第1章 1.1 1.1.1 第1课时 集合的含义

集合
1．1.1 集合的含义与表示
第一课时集合的含义
[新知初探]
1．元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．
[点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一
些物．
2．元素与集合的关系
[点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明
(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a ∈A”与“a∉A”这两种结果．
(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
3．常用的数集及其记法
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)你班所有的姓氏能组成集合．( )
(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．( )
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素． ( )
答案：(1)√(2)×(3)×
2．下列元素与集合的关系判断正确的是( )
A．0∈N B．π∈Q
C.2∈Q D．－1∉Z
答案：A
3．已知集合A中含有两个元素1，x2，且x∈A，则x的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D．0或1
答案：A
4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素．
答案：2
集合的基本概
[例1] 考查下列每组对象，能构成一个集合的是( )
①某校高一年级成绩优秀的学生；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．
A．③④B．②③④
C．②③D．②④
[解析] ①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．
[答案] B
1．给出下列说法：
①中国的所有直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； ③正偶数的全体可以构成一个集合；
④大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合． 其中正确的有________．(填序号)
解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，所以④错误．
答案：①③
[例2] (1)下列关系中，正确的有( ) ①1
2∈R ；② 2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q. A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
(2)集合A 中的元素x 满足6
3－x
∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．
[解析] (1)1
2是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正
确，④错误．
(2)由题意可得：3－x 可以为1,2,3,6，且x 为自然数，因此x 的值为2,1,0.因此A 中元素有2,1,0. [答案] (1)C (2)0,1,2
元素与集合的关系
[活学活用]
2．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ∉B ，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选D ∵a ∈A ，a ∉B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. 3．用适当的符号填空：
已知A ＝{x|x ＝3k ＋2，k ∈Z}，B ＝{x|x ＝6m －1，m ∈Z}，则有：17________A ；－5________A ；17________B.
解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z. 所以17∈A.
令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z.
所以－5∉A.
令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ， 所以17∈B. 答案：∈ ∉ ∈
[例3] 已知集合A 含有两个元素a 和a 2
，若1∈A ，则实数a 的值为________．
集合中元素的特性及应用
[解析] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，
∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.
[答案] －1
[一题多变]
1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．解：因2∈A，则a＝2或a2＝2即a＝2，或a＝2，或a＝－ 2.
2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解：因A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得
a≠0且a≠1.
3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．
解：由a∈A可知，
当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，
所以a≠1.
当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．
综上可知，a＝0.
根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤
层级一学业水平达标
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素
解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1∉A
解析：选C 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
3．下面几个命题中正确命题的个数是( )
①集合N*中最小的数是1；
②若－a∉N*，则a∈N*；
③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．
4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )
A．2 B．2或4
C ．4
D ．0
解析：选B 若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A.故选B.
5．由实数－a ，a ，|a|，a 2
所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，a 2
＝|a|＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ，a>0，－a ，a<0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.
6．下列说法中：
①集合N 与集合N ＋是同一个集合； ②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素； ③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素； ④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素． 其中正确的有________(填序号)．
解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
答案：②④
7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b________A ，ab________A ．(填∈或∉)．
解析：∵a 是偶数，b 是奇数， ∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数， 故a ＋b ∉A ，ab ∈A. 答案：∉ ∈
8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x<a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________. 解析：∵x ∈N,2<x<a ，且集合P 中恰有三个元素， ∴结合数轴知a ＝6. 答案：6
9．设A 是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 解：∵a ∈A 且3a ∈A ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a<6，
3a<6，解得a<2.又a ∈N ，
∴a ＝0或1.
10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2
，若A ＝B ，求实数x ，y 的值． 解：因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.
(1)当x ＝0时，x 2
＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去． 综上知：x ＝1，y ＝0.
层级二 应试能力达标
1．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )
A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合
B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合
C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合
D ．P 是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2
＝1的解集
解析：选A 由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.
2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形
D ．矩形
解析：选A 由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等． 3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，b
a ，b.若集合A 与集合B 相等，则b
－a ＝( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
解析：选C 由题意可知a ＋b ＝0且a≠0，∴a ＝－b ， ∴b
a
＝－1.∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2. 4．已知a ，b 是非零实数，代数式|a|a ＋|b|b ＋|ab|
ab 的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )
A ．0∈M
B ．－1∈M
C ．3∉M
D ．1∈M
解析：选B 当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．
5．不等式x －a≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为3∉A ，所以3是不等式x －a<0的解，所以3－a<0，解得a>3. 答案：a>3
6．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．
解析：(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．
(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．
(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意．
综上可知：a＝0或a＝1.
答案：0或1
7．集合A中共有3个元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5,1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．
解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，
若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．
若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．
当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意．
综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.
8．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则1
1－a
∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
证明：(1)若a∈A，则1
1－a
∈A.
11 又∵2∈A ，∴1
1－2＝－1∈A.
∵－1∈A ，∴1
1－－1＝1
2∈A.
∵12∈A ，∴1
1－1
2
＝2∈A.
∴A 中必还有另外两个元素，且为－1，1
2.
(2)若A 为单元素集，则a ＝1
1－a ，
即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a≠1
1－a ，∴集合A 不可能是单元素集．。