里？即规定讨论问题的领域。
✓给出谓词的含义和谓词的真值✓给出函数的解释✓给出变量和常量的值✓根据连接词的赋值规则，赋值这就是我们要研究的语义系统－指称语义的主要内容。
现代逻辑语义学理论的创始人是美籍波兰逻辑学家、哲学家A. Tarski，其奠基性文章是他在1933年发表的《形式语言中的真实概念》。
后来被称为模型论—标准语义学理论。
进一步的发展由维特根斯坦最早提出设想，卡尔纳普最早把它展开为系统。
高级数理逻辑
1.2 数理逻辑的发展过程
第五阶段：公理集合论促进了数理逻辑形式 系统的产生 英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数 学家罗素在集合论的研究过程中，于1903 年提出了著名的罗素悖论（数学史上的第 三次危机）。罗素悖论动摇了集合论的基 础，促使人们去研究数学中的矛盾性。从 而提出了公理集合论。公理集合论的产生 和发展，促进了形式系统的产生。
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1.1 基本概念
语义 涉及符号和符号表达式的涵义。 语法 涉及符号表达式的形式结构，不考虑 任何对语言的解释。
两者既有区别又有联系。
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1.2 数理逻辑的发展过程
逻辑学→数理逻辑→形式逻辑→计算逻辑 第一阶段：逻辑学思想的提出 亚里士多德提出建立探索人类推理、 思维原则的学科，从而有了逻辑的概念。
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1.2 数理逻辑的发展过程
第四阶段：发展为独立的学科 十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有 了比较大的发展，1884年，德国数学家弗 雷格出版了《数论的基础》和《符号论》， 在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的 符号系统更加完备。对建立这门学科做出 贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作 中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑 最基本的理论基础逐步形成，成为一门独 立的学科。
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1.2 数理逻辑的发展过程
第六阶段：形式推理自动化的产生 1965年Robinson提出了归结原理 （Principle of Resolution），归结原理提 出了基于形式描述的，利用计算机的推理 方法。从而使机器定理证明和计算机辅助 软件工程得到长足的发展。
高级数理逻辑第8讲
模态逻辑汉语中“模态”是英语词Modal的音译。
英语词modality(模态性)源出于拉丁文modalitas，含形态、样式和形式的意思。
现代模态逻辑是现代逻辑的重要分支，它在科学和技术领域的应用越来越广泛，它的许多课题不仅受到逻辑学家的注意，而且也受到计算机科学家和计算机工程技术人员以及其他工程技术人员的关注。
因此，深入研究和发展这门科学，已成为逻辑工作者的一项重要任务。
逻辑学中在两种意义上，即在狭义和广义上使用“模态”这个术语。
涉及必然性，或然性（偶然性），遗传性和相容性等模态属于狭义模态。
从某种观点来看，它们表达的是命题的真假强度。
因此，也称为真值模态。
例如：“物体间存在着引力是必然的”；“到本世纪末我国国民生产总值翻两翻是可能的”等都属于这类模态命题。
我们这章的模态系统主要研究这类狭义模态性。
广义模态性是指命题本身所具有的非真值函项的（或非外延的）种种性质。
广义模态词较多，除了必然、可能之外，尚有必须（应该）、允许、禁止；知道、相信、可接受、可疑、可证；曾经、总是、将是、优先、中立等。
这些模态词分别是道义逻辑，认识逻辑，时态逻辑，和价值逻辑研究的对象。
还有希望、需要等尚未深入研究的模态词。
其例子为：“宇宙间存在着黑洞是可信的”；“在商品生产的社会中价值规律起着重要作用是众所周知的”；“子女赡养扶助父母是应该的”；“世界上还存在着野人是可疑的”等。
在这章，我们将讨论一些模态命题逻辑的系统，但首先将给出现代模态系统所要表达的某些模态概念的一般叙述。
6.1 模态逻辑介绍本章主要来介绍模态逻辑系统基本概念，然后，具体介绍命题模态逻辑和一阶谓词模态逻辑。
Modal logic6.1.1模态逻辑引入逻辑系统的发展从命题逻辑发展到了一阶谓词逻辑，主要是因为命题逻辑系统的描述能力有限。
模态逻辑的出现同样是为了扩充一阶谓词逻辑和命题逻辑的描述能力。
1、命题逻辑的缺陷：命题逻辑的原子命题不能细化，层次太高，而不能完全描述世界；例：所有实数的平方是非负的；-3是实数；-3的平方是非负的；一阶谓词逻辑，利用谓词，函词和量词来解决这样的问题；成立))3(()3())(()(--→∀f P R x f P x xR2、命题逻辑和一阶谓词逻辑的缺陷：这两种逻辑都不能描述有时间概念的变化。
浅析逻辑代数、命题逻辑、一阶逻辑、高阶逻辑和数理逻辑
浅析逻辑代数、命题逻辑、⼀阶逻辑、⾼阶逻辑和数理逻辑1. 从逻辑代数开始逻辑代数是⼀种⽤于描述客观事物逻辑关系的数学⽅法，由英国科学家乔治·布尔 (George·Boole) 于 19 世纪中叶提出，因⽽⼜称布尔代数。
所谓逻辑代数，就是把逻辑推理过程代数化，即把逻辑推理过程符号化。
2. 从逻辑代数到命题逻辑同样的，命题逻辑是将那些具有真假意义的陈述句接着进⾏符号化，产⽣原⼦命题。
与此同时，当我们把逻辑代数中的运算符：与( · )、或( + )、⾮( - )，替换成命题逻辑中的联结词集：合取( ∧ )、析取( ∨ )、⾮( ¬ )、蕴涵( → ) 和等价( ↔ ) 之后，我们就进⼊了命题逻辑的研究领域。
需要指出的是，通常也将命题逻辑称作命题演算，后者的出现就是⽤来讨论前者的，这⾥不再区分。
它与下⾯出现的⼀阶逻辑（谓词逻辑）都是数理逻辑的⼦集（或称之为分⽀），是数理逻辑的两个最基本的也是最重要的组成部分。
有⼈可能会问，为什么不从数理逻辑开始，其实意义不⼤。
要谈数理逻辑，不可避免的下⼀个主题就是逻辑代数。
为什么这样说呢？因为数理逻辑⼀开始的诞⽣是没有意义的，它的创始⼈正是我们熟知的莱布尼茨（没错，就是⾼数中的那个⽜顿-莱布尼茨公式）。
莱布尼茨⼀开始是想要建⽴⼀套普遍的符号语⾔，从⽽将⼀些由⾃然语⾔的推理转换成⽤符号演算。
但可惜他的⼯作只是开了个头，⽽且没有太多的发表，因此影响不⼤。
⽽真正使数理逻辑这门学科迅速扩张的是开头所说的英国科学家——乔治·布尔，⽽他所做的正是将逻辑代数化。
2.1 数理逻辑与数学和逻辑学数理逻辑⼜称符号逻辑、理论逻辑，是⼀门⽤数学⽅法研究逻辑或形式逻辑的学科，这是百度词条给出的解释。
还有⼀句话⾮常拗⼝：它既是数学的⼀个分⽀，也是逻辑学的⼀个分⽀。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进⾏符号化以后的形式系统。
简单来讲，数理逻辑研究的并不是数学领域，⽽是计算机科学等领域。
高级数理逻辑-习题
1.逻辑语言由哪些内容构成？现代逻辑扩张的方法有哪些？举例说明。
1. 一个字母表(alphabet)：记为A或∑，其元素称为符号，符号(symbol,sign)的有限串构成字(word)。
2. 一个项集(term set)：记为TERM，其元素称为项(term)，是某种合法的字。
3. 一个公式集(formula set,well-formed formula--wff)：记为FORMULA，其元素称为合式公式(wff)，简称公式，是某种合法的字。
一般地，项集与公式集是不的，即TERM⋂FORMULA=∅。
4. 有关的一些语法理论。
(1)项形成规则(formation rule of terms)：规定合法的项；(2)公式形成规则(formation rule of wffs)：规定合法的公式；(3)括号省略的原则：缩写约定；(4)代入规则(substitution rule)：代入的原则及为保持这一原则所作的规定；(5)其它语法概念：为涉及的其它语法问题所作的规定。
1. 先从语义开始，对已有的各种联结词、算子做出新的语义解释，从而引出有关这些联结词、算子的新公理、新规则，进而导致产生新的逻辑系统(从语义到语法)；例如：三值逻辑、多值逻辑、模糊逻辑、归纳逻辑等。
2. 先从语法开始，对已有的逻辑系统增加新的词项及新的算子，从而引出有关这些词项、算子的新公理、新规则，进而导致产生新的逻辑系统，新的逻辑体系立即引发出全新的语义解释(从语法到语义)3. 两种扩张的方法混合使用。
1. 三值逻辑是如何从二值逻辑扩张而来的(1) 经典的二值逻辑对联结词的语义解释——赋值υ:FORMULA→V AULE (这里：V AULE={t,f})例如：以下是各非经典逻辑所增加的新算子。
⏹模态逻辑：☐(必然)， (可能)；⏹时态逻辑：☐(总是)， (有时)，o(下一个)，①(下一时)，U(直到)；⏹二阶逻辑：二阶变项，二阶量词；⏹道义逻辑：O(必须)，P(允许)，F(禁止)；⏹优先逻辑：P(优先)；⏹时间逻辑：P(过去)，R(现在)，F(将来)；⏹时相逻辑：H(发生)，B(未发生)，A(事后)，G(完成)；⏹信念逻辑：B(相信)；断定逻辑：A(断定)；………等。
高等数理逻辑 自然数逻辑理论
z 对于每个 nJ= , 因为 nJn+,n+J= , 所以 nJP= . 若 z xJP= , 则存在 nJ= 使得 xJn , 必有 xJ= . 根据外延公理,可知 P===. .
归纳法
性质1(自然数的归纳法) 假设 uN= , 且满足
0Ju[] x(xJu>x+J=),
所以 ] x9(x) 成立. 这就是需证明的.
递归定义
定理2 递归定义的合理性:
假设 a 是 一个集合, f 是一个函数, 则存在 一个函数 r 满 足:
z dom(r)== . z r(0)=a. z 对任意的自然数 m , 都有 r(m+)=f(r(m)) .
证明
描述函数的公式
定义以下公式 )(x,t):
则 u==.
证明 这时的 u 是一个归纳集合, 又是 = 的子集, 所以等于 = .
推论 假设 9(x) 是集合论语言的一个语句, 包含一个自由变元 x, 且
9[0][] x(xJ=[9[x]>9[x+]) 成立, 则对任意的自然数 n ,都有 9[n] 成立.
证明 考虑集合
u={nJ=|9[n]}. 根据子集公理, 可知它是集合, 还是 = 的子集, 根据 9 所满足的性 质, 可知
t P{ <m+, f (t ( m) ) >}, 是 相应于 m+ 的唯一函数, 所以 <[m+] 成立. 由归纳法可知 (*) 成立. 函数型公式
对于公式 9(x,y) ^ t()(x,t)[y=t(x)),
根据上述证明可知 ] x^ !y(xJ=>9(x,y)).
定义函数
第五章 高级数理逻辑
26
当涉及归纳定义的集S上的函数f的递归定 义和递归定义原理时，应当要求S中的元有 唯一的生成过程 例 M={0,1}，g1是一元函数，且有g1(0)=1, g1(1)=0，故S={0,1}中的0和1可以由M生成， 也可以由g1生成，即生成过程不唯一.
27
例 令h(0)=h1(0)=0和h(1)=h1(1)=1，则按照 递归定义S上的函数f如下：
19
归纳证明
使用如上定理作出的证明，称为归纳证明， 即用归纳法作出的证明。 命题“对于任何n∈N，R(n)”是归纳命题， 其中n是归纳变元，这是说，当证明归纳命 题时，要对n做归纳。
第一步，称为（归纳的）基始，是证明定理中
的(i)，即0有性质R。 第二步，称为归纳步骤，是证明其中的(ii)，即 后继运算保存R性质。归纳步骤中的假设R(n) 称为归纳假设。
28
f(x)=h(x) 对于任何x∈M f(g1(x))=h1(f(x)) 对于任何x∈S 当0,1 ∈M时，有 f(0)=h(0)=0和f(1)=h(1)=1 但是此外，也有 f(0)= f(g1(1))=h1(f(1)) =h(1)=1 f(1)= f(g1(0))=h1(f(0)) =h(0)=0
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递归定义原理
在归纳定义的集上定义函数，可以采用递 归定义的方法。 定理2 设g和h是N上的已知函数，则存在唯 一的N上的函数f，使得
f(0)=g(0),
f(n’)=h(f(n))
或 f(n’)=h(n, f(n)) .
对于任何n∈N，f(n)的值能够由上述定义f 的方程通过f(0),f(1),…,f(n-1)计算出来。称 这种定义为递归定义。
高级数理逻辑第3讲
3命题逻辑形式系统（FSPC）－续3.4 命题逻辑语义P(X)→Q(F(X－a)) A(X)-->A(X)X是复数，则（x-a）平方大于等于0；X=RPx是复数Q(x)代表的是大于等于0F代表的是平方X复数T(P(X))=0.5P(X)→(Q(X)→P(X))A→B3.4.1基本概念1、什么是形式系统的语义（1）形式系统与具体的系统无关（2）能够用形式系统来描述现实系统（3）把从形式系统解释成“→”现实系统的过程成为语义语义有多种类型：指称语义，克里普克语义，操作语义，公理语义等2．语义构成(指称语义)语义主要有两部分：（1）结构：（有两个主要部分构成）*确定研究对象集合，论域或个体域*把形式系统中的变量到论域中的一组规则映射规则（2）域值：指一组给公式赋值的规则根据这项规则将－Atomic→Value中3.4.2 命题逻辑语义1、语义结构由于没有变量，所以只有第二部分赋值，值域为{0,1}赋值规则： I.{}1,0∈V PII. ⎪⎩⎪⎨⎧===⌝0,11,0)(V VVA A AT(~A)= 当T （A ）＝0时，T(~A)=1。
当T （A ）＝1时，T(~A)=0。
III. ⎪⎩⎪⎨⎧=====∧00,01,1)(VV VV VB A B A B A 或 当T(A)=T(B)=1时，T(B A ∧)=1，其他情况T(B A ∧)=0。
IV. ⎪⎩⎪⎨⎧=====∨00111)(VV V V VB A B A B A ，或， 当T(A)＝1或者T （B ）＝1情况下，T （B A ∨）＝1，其他情况T （B A ∨）＝0。
V. ⎩⎨⎧===→，否则或，0101)(V V B A B A当T(A)=0时候，T （B A →）=1,当T(B)=1时候，T （B A →）=1。
其他情况下T （B A →）=0。
A BVI. ⎪⎩⎪⎨⎧≠==↔VV VV VBA BA B A ，，01)( 2、 语义的特殊公式1) 公式A 为永真式，重言式tautologies ，如果对一切赋值v ，1=VA .A →A=~AvA(A →A)=1, A →(B →A)=12) 公式A 为永假式，矛盾式contradictions,如果对一切赋值v ，0=VA~A^A=03) A ，B 为逻辑等价的，如果对于一切赋值v ，VVB A =，记做A ╞B(A |=|B )T(A)=T(B),对于任意T A-->A A-->(B-->A)4) 可满足的，公式A 为可满足的，如果至少存在一个赋值v ，1=VA3、 真值计算有了赋值映射，我们可以计算任意公式的真值。
高级数理逻辑
集合归纳定义的一般情况
设M为集合，gi为ni元函数，i=1,2,…,k。 两种等价的定义：
(1)M⊆S (2)对于任何x1,x2,…,xni，若x1,x2,…,xni ∈S，则 gi (x1,x2,…,xni ) ∈S (3)只有由（有限次使用）(1)和(2)生成的元素才是S 中元素
集合S是满足以下(1)和(2)的T中的最小集： (1)M⊆T (2)对于任何x1,x2,…,xni，若x1,x2,…,xni ∈T，则 gi (x1,x2,…,xni ) ∈T
课程的主要内容?经典逻辑?命题逻辑?谓词一阶逻辑?非经典逻辑?构造型逻辑?模态逻辑集合论?19世纪下半叶cantor提出朴素集合论?1903年russel提出集合论悖论产生数学的第三次危机?1908年zermelo提出公理化集合论zf体系集合论?集合论是数学的基石?基本概念?集合元素?序偶笛卡尔积?关系?映射?等价关系?相容关系?序关系集合元素?若干事物组成的整体被称为集合集合中的每个事物被称为元素
自然数集的归纳定义
后继 两种等价定义
(1)0∈N (2)对于任何n，若n∈N，则n’ ∈N（n’为n的后继） (3)只有由（有限次使用）(1)和(2)生成的n ∈N
N是满足以下(1)和(2)的S中的最小集： (1)0∈S (2)对于任何n，若n∈S，则n’ ∈S（n’为n的后继）
基于自然数集的归纳证明原理
笛卡尔积
ST { x, y | x S y T}
扩展(n>2)
有序n元组
<a1, a2, …, an>=<< a1, a2, …, an-1 >, an >
n阶笛卡尔积
S1 S2 ...Sn { x1, x2,..., xn | x1 S1 x2 S2 ... xn Sn}
数理逻辑中的一阶逻辑与高阶逻辑的应用与推广
数理逻辑中的一阶逻辑与高阶逻辑的应用与推广在数理逻辑中，一阶逻辑和高阶逻辑是两个重要的分支，它们在不同领域中有着广泛的应用与推广。
一阶逻辑是一种基本的形式系统，用于描述和推导一阶语言中的陈述，而高阶逻辑则是在一阶逻辑的基础上引入了更为复杂的语言结构。
本文将分别介绍一阶逻辑和高阶逻辑的基本概念，并探讨它们在计算机科学、人工智能、哲学等领域的应用和推广。
一、一阶逻辑一阶逻辑是一种基于一阶语言的形式系统，它包含一阶语言的符号、公式、推演规则等要素。
一阶逻辑中的基本符号包括谓词符号、变量符号、逻辑连接词等，而一阶语言的公式则可以通过这些符号的组合和运用来构造。
在计算机科学领域，一阶逻辑被广泛应用于形式化方法、程序验证等方面。
通过使用一阶逻辑，我们可以对计算机程序进行形式化规范，检验程序的正确性和安全性。
同时，一阶逻辑还可以作为一种形式化语言，用于描述和推导数学和自然科学中的命题，推动科学研究的发展。
在人工智能领域，一阶逻辑被用作知识表示和推理的基础。
通过使用一阶逻辑，我们可以将自然语言中的知识转化为形式化的逻辑表示，进而使用推理算法对知识进行推理和推断。
这样可以使计算机具备一定的智能和推理能力，实现自然语言理解、问题求解等任务。
在哲学领域，一阶逻辑被用作分析和讨论各种哲学问题。
通过使用一阶逻辑，我们可以形式化地描述和推演一些哲学命题，如真理和谬误、存在和本质等。
一阶逻辑为哲学研究提供了一个严密的分析工具，有助于深入探讨和理解各种哲学问题的本质。
二、高阶逻辑高阶逻辑是在一阶逻辑的基础上引入了更为复杂的语言结构，它可以描述和推导高阶语言中的陈述。
高阶逻辑中的基本符号包括高阶谓词符号、高阶变量符号、高阶逻辑连接词等，而高阶语言的公式则可以通过这些符号的组合和运用来构造。
在计算机科学领域，高阶逻辑被广泛应用于类型理论、函数式编程等方面。
通过使用高阶逻辑，我们可以定义和推理高阶的数据类型和函数，进而实现更为抽象和灵活的程序设计和编程。
高等数理逻辑 课程介绍
z
无限集合初步 公理集合论初步 自然数的逻辑理论
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命题逻辑完备性定理及紧致性 命题逻辑公理的独立性 可满足问题及相关判定算法 谓词逻辑的模型及无限模型 一目谓词逻辑的可判定性 非欧几何简介 实闭域的可判定性 谓词逻辑的完备性 谓词逻辑公理的独立性 可计算性及半可判定性 不完备性定理与非标准模型 直觉主义逻辑 模态逻辑 □
/ Th(< N,0,1,+, $ > ) . 性质: PA U / Goodstein定理. 性质: PA U Gödel 不完备性定理: Hilbert 第 10 问题: 结论: 以下问题是不可判定的:
z z
z
停机问题 初等函数恒等式是否成立. l
更多的逻辑理论及其在计算机科学中的应用 直觉主义逻辑 模态逻辑 时态逻辑 知识点
{
算法存在性: 可判定 半可判定 不可判定
※ □
z
逻辑方法在计算机科学中的应用 将抽象问题类转换为具体问题, 从而实现问题求解: 自动定理证明 数据挖掘 模式识别 l
{ { { {
□
z
逻辑应用 基于逻辑方法的问题求解过程: 实际问题 D D D 问题类 抽象算法 实际算法 形式描述 判定分析 实际经验 ※ □
命题逻辑用于解决实际问题 考虑以下例子: 如何为 A,B,C 排名次, 使得分别为第一、第二、第三, 且以下每种情形中的两个条件正好一个成立:
z
z
z
情形一: A 第一, C 第三 情形二: B 第一, A 第三 情形三: C 第一, A 第二 p 1 : A 第一. p 2 : A 第二. p 3 : A 第三. q 1 : B 第一. r 1 : C 第一. r3 : C 第三.
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设R为A上的一个等价关系，则 A/R={[a]R|a∈A}称为A关于R的商集。 等价类的性质
∪[a]R=A [a]R=[b]R iff aRb [a]R≠Ф
A/R是A的一个划分。
映射
复合关系
设R是由A到B的一个二元关系，S是由B到C的一个二元关 系，则
R◦S={<x,z>|存在y ∈B，使得<x,y>∈R且<y,z>∈S}称为R 与S的复合关系
逆关系
设R是由A到B的一个二元关系，则 R-1= {<y,x>|<x,y>∈R} 称为R的逆关系。
关系的性质
设R是A上的一个二元关系 自反
✓ 所有中学生打网球。 ✓ 王君不打网球。 ➢ 王君不是中学生。
可推导性关系的内因
表象：前提、结论的真值
语义范畴
内因：前提、结论的逻辑形式
语法范畴
两个例子的逻辑形式相同
✓ S中的所有元有R性质。 ✓ a没有R性质。 ➢ a不是S中的元。
数理逻辑的研究内容
形式语言
无二义性、精确的、普遍适用的符号语言 自然语言存在二义性、不精确 语义：涉及符号、表达式的具体涵义 语法：仅涉及表达式的形式结构
ZF公理体系
外延公理
S=T iff (x)(x S x T)为真
子集公理
S T iff (x)(x S x T)为真
空集存在公理幂集P(A) = {a | a为A的子集}
集合的运算
对于集S，T 并
SUT {x | x S x T}
交
SI T {x | x S x T}
从集S到集T的全域关系
ST
空关系
集S上的恒等关系
IS ={ x, x | x S}
关系的表示
关系矩阵 关系图
R ST
R SS=S2
关系的运算
定义域（前域）、值域、域
设R是由A到B的一个二元关系，则 dom(R) = {x|存在y∈B，使得<x,y>∈R}称为R的定义域； ran(R) = {y|存在x ∈A，使得<x,y>∈R}称为R的值域； FLD(R) = dom(R) ∪ran(R)称为R的域。
概述
数理逻辑的含义
用数学的方法研究逻辑问题
逻辑的核心内容
推理理论：本书仅仅研究演绎（有效）推理
演绎推理
前提与结论存在可推导性关系 由前提的真，可得结论的真
前提 结论
前提 结论为永真式
怎样的前提和结论存在可推导性关系？
例子
✓ 所有3的倍数的数字之和是3的倍数。 ✓ 1010的数字之和不是3的倍数。 ➢ 1010不是3的倍数。
单射、满射、双射
设f为从A到B的一个单射，当且仅当对于任何x,y，若 f(x)=f(y)，则x=y。
扩展(n>2)
有序n元组
<a1, a2, …, an>=<< a1, a2, …, an-1 >, an >
n阶笛卡尔积
S1 S2 ...Sn { x1, x2,..., xn | x1 S1 x2 S2 ... xn Sn}
关系
R是从集S到集T的一个二元关系 iff R是集S上的一个二元关系 iff 几个特殊关系
集合&元素 序偶&笛卡尔积 关系
✓ 映射 ✓ 等价关系 ✓ 相容关系 ✓ 序关系
集合&元素
若干事物组成的整体被称为集合，集合中的 每个事物被称为元素。
aA
元素a属于集合A，记a 为A iff (a A) 在确定性数学中， 集合的表示方法
枚举法 谓词法 归纳法
元素的一些说明
无序性
差&补
S-T {x | x S x T}
_
S E S {x | x S}
E为全
集
对S称T差 (S T) U(T S)
序偶&笛卡尔积
序偶
集合{a, {a, b}}称为元素a与b构成的序偶，简记为<a, b>。 <a, b> = <x, y> iff a=x且b=y
笛卡尔积
ST { x, y | x S y T}
课程的主要内容
经典逻辑
命题逻辑 谓词（一阶）逻辑
非经典逻辑
构造型逻辑 模态逻辑
集合论
19世纪下半叶，Cantor提出朴素集合论 1903年，Russel提出集合论悖论，产生数学
的第三次危机 1908年，Zermelo提出公理化集合论(ZF体系)
集合论
集合论是数学的基石 基本概念
映射
设f是由集A到集B的一个二元关系。若满足 (1)对于任何x,y,z，若<x,y>∈f且<x,z>∈f，则y=z； (2)dom(f)=A。 则称f为从A到B的一个映射，记为f:A→B。若<x,y>∈f，
则称y为x的像，x为y的原像，记为y=f(x)。
运算
若f是由An到B的一个映射，则称f为A上的一个n元运算。
R在A上自反，iff 对于任何x ∈A，xRx。
对称
R在A上对称，iff 对于任何x ,y∈A，若xRy，则yRx。
传递
R在A上传递，iff 对于任何x ,y,z∈A，若xRy且yRz，则xRz。
反自反 反对称
等价关系
等价关系
若R在A上自反、对称、传递，则称R为A上的一个等价关系。 等价类
推理方法（演算）
历史
公元前3世纪，Aristotle创立了逻 辑学。
数理逻辑是数学的基础问题。 17世纪，Leibniz提出建立形式语
言、推理方法的思想，以解决数 学证明等问题的一致性问题。 1847年，Bool发表了《逻辑的数 学分析》，建立了布尔代数，初 步创建了符号系统。 1887年，Frege出版了《数论基 础》，成功的实现了Leibniz的思 想。
{a, b} = {b, a}
可区分
{a, b} = {a, a, b}
或具体或抽象
{1, 2, &, *, 天津大学, CMU}
或有联系或无联系 特别的，集合的元素可以是一个集合
{{1, 2}, 1, 2}
集合悖论
Russel（理发师）悖论 某城市中有一位理发师，他的招牌是这样写 的：“本人将为本城所有不给自己刮脸的人 刮脸，且只给这些人刮脸。” 这位理发师能不能给他自己刮脸呢？ 如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己 刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他 给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的 人”，他就不该给自己刮脸。